Algorithmen für Routenplanung 13. Vorlesung, Sommersemester 2017 Tobias Zündorf 26. Juni 2017

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1 Algorithmen für Routenplanung 13. Vorlesung, Sommersemester 2017 Tobias Zündorf 26. Juni 2017 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK ALGORITHMIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Großforschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Diskussion Stoff bisher Problemtransformation auf Graph + Dijkstra Vorberechnungstechniken (point-to-point, one-to-all) Alternativrouten (fast optimal, hinreichend unterschiedlich) Berücksichtigung von historischem Wissen über Staus Folie Juni 2017

3 Diskussion Stoff bisher Problemtransformation auf Graph + Dijkstra Vorberechnungstechniken (point-to-point, one-to-all) Alternativrouten (fast optimal, hinreichend unterschiedlich) Berücksichtigung von historischem Wissen über Staus Was fehlt noch für Einsatz in Produktion? Folie Juni 2017

4 Diskussion Stoff bisher Problemtransformation auf Graph + Dijkstra Vorberechnungstechniken (point-to-point, one-to-all) Alternativrouten (fast optimal, hinreichend unterschiedlich) Berücksichtigung von historischem Wissen über Staus Was fehlt noch für Einsatz in Produktion? Turn-Costs Andere Optimierungskriterien? Was ist eigentlich mit Bus & Bahn? Folie Juni 2017

5 Abbiegekosten Folie Juni 2017

6 Abbiegeverbote/-kosten Bisher: Kreuzungen Knoten Straßen Kanten Folie Juni 2017

7 Abbiegeverbote/-kosten Bisher: Kreuzungen Knoten Straßen Kanten Aber: Abbiegen manchmal verboten Linksabbiegen teurer als rechts Kosten U-Turns hoch wurde als einfaches Modellierungsdetail abgetan Folie Juni 2017

8 Abbiegeverbote/-kosten Bisher: Kreuzungen Knoten Straßen Kanten Aber: Abbiegen manchmal verboten Linksabbiegen teurer als rechts Kosten U-Turns hoch wurde als einfaches Modellierungsdetail abgetan Folie Juni 2017

9 Abbiegeverbote/-kosten Bisher: Kreuzungen Knoten Straßen Kanten Aber: Abbiegen manchmal verboten Linksabbiegen teurer als rechts Kosten U-Turns hoch wurde als einfaches Modellierungsdetail abgetan Folie Juni 2017

10 Modellierung Möglichkeit I: Vergrössern des Graphen durch Ausmodellierung Kantenbasierter Graph da Straßen Knoten Turns Kanten Redundante Information Folie Juni 2017

11 Modellierung Möglichkeit I: Vergrössern des Graphen durch Ausmodellierung Kantenbasierter Graph da Straßen Knoten Turns Kanten Redundante Information Entferne einen Knoten pro Straße Folie Juni 2017

12 Modellierung Möglichkeit I: Vergrössern des Graphen durch Ausmodellierung Kantenbasierter Graph da Straßen Knoten Turns Kanten Redundante Information Entferne einen Knoten pro Straße Möglichkeit II: Behalte Kreuzungen als Knoten Speichere Abbiegetabelle Abb. Eingangs- Ausgangspunkte Kosten Beobachtung: Viele Knoten mit identischer Abbiegetabelle Speicher jede Tabelle einmal, Knoten speichern Tabellen-ID Folie Juni 2017

13 Wdh: Contraction Hierarchies Preprocessing: Ordne Knoten nach Wichtigkeit Bearbeite in der Reihenfolge Füge Shortcuts hinzu Levelzuordnung (ca. 150 in Straßennetzwerken) level Folie Juni 2017

14 Wdh: Multi Level Dijkstra Idee: partitioniere Graphen Berechne Distanzen zwischen Randknoten in jeder Zelle Overlay Graph: Randknoten Cliquen in jeder Zelle Schnittkanten s t Suchgraph: Start- und Zielzelle......plus Overlaygraph. (bidirektionaler) Dijkstra Optimierung: multiple Level Folie Juni 2017

15 Kantenbasierter Graph Dijkstra: Funktioniert ohne Anpassung Mehr Knoten zu scannen Faktor 3-4 langsamer Folie Juni 2017

16 Kantenbasierter Graph Dijkstra: Funktioniert ohne Anpassung Mehr Knoten zu scannen Faktor 3-4 langsamer CH Funktioniert ohne Anpassung Aber: grössere Anzahl Knoten/Kanten erhöht Vorberechungszeit Folie Juni 2017

17 Kantenbasierter Graph Dijkstra: Funktioniert ohne Anpassung Mehr Knoten zu scannen Faktor 3-4 langsamer CH Funktioniert ohne Anpassung Aber: grössere Anzahl Knoten/Kanten erhöht Vorberechungszeit MLD Anzahl Schnittkanten erhöht sich Schnittkanten = Schnittknoten (Eventuell Wechsel zu Knotenseparatoren sinnvoll?) Folie Juni 2017

18 Kompaktes Modell Dijkstra: Turns müssen in den Suchalgorithmus integriert werden Kreuzungen können mehrfach gescannt werden label-correcting bzgl. Kreuzung, label-setting bzgl. Eingangs-/Ausgangspunkte jede Kante wird höchstens einmal gescannt Suchraum gleich zu kantenbasiertem Modell simuliert Dijkstra auf kantenbasiertem Graphen Vorteil: weniger Speicher für den Graphen Folie Juni 2017

19 Kompaktes Modell CH Folie Juni 2017

20 Kompaktes Modell CH Zeugensuche wird komplizierter Folie Juni 2017

21 Kompaktes Modell CH Zeugensuche wird komplizierter Eine Zeugensuche pro Paar eingehender und ausgehender Kanten Folie Juni 2017

22 Kompaktes Modell CH Zeugensuche wird komplizierter Eine Zeugensuche pro Paar eingehender und ausgehender Kanten Es können Self-Loops entstehen Folie Juni 2017

23 Kompaktes Modell CH Zeugensuche wird komplizierter Eine Zeugensuche pro Paar eingehender und ausgehender Kanten Es können Self-Loops entstehen Folie Juni 2017

24 Kompaktes Modell CH Zeugensuche wird komplizierter Eine Zeugensuche pro Paar eingehender und ausgehender Kanten Es können Self-Loops entstehen Folie Juni 2017

25 Kompaktes Modell CH Zeugensuche wird komplizierter Eine Zeugensuche pro Paar eingehender und ausgehender Kanten Es können Self-Loops entstehen Folie Juni 2017

26 Kompaktes Modell MLD Folie Juni 2017

27 Kompaktes Modell MLD Schnittkanten bleiben erhalten Schnittkante 2 Knoten auf Overlay Turns müssen nur auf unterstem Level beachtet werden Auf Overlaygraphen: normaler Dijkstra einfache Anpassung, aber zusätzliche Fallunterscheidung in der Query Folie Juni 2017

28 Ergebnisse 1 s 100 s Customization Queries Algorithm time [s] [MB] #scans time [ms] MLD-4 [2 8 : 2 12 : 2 16 : 2 20 ] CH expanded CH compact MLD-4 [2 8 : 2 12 : 2 16 : 2 20 ] CH expanded CH compact Beobachtung: (Metrikabhängige) CH Ordnung problematisch bei Turns Besser: Ordnung an Turns anpassen (CH expanded vs compact) MLD robust Folie Juni 2017

29 Multikriterielle Optimierung Folie Juni 2017

30 Optimierungskriterien Bisher: Kürzester Weg Eine Metrik Alternativrouten Eine Metrik; fast kürzeste, dennoch sinnvolle Wege Zeitabhängigkeit / dynamische Szenarien Eine Metrik; Kantengewichte ändern sich über die Zeit Jetzt: Mehrere Metriken Folie Juni 2017

31 Multikriterielle Optimierung Idee: Mehrere Gewichte an Kanten (Reisezeiten, Kosten, Energieverbrauch) (3,1) (3,1) t (1,3) l(p 1 )=(3,9) (1,3) (2,2) (3,1) s (1,3) Folie Juni 2017

32 Multikriterielle Optimierung Idee: Mehrere Gewichte an Kanten (Reisezeiten, Kosten, Energieverbrauch) Berechne alle Pareto-optimalen Routen Route ist Pareto-optimal : Keine andere Routen dominiert sie Route dominiert andere : Jedes Kriterium ist gleich oder besser Grenzfall: Gleich gut in allen Kriterien (wird unterschiedlich behandelt) (3,1) (3,1) (3,1) t (1,3) l(p 1 )=(3,9) l(p 1 )=(3,9) (1,3) (2,2) (1,3) s Folie Juni 2017

33 Multikriterielle Optimierung Idee: Mehrere Gewichte an Kanten (Reisezeiten, Kosten, Energieverbrauch) Berechne alle Pareto-optimalen Routen Route ist Pareto-optimal : Keine andere Routen dominiert sie Route dominiert andere : Jedes Kriterium ist gleich oder besser Grenzfall: Gleich gut in allen Kriterien (wird unterschiedlich behandelt) (3,1) (3,1) (3,1) t (1,3) l(p 1 )=(3,9) l(p 1 )=(3,9) (1,3) l(p 2 )=(9,3) (2,2) (1,3) s Folie Juni 2017

34 Multikriterielle Optimierung Idee: Mehrere Gewichte an Kanten (Reisezeiten, Kosten, Energieverbrauch) Berechne alle Pareto-optimalen Routen Route ist Pareto-optimal : Keine andere Routen dominiert sie Route dominiert andere : Jedes Kriterium ist gleich oder besser Grenzfall: Gleich gut in allen Kriterien (wird unterschiedlich behandelt) (3,1) (3,1) (3,1) t (1,3) l(p 1 )=(3,9) l(p 1 )=(3,9) (1,3) l(p 2 )=(9,3) (2,2) l(p 3 )=(6,6) (1,3) s Folie Juni 2017

35 Multikriterielle Optimierung Idee: Mehrere Gewichte an Kanten (Reisezeiten, Kosten, Energieverbrauch) Berechne alle Pareto-optimalen Routen Route ist Pareto-optimal : Keine andere Routen dominiert sie Route dominiert andere : Jedes Kriterium ist gleich oder besser Grenzfall: Gleich gut in allen Kriterien (wird unterschiedlich behandelt) (3,1) (3,1) (3,1) t (1,3) l(p 1 )=(3,9) l(p 1 )=(3,9) (1,3) l(p 2 )=(9,3) (2,2) l(p 3 )=(6,6) (1,3) s Herausforderung: Viele Routen zum Ziel Folie Juni 2017

36 Pareto-Menge Definition (Pareto-Dominanz) Geg. zwei n-tupel m i = (x 1,..., x n ), m j = (y 1,..., y n ) gilt: m j domininiert m i gdw. m j in allen Werten besser und in mindestens einem echt besser ist, d. h. k : y k <= x k und l : y l < x l. Definition (Pareto-Optimum) Zu einer Menge M von Tupeln ist ein Tupel m i M Pareto-Optimum, wenn es kein anderes m j M gibt, so dass m i von m j dominiert wird. Die Menge M heißt Pareto-Menge, wenn alle m M Pareto-optimal. Folie Juni 2017

37 Pareto-Menge Definition (Pareto-Dominanz) Geg. zwei n-tupel m i = (x 1,..., x n ), m j = (y 1,..., y n ) gilt: m j domininiert m i gdw. m j in allen Werten besser und in mindestens einem echt besser ist, d. h. k : y k <= x k und l : y l < x l. Definition (Pareto-Optimum) Zu einer Menge M von Tupeln ist ein Tupel m i M Pareto-Optimum, wenn es kein anderes m j M gibt, so dass m i von m j dominiert wird. Die Menge M heißt Pareto-Menge, wenn alle m M Pareto-optimal. Beispiel: Public Transit (Ankunftszeit und # Umstiege) Folie Juni 2017

38 Pareto-Menge Definition (Pareto-Dominanz) Geg. zwei n-tupel m i = (x 1,..., x n ), m j = (y 1,..., y n ) gilt: m j domininiert m i gdw. m j in allen Werten besser und in mindestens einem echt besser ist, d. h. k : y k <= x k und l : y l < x l. Definition (Pareto-Optimum) Zu einer Menge M von Tupeln ist ein Tupel m i M Pareto-Optimum, wenn es kein anderes m j M gibt, so dass m i von m j dominiert wird. Die Menge M heißt Pareto-Menge, wenn alle m M Pareto-optimal. Beispiel: Public Transit (Ankunftszeit und # Umstiege) M = {(14:00 Uhr, 5), (15:13 Uhr, 3), (13:45 Uhr, 4), (15:15 Uhr, 0)}. Folie Juni 2017

39 Pareto-Menge Definition (Pareto-Dominanz) Geg. zwei n-tupel m i = (x 1,..., x n ), m j = (y 1,..., y n ) gilt: m j domininiert m i gdw. m j in allen Werten besser und in mindestens einem echt besser ist, d. h. k : y k <= x k und l : y l < x l. Definition (Pareto-Optimum) Zu einer Menge M von Tupeln ist ein Tupel m i M Pareto-Optimum, wenn es kein anderes m j M gibt, so dass m i von m j dominiert wird. Die Menge M heißt Pareto-Menge, wenn alle m M Pareto-optimal. Beispiel: Public Transit (Ankunftszeit und # Umstiege) M = {(14:00 Uhr, 5), (15:13 Uhr, 3), (13:45 Uhr, 4), (15:15 Uhr, 0)}. Folie Juni 2017

40 Pareto-Menge Definition (Pareto-Dominanz) Geg. zwei n-tupel m i = (x 1,..., x n ), m j = (y 1,..., y n ) gilt: m j domininiert m i gdw. m j in allen Werten besser und in mindestens einem echt besser ist, d. h. k : y k <= x k und l : y l < x l. Definition (Pareto-Optimum) Zu einer Menge M von Tupeln ist ein Tupel m i M Pareto-Optimum, wenn es kein anderes m j M gibt, so dass m i von m j dominiert wird. Die Menge M heißt Pareto-Menge, wenn alle m M Pareto-optimal. Beispiel: Public Transit (Ankunftszeit und # Umstiege) M = {(14:00 Uhr, 5), (15:13 Uhr, 3), (13:45 Uhr, 4), (15:15 Uhr, 0)}. Wie effizient berechnen? Folie Juni 2017

41 Multi-Criteria Dijkstra (MCD) Idee Benutze Graph mit Kantengewicht len: E R n 0 Grundlage: Dijkstra s Algorithmus Folie Juni 2017

42 Multi-Criteria Dijkstra (MCD) Idee Benutze Graph mit Kantengewicht len: E R n 0 Grundlage: Dijkstra s Algorithmus... aber... Label l sind n-tupel (x 1,..., x n ) An jedem Knoten u V : Pareto-Menge L u von Labeln Jedes Label entspricht einem (Pareto-optimalen) s u-pfad Priority Queue verwaltet Label statt Knoten Prioritätsfunktion k(x 1,..., x n ) Meist: Linearkombination oder lexikographische Sortierung Dominanz von Labeln in L u on-the-fly Folie Juni 2017

43 Multi-Criteria Dijkstra (MCD) MLC(G = (V, E), s 1 L u for each u V ; L s {(0,..., 0)} 2 Q.clear(); Q.insert(s, k(0,..., 0)) 3 while!q.empty() do 4 u and l = (x 1,..., x n ) Q.deleteMin() 5 for all edges e = (u, v) E do 6 l (x 1 + len(e) 1,..., x n + len(e) n ) 7 if l is not dominated by any l L v then 8 L v.insert(l ) 9 Remove non-pareto-optimal labels from L v 10 Q.insert(v, k(l )) Folie Juni 2017

44 Diskussion: MCD Falls extrahiertes Label immer Pareto-optimal (bzgl. aller l Q): MCD label-setting (einmal extrahierte Labels werden nie dominiert) dafür muss die Längenfunktion natürlich auch positiv sein Gilt für Linearkombination und lexikographische Sortierung Pareto-Mengen L u sind dynamische Datenstrukturen teuer! Sehr viele Queue-Operationen Testen der Dominanz in O( L u ) möglich Stoppkriterium? Folie Juni 2017

45 Exponentielle Laufzeit Exponentiell wachsende Lösungsmenge bei zwei Kriterien: (1,0) (2,0) (4,0) (8,0) (0,1) (0,2) (0,4) (0,8) Folie Juni 2017

46 Exponentielle Laufzeit Exponentiell wachsende Lösungsmenge bei zwei Kriterien: (1,0) (2,0) (4,0) (8,0) {} (0,1) (0,2) (0,4) (0,8) (1,0) (0,1) (3,0) (2,1) (1,2) (0,3) (7,0) (6,1) (5,2) (4,3) (3,4) (2,5) (1,6) (0,7) (15,0) (14,1) (13,2) (12,3) (11,4) (10,5) (9,6)... Folie Juni 2017

47 Verbesserungen Jedes L u verwaltet bestes ungesettletes Label selbst Priority Queue auf Knoten statt Labeln Hopping Reduction: Relaxierung der Kante zum Parent-Knoten p unnötig teuer (kann keine Verbesserung bringen, kostet aber O( L p ) für Test) Überspringe Kante zum Parent-Knoten von l u Target-Pruning: Abbruchkriterium funktioniert nicht (sonst nur eine Lösung) An Knoten u, verwerfe Label l u, wenn es bereits von der tentativen Pareto-Menge L t am Ziel t dominiert wird Worst-Case Laufzeit immer noch exponentiell (aber je nach Instanz schon signifikante Beschleunigung) Folie Juni 2017

48 Eingabe Straßengraphen von: Luxemburg Karlsruhe Europa Metriken: Fahrzeiten schnelles Auto Fahrzeiten langsames Auto Kosten Distanzen Unit Metrik Folie Juni 2017

49 Ähnliche Metriken: Europa target #del. time metrics labels mins [ms] fast car (fc) slow car (sc) fast truck (ft) slow truck (st) fc + st fc + ft fc + sc sc + lt sc + ft ft + st fc + sc +st fc + sc + ft sc + ft +st fc + sc + ft + st Beobachtungen: Nicht viele zusätzliche Lösungen Anzahl Lösungen und Queue Extracts korrelieren Queryzeit steigt viel stärker Dominanztests sind nicht-linear Folie Juni 2017

50 Verschiedene Metriken Luxemburg Karlsruhe target #del. time target #del. time metrics labels mins [ms] labels mins [ms] fast car (fc) slow truck (st) costs distances unit fc + st fc + costs fc + dist fc + unit costs + dist Je nach Kriterien kann Lösungsmenge stark ansteigen Folie Juni 2017

51 Beschleunigungstechniken Landmarken Bidirektionale Suche Kontraktion Arc-Flags Table- Lookups u t l 1 l 2 s t access node s t distances between access node transit nodes Folie Juni 2017

52 Wdh.: Landmarken Vorberechnung: Wähle einige Knoten ( 16) als Landmarken Berechne Abstände von und zu allen Landmarken l 1 Anfrage: Benutze Landmarken und Dreiecksungleichung um eine untere Schranke für den Abstand zum Ziel zu bestimmen: d(s, t) d(l 1, t) d(l 1, s) d(s, t) d(s, L 2 ) d(t, L 2 ) u t Verändert Reihenfolge der besuchten Knoten l 2 Folie Juni 2017

53 Anpassung Idee: Benutze einzelne Metriken zum Berechnen der Distanzen Für jeden Knoten u: Distanzvektor (d 1 (u, L i ) 1,..., d n (u, L i ) n ) pro Landmarke L i Liefert Potentiale π 1,..., π n Zielrichtung: Priorität eines Labels ist (x 1 + π 1,..., x n + π n ). Potential π i liefert untere Schranke für d i (u, t) Nutze (x 1 + π 1,..., x n + π n ) auch für Target Pruning Folie Juni 2017

54 Anpassung Idee: Benutze einzelne Metriken zum Berechnen der Distanzen Für jeden Knoten u: Distanzvektor (d 1 (u, L i ) 1,..., d n (u, L i ) n ) pro Landmarke L i Liefert Potentiale π 1,..., π n Zielrichtung: Priorität eines Labels ist (x 1 + π 1,..., x n + π n ). Potential π i liefert untere Schranke für d i (u, t) Nutze (x 1 + π 1,..., x n + π n ) auch für Target Pruning Modifikation: Berechne zur Queryzeit (d 1 (u, t) 1,..., d n (u, t) n ) Nutze t als einzige perfekte Landmarke Kosten von n Dijkstras (meist) unerheblich für Gesamtlaufzeit Keine Vorberechnung Folie Juni 2017

55 Bidirektionale Suche s t Starte zweite Suche von t Relaxiere rückwärts nur eingehende Kanten Stoppe die Suche, wenn beide Suchräume sich treffen Folie Juni 2017

56 Anpassung Idee: Rückwärtssuche kein Problem (analog) Folie Juni 2017

57 Anpassung Idee: Rückwärtssuche kein Problem (analog) Offenes Problem: Abbruchkriterium? Analog Target-Pruning: Dominanztest mit tentativer Pareto-Menge; teuer zu verwalten: Kombination der Lösungen aus Vorwärts- und Rückwärtssuche an Mittelknoten Lohnt nicht recht Folie Juni 2017

58 Kontraktion Knoten-Reduktion: Entferne diese Knoten iterativ Füge neue Kanten (Abkürzungen) hinzu, um die Abstände zwischen verbleibenden Knoten zu erhalten Kanten-Reduktion: Behalte nur relevante Shortcuts Lokale Suche während oder nach Knoten-reduktion Folie Juni 2017

59 Kontraktion Knoten-Reduktion: Entferne diese Knoten iterativ Füge neue Kanten (Abkürzungen) hinzu, um die Abstände zwischen verbleibenden Knoten zu erhalten Kanten-Reduktion: Behalte nur relevante Shortcuts Lokale Suche während oder nach Knoten-reduktion Folie Juni 2017

60 Anpassung Knoten-Reduktion Beobachtung: Verfahren unabhängig von Metrik Shortcut muss dem (entfernten) Pfad entsprechen Somit: Anpassung ohne Probleme Folie Juni 2017

61 Anpassung Kanten-Reduktion Unikriteriell: Lösche Kante (u, v), wenn (u, v) nicht Teil des kürzesten Weges von u nach v ist, also len(u, v) < d(u, v) Lokale Dijkstra-Suche von u Multikriteriell: Folie Juni 2017

62 Anpassung Kanten-Reduktion Unikriteriell: Lösche Kante (u, v), wenn (u, v) nicht Teil des kürzesten Weges von u nach v ist, also len(u, v) < d(u, v) Lokale Dijkstra-Suche von u Multikriteriell: Lösche Kante (u, v), wenn (u, v) nicht Teil eines Pareto-Weges von u nach v ist Lokale multi-kriterielle Suche Kann zu (Pareto-optimalen) Multikanten führen Problem: Explosion der Anzahl der Routen Folie Juni 2017

63 Arc-Flags Idee: Partitioniere den Graph in k Zellen Hänge ein Label mit k Bits an jede Kante Zeigt ob e wichtig für die Zielzelle ist Modifizierter Dijkstra überspringt unwichtige Kanten Beobachtung: Partition wird auf ungewichtetem Grahen durchgeführt Flaggen müssen allerdings aktualisiert werden Folie Juni 2017

64 Anpassung Idee: Ändere Intuition einer gesetzten Flagge Konzept bleibt gleich: Eine Flagge pro Kante und Region Setze Flagge Multikriteriell: wenn Kante für einen Pareto-Pfad wichtig ist Folie Juni 2017

65 Anpassung Idee: Ändere Intuition einer gesetzten Flagge Konzept bleibt gleich: Eine Flagge pro Kante und Region Setze Flagge Multikriteriell: wenn Kante für einen Pareto-Pfad wichtig ist Anpassung: Für alle Randknoten b und alle Knoten u: Berechne Pareto-Abstände D(u, b) u Setze Flagge wenn gilt (u, v) zugehörige Kante eines Pareto-Pfades v w x b Folie Juni 2017

66 Anpassung Idee: Ändere Intuition einer gesetzten Flagge Konzept bleibt gleich: Eine Flagge pro Kante und Region Setze Flagge Multikriteriell: wenn Kante für einen Pareto-Pfad wichtig ist Anpassung: Für alle Randknoten b und alle Knoten u: Berechne Pareto-Abstände D(u, b) u Setze Flagge wenn gilt (u, v) zugehörige Kante eines Pareto-Pfades v w x b Folie Juni 2017

67 Anpassung Idee: Ändere Intuition einer gesetzten Flagge Konzept bleibt gleich: Eine Flagge pro Kante und Region Setze Flagge Multikriteriell: wenn Kante für einen Pareto-Pfad wichtig ist Anpassung: Für alle Randknoten b und alle Knoten u: Berechne Pareto-Abstände D(u, b) u Setze Flagge wenn gilt (u, v) zugehörige Kante eines Pareto-Pfades v w x b Folie Juni 2017

68 Anpassung Idee: Ändere Intuition einer gesetzten Flagge Konzept bleibt gleich: Eine Flagge pro Kante und Region Setze Flagge Multikriteriell: wenn Kante für einen Pareto-Pfad wichtig ist Anpassung: Für alle Randknoten b und alle Knoten u: Berechne Pareto-Abstände D(u, b) u Setze Flagge wenn gilt (u, v) zugehörige Kante eines Pareto-Pfades v w x b Folie Juni 2017

69 Table-Lookups Idee: Speichere Distanztabellen Nur für wichtige Teile des Graphen Suchen laufen nur bis zur Tabelle Harmoniert gut mir hierarchischen Techniken access node s t distances between transit nodes access node Folie Juni 2017

70 Anpassung Beobachtung: Distanz-Tabelle muss Pareto-Abstände abspeichern Massiver Anstieg der Größe der Tabellen Pfadstruktur nicht mehr so gutmütig Deutlich mehr Access-Nodes? Also: Speicherverbrauch deutlich zu groß? Folie Juni 2017

71 Diskussion Basismodule Basismodule:? Bidirektionale Suche + Landmarken / A* + Kontraktion + arc-flags? Table Look-ups Folie Juni 2017

72 Experimente Pareto-SHARC (nur als Beispiel) Luxemburg Karlsruhe PREPRO QUERY PREPRO QUERY time target #del. time spd time target #del. time spd metrics [h:m] labels mins [ms] up [h:m] labels mins [ms] up fast car (fc) < 0: < 0: slow truck (st) < 0: < 0: costs < 0: < 0: distances < 0: < 0: unit < 0: < 0: fc + st 0: : fc + costs 0: : fc + dist. 0: : fc + unit 0: : costs + dist. 0: : Folie Juni 2017

73 Zusammenfassung Berechnung der (exponentiell großen) Pareto-Menge nicht effizient möglich Auch mit Beschleunigungstechniken daher exponentielle Laufzeit Laufzeit in der Praxis stark abhängig von Anzahl der Kriterien Korrelation der Metriken Praktikable Laufzeit somit oft nur mit Heuristiken möglich Relaxierung der Dominanz Ausdünnen von Pareto-Mengen während der Query Mehr dazu später... Nur konvexe Hülle ( linear Kombination, Parametric Shortest Path Problem) Folie Juni 2017

74 Constrained Shortest Paths Folie Juni 2017

75 Constrained Shortest Path (CSP) Ziel: Finde kürzeste Route die bestimmtes Gewicht nicht überschreitet Zwei Metriken auf den Kanten: Länge und Gewicht Optimiere die Länge und beschränke das Gewicht Folie Juni 2017

76 Constrained Shortest Path (CSP) Ziel: Finde kürzeste Route die bestimmtes Gewicht nicht überschreitet Zwei Metriken auf den Kanten: Länge und Gewicht Optimiere die Länge und beschränke das Gewicht Definition: Constrained Shortest Path Problem Gegeben: G = (V, E), Länge l: E N 0, Gewicht ω : E N 0, Start und Ziel s, t V sowie Schranken L, W N 0 Problem: Existiert ein einfacher Pfad P von s nach t in G, für den l(p) L und ω(p) W gelten? Anmerkung: Das entsprechende Optimierungsproblem lautet: Finde einen s-t-pfad P mit minimalem l(p) und ω(p) W Folie Juni 2017

77 Constrained Shortest Path (CSP) Theorem Constrained Shortest Path Problem ist (schwach) N P-vollständig Folie Juni 2017

78 Constrained Shortest Path (CSP) Theorem Constrained Shortest Path Problem ist (schwach) N P-vollständig Beweis: 1: CSP Problem N P Für ein Pfad P kann in polynomieller Zeit geprüft werden, ob: P benutzt nur Kanten aus G P hat passende Länge: l(p) = L P hat passendes Gewicht: ω(p) = W 2: CSP Problem ist N P-schwer Beweis durch Reduktion von PARTITION Folie Juni 2017

79 PARTITION Definition: PARTITION Gegeben: Endliche Menge A sowie Größe s : A N 0 Problem: Existiert ein Teilmenge A A für die gilt: s(a) = a A a A\A s(a) Anmerkung: In Karps 21 NP-vollständigen Problemen enthalten PARTITION ist (schwach) N P-vollständig [Karp 71] N P-schwere Beweis benötigt exponentiell große Zahlen In pseudopolynomieller Zeit lösbar (Dynamische Programmierung) Pseudopolynomielle Laufzeit: Abhängig von Eingabegröße + Werten Folie Juni 2017

80 Beweis: CSP ist N P-vollständig Reduktion von PARTITION: Sei Π = (A = {a 1,..., a n }, s) eine PARTITION-Instanz Konstruiere Graph G = (V, E) mit n + 1 Knoten (V = {0, 1,..., n}) Knoten i -1 und i sind jeweils durch zwei Kanten verbunden Eine Kante hat Länge 0 und Gewicht s(a i ) Die andere Kante hat Länge s(a i ) und Gewicht 0 Setze s = 0, t = n und L = W = 1 f s(a) 2 f a A (0, s(a 1)) (0, s(a 2)) (0, s(a n -1)) (0, s(a n)) 0 1 n-1 1n (s(a 1), 0) (s(a 2), 0) (s(a n -1), 0) (s(a n), 0) Folie Juni 2017

81 Beweis: CSP ist N P-vollständig Reduktion von PARTITION: Sei Π = (A = {a 1,..., a n }, s) eine PARTITION-Instanz Konstruiere Graph G = (V, E) mit n + 1 Knoten (V = {0, 1,..., n}) Knoten i -1 und i sind jeweils durch zwei Kanten verbunden Eine Kante hat Länge 0 und Gewicht s(a i ) Die andere Kante hat Länge s(a i ) und Gewicht 0 Setze s = 0, t = n und L = W = 1 f s(a) 2 f a A (0, s(a 1)) (0, s(a 2)) (0, s(a n -1)) (0, s(a n)) s0 1 n-1 1n t (s(a 1), 0) (s(a 2), 0) (s(a n -1), 0) (s(a n), 0) Es gilt: Π ist PARTITION Ja-Inst. (G, l, ω, L, W, s, t) ist CSP Ja-Inst. Folie Juni 2017

82 Beweis: CSP ist N P-vollständig Reduktion von PARTITION: Sei Π = (A = {a 1,..., a n }, s) eine PARTITION-Instanz Konstruiere Graph G = (V, E) mit n + 1 Knoten (V = {0, 1,..., n}) Knoten i -1 und i sind jeweils durch zwei Kanten verbunden Eine Kante hat Länge 0 und Gewicht s(a i ) Die andere Kante hat Länge s(a i ) und Gewicht 0 Setze s = 0, t = n und L = W = 1 f s(a) 2 f a A (0, s(a 1)) (0, s(a 2)) (0, s(a n -1)) (0, s(a n)) s0 1 n-1 1n t (s(a 1), 0) (s(a 2), 0) (s(a n -1), 0) (s(a n), 0) Beispiel: s-t-pfad P entspricht: a 1 / A, a 2 / A,..., a n 1 A, a n A Folie Juni 2017

83 Multi-Criteria Dijkstra für CSP CSP kann mit Multi-Criteria Dijkstra (MCD) gelöst werden Bikriterieller Ansatz mit Metriken: Länge & Gewicht Nutze Constraints zum prunen Verwerfe Label mit Gewicht > W Folie Juni 2017

84 Multi-Criteria Dijkstra für CSP CSP kann mit Multi-Criteria Dijkstra (MCD) gelöst werden Bikriterieller Ansatz mit Metriken: Länge & Gewicht Nutze Constraints zum prunen Verwerfe Label mit Gewicht > W Erinnerung: MCD hält pro Knoten Menge Pareto-optimaler Pfade Pareto-Mengen können exponentiell groß werden (0, 1) (0, 2) (0, 4) (1, 0) (2, 0) (4, 0) Folie Juni 2017

85 Multi-Criteria Dijkstra für CSP CSP kann mit Multi-Criteria Dijkstra (MCD) gelöst werden Bikriterieller Ansatz mit Metriken: Länge & Gewicht Nutze Constraints zum prunen Verwerfe Label mit Gewicht > W Erinnerung: MCD hält pro Knoten Menge Pareto-optimaler Pfade Pareto-Mengen können exponentiell groß werden (0,0) (0, 1) (0, 2) (0, 4) (1, 0) (2, 0) (4, 0) Folie Juni 2017

86 Multi-Criteria Dijkstra für CSP CSP kann mit Multi-Criteria Dijkstra (MCD) gelöst werden Bikriterieller Ansatz mit Metriken: Länge & Gewicht Nutze Constraints zum prunen Verwerfe Label mit Gewicht > W Erinnerung: MCD hält pro Knoten Menge Pareto-optimaler Pfade Pareto-Mengen können exponentiell groß werden (0,1) (0,0) (1,0) (0, 1) (0, 2) (0, 4) (1, 0) (2, 0) (4, 0) Folie Juni 2017

87 Multi-Criteria Dijkstra für CSP CSP kann mit Multi-Criteria Dijkstra (MCD) gelöst werden Bikriterieller Ansatz mit Metriken: Länge & Gewicht Nutze Constraints zum prunen Verwerfe Label mit Gewicht > W Erinnerung: MCD hält pro Knoten Menge Pareto-optimaler Pfade Pareto-Mengen können exponentiell groß werden (0,3) (1,2) (0,1) (2,1) (0,0) (1,0) (3,0) (0, 1) (0, 2) (0, 4) (1, 0) (2, 0) (4, 0) Folie Juni 2017

88 Multi-Criteria Dijkstra für CSP CSP kann mit Multi-Criteria Dijkstra (MCD) gelöst werden Bikriterieller Ansatz mit Metriken: Länge & Gewicht Nutze Constraints zum prunen Verwerfe Label mit Gewicht > W Erinnerung: MCD hält pro Knoten Menge Pareto-optimaler Pfade Pareto-Mengen können exponentiell groß werden (0,7) (1,6) (2,5) (3,4) (0,3) (4,3) (1,2) (5,2) (0,1) (2,1) (6,1) (0,0) (1,0) (3,0) (7,0) (0, 1) (0, 2) (0, 4) (1, 0) (2, 0) (4, 0) Folie Juni 2017

89 Schnellste zulässige Route Verbesserungen: Standard Beschleunigungen von MCD übertragbar: Hopping Reduction Nur ein Label pro Knoten in Queue Target Pruning Folie Juni 2017

90 Schnellste zulässige Route Verbesserungen: Standard Beschleunigungen von MCD übertragbar: Hopping Reduction Nur ein Label pro Knoten in Queue Target Pruning Beobachtung: Wir brauchen nicht alle Pareto-Optima an t: Sind nur an kürzester zulässiger Route interessiert Stoppe sobald erstes Label an t aus Queue genommen (Queue ist nach Länge sortiert) Folie Juni 2017

91 Zusammenfassung Dynamische Szenarien Berücksichtigung von aktuellen Staus Anpassung von Beschleunigungstechniken Turn-Costs Expandiertes Modell vs Turn-Tabellen Anpassung von CRP/CH Multikriterielle Optimierung Verallgemeinerung zu Multi Criteria Dijkstra Anpassung von Beschleunigungstechniken Constrained Shortest Paths N P-schwer Anpassung MC-Dijkstra Folie Juni 2017

92 Ende Literatur: Robert Geisberger, Christian Vetter Efficient Routing in Road Networks with Turn Costs In: Proceedings of the 10th International Symposium on Experimental Algorithms (SEA 11), pages , Daniel Delling and Andrew V. Goldberg and Thomas Pajor and Renato F. Werneck Customizable Route Planning in Road Networks Transportation Science, Daniel Delling, Dorothea Wagner Pareto Paths with SHARC In: Proceedings of the 8th International Symposium on Experimental Algorithms (SEA 09), pages , Folie Juni 2017