Algorithmen für Routenplanung 5. Sitzung, Sommersemester 2010 Thomas Pajor 10. Mai 2010

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1 Algorithmen für Routenplanung 5. Sitzung, Sommersemester 00 Thomas Pajor 0. Mai 00 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK ALGORITHMIK I PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Großforschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Nächstes Mal Special Guest Daniel Delling Ehem. Dokotorand am ITI Wagner Forschungsbereich: Routenplanung SHARC-Routing Time-Dependent, Multi-Criteria Jetzt: Microsoft Research Silicon Valley Alternativrouten in Straßennetzen Vorlesung am 7. Mai 00, 4:00 Uhr

3 Letztes Mal Arc-Flags Hierarchische Techniken s t

4 Reach prefix(p,u) suffix(p,u) s u t Definition: sei P = s,..., u,..., t Pfad durch u dann Reach von u bezüglich P: r P (u) := min{len(p su ), len(p ut )} Reach von u: Maximum seiner Reachwerte bezüglich aller kürzesten Pfade durch u: r(u) := max{r P (u) P kürzester Weg mit u P}

5 Reach-Pruning s t somit: Reach r(u) von u gibt Suffix oder Prefix des längsten kürzesten Weges durch u wenn für u während Query r(u) < d(s, u) und r(u) < d(u, t) gilt, kann u geprunt werden s u t r P (u) t s r P (u) = r(u)

6 Reach Dijkstra - Pseudocode ReachDijkstra(G = (V, E), s, t) d[s] = 0 Q.clear(), Q.add(s, 0) while!q.empty() do u Q.deleteMin() if r(u) < d[u] and r(u) < d(u, t) then continue forall edges e = (u, v) E do if d[u] + len(e) < d[v] then d[v] d[u] + len(e) if v Q then Q.decreaseKey(v, d[v]) else Q.insert(v, d[v])

7 Probleme Probleme: Lösung: Abfrage r(u) < d(u, t) Knotenpotential π(u) gibt untere Schranke zum Ziel wenn π(t) = 0 benutze A* für Abschätzung (euklidisch oder Landmarken) gut kombinierbar mit A*

8 Probleme Probleme: Lösung: Abfrage r(u) < d(u, t) Knotenpotential π(u) gibt untere Schranke zum Ziel wenn π(t) = 0 benutze A* für Abschätzung (euklidisch oder Landmarken) gut kombinierbar mit A*

9 Potentiale durch Landmarken Idee: wähle Landmarken L aus V ( 6) berechne Distanzen von und zu allen Landmarken dann gilt: für alle u V. somit ist d(u, t) d(l, t) d(l, u) d(u, t) d(u, L ) d(t, L ) π(u) = max{max{d(l, t) d(l, u), d(u, l) d(t, l)}} l L ein gültiges Potential

10 A* + Reach A*Reach(G = (V, E), s, t) d[s] = 0 Q.clear(), Q.add(s, 0) while!q.empty() do u Q.deleteMin() if r(u) < d[u] and r(u) < π(u) then continue forall edges e = (u, v) E do if d[u] + len(e) < d[v] then d[v] d[u] + len(e) if v Q then Q.decreaseKey(v, d[v] + π(v)) else Q.insert(v, d[v] + π(v))

11 Nachteil A*Reach Problem: Potentiale nicht verfügbar Potentiale können schlechte Abschätzung sein schwaches Pruning Lösung: benutze bidirektionalen Anfragealgorithmus zwei Ansätze: self-bounding distance-bounding

12 Bidir. Self-Bounding Reach-Dijkstra Idee (für Vorwärtssuche): prune, wenn d[u] > r(u) gilt überlasse den Check d(u, t) > r(u) der Rückwärtssuche Rückwärtssuche analog (umgekehrt) ändere Stoppkriterium neues Stoppkriterium: stoppe Suche in eine Richtung wenn Queue leer oder es gilt: minkey(q) > µ/ stoppe Anfrage, wenn beide Suchrichtungen gestoppt haben Korrektheit in Übung

13 Bidir. Dist.-Bounding Reach-Dijkstra Idee (für Vorwärtssuche): wenn u von Rückwärtssuche noch nicht erreicht, ist minkey( Q ) eine untere Schranke für d(u, t) wenn u von Rückwärtssuche abgearbeitet, d(u, t) bekannt d f (s, u) s u minkey( Q ) t somit: prune, wenn r(u) < d f [u] und r(u) < min{d b [u], minkey( Q )} Stoppkriterium bleibt erhalten (also minkey( Q ) + minkey( Q ) µ) wenn als Alternierungsstrategie min{minkey( Q ), minkey( Q )} gewählt, gilt für Vorwärtssuche: d f [u] minkey( Q ) kann zusätzlich mit A* kombiniert werden

14 Optimierungen mögliche Verbesserungen: Early (Kanten-)Pruning: (u, v) muss nicht relaxiert werden, wenn gilt: d[u] + len(u, v) > r(v) und r(v) < min{d b [u], minkey( Q )} Kanten sortieren: sortiere ausgehende Kanten (u, v i ) absteigende nach r(v i ) wenn Kante relaxiert wird mit r(v i ) < minkey( Q ) und r(v i ) < d f [u] müssen die restlichen Kanten ausgehend von u nicht relaxiert werden

15 Vorberechnung: Erster Ansatz Wie kann man Reach-Werte vorberechnen? initialisieren r(u) = 0 für alle Knoten für jeden Knoten u konstruiere kürzeste Wege-Baum höhe von Knoten v: Abstand von v zum am weitesten entfernten Nachfolger für jeden Knoten v: r(v) = max{r(v), min{d(u, v), height(v)}} v height(v) altes Problem: Vorberechnung basiert auf all-pair-shortest paths somit wieder 500 Jahre Vorberechnung

16 Approximation Beobachtung: es genügt, für jeden Knoten eine obere Schranke des Reach-Wertes zu haben Problem: untere Schranken einfach zu finden: breche Konstruktion der Bäume einfach bei bestimmter Größe ab aber: untere Schranken sind unbrauchbar Berechnung von oberen Schranken deutlich schwieriger

17 Der RE-Algorithmus Erweiterungen gegenüber reinem Reach: Kanten-Reach für Vorberechnung obere Schranken durch iterative Berechnung Shortcuts Ergebnisse: schnellere Vorberechnung deutlich schnellere Anfragen

18 Kanten-Reach prefix(p,(u,v)) s u v suffix(p,(u,v)) t Definition: sei P = s,..., u, v,..., t Pfad durch (u, v) Reach von (u, v) bezüglich P: r P ((u, v)) := min{len(p sv ), len(p ut )} Reach von (u, v): Maximum seiner Reachwerte bezüglich aller kürzester Pfade durch (u, v): r((u, v)) := max{r P ((u, v)) P kürzester Weg mit (u, v) P}

19 Approx. Berechnung von Kanten-Reach Idee: gegeben: Graph und Schranke ɛ gesucht: Gültige obere Reach-Schranken für alle Kanten mir reach kleiner ɛ alle andere Kanten sollen reach von gesetzt bekommen dabei dürfen Kanten mit reach kleiner ɛ auch den Wert gesetzt bekommen, also false negatives erlaubt Problem: um r(u, v) < ɛ zu garantieren, müssen alle kürzesten Wege durch (u, v) berücksichtigt werden. Beobachtung: es gibt Pfad P st = s, s,..., u, v,..., t, t Pfad durch (u, v) mit r Pst (u, v) ɛ und r Ps t (u, v) < ɛ und r Pst (u, v) < ɛ genannt ɛ-minimal bezüglich (u, v) es reicht, ɛ-minimale Pfade zu finden (ohne Beweis)

20 Approx. Berechnung von Kanten-Reach II partieller KW-Baum T w von jedem w V stoppe, wenn garantiert, dass alle ɛ-minimalen Pfade, die bei w starten gefunden worden sind u ist innerer Knoten: u = w oder d(x, u) < ɛ mit x erster Knoten nach w zwischen u und w stoppe, wenn Queue leer oder wenn Abstand von allen Knoten in der Queue zu nähestem inneren Knoten bzgl. T w größer gleich ɛ ist für jeden inneren Knoten u berechne Höhe bezüglich T w reach für (u, v) bezüglich T w ist min{d(w, u), height Tw (u)} r(u, v) = max w V {r Tw (u, v)} wenn r(u, v) ɛ setze r(u, v) = < ɛ ɛ

21 Iterative Berechnung von Knoten-Reach Berechnen von Reach: wähle ɛ frei iterativ, solange E berechne obere Schranken mit vorherigem Verfahren entferne alle Kanten mit reach < ɛ aus Graphen setze ɛ = k ɛ wandle Kanten-Reach in Knoten-Reach um Umrechnung: r(u) min { max i {r(v i, u)}, max i {r(u, w i )} } v v u w w v 3 w 3

22 Penalties Problem: durch entfernen von Knoten und Kanten ändern sich die Längen der kürzesten Wege Lösung: halte für jeden Knoten zwei Werte vor: inpenalty(u) : maximum der reachs entfernter (w, u) Kanten outpenalty(u) : maximum der reachs entfernter (u, w) Kanten während Vorberechnung: Hänge an jeden Knoten v Pseudoknoten v mit Abstand outpenalty(v) bestimmte neue Höhe height p(u) dann r Tw (u, v) = min{d(w, u) + inpenalty(w), height p(u)}

23 Penalties Problem: durch entfernen von Knoten und Kanten ändern sich die Längen der kürzesten Wege Lösung: halte für jeden Knoten zwei Werte vor: inpenalty(u) : maximum der reachs entfernter (w, u) Kanten outpenalty(u) : maximum der reachs entfernter (u, w) Kanten während Vorberechnung: Hänge an jeden Knoten v Pseudoknoten v mit Abstand outpenalty(v) bestimmte neue Höhe height p(u) dann r Tw (u, v) = min{d(w, u) + inpenalty(w), height p(u)}

24 Penalties Problem: durch entfernen von Knoten und Kanten ändern sich die Längen der kürzesten Wege Lösung: halte für jeden Knoten zwei Werte vor: inpenalty(u) : maximum der reachs entfernter (w, u) Kanten outpenalty(u) : maximum der reachs entfernter (u, w) Kanten während Vorberechnung: Hänge an jeden Knoten v Pseudoknoten v mit Abstand outpenalty(v) bestimmte neue Höhe height p(u) dann r Tw (u, v) = min{d(w, u) + inpenalty(w), height p(u)}

25 Penalties Problem: durch entfernen von Knoten und Kanten ändern sich die Längen der kürzesten Wege Lösung: halte für jeden Knoten zwei Werte vor: inpenalty(u) : maximum der reachs entfernter (w, u) Kanten outpenalty(u) : maximum der reachs entfernter (u, w) Kanten während Vorberechnung: Hänge an jeden Knoten v Pseudoknoten v mit Abstand outpenalty(v) bestimmte neue Höhe height p(u) dann r Tw (u, v) = min{d(w, u) + inpenalty(w), height p(u)}

26 Penalties Problem: durch entfernen von Knoten und Kanten ändern sich die Längen der kürzesten Wege Lösung: halte für jeden Knoten zwei Werte vor: inpenalty(u) : maximum der reachs entfernter (w, u) Kanten outpenalty(u) : maximum der reachs entfernter (u, w) Kanten während Vorberechnung: Hänge an jeden Knoten v Pseudoknoten v mit Abstand outpenalty(v) bestimmte neue Höhe height p(u) dann r Tw (u, v) = min{d(w, u) + inpenalty(w), height p(u)}

27 Penalties Problem: durch entfernen von Knoten und Kanten ändern sich die Längen der kürzesten Wege Lösung: halte für jeden Knoten zwei Werte vor: inpenalty(u) : maximum der reachs entfernter (w, u) Kanten outpenalty(u) : maximum der reachs entfernter (u, w) Kanten während Vorberechnung: Hänge an jeden Knoten v Pseudoknoten v mit Abstand outpenalty(v) bestimmte neue Höhe height p(u) dann r Tw (u, v) = min{d(w, u) + inpenalty(w), height p(u)}

28 Penalties Problem: durch entfernen von Knoten und Kanten ändern sich die Längen der kürzesten Wege in = out Lösung: halte für jeden Knoten zwei Werte vor: inpenalty(u) : maximum der reachs entfernter (w, u) Kanten outpenalty(u) : maximum der reachs entfernter (u, w) Kanten während Vorberechnung: Hänge an jeden Knoten v Pseudoknoten v mit Abstand outpenalty(v) bestimmte neue Höhe height p(u) dann r Tw (u, v) = min{d(w, u) + inpenalty(w), height p(u)}

29 Penalties Problem: durch entfernen von Knoten und Kanten ändern sich die Längen der kürzesten Wege Lösung: halte für jeden Knoten zwei Werte vor: inpenalty(u) : maximum der reachs entfernter (w, u) Kanten outpenalty(u) : maximum der reachs entfernter (u, w) Kanten während Vorberechnung: Hänge an jeden Knoten v Pseudoknoten v mit Abstand outpenalty(v) bestimmte neue Höhe height p(u) dann r Tw (u, v) = min{d(w, u) + inpenalty(w), height p(u)} in = out

30 Penalties Problem: durch entfernen von Knoten und Kanten ändern sich die Längen der kürzesten Wege Lösung: halte für jeden Knoten zwei Werte vor: inpenalty(u) : maximum der reachs entfernter (w, u) Kanten outpenalty(u) : maximum der reachs entfernter (u, w) Kanten während Vorberechnung: Hänge an jeden Knoten v Pseudoknoten v mit Abstand outpenalty(v) bestimmte neue Höhe height p(u) dann r Tw (u, v) = min{d(w, u) + inpenalty(w), height p(u)}

31 Shortcuts Beobachtung: lange modellierte Pfade in Straßennetzwerken erscheint unnötig, alle diese Knoten anzuschauen Idee: füge iterativ Shortcuts ein Shortcuts verkleinern reach Werte

32 Shortcuts Beobachtung: lange modellierte Pfade in Straßennetzwerken erscheint unnötig, alle diese Knoten anzuschauen Idee: füge iterativ Shortcuts ein Shortcuts verkleinern reach Werte

33 Shortcuts Beobachtung: lange modellierte Pfade in Straßennetzwerken erscheint unnötig, alle diese Knoten anzuschauen Idee: füge iterativ Shortcuts ein Shortcuts verkleinern reach Werte

34 Shortcuts Beobachtung: lange modellierte Pfade in Straßennetzwerken erscheint unnötig, alle diese Knoten anzuschauen Idee: füge iterativ Shortcuts ein Shortcuts verkleinern reach Werte

35 Shortcuts Beobachtung: lange modellierte Pfade in Straßennetzwerken erscheint unnötig, alle diese Knoten anzuschauen Idee: füge iterativ Shortcuts ein Shortcuts verkleinern reach Werte

36 Shortcuts Beobachtung: lange modellierte Pfade in Straßennetzwerken erscheint unnötig, alle diese Knoten anzuschauen Idee: füge iterativ Shortcuts ein Shortcuts verkleinern reach Werte

37 Shortcuts Beobachtung: lange modellierte Pfade in Straßennetzwerken erscheint unnötig, alle diese Knoten anzuschauen Idee: 0 0 füge iterativ Shortcuts ein Shortcuts verkleinern reach Werte

38 Shortcuts Beobachtung: lange modellierte Pfade in Straßennetzwerken erscheint unnötig, alle diese Knoten anzuschauen 0 Idee: füge iterativ Shortcuts ein Shortcuts verkleinern reach Werte

39 Kontraktion des Graphen Vorgehen: überspringe iterativ Knoten v aus Graphen für jede Kante eingehende Kante (u, v) und ausgehende (v, w) füge Shortcut (u, w) mit len(u, w) = len(u, v) + len(v, w) ein wenn Kante schon existiert: len(u, w) = min{len(u, w), len(u, v) + len(v, w)} r(u, v) = len(u, v) + outpenalty(v), r(v, w) = len(v, w) + inpenalty(v) entferne (u, v), (v, w) und v aus Graphen Reihenfolge: Reihenfolge wie Knoten entfernt werden, ändert das Ergebnis benutze Priority Queue zum Verwalten, wenn als nächstes Expansion c(v) = deg in (v) deg out (v)/(deg in (v) + deg out (v)) stoppe wenn c(v) > C, (meist C =.5 gewählt)

40 Verfeinerung der Reach Werte Problem: Idee: Approximation schaukelt sich auf hohe Werte werden massiv überschätzt diese Knoten genau die wichtige für die Anfragen nach voller Vorberechnung extrahiere δ Knoten mit höchstem Reach berechne exakten Reach mit APSP für diesen Subgraphen (mit Penalties) wenn neuer Reachwert kleiner, aktualisiere

41 RE Vorberechnung: wähle ɛ frei iterativ, solange E Kontrahiere Graphen berechne obere Schranken mit vorherigem Verfahren entferne alle Kanten mit reach < ɛ aus Graphen setze ɛ = k ɛ wandle Kanten-Reach in Knoten-Reach um verfeinere Knoten-Reach Werte Anfrage: Bidirectional Distance-Bounding Reach-Dijkstra auf Graphen mit Shortcuts

42 RE Vorberechnung: wähle ɛ frei iterativ, solange E Kontrahiere Graphen berechne obere Schranken mit vorherigem Verfahren entferne alle Kanten mit reach < ɛ aus Graphen setze ɛ = k ɛ wandle Kanten-Reach in Knoten-Reach um verfeinere Knoten-Reach Werte Anfrage: Bidirectional Distance-Bounding Reach-Dijkstra auf Graphen mit Shortcuts

43 RE Vorberechnung: wähle ɛ frei iterativ, solange E Kontrahiere Graphen berechne obere Schranken mit vorherigem Verfahren entferne alle Kanten mit reach < ɛ aus Graphen setze ɛ = k ɛ wandle Kanten-Reach in Knoten-Reach um verfeinere Knoten-Reach Werte Anfrage: Bidirectional Distance-Bounding Reach-Dijkstra auf Graphen mit Shortcuts

44 Entpacken von Shortcuts Problem: Anfrage auf Graphen mit Shortcuts Distanzen bleiben erhalten kürzester Weg enthält jetzt viele Shortcuts schlecht, wenn wir den gesamten Pfad haben wollen Lösung jeder Shortcut überspringt genau einen Knoten speicher Mittelknoten für jeden Shortcut entpacke rekursiv bei Bedarf

45 Entpacken von Shortcuts Problem: Anfrage auf Graphen mit Shortcuts Distanzen bleiben erhalten kürzester Weg enthält jetzt viele Shortcuts schlecht, wenn wir den gesamten Pfad haben wollen Lösung jeder Shortcut überspringt genau einen Knoten speicher Mittelknoten für jeden Shortcut entpacke rekursiv bei Bedarf

46 Kombination mit ALT Beobachtung: RE-Algorithmus hierarchisch nicht zielgerichtet gut kombinierbar mit ALT REAL-Algorithmus RE + ALT Vorberechnung unabhängig voneinander Anfragen mit Bidirectional Distance-Bounding ALT-Reach-Dijkstra auf Graphen mit Shortcuts

47 Partielle Landmarken Beobachtung: Landmarken brauchen viel Speicher während Anfragen werden meist Knoten mit hohem Reach betrachtet s t Idee: speichere Landmarken-Informationen nur für Knoten mit Reach > R -phasiger Anfrage Algorithmus reiner Reach, relaxiere keine Kanten ausgehend von Knoten mit Reach > R wenn kürzester Weg gefunden, fertig sonst starte REAL Query von allen Knoten mit > R

48 Partielle Landmarken Beobachtung: Landmarken brauchen viel Speicher während Anfragen werden meist Knoten mit hohem Reach betrachtet s t Idee: speichere Landmarken-Informationen nur für Knoten mit Reach > R -phasiger Anfrage Algorithmus reiner Reach, relaxiere keine Kanten ausgehend von Knoten mit Reach > R wenn kürzester Weg gefunden, fertig sonst starte REAL Query von allen Knoten mit > R

49 Partielle Landmarken Beobachtung: Landmarken brauchen viel Speicher während Anfragen werden meist Knoten mit hohem Reach betrachtet s t Idee: speichere Landmarken-Informationen nur für Knoten mit Reach > R -phasiger Anfrage Algorithmus reiner Reach, relaxiere keine Kanten ausgehend von Knoten mit Reach > R wenn kürzester Weg gefunden, fertig sonst starte REAL Query von allen Knoten mit > R

50 Partielle Landmarken Beobachtung: Landmarken brauchen viel Speicher während Anfragen werden meist Knoten mit hohem Reach betrachtet s t Idee: speichere Landmarken-Informationen nur für Knoten mit Reach > R -phasiger Anfrage Algorithmus reiner Reach, relaxiere keine Kanten ausgehend von Knoten mit Reach > R wenn kürzester Weg gefunden, fertig sonst starte REAL Query von allen Knoten mit > R

51 Proxy Knoten Problem: REAL braucht Potential von jedem Knoten zu t und s r(s) und/oder r(t) könnten kleiner R sein keine Abstandswerte von den Landmarken zu s und t Lösung: bestimme Proxy-Knoten t für t (s analog), r(t ) R neue Ungleichungen: d(u, t) d(u, l ) d(t, l ) d(t, t ) d(u, t) d(l, t ) d(l, u) d(t, t )

52 Proxy Knoten Problem: REAL braucht Potential von jedem Knoten zu t und s r(s) und/oder r(t) könnten kleiner R sein keine Abstandswerte von den Landmarken zu s und t Lösung: bestimme Proxy-Knoten t für t (s analog), r(t ) R neue Ungleichungen: d(u, t) d(u, l ) d(t, l ) d(t, t ) d(u, t) d(l, t ) d(l, u) d(t, t ) l l u t t

53 Experimente Eingaben: Straßennetzwerke Europa: 8 Mio. Knoten, 4 Mio. Kanten USA: Mio. Knoten, 56 Mio. Kanten Evaluation: Vorberechnung in Minuten und zusätzliche Bytes pro Knoten durchschnittlicher Suchraum (#abgearbeitete Knoten) und Suchzeiten (in ms) von Zufallsanfragen

54 RE mit/ohne Shortcuts Eingabe: BayArea: 330k Knoten Beobachtung: Vorb. Anfrage shortcuts reach time [min] #settled time [ms] nein approx nein exakt ja approx ja exakt Shortcuts reduzieren Vorberechnungszeit beschleunigen Anfragen approximative Vorberechnung deutlich schneller Verlust in Anfragen nicht sehr groß

55 RE: Verfeinerung Beobachtung: USA Vorb. Anfrage δ time [min] #settled time Verfeinerung bringt bis zu 5% aber zu hohe Werte erhöhen Vorberechnungszeit zu massiv

56 Zufallsanfragen: RE und REAL Vorberechnung Anfrage Zeit Platz Such Zeit landmarks sparsity [min] [byte/n] raum [ms] Beobachtungen: Zuschalten von Landmarken zahlt sich aus Partielle Landmarkeninformationen reduziert Platzverbrauch

57 Übersicht: bisherige Techniken Vorberechnung Anfrage Zeit Platz Such Zeit [h:m] [byte/n] raum [ms] Beschl. Dijkstra 0: ALT-6 : ALT-64 : Arc-Flags (8) 7: RE : REAL-(6,) : REAL-(64,6) : Beobachtung: REAL ähnliche Performance wie Arc-Flags deutlich kürzere Vorberechnungszeiten höherer Speicherverbrauch

58 Zusammenfassung Reach prunen von Knoten auf Basis von Zentralitätswerten benötigt Abstand von s und t Abstand zu t durch Potential und/oder mit bidirektionalem Algorithmus Problem: Vorberechnung basiert auf APSP

59 Zusammenfassung RE/REAL Erweiterung von Reach Kanten-Reach Shortcuts iteratives Berechnen von Reach Verfeinerung REAL: Reach + ALT partielle Landmarken

60 Ideensammlung Wie Suche hierarchisch machen? identifiziere wichtige Knoten mit Zentralitätsmaß überspringe unwichtige Teile des Graphen Jetzt: letzteres

61 Hierarchische Techniken Vorläufer Highway Hierarchies (HH), Highway Node Routing (HNR) Idee: Identifiziere Hierarchie im Netzwerk und überspringe Kompliziert Contraction Hierarchies: n-level Hierarchie Hierarchie-Level durch Knotenordnung n Knoten- und Kantenreduktionen massive Vereinfachung gegenüber HH und HNR!

62 Idee Vorgehen ordne Knoten nach Wichtigkeit kontrahier Knoten in dieser Ordnung. Knoten v wird kontrahiert durch 3 KONTRAHIERE(v) für alle Paare (u, v) und (v, w) von Kanten tue wenn (u, v, w) eindeutiger kürzester Weg dann Füge Shortcut (u, w) mit Gewicht len(u, v) + len(v, w) ein Query relaxiert nur Kanten zu wichtigeren Knoten

63 Beispiel: Konstruktion

64 Beispiel: Konstruktion

65 Beispiel: Konstruktion

66 Beispiel: Konstruktion

67 Beispiel: Konstruktion

68 Beispiel: Konstruktion

69 Konstruktion wie identifiziert man nötige Shortcuts? lokale Suchen von allen Knoten u der eingehenden Kanten (u, v) ignoriere Knoten v während der Suche füge shortcut (u, w) ein wenn d(u, w) > w(u, v) + w(v, w) v Optimierungen: limitiere Suchräume der lokalen Suchen limitiere hop-zahl der Suchen Spezialfälle: -hop-suche, -hop-suche

70 Konstruktion wie identifiziert man nötige Shortcuts? lokale Suchen von allen Knoten u der eingehenden Kanten (u, v) ignoriere Knoten v während der Suche füge shortcut (u, w) ein wenn d(u, w) > w(u, v) + w(v, w) v Optimierungen: limitiere Suchräume der lokalen Suchen limitiere hop-zahl der Suchen Spezialfälle: -hop-suche, -hop-suche

71 Konstruktion wie identifiziert man nötige Shortcuts? lokale Suchen von allen Knoten u der eingehenden Kanten (u, v) ignoriere Knoten v während der Suche füge shortcut (u, w) ein wenn d(u, w) > w(u, v) + w(v, w) v Optimierungen: limitiere Suchräume der lokalen Suchen limitiere hop-zahl der Suchen Spezialfälle: -hop-suche, -hop-suche

72 Knotenordnung benutze priority queue, Knoten v wird gewichtet durch lineare Kombination: Kanten-Differenz #shortcuts #Kanten inzident zu v Uniformität e.g. #entfernter Nachbarn Kosten der Kontraktion z.b. Suchraum während Kontraktion Globale Zentralitäts-Maße... Integrierte Konstruktion and Ordnung: entferne Knoten v mit höchster Priorität kontrahiere Knoten v 3 aktualisiere Prioritäten der anderen Knoten v 3 =

73 Anfragen modifizierter bidirektionaler Dijkstra algorithmus upward graph G := (V, E ) with E := {(u, v) E : u < v} downward graph G := (V, E ) with E := {(u, v) E : u > v} Vorwärts-Suche in G and Rückwärtssuche in G node order s t 5

74 Anfragen modifizierter bidirektionaler Dijkstra algorithmus upward graph G := (V, E ) with E := {(u, v) E : u < v} downward graph G := (V, E ) with E := {(u, v) E : u > v} Vorwärts-Suche in G and Rückwärtssuche in G node order s t 5

75 Anfragen modifizierter bidirektionaler Dijkstra algorithmus upward graph G := (V, E ) with E := {(u, v) E : u < v} downward graph G := (V, E ) with E := {(u, v) E : u > v} Vorwärts-Suche in G and Rückwärtssuche in G node order s t 5

76 Anfragen modifizierter bidirektionaler Dijkstra algorithmus upward graph G := (V, E ) with E := {(u, v) E : u < v} downward graph G := (V, E ) with E := {(u, v) E : u > v} Vorwärts-Suche in G and Rückwärtssuche in G node order s t 5

77 Datenstruktur Suchgraph: normalerweise: speichere Kanten (v, w) in den Adjazenz-Arrays von v und w für die Suche reicht es aus, die Kante nur an den Knoten min{v, w} zu speichern durch ungerichtete Kanten negativer Speicherverbrauch möglich (!) node order v shortcut u stored at w w stored at u

78 Ausgabe der Pfade für jeden Shortcut (u, w) eines Pfades (u, v, w), speichere Mittelknoten v an der Kante expandiere Pfade mittels Rekursion node order s t unpack path s t

79 Experimente Eingaben: Straßennetzwerke Europa: 8 Mio. Knoten, 4 Mio. Kanten USA: Mio. Knoten, 56 Mio. Kanten Evaluation: Vorberechnung in Minuten und zusätzliche Bytes pro Knoten durchschnittlicher Suchraum (#abgearbeitete Knoten) und Suchzeiten (in ms) von Zufallsanfragen

80 CH: Vorberechnung node ordering [s] E D L S i V Q W edge difference deleted neighbors limit search space on weight calculation search space size (digits) hop limits for testing shortcuts Voronoi region size upper bound on edges in search path relative betweenness query [µs] E ED EDL EDSL EDS5 EDS35 EVSQL EVSWQL economical aggressive method

81 CH: Knotengradentwicklung average degree hop hops 3 hops 4 hops 5 hops 6 hops no hop limit size of overlay graph / 0 000

82 CH: Search Space Distribution 00 % of searches CH aggr. (max. 884) CH eco. (max. 0) HNR (max. 48) settled nodes

83 Übersicht: bisherige Techniken Vorberechnung Anfrage Zeit Platz Such Zeit [h:m] [byte/n] raum [ms] Beschl. Dijkstra 0: ALT-6 : Arc-Flags (8) 7: RE : REAL-(64,6) : eco CH 0: agg CH 0:

84 Dijkstra Rank query time [µs] CH aggressive CH economical HNR Dijkstra rank

85 Zusammenfassung Contraction Hierarchies: n Hierarchielevel Knotenreduktion durch Kontraktion Kantenreduktion durch Zeugensuche speichere Kanten nur am unwichtigeren Knoten negativer Speicherverbrauch einfaches Konzept hohe Beschleunigung

86 Ende Nächste Vorlesung: Montag, 7. Mai, 4:00 Uhr

87 Ende Literatur (Reach, RE, REAL): Ronald J. Gutman: Reach-Based Routing: A New Approach to Shortest Path Algorithms Optimized for Road Networks In: Proceedings of the 6th Workshop on Algorithm Engineering and Experiments (ALENEX 04), 004 pages 00. Andrew V. Goldberg and Haim Kaplan and Renato F. Werneck: Reach for A*: Shortest Path Algorithms with Preprocessing In: Shortest Paths: Ninth DIMACS Implementation Challenge, 009. Username: routeplanning Passwort: ss0

88 Ende Literatur (Contraction Hierarchies): Dominik Schultes: Route Planning in Road Networks Ph.D. Thesis, Universität Karlsruhe (TH), 009. Daniel Delling, Robert Geisberger, Peter Sanders, Dominik Schultes: Contraction Hierarchies: Faster and Simpler Hierarchical Routing in Road Networks In: Proceedings of the 7th Workshop on Experimental Algorithms (WEA 08), volume 5038 of Lecture Notes in Computer Science, pages Springer, June 008. Username: routeplanning Passwort: ss0