Algorithmen zur Berechnung der Transitiven Hülle einer Datenbankrelation

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1 Algorithmen zur Berechnung der Transitiven Hülle einer Datenbankrelation Daniel Reinhold Shenja Leiser 6. Februar /28 Gliederung Einführung Transitive Hülle Definition Iterative Algorithmen 1. Naive algorithm 2. Semi-naive algorithm 3. Logarithmic algorithm 4. Smart algorithm 5. (Reduce algorithm) Diskussion

2 3/28 Einführung Transitive Hülle (1/2) Erreichbarkeit von Knoten existiert ein Weg zwischen zwei Knoten Indexstruktur Klassifizierungen, Verwandtschaftsverhältnisse Distanz von Knoten Länge des Pfades zwischen Knoten 4/28 Einführung Transitive Hülle (2/2) Anwendungsmöglichkeiten: Ontologien und Taxonomien in der Biologie Klassifizierung von Lebewesen als Bäume bzw. als DAGs aufgebaut z. B. Gene Ontology, NCBI Taxonomie

3 5/28 Definition: Transitive Hülle eines Graphen Die TH eines Graphen G=(V,E) wird beschrieben durch den Graphen G + =(V,E + ) mit (u,v) E + es gibt einen Pfad von u nach v in G 6/28 Definition: Transitive Hülle einer Datenbank-Relation Sei R 0 (a,b) eine transitive Datenbank-Relation. Dann ist die Transitive Hülle R = R i i 1 mit R 1 = R 0 und R n = R n-1 o R für n>1 R o S = {(x,z) y (x,y) R (y,z) S} R o S = π R.a,S.b (R S) R.b=S.a

4 7/28 Iterative Algorithmen basieren auf der Gleichung: R = R 0 π R.a,R0.b (R R 0 ) R.b=R 0.a R A 0 1 B 1 2 B 0 R R 0 R.b=R 0.a π R.a,R0.b A 0 R R 2 ={(0,1),(0,2),(1,2)} A B A 0 B 0 8/28 Naive algorithm (1/9) R = R old_r old_r = R

5 9/28 Naive algorithm (2/9) old_r = {(0,1),(0,2),(1,2),(2,0),(3,0)} R = R old_r old_r = R 10/28 Naive algorithm (3/9) R = R old_r old_r = R old_r = {(0,1),(0,2),(1,2),(2,0),(3,0)} old_r o R 0 = π old_r.a,r0.b (old_r R 0 ) old_r.b=r 0.a ={(0,0),(0,2),(1,0),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)}

6 11/28 Naive algorithm (4/9) R = R old_r old_r = R R = {(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,2),(2,0), (2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)} 12/28 Naive algorithm (5/9) R = R old_r old_r = R R = {(0,0),(1,0),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)}

7 13/28 Naive algorithm (6/9) R = R old_r old_r = R old_r ={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,2), (2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)} R = {(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2), (2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)} 14/28 Naive algorithm (7/9) R = R old_r old_r = R R = {(1,1)}

8 15/28 Naive algorithm (8/9) R = R old_r old_r = R old_r={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2), (2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)} R = old_r 16/28 Naive algorithm (9/9) R = R old_r old_r = R R = R = {(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2), (2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)}

9 17/28 Naive algorithm In jedem Iterationsschritt k Berechnung von R k durch: 1. Verknüpfung der Ausgangsrelation R 0 mit dem Resultat aus dem vorhergehenden Schritt R k-1 2. Vereinigung dieses Ergebnisses mit R k-1 Semi-naive algorithm In jedem Iterationsschritt k Berechnung von R k durch: Verknüpfung der Ausgangsrelation R 0 nur mit den neuen Tupeln aus R k-1 k=0 k=1 k=2 k=3 k=0 k=1 k=2 k=3 (Grafiken vgl. [Ioan86]) 18/28 Naive algorithm R = R old_r old_r = R } while ( R ) Semi-naive algorithm R = R 0 R = R 0 while ( R ) { R = R o R 0 R = R R R = R R }

10 19/28 Logarithmic algorithm In jedem Iterationsschritt k werden zwei (miteinander verschachtelte) Verknüpfungen berechnet Dadurch werden insgesamt pro Schritt mehr Tupel miteinander verknüpft und so auch mehr neue Tupel erzeugt Die Berechnung der transitiven Hülle benötigt weniger Schritte lg(p+1) 1 Schritte werden benötigt, um die komplette TH zu berechnen (p entspricht der Tiefe der TH) 20/28 Logarithmic algorithm R = R 0 R = R 0 δr = R 0 while ( R ) { δr = δr o δr R = R o δr R = R R δr }

11 21/28 Smart algorithm m-1 l*m k R + = ( R 0 ) k=0 l=0 theoretische Beschreibung verschiedene Werte für m ergeben verschiedene Algorithmen (Logarithmic algorithm ist der Spezialfall für m=2) m * log m p Iterationsschritte werden zur Berechnung der TH benötigt (p entspricht der Tiefe der TH) Je größer m, desto komplexer jeder Iterationsschritt 22/28 Smart algorithm m-1 l*m k R + = ( R 0 ) k=0 l=0 Beispiel: m=2 R + = (1 + A 2k ) =... (1 + A 4 )(1 + A 2 )(1 + A) k=0 m=3 R + = (1+A 3k +A 2*3k ) =... (1+A 9 +A 18 )(1+A 3 +A 6 )(1+A+A 2 ) k=0

12 23/28 I/O performance r = s_naive_io/smart_io Liste binärer Baum ternärer Baum (Grafiken: [Ioan86]) 24/28 Vergleich Same Operator Different Operator Last iteration result SEMI-NAIVE Complete result NAIVE SMART (Vgl. [Ioan86])

13 25/28 Reduce algorithm Fokus: Größe von R 0 in den einzelnen Iterationsschritten Dynamische Eliminierung solcher Tupel in R 0, die nicht weiter zur Generierung neuer Tupel beitragen Diese Tupel sind bereits Teil des Iterationsergebnisses, und ihre Entfernung aus R 0 hat keinen Einfluss auf das Endresultat 26/28 Reduce algorithm Veranschaulichung am Graphen: Entfernung ausgehender Kanten Bedingungen: 1. Knoten hat keine eingehende Kante 2. Alle ausgehenden Kanten wurden bereits zur Ergebnisrelation hinzugefügt (Grafik: [Lu87])

14 27/28 Fragen, Kritiken, Anmerkungen, Diskussion 28/28 Literatur [Ioan86]: Ioannidis, Yannis E.: On The Computation of the Transitive Closure of Relational Operations. In: Proceedings of the 12th International Conference on Very Large Data Bases. Kyoto 1986, S [Lu87]: Lu, Hongjun: New Strategies for Computing the Transitive Closure of a Database Relation. In: Proceedings of the 13th VLDB Conference. Brighton 1987, S Yan, W. Mattos, N.: Transitive Closure and the LOGA + - Strategy for ist Efficient Evaluation. In: Proc. 2nd Symposium on Mathematical Fundamentals of Database Theory, Visegrad, Hungary, June 1989, S Trißl, Silke: Anfragen an Ontologien in relationalen Datenbanken. In: Stefan Brass, Christian Goldberg (Hrsg.): Tagungsband zum 17. GI-Workshop über Grundlagen von Datenbanken (17th GI-Workshop on the Foundations of Databases). Institute of Computer Science, Martin- Luther-University Halle-Wittenberg. Wörlitz 2005, S