Algorithmen für Routenplanung

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1 Algorithmen für Routenplanung 15. Vorlesung, Sommersemester 016 Moritz Baum 15. Juni 016 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK ALGORITHMIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Großforschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Elektromobilität Elektrofahrzeuge (EVs): Transportmittel der Zukunft Emissionsfreie Mobilität Aber: Akkukapazität eingeschränkt (und damit Reichweite) Lange Ladezeiten, wenig öffentliche Ladestationen Reichweitenangst Berücksichtigung von Energieverbrauch bei der Routenplanung Folie 15. Juni 016

3 Energieverbrauch als Metrik Besonderheiten: Rekuperation Rückgewinnung von Energie möglich (bergab fahren, bremsen) Negative Kantengewichte möglich Aber: keine negativen Zyklen (physikalische Gesetze) Akkukapazität (Battery Constraints) Akku darf nicht leer laufen (Andernfalls Kante nicht benutzbar) Akku kann nicht überschritten werden (Kanten können genutzt werden, aber Energie verfällt ggf.) Muss für jeden Knoten eines Pfades gelten Ladestand (state of charge, SoC) während Query berücksichtigen Folie Juni 016

4 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Folie Juni 016

5 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

6 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

7 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

8 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

9 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

10 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

11 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

12 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

13 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

14 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

15 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

16 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

17 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

18 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

19 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

20 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

21 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

22 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

23 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

24 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

25 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

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27 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

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30 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

31 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

32 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

33 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

34 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

35 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

36 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

37 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

38 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

39 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

40 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

41 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

42 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

43 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

44 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

45 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

46 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

47 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

48 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

49 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

50 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

51 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Folie Juni 016

52 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr 1-i- i i Folie Juni 016

53 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Bellman Ford: Funktioniert auch mit negativen Kantengewichten Folie Juni 016

54 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Startknoten s und Zielknoten t, berechne eine Route die den Energieverbrauch minimiert Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Bellman Ford: Funktioniert auch mit negativen Kantengewichten Auf Realwelt-Instanzen ist Dijkstras Algorithmus schneller Folie Juni 016

55 Energieoptimale Routen Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Nicht mehr Label-Setting Stoppkriterium nicht mehr korrekt Frage: Stoppkriterium wiederherstellbar? Folie Juni 016

56 Energieoptimale Routen Dijkstra s Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Nicht mehr Label-Setting Stoppkriterium nicht mehr korrekt Frage: Stoppkriterium wiederherstellbar? Wenn t abgearbeitet wird, könnten sich noch Pfade in der Queue befinden, die Label d[t] durch Anhängen eines negativen Subpfades verbessern Ziel: berechne Schranke P min 0 für Länge dieses Subpfades Dann Abbruch, sobald minkey(q) + P min d[t] Folie Juni 016

57 Berechnung von P min Gegeben: Gesucht: Graph G = (V, E) (ohne negative Zyklen) (Global) kürzester Pfad in G 1. Ansatz: Füge (virtuelle) Knoten s, t zu G hinzu Mit Kanten (s, u), (u, t ) für alle u V (mit Energieverbrauch 0) Berechne kürzesten s -t -Weg (mit Label-Correcting Dijkstra) Folie Juni 016

58 Berechnung von P min Gegeben: Gesucht: Graph G = (V, E) (ohne negative Zyklen) (Global) kürzester Pfad in G. Ansatz (simuliert 1. Ansatz, ist in der Praxis schneller): Initialisiere Distanzlabel d[v] = 0 für alle v V Für jeden Knoten v V : Starte (Label-Correcting) Suche von v Distanzlabel d[ ] wird zwischen den Suchen nicht reinitialisiert Berechne währenddessen: P min := min v V d[v] Folie Juni 016

59 Berechnung von P min Gegeben: Gesucht: Graph G = (V, E) (ohne negative Zyklen) (Global) kürzester Pfad in G. Ansatz (simuliert 1. Ansatz, ist in der Praxis schneller): Initialisiere Distanzlabel d[v] = 0 für alle v V Für jeden Knoten v V : Starte (Label-Correcting) Suche von v Distanzlabel d[ ] wird zwischen den Suchen nicht reinitialisiert Berechne währenddessen: P min := min v V d[v] Danach Stoppkriterium wieder anwendbar Folie Juni 016

60 Berechnung von P min Gegeben: Gesucht: Graph G = (V, E) (ohne negative Zyklen) (Global) kürzester Pfad in G. Ansatz (simuliert 1. Ansatz, ist in der Praxis schneller): Initialisiere Distanzlabel d[v] = 0 für alle v V Für jeden Knoten v V : Starte (Label-Correcting) Suche von v Distanzlabel d[ ] wird zwischen den Suchen nicht reinitialisiert Berechne währenddessen: P min := min v V d[v] Danach Stoppkriterium wieder anwendbar Beobachtung: Nach Berechnung von P min gilt: d[t] dist(v, t), v V Stoppkriterium lässt sich verbessern zu: minkey(q) + d[t] d[t] Folie Juni 016

61 Energieoptimale Routen Dijkstras Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Stoppkriterium lässt sich wiederherstellen Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Nicht mehr Label-Setting Frage: Label-Setting Eigenschaft wiederherstellbar? Folie Juni 016

62 Energieoptimale Routen Dijkstras Algorithmus: Setzt nichtnegative Kantengewichte voraus Stoppkriterium lässt sich wiederherstellen Bleibt korrekt, aber keine polynomielle Laufzeitgarantie mehr Nicht mehr Label-Setting Frage: Idee: Label-Setting Eigenschaft wiederherstellbar? Finde zulässiges Potential π : V R, sodass len(u, v) π(u) + π(v) 0 für jede Kante (u, v) E Folie Juni 016

63 Knotenpotentiale Idee: Finde zulässiges Potential π : V R, sodass len(u, v) π(u) + π(v) 0 für jede Kante (u, v) E Dann Dijkstras Algorihmus (mit Stoppkriterium) auf Graph mit reduzierten Gewichten anwendbar 1. Distanzbasiertes Potential: Setze π(v) = d(v, v ), für beliebigen Knoten v Berechnung mittels (Label-Correcting) Query von v Zulässigkeit folgt aus Dreiecksungleichung Folie Juni 016

64 Knotenpotentiale Idee: Finde zulässiges Potential π : V R, sodass len(u, v) π(u) + π(v) 0 für jede Kante (u, v) E Dann Dijkstras Algorihmus (mit Stoppkriterium) auf Graph mit reduzierten Gewichten anwendbar. Höheninduziertes Potential: Ann.: Höhenkoordinate h(v) eines jeden Knoten gegeben π(v) := α h(v) für alle v, so dass c(u, v) + α(h(v) h(u)) 0 Kann mit Sweep über alle Kanten berechnet werden Keine Garantie für Zulässigkeit des Potentials (klappt für realistische Kantengewichte) Folie Juni 016

65 Energieoptimale Routen Bisher: Route minimiert den absoluten Energieverbrauch Route ist für konkreten Ladezustand an s ggf. nicht realisierbar Jetzt: Berechne Route abhängig vom initialen Ladezustand (SoC) Maximiere resultierenden SoC an t Betrachte nur Pfade die zulässig sind: Energie ist ausreichend: SoC wird nie negativ Akku wird nie überschritten: SoC > M SoC = M (M := Akku-Kapazität) Folie Juni 016

66 Energieoptimale Routen Anfragetypen (analog zu Zeitabhängigkeit): SoC Query: Gegeben Start s, Ziel t und initialen Ladezustand b s finde zulässige s-t-pfad mit maximalem SoC an t Berechnung mit angepasstem Dijkstra Folie Juni 016

67 Energieoptimale Routen Anfragetypen (analog zu Zeitabhängigkeit): SoC Query: Gegeben Start s, Ziel t und initialen Ladezustand b s finde zulässige s-t-pfad mit maximalem SoC an t Berechnung mit angepasstem Dijkstra Profilsuche: Für Start s und Ziel t, finde zulässige s-t-pfade mit maximalem SoC an t für alle b s [0, M] Berechnung mit Hilfe von: Verbrauchsfunktionen Geeigneten Link/Merge-Operationen Folie Juni 016

68 Verbrauchsfunktionen Bisher: Konstanter Energieverbrauch pro Kante Explizites überprüfen der Battery Constraints im Algorithmus Jetzt: Integriere Battery Constraints in Verbrauchsfunktionen Verbrauchsfunktion bildet SoC auf tatsächlichen Verbrauch ab 4 c e(b) v 3 s e, γ(e) = M -1 Folie Juni 016

69 Verbrauchsfunktionen Bisher: Konstanter Energieverbrauch pro Kante Explizites überprüfen der Battery Constraints im Algorithmus Jetzt: Integriere Battery Constraints in Verbrauchsfunktionen Verbrauchsfunktion bildet SoC auf tatsächlichen Verbrauch ab 4 v 3 s e, γ(e) = c e(b) M Folie Juni 016

70 Verbrauchsfunktionen Bisher: Konstanter Energieverbrauch pro Kante Explizites überprüfen der Battery Constraints im Algorithmus Jetzt: Integriere Battery Constraints in Verbrauchsfunktionen Verbrauchsfunktion bildet SoC auf tatsächlichen Verbrauch ab 4 c e(b) 4 c f (b) M M Folie Juni 016

71 Verbrauchsfunktionen Bisher: Konstanter Energieverbrauch pro Kante Explizites überprüfen der Battery Constraints im Algorithmus Jetzt: Integriere Battery Constraints in Verbrauchsfunktionen Verbrauchsfunktion bildet SoC auf tatsächlichen Verbrauch ab 4 c e(b) 4 c f (b) maxout e M M Anm: Potentiale weiterhin zulässig (cost e ist untere Schranke auf Verbrauch) Folie Juni 016

72 Verbrauchsfunktionen Bisher: Konstanter Energieverbrauch pro Kante Explizites überprüfen der Battery Constraints im Algorithmus Jetzt: Integriere Battery Constraints in Verbrauchsfunktionen Verbrauchsfunktion bildet SoC auf tatsächlichen Verbrauch ab 4 c e(b) 4 c f (b) minin e M M Folie Juni 016

73 Verbrauchsfunktionen Bisher: Konstanter Energieverbrauch pro Kante Explizites überprüfen der Battery Constraints im Algorithmus Jetzt: Integriere Battery Constraints in Verbrauchsfunktionen Verbrauchsfunktion bildet SoC auf tatsächlichen Verbrauch ab 4 c e(b) 4 c f (b) cost e M M Folie Juni 016

74 Verbrauchsfunktionen Linking Gesucht: Verbrauch beim traversieren von e und f Verbrauch auf e gegeben durch c e (b) SoC nach e = SoC vor f = b c e (b) Verbrauch auf e UND f : c e f (b) = c f (b c e (b)) s e v f t c e(b) c f (b) c e f (b) M M M Folie Juni 016

75 Verbrauchsfunktionen Linking Formal: c e f (b) ist gegeben durch: s minin e f = max[minin e, minin f + cost e ] maxout e f = min[maxout f, maxout e cost f ] cost e f = max[cost e + cost f, minin e maxout f ] (Bedingung: maxout e minin f ) e v f t c e(b) c f (b) c e f (b) M M M Folie Juni 016

76 Verbrauchsfunktionen Merging Gesucht: Verbrauch beim traversieren von e oder f s Benutze Pfad mit geringerem Verbrauch () Verbrauch auf e ODER f : c e U f (b) = min(c f (b), c e (b)) () e f t c e(b) c f (b) c e U f (b) M M M Folie Juni 016

77 Verbrauchsfunktionen Merging Gesucht: Verbrauch beim traversieren von e oder f s Benutze Pfad mit geringerem Verbrauch () Verbrauch auf e ODER f : c e U f (b) = min(c f (b), c e (b)) () Aber: Im Allgemeinem O(m) Stützstellen e f t c e(b) c f (b) c e U f (b) M M M Folie Juni 016

78 Energieoptimale Routen Ziel: Gegeben Start s, Ziel t und initialen Ladezustand b s finde zulässigen s-t-pfad mit maximalem SoC an t Besonderheiten: Energieverbrauch hängt von vielen Parametern ab Temperatur, Wetterbedingungen, Beladung,... Abhängig von Fahrzeugtyp, Fahrstil,... Verkehrslage,... Schnelle Customization wichtig Folie Juni 016

79 MLD für energieoptimale Routen Idee MLD: Zerteile den Graphen in mehrere Zellen Berechne Distanzen zwischen Randknoten in jeder Zelle Overlay Graph: Randknoten Cliquen in jeder Zelle Schnittkanten s t Suchgraph: Start- und Zielzelle......plus Overlaygraph. (bidirektionaler) Dijkstra Folie Juni 016

80 MLD für energieoptimale Routen 1: Metrik-unabhängige Vorberechnung Metrikunabhängig, keine Anpassung nötig : Metrik-abhängige Vorberechnung (Customization) Cliquenkanten sind Profile Lokale Profilsuchen Anpassung der Datenstrukturen 3: Queries Knotenpotentiale für Stoppkriterium Varianten: Unidirektionale Query Bidirektionale Query mit Rückwärts-Profilsuche Bidirektionale Query mit Rückwärtssuche auf Schranken (ähnlich wie bei zeitabhängigen Techniken) Folie Juni 016

81 Experimente CUSTOMIZING QUERIES space time vertex time Algorithm [B/n] [s] scans [ms] LC LC (stop. cr.) Dijkstra π v Dijkstra π h Prof. π h MLD (LC) MLD Uni π h MLD BPE π h MLD BDB π h für EV mit 85kWh Akku (ca. 400 km Reichweite) Folie Juni 016

82 Electric Vehicle Routing Bisher: Energieoptimale Routen Energiesparendes Fahren Wir finden einen zulässigen Pfad, falls dieser existiert Problem: Wir versuchen Energie zu sparen selbst wenn: Die Strecke sehr kurz ist Der Akkustand mehr als ausreichend für die Strecke ist Folie Juni 016

83 Electric Vehicle Routing Bisher: Energieoptimale Routen Energiesparendes Fahren Wir finden einen zulässigen Pfad, falls dieser existiert Problem: Wir versuchen Energie zu sparen selbst wenn: Die Strecke sehr kurz ist Der Akkustand mehr als ausreichend für die Strecke ist Alternativen? Folie Juni 016

84 Electric Vehicle Routing Bisher: Energieoptimale Routen Energiesparendes Fahren Wir finden einen zulässigen Pfad, falls dieser existiert Problem: Wir versuchen Energie zu sparen selbst wenn: Die Strecke sehr kurz ist Der Akkustand mehr als ausreichend für die Strecke ist Alternativen? Berechne schnellste Route, überprüfe danach ob SoC ausreichend Schnellste Route mit Energieverbrauch als Nebenbedingung Folie Juni 016

85 Metrikvergleich Extra Extra Metric Unreach. Energy T/D Energy vs. Travel Time 60 % 6 % 63 % Energy vs. Distance 5 % 15 % 4 % Fazit: Energie explizit optimieren zahlt sich aus Kürzeste Wege energieeffizienter als schnellste Aber: Fahrzeit viel höher auf energie-optimalen Wegen Nur eine Metrik optimieren ist nicht zufriedenstellend Folie Juni 016

86 Metrikvergleich Extra Extra Metric Unreach. Energy T/D Energy vs. Travel Time 60 % 6 % 63 % Energy vs. Distance 5 % 15 % 4 % Fazit: Energie explizit optimieren zahlt sich aus Kürzeste Wege energieeffizienter als schnellste Aber: Fahrzeit viel höher auf energie-optimalen Wegen Nur eine Metrik optimieren ist nicht zufriedenstellend Finde schnellste Route mit Energieverbrauch als Nebenbedingung Folie Juni 016

87 Schnellste fahrbahre Route Ziel: Finde schnellste Route mit Energieverbrauch als Nebenbedingung Zwei Metriken auf den Kanten: Fahrzeit und Energieverbrauch Optimiere die Fahrzeit und beschränke den Energieverbrauch Erweiterung des CSP Problems Folie Juni 016

88 Wdh: Constrained Shortest Path Definition: Constrained Shortest Path Problem Gegeben: G = (V, E), Länge l: E N 0, Gewicht ω : E N 0, Start und Ziel s, t V sowie Schranken L, W N 0 Problem: Existiert ein einfacher Pfad P von s nach t in G, für den l(p) L und ω(p) W gelten? Anmerkung: Das entsprechende Optimierungsproblem lautet: Finde einen s-t-pfad P mit minimalem l(p) und ω(p) W Theorem Constrained Shortest Path Problem ist (schwach) N P-vollständig Folie Juni 016

89 Wdh: Multi-Criteria Dijkstra für CSP CSP kann mit Multi-Criteria Dijkstra (MCD) gelöst werden Bikriterieller Ansatz mit Metriken: Länge & Gewicht Nutze Constraints zum prunen Verwerfe Label mit Gewicht > W Folie 15. Juni 016

90 Wdh: Multi-Criteria Dijkstra für CSP CSP kann mit Multi-Criteria Dijkstra (MCD) gelöst werden Bikriterieller Ansatz mit Metriken: Länge & Gewicht Nutze Constraints zum prunen Verwerfe Label mit Gewicht > W Erinnerung: MCD hält pro Knoten eine Menge Pareto-Optimaler Pfade Pareto-Mengen können exponentiell groß werden (0, 1) (0, ) (0, 4) (1, 0) (, 0) (4, 0) Folie 15. Juni 016

91 Wdh: Multi-Criteria Dijkstra für CSP CSP kann mit Multi-Criteria Dijkstra (MCD) gelöst werden Bikriterieller Ansatz mit Metriken: Länge & Gewicht Nutze Constraints zum prunen Verwerfe Label mit Gewicht > W Erinnerung: MCD hält pro Knoten eine Menge Pareto-Optimaler Pfade Pareto-Mengen können exponentiell groß werden (0,0) (0, 1) (0, ) (0, 4) (1, 0) (, 0) (4, 0) Folie 15. Juni 016

92 Wdh: Multi-Criteria Dijkstra für CSP CSP kann mit Multi-Criteria Dijkstra (MCD) gelöst werden Bikriterieller Ansatz mit Metriken: Länge & Gewicht Nutze Constraints zum prunen Verwerfe Label mit Gewicht > W Erinnerung: MCD hält pro Knoten eine Menge Pareto-Optimaler Pfade Pareto-Mengen können exponentiell groß werden (0,1) (0,0) (1,0) (0, 1) (0, ) (0, 4) (1, 0) (, 0) (4, 0) Folie 15. Juni 016

93 Wdh: Multi-Criteria Dijkstra für CSP CSP kann mit Multi-Criteria Dijkstra (MCD) gelöst werden Bikriterieller Ansatz mit Metriken: Länge & Gewicht Nutze Constraints zum prunen Verwerfe Label mit Gewicht > W Erinnerung: MCD hält pro Knoten eine Menge Pareto-Optimaler Pfade Pareto-Mengen können exponentiell groß werden (0,3) (1,) (0,1) (,1) (0,0) (1,0) (3,0) (0, 1) (0, ) (0, 4) (1, 0) (, 0) (4, 0) Folie 15. Juni 016

94 Wdh: Multi-Criteria Dijkstra für CSP CSP kann mit Multi-Criteria Dijkstra (MCD) gelöst werden Bikriterieller Ansatz mit Metriken: Länge & Gewicht Nutze Constraints zum prunen Verwerfe Label mit Gewicht > W Erinnerung: (0,7) MCD hält pro Knoten eine Menge Pareto-Optimaler Pfade (1,6) (,5) Pareto-Mengen können (3,4) exponentiell groß werden (0,3) (4,3) (1,) (5,) (0,1) (,1) (6,1) (0,0) (1,0) (3,0) (7,0) (0, 1) (0, ) (0, 4) (1, 0) (, 0) (4, 0) Folie 15. Juni 016

95 Schnellste zulässige Route Idee: Nutze gleichen Ansatz für EV routing Label sind Tupel (Fahrzeit, SoC) Falls SoC < 0, Pfad nicht weiter verfolgen Folie Juni 016

96 Schnellste zulässige Route Idee: Nutze gleichen Ansatz für EV routing Label sind Tupel (Fahrzeit, SoC) Falls SoC < 0, Pfad nicht weiter verfolgen Verbesserungen: Standard Beschleunigungen von MCD übertragbar: Hopping Reduction Nur ein Label pro Knoten in Queue Target Pruning (Nutze max. Rekuperation d[t]) Knoten Kontraktionen (Nutze Verbrauchsfunktionen) Folie Juni 016

97 Schnellste zulässige Route Idee: Nutze gleichen Ansatz für EV routing Label sind Tupel (Fahrzeit, SoC) Falls SoC < 0, Pfad nicht weiter verfolgen Verbesserungen: Standard Beschleunigungen von MCD übertragbar: Hopping Reduction Nur ein Label pro Knoten in Queue Target Pruning (Nutze max. Rekuperation d[t]) Knoten Kontraktionen (Nutze Verbrauchsfunktionen) Beobachtung: Wir brauchen nicht alle Pareto-Optima an t: Sind nur an schnellster zulässiger Route interessiert Stoppe sobald erstes Label an t aus Queue genommen (Queue ist nach Fahrzeit sortiert) Folie Juni 016

98 Erweiterte Szenarien Variable Geschwindigkeit: Bisher: Kanten mit fester Geschwindigkeit Idee: Erlaube langsamer zu fahren Ermöglicht Trade-off zwischen Fahrzeit und Energieverbrauch Mögliche Umsetzungen: Multikanten mit verschieden Geschwindigkeits-/Verbrauchswerten Funktionen an Kanten, die Fahrzeit auf Verbrauch abbilden Ladestationen: Akku Kapazität ist stark begrenzt (~100 km, max. 400 km) Lange Strecken unmöglich, selbst mit verbrauchsoptimalen Routen Nutzung von Ladestationen nicht zu vermeiden Problem: Ladestationen sind langsam und wenig verbreitet Folie Juni 016

99 Ladestationen Finde schnellste Route von s nach t: s? t Erreichbares Gebiet Ladestation Folie Juni 016

100 Ladestationen Finde schnellste Route von s nach t: s? t Erreichbares Gebiet Ladestation Folie Juni 016

101 Ladestationen Finde schnellste Route von s nach t: s? t Erreichbares Gebiet Ladestation Folie Juni 016

102 Ladestationen Finde schnellste Route von s nach t: Route zur nächsten Ladestation kann vom Ziel wegführen s t Erreichbares Gebiet Ladestation Folie Juni 016

103 Ladestationen Finde schnellste Route von s nach t: s t Erreichbares Gebiet Ladestation Folie Juni 016

104 Ladestationen Finde schnellste Route von s nach t: s t Erreichbares Gebiet Ladestation Folie Juni 016

105 Ladestationen Finde schnellste Route von s nach t: Frühzeitiger Abbruch des Ladevorgangs kann lohnen, selbst wenn Ziel bei weiterem Laden direkt erreichbar wäre s t Erreichbares Gebiet Ladestation Super Charger / Swapping Station Folie Juni 016

106 Ladestationen Finde schnellste Route von s nach t: s t Erreichbares Gebiet Ladestation Super Charger / Swapping Station Folie Juni 016

107 Ladestationen Finde schnellste Route von s nach t: s t Erreichbares Gebiet Ladestation Super Charger / Swapping Station Folie Juni 016

108 Ladestationen Finde schnellste Route von s nach t: s t Erreichbares Gebiet Ladestation Super Charger / Swapping Station Folie Juni 016

109 Ladestationen Finde schnellste Route von s nach t: s t Erreichbares Gebiet Ladestation Super Charger / Swapping Station Folie Juni 016

110 Ladestationen Finde schnellste Route von s nach t: s t Erreichbares Gebiet Ladestation Super Charger / Swapping Station Folie Juni 016

111 Ladestationen Finde schnellste Route von s nach t: Zyklen möglich s t Erreichbares Gebiet Ladestation Super Charger / Swapping Station Folie Juni 016

112 Ladestationen Schwierigkeiten: Laden dauert lange ( lieber Energie sparen, laden vermeiden) Ladestationen sind selten (lohnt sich ein Umweg?) Laden jederzeit unterbrechbar Ansatz: Ladezeiten müssen während Routenplanung berücksichtigt werden Optimiere Reisezeit = Fahrzeit + Ladezeit Teilmenge S V der Knoten sind Ladestationen Für jede Station eine Funktion, die das Ladeverhalten beschreibt Folie Juni 016

113 Ladefunktionen Formal: Eine Funktion cf: [0, M] R 0 [0, M], bildet Initialen SoC b s und Gewünschte Ladezeit τ c auf Durch laden erreichten SoC ab Monoton steigend (Länger laden mehr Energie) Konkav (Akku voller langsameres Laden) Folie Juni 016

114 Ladefunktionen Formal: Eine Funktion cf: [0, M] R 0 [0, M], bildet Initialen SoC b s und Gewünschte Ladezeit τ c auf Durch laden erreichten SoC ab Monoton steigend (Länger laden mehr Energie) Konkav (Akku voller langsameres Laden) Anmerkung: Realistische Ladefunktionen darstellbar durch: Univariate Funktion cf : R 0 [0, M] cf(b, τ c ) := cf (τ c + cf 1 (b)) SoC cf (τ c) = cf(0, τ c) τ c Folie Juni 016

115 Ladefunktionen Formal: Eine Funktion cf: [0, M] R 0 [0, M], bildet Initialen SoC b s und Gewünschte Ladezeit τ c auf Durch laden erreichten SoC ab Monoton steigend (Länger laden mehr Energie) Konkav (Akku voller langsameres Laden) Anmerkung: Realistische Ladefunktionen darstellbar durch: Univariate Funktion cf : R 0 [0, M] cf(b, τ c ) := cf (τ c + cf 1 (b)) SoC cf (τ c) = cf(0, τ c) cf(3, )= cf ( + cf 1 (3)) τ c Folie Juni 016

116 Ladefunktionen Formal: Eine Funktion cf: [0, M] R 0 [0, M], bildet Initialen SoC b s und Gewünschte Ladezeit τ c auf Durch laden erreichten SoC ab Monoton steigend (Länger laden mehr Energie) Konkav (Akku voller langsameres Laden) Anmerkung: Realistische Ladefunktionen darstellbar durch: Univariate Funktion cf : R 0 [0, M] cf(b, τ c ) := cf (τ c + cf 1 (b)) SoC cf (τ c) = cf(0, τ c) cf(3, ) = cf ( + cf 1 (3)) 3 τ c Folie Juni 016

117 Ladefunktionen Formal: Eine Funktion cf: [0, M] R 0 [0, M], bildet Initialen SoC b s und Gewünschte Ladezeit τ c auf Durch laden erreichten SoC ab Monoton steigend (Länger laden mehr Energie) Konkav (Akku voller langsameres Laden) Anmerkung: Realistische Ladefunktionen darstellbar durch: Univariate Funktion cf : R 0 [0, M] cf(b, τ c ) := cf (τ c + cf 1 (b)) SoC cf (τ c) = cf(0, τ c) cf(3, ) = cf ( + cf 1 (3)) cf(3, ) = cf ( + )cf 1 (b) 5 3 τ c Folie Juni 016

118 Ladefunktionen Formal: Eine Funktion cf: [0, M] R 0 [0, M], bildet Initialen SoC b s und Gewünschte Ladezeit τ c auf Durch laden erreichten SoC ab Monoton steigend (Länger laden mehr Energie) Konkav (Akku voller langsameres Laden) Anmerkung: Realistische Ladefunktionen darstellbar durch: Univariate Funktion cf : R 0 [0, M] cf(b, τ c ) := cf (τ c + cf 1 (b)) SoC cf (τ c) = cf(0, τ c) cf(3, ) = cf ( + cf 1 (3)) cf(3, ) = cf ( + )cf 1 (b) cf(3, ) = 5cf 1 (b) 5 3 τ c Folie Juni 016

119 Charging Function Propagation (CFP) Algorithmus: Basiert auf Dijkstra s Algorithmus bzw. MCD Solange keine Ladestation Besucht: Label = Tupel (Reisezeit, SoC) Battery Constraints, Pareto-Optimierung wie bisher Folie Juni 016

120 Charging Function Propagation (CFP) Algorithmus: Basiert auf Dijkstra s Algorithmus bzw. MCD Solange keine Ladestation Besucht: Label = Tupel (Reisezeit, SoC) Battery Constraints, Pareto-Optimierung wie bisher Problem: Wenn Ladestation erreicht: Wie lange laden? Hängt vom gewähltem Pfad zu t ab Optimaler SoC zum Weiterfahren unbekannt Folie Juni 016

121 Charging Function Propagation (CFP) Algorithmus: Basiert auf Dijkstra s Algorithmus bzw. MCD Solange keine Ladestation Besucht: Label = Tupel (Reisezeit, SoC) Battery Constraints, Pareto-Optimierung wie bisher Problem: Wenn Ladestation erreicht: Wie lange laden? Hängt vom gewähltem Pfad zu t ab Optimaler SoC zum Weiterfahren unbekannt Lösung: Verschiebe die Entscheidung auf später! Merke zuletzt gesehene Ladestation Folie Juni 016

122 Charging Function Propagation (CFP) Label: Ein Label l am Knoten v ist ein Tupel (τ t, b u, u, c (u,...,v) ) mit: Reisezeit τ t von s nach v (Inklusive Ladezeiten außer an u) SoC b u mit dem die letzte Ladestation (u) erreicht wurde Zu letzt passierte Ladestation u (Initial ) Verbrauchsfunktion c (u,...,v) für den Pfad von u nach v (Initial ) Folie Juni 016

123 Charging Function Propagation (CFP) Label: Ein Label l am Knoten v ist ein Tupel (τ t, b u, u, c (u,...,v) ) mit: Reisezeit τ t von s nach v (Inklusive Ladezeiten außer an u) SoC b u mit dem die letzte Ladestation (u) erreicht wurde Zu letzt passierte Ladestation u (Initial ) Verbrauchsfunktion c (u,...,v) für den Pfad von u nach v (Initial ) Interpretation: Label beschreibt eine verschobene Ladefunktion Bildet Reisezeit auf SoC ab (Daher auch SoC-Funktion genannt) Funktion repräsentiert Menge von Pareto-Optimalen Punkten Definition der SoC-Funktion b l (τ): b l (τ) := b c (u,...,v) (b ) mit b := cf u (b u, τ τ t ) M 0 SoC b l (τ) Zeit (τ) Folie Juni 016

124 Charging Function Propagation (CFP) Label: Ein Label l am Knoten v ist ein Tupel (τ t, b u, u, c (u,...,v) ) mit: Reisezeit τ t von s nach v (Inklusive Ladezeiten außer an u) SoC b u mit dem die letzte Ladestation (u) erreicht wurde Zu letzt passierte Ladestation u (Initial ) Verbrauchsfunktion c (u,...,v) für den Pfad von u nach v (Initial ) Interpretation: Label beschreibt eine verschobene Ladefunktion Bildet Reisezeit auf SoC ab (Daher auch SoC-Funktion genannt) Funktion repräsentiert Menge von Pareto-Optimalen Punkten Definition der SoC-Funktion b l (τ): b l (τ) := b c (u,...,v) (b ) mit b := cf u (b u, τ τ t ) M 0 SoC b l (τ) Zeit (τ) Folie Juni 016

125 Charging Function Propagation (CFP) Kanten Relaxierung: (Label l = (τ t, b u, u, c (u,...,v) )) Relaxieren der Kante e = (v, w) verschiebt die SoC-Funktion b l (τ) b l (τ) wird um Fahrzeit τ d (e) nach rechts verschoben b l (τ) wird um Verbrauch γ(e) nach unten verschoben Anschließend werden Battery Constraints überprüft Formal: τ t τ t + τ d (e) und c (u,...,w) c (u,...,v) c e τ d (e) = 3, γ(e) = τ d (e) = 3, γ(e) = M SoC b(τ) M SoC b(τ) 0 τ 0 τ Folie Juni 016

126 Charging Function Propagation (CFP) Kanten Relaxierung: (Label l = (τ t, b u, u, c (u,...,v) )) Relaxieren der Kante e = (v, w) verschiebt die SoC-Funktion b l (τ) b l (τ) wird um Fahrzeit τ d (e) nach rechts verschoben b l (τ) wird um Verbrauch γ(e) nach unten verschoben Anschließend werden Battery Constraints überprüft Formal: τ t τ t + τ d (e) und c (u,...,w) c (u,...,v) c e τ d (e) = 3, γ(e) = τ d (e) = 3, γ(e) = M SoC b(τ) M SoC b(τ) 0 τ 0 τ Folie Juni 016

127 Charging Function Propagation (CFP) Kanten Relaxierung: (Label l = (τ t, b u, u, c (u,...,v) )) Relaxieren der Kante e = (v, w) verschiebt die SoC-Funktion b l (τ) b l (τ) wird um Fahrzeit τ d (e) nach rechts verschoben b l (τ) wird um Verbrauch γ(e) nach unten verschoben Anschließend werden Battery Constraints überprüft Formal: τ t τ t + τ d (e) und c (u,...,w) c (u,...,v) c e τ d (e) = 3, γ(e) = τ d (e) = 3, γ(e) = M SoC b(τ) M SoC b(τ) 0 τ 0 τ Folie Juni 016

128 Charging Function Propagation (CFP) Kanten Relaxierung: (Label l = (τ t, b u, u, c (u,...,v) )) Relaxieren der Kante e = (v, w) verschiebt die SoC-Funktion b l (τ) b l (τ) wird um Fahrzeit τ d (e) nach rechts verschoben b l (τ) wird um Verbrauch γ(e) nach unten verschoben Anschließend werden Battery Constraints überprüft Formal: τ t τ t + τ d (e) und c (u,...,w) c (u,...,v) c e τ d (e) = 3, γ(e) = τ d (e) = 3, γ(e) = M SoC b(τ) M SoC b(τ) 0 τ 0 τ Folie Juni 016

129 Charging Function Propagation (CFP) Dominanz von SoC-Funktionen: Eine SoC-Funktion b l (τ) dominert b l (τ) (b l (τ) b l (τ)) gdw.: τ 0: b l (τ) b l (τ) Pro Knoten eine Pareto-Menge von SoC-Funktionen Ein neues Label wird erzeugt (Durch eine Kanten Relaxierung) Überprüfe Dominanz, Lösche dominierte Label M SoC 0 tt Folie Juni 016

130 Charging Function Propagation (CFP) Dominanz von SoC-Funktionen: Eine SoC-Funktion b l (τ) dominert b l (τ) (b l (τ) b l (τ)) gdw.: τ 0: b l (τ) b l (τ) Pro Knoten eine Pareto-Menge von SoC-Funktionen Ein neues Label wird erzeugt (Durch eine Kanten Relaxierung) Überprüfe Dominanz, Lösche dominierte Label M SoC 0 tt Folie Juni 016

131 Charging Function Propagation (CFP) Dominanz von SoC-Funktionen: Eine SoC-Funktion b l (τ) dominert b l (τ) (b l (τ) b l (τ)) gdw.: τ 0: b l (τ) b l (τ) Pro Knoten eine Pareto-Menge von SoC-Funktionen Ein neues Label wird erzeugt (Durch eine Kanten Relaxierung) Überprüfe Dominanz, Lösche dominierte Label M SoC 0 tt Folie Juni 016

132 Charging Function Propagation (CFP) Dominanz von SoC-Funktionen: Eine SoC-Funktion b l (τ) dominert b l (τ) (b l (τ) b l (τ)) gdw.: τ 0: b l (τ) b l (τ) Pro Knoten eine Pareto-Menge von SoC-Funktionen Ein neues Label wird erzeugt (Durch eine Kanten Relaxierung) Überprüfe Dominanz, Lösche dominierte Label M SoC 0 tt Folie Juni 016

133 Charging Function Propagation (CFP) Dominanz von SoC-Funktionen: Eine SoC-Funktion b l (τ) dominert b l (τ) (b l (τ) b l (τ)) gdw.: τ 0: b l (τ) b l (τ) Pro Knoten eine Pareto-Menge von SoC-Funktionen Ein neues Label wird erzeugt (Durch eine Kanten Relaxierung) Überprüfe Dominanz, Lösche dominierte Label M SoC 0 tt Folie Juni 016

134 Charging Function Propagation (CFP) Settling von Ladestationen Nur die letzte Ladestation wird im Label gespeichert Erreichen einer Ladestation Bestimme τ c für die letzte Station Problem: Am ursprünglichem Problem hat sich nichts geändert Auch für vorletzte Ladestation ist die Ladezeit unklar Folie Juni 016

135 Charging Function Propagation (CFP) Settling von Ladestationen Nur die letzte Ladestation wird im Label gespeichert Erreichen einer Ladestation Bestimme τ c für die letzte Station Problem: Am ursprünglichem Problem hat sich nichts geändert Auch für vorletzte Ladestation ist die Ladezeit unklar Aber: Wechsel der Station nur sinnvoll, wenn neue Station besser M SoC cf(0, τ) M SoC b l (τ) 0 τ 0 τ Folie Juni 016

136 Charging Function Propagation (CFP) Settling von Ladestationen Nur die letzte Ladestation wird im Label gespeichert Erreichen einer Ladestation Bestimme τ c für die letzte Station Problem: Am ursprünglichem Problem hat sich nichts geändert Auch für vorletzte Ladestation ist die Ladezeit unklar Aber: Wechsel der Station nur sinnvoll, wenn neue Station besser M SoC cf(0, τ) M SoC b l (τ) 0 τ 0 τ Folie Juni 016

137 Charging Function Propagation (CFP) Settling von Ladestationen Nur die letzte Ladestation wird im Label gespeichert Erreichen einer Ladestation Bestimme τ c für die letzte Station Problem: Am ursprünglichem Problem hat sich nichts geändert Auch für vorletzte Ladestation ist die Ladezeit unklar Aber: Wechsel der Station nur sinnvoll, wenn neue Station besser M SoC cf(0, τ) M SoC b l (τ) 0 τ 0 τ Folie Juni 016

138 Charging Function Propagation (CFP) Settling von Ladestationen Nur die letzte Ladestation wird im Label gespeichert Erreichen einer Ladestation Bestimme τ c für die letzte Station Problem: Am ursprünglichem Problem hat sich nichts geändert Auch für vorletzte Ladestation ist die Ladezeit unklar Aber: Wechsel der Station nur sinnvoll, wenn neue Station besser M SoC cf(0, τ) M SoC b l (τ) 0 τ 0 τ Folie Juni 016

139 Charging Function Propagation (CFP) Settling von Ladestationen Nur die letzte Ladestation wird im Label gespeichert Erreichen einer Ladestation Bestimme τ c für die letzte Station Problem: Am ursprünglichem Problem hat sich nichts geändert Auch für vorletzte Ladestation ist die Ladezeit unklar Aber: Wechsel der Station nur sinnvoll, wenn neue Station besser M SoC cf(0, τ) M SoC b l (τ) 0 τ 0 τ Folie Juni 016

140 Charging Function Propagation (CFP) Settling von Ladestationen Nur die letzte Ladestation wird im Label gespeichert Erreichen einer Ladestation Bestimme τ c für die letzte Station Problem: Am ursprünglichem Problem hat sich nichts geändert Auch für vorletzte Ladestation ist die Ladezeit unklar Aber: Wechsel der Station nur sinnvoll, wenn neue Station besser M SoC cf(0, τ) M SoC b l (τ) 0 τ 0 τ Folie Juni 016

141 Charging Function Propagation (CFP) Settling von Ladestationen Nur die letzte Ladestation wird im Label gespeichert Erreichen einer Ladestation Bestimme τ c für die letzte Station Problem: Am ursprünglichem Problem hat sich nichts geändert Auch für vorletzte Ladestation ist die Ladezeit unklar Aber: Wechsel der Station nur sinnvoll, wenn neue Station besser M SoC cf(0, τ) M SoC b l (τ) 0 τ 0 τ Folie Juni 016

142 Charging Function Propagation (CFP) Settling von Ladestationen Nur die letzte Ladestation wird im Label gespeichert Erreichen einer Ladestation Bestimme τ c für die letzte Station Problem: Am ursprünglichem Problem hat sich nichts geändert Auch für vorletzte Ladestation ist die Ladezeit unklar Aber: Wechsel der Station nur sinnvoll, wenn neue Station besser M SoC cf(0, τ) M SoC b l (τ) 0 τ 0 τ Folie Juni 016

143 Charging Function Propagation (CFP) Settling von Ladestationen Nur die letzte Ladestation wird im Label gespeichert Erreichen einer Ladestation Bestimme τ c für die letzte Station Problem: Am ursprünglichem Problem hat sich nichts geändert Auch für vorletzte Ladestation ist die Ladezeit unklar Aber: Wechsel der Station nur sinnvoll, wenn neue Station besser M SoC cf(0, τ) M SoC b l (τ) 0 τ 0 τ Folie Juni 016

144 Charging Function Propagation (CFP) Settling von Ladestationen Nur die letzte Ladestation wird im Label gespeichert Erreichen einer Ladestation Bestimme τ c für die letzte Station Problem: Am ursprünglichem Problem hat sich nichts geändert Auch für vorletzte Ladestation ist die Ladezeit unklar Aber: Wechsel der Station nur sinnvoll, wenn neue Station besser M SoC cf(0, τ) M SoC b l (τ) 0 τ 0 τ Folie Juni 016

145 Charging Function Propagation (CFP) Settling von Ladestationen Nur die letzte Ladestation wird im Label gespeichert Erreichen einer Ladestation Bestimme τ c für die letzte Station Problem: Am ursprünglichem Problem hat sich nichts geändert Auch für vorletzte Ladestation ist die Ladezeit unklar Aber: Wechsel der Station nur sinnvoll, wenn neue Station besser M SoC cf(0, τ) M SoC b l (τ) 0 τ 0 τ Folie Juni 016

146 Charging Function Propagation (CFP) Settling von Ladestationen Nur die letzte Ladestation wird im Label gespeichert Erreichen einer Ladestation Bestimme τ c für die letzte Station Problem: Am ursprünglichem Problem hat sich nichts geändert Auch für vorletzte Ladestation ist die Ladezeit unklar Aber: Wechsel der Station nur sinnvoll, wenn neue Station besser M SoC cf(0, τ) M SoC b l (τ) 0 τ 0 τ Folie Juni 016

147 Charging Function Propagation (CFP) Settling von Ladestationen Nur die letzte Ladestation wird im Label gespeichert Erreichen einer Ladestation Bestimme τ c für die letzte Station Problem: Am ursprünglichem Problem hat sich nichts geändert Auch für vorletzte Ladestation ist die Ladezeit unklar Aber: Wechsel der Station nur sinnvoll, wenn neue Station besser M SoC cf(0, τ) M SoC b l (τ) b l (τ) 0 τ 0 τ Folie Juni 016

148 Charging Function Propagation (CFP) Settling von Ladestationen Nur die letzte Ladestation wird im Label gespeichert Erreichen einer Ladestation Bestimme τ c für die letzte Station Problem: Am ursprünglichem Problem hat sich nichts geändert Auch für vorletzte Ladestation ist die Ladezeit unklar Wechsel der Ladestation lohnt sich nur an Stützpunkten von b l (τ) Gegeben: Label l = (τ t, b u, u, c (u,...,v) ) an Knoten v v ist Ladestation τ ist Stützstelle von b l Erzeuge neues Label l = (τ, b l (τ), v, 0) Folie Juni 016