Algorithmen für Routenplanung 14. Vorlesung, Sommersemester 2012 Daniel Delling 18. Juni 2012

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1 Algorithmen für Routenplanung 14. Vorlesung, Sommersemester 2012 Daniel Delling 18. Juni 2012 MICROSOFT RESEARCH SILICON VALLEY KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Großforschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Abbiegeverbote/-kosten bisher: Kreuzungen Knoten Strassen Kanten aber: Abbiegen manchmal verboten Linksabbiegen teurer als rechts Kosten U-Turns hoch wurde als einfaches Modellierungsdetail abgetan Folie Juni 2012

3 Modellierung Möglichkeit I: Vergrössern des Graphen durch Ausmodellierung redundante Information entferne einen Knoten pro Strasse kantenbasierter Graph da Strassen Knoten Turns Kanten Möglichkeit II: behalte Kreuzungen als Knoten speicher Abbiegetabelle Beobachtung: viele Knoten haben die gleiche Abbiegetabelle also speicher jede Tabelle einmal, Knoten speichern Tabellen-ID Folie Juni 2012

4 Kantenbasierter Graph Dijkstra: funktioniert ohne Anpassung mehr Knoten zu scannen Faktor 3 langsamer CH funktioniert ohne Anpassung aber grössere Anzahl Knoten/Kanten erhöht Vorberechungszeit MLD Anzahl Schnittkanten erhöht sich Schnittkanten = Schnittknoten eventuell wechsel zu Knotenseparatoren? Folie Juni 2012

5 Kompaktes Modell Dijkstra: Turns müssen in den Suchalgorithmus integriert werden Kreuzungen können mehrfach gescannt werden jede Kante wird höchstens einmal gescannt Suchraum gleich zu kantenbasiertem Modell Vorteil: weniger Speicher für den Graphen Optimierung: berechne für jede Kreuzung Schranken reduziert Suchraum um einen Faktor 2 Folie Juni 2012

6 Kompaktes Modell CH Zeugensuche wird komplizierter für jedes Paar eingehender und ausgehender Kanten muss eine Zeugensuche durchgeführt werden es können Self-Loops entstehen Anpassung schwierig Zeugensuche schlägt häufig fehl Folie Juni 2012

7 Kompaktes Modell MLD Schnittkanten bleiben erhalten Schnittkante 2 Knoten auf Overlay Turns müssen nur auf unterstem beachtet werden auf Overlaygraphen: normaler Dijkstra einfache Anpassung, aber Query wird komplizierter Folie Juni 2012

8 Ergebnisse 1 s 100 s Customization Queries Algorithm time [s] [MB] #scans time [ms] MLD-4 [2 8 : 2 12 : 2 16 : 2 20 ] CH expanded CH compact MLD-4 [2 8 : 2 12 : 2 16 : 2 20 ] CH expanded CH compact Beobachtung: CH hat massive Probleme mit Turns MLD kaum (einer der Hauptgründe für Entwicklung von MLD) Folie Juni 2012

9 Diskussion Wie historische Daten einbeziehen? Folie Juni 2012

10 Zeitabhängiges Szenario Szenario: Historische Daten für Verkehrssituation verfügbar Verkehrssituation vorhersagbar Berechne schnellsten Weg bezüglich der erwarteten Verkehrssituation (zu einem gegebenen Startzeitpunkt) Beobachtung: Kein konzeptioneller Unterschied zu Public Transport Somit Techniken übertragbar? Nein! Dazu bald mehr. Folie Juni 2012

11 Herausforderung Hauptproblem: Kürzester Weg hängt von Abfahrtszeitpunkt ab Eingabegröße steigt massiv an Vorgehen: Modellierung Anpassung Dijkstra Anpassung Beschleunigungstechniken Heute: Modellierung und Dijkstra Folie Juni 2012

12 Zeitabhängige Straßennetzwerke Eingabe: Durchschnittliche Reisezeit zu bestimmten Zeitpunkten Jeden Wochentag verschieden Sonderfälle: Urlaubszeit Somit an jeder Kante: Periodische stückweise lineare Funktion Definiert durch Stützpunkte Interpoliere linear zwischen Stützpunkten travel time departure Folie Juni 2012

13 FIFO-Eigenschaft Definition Sei f : R + 0 R+ 0 eine Funktion. f erfüllt die FIFO-Eigenschaft, wenn für jedes ε > 0 und alle τ R + 0 gilt, dass f (τ) ε + f (τ + ε). Diskussion Interpretation: Warten lohnt sich nie Kürzeste Wege auf Graphen mit non-fifo Funktionen zu finden ist NP-schwer. (wenn warten an Knoten nicht erlaubt ist) Sicherstellen, dass Funktionen FIFO-Eigenschaft erfüllen. Folie Juni 2012

14 Diskussion Eigenschaften: Topologie ändert sich nicht Kanten gemischt zeitabhängig und konstant variable (!) Anzahl Interpolationspunkte pro Kante Beobachtungen: FIFO gilt auf allen Kanten später wichtig Folie Juni 2012

15 Datenstruktur sourcenode lowerbound :00-2 9: : firstinedge firstedge firstoutedge targetnode firstpoint :00-3 8: : : : : : :00-1 time weight Folie Juni 2012

16 Anfrageszenarien Zeit-Anfrage: finde kürzesten Weg für Abfahrtszeit τ analog zu Dijkstra? Profil-Anfrage: finde kürzesten Weg für alle Abfahrtszeitpunkte analog zu Dijkstra? Folie Juni 2012

17 Zeit-Anfragen Time-Dijkstra(G = (V, E),s,τ) d τ [s] = 0 Q.clear(), Q.add(s, 0) while!q.empty() do u Q.deleteMin() for all edges e = (u, v) E do if d τ [u] + len(e, τ + d τ [u]) < d τ [v] then d τ [v] d τ [u] + len(e, τ + d τ [u]) p τ [v] u if v Q then Q.decreaseKey(v, d τ [v]) else Q.insert(v, d τ [v]) Folie Juni 2012

18 Diskussion Zeit-Anfragen Beobachtung: Nur ein Unterschied zu Dijkstra Auswertung der Kanten non-fifo Netzwerke: Im Kreis fahren kann sich lohnen NP-schwer (wenn warten an Knoten nicht erlaubt ist) Transportnetzwerke sind FIFO modellierbar (notfalls Multikanten) Folie Juni 2012

19 Profil-Anfragen Profile-Search(G = (V, E),s) d [s] = 0 Q.clear(), Q.add(s, 0) while!q.empty() do u Q.deleteMin() for all edges e = (u, v) E do if d [u] len(e) d [v] then d [v] min(d [u] len(e), d [v]) if v Q then Q.decreaseKey(v, d[v]) else Q.insert(v, d[v]) Folie Juni 2012

20 Diskussion Profile-Anfragen Beobachtungen: Operationen auf Funktionen Priorität im Prinzip frei wählbar (d[u] ist das Minimum der Funktion d [u]) Knoten können mehrfach besucht werden label-correcting Herausforderungen: Wie effizient berechnen (Linken)? Wie effizient Minimum bilden? Folie Juni 2012

21 Operationen Funktion gegeben durch: Menge von Interpolationspunkten I f := {(t f 1, w f 1 ),..., (t f k, w f k )} 3 Operationen notwendig: Auswertung Linken Minimumsbildung Folie Juni 2012

22 Auswertung Evaluation von f (τ): Suche Punkte mit t i τ und t i+1 τ dann Evaluation durch travel time f (τ) = w i + (τ t i ) wi+1 w i t i+1 t i departure Problem: Finden von t i und t i+1 Theoretisch: Lineare Suche: O( I ) Binäre Suche: O(log 2 I ) Praktisch: I < 30 lineare Suche Sonst: Lineare Suche mit Startpunkt τ Π I wobei Π die Periodendauer ist Folie Juni 2012

23 Linken Definition Seien f : R + 0 R+ 0 und g : R+ 0 zwei Funktionen die die FIFO-Eigenschaft erfüllen. Die Linkoperation f g ist dann definiert durch f g := f + g (id +f ) Oder (f g)(τ) := f (τ) + g(τ + f (τ)) Folie Juni 2012

24 Linken Linken zweier Funktionen f und g f g enthält auf jeden Fall { ( t1 f, w 1 f + g(t 1 f + w 1 f )),..., ( tl f, w l f + g(tl f + wl f )) } Zusätzliche Interpolationspunkte an t 1 j mit f (t 1 j ) + t 1 j = t g j Füge (t 1 j, f (t 1 j ) + w g j ) für alle Punkte von g zu f g Durch linearen Sweeping- Algorithmus implementierbar u :00 7:45 8:00 v w :00 8: :00 8:00 8:16 Folie Juni 2012

25 Diskussion Linken Laufzeit Sweep Algorithmus O( I f + I g ) Zum Vergleich: Zeitunabhängig O(1) Speicherverbrauch Gelinkte Funktion hat I f + I g Interpolationspunkte Problem: Während Profilsuche kann ein Pfad mehreren Tausend Kanten entsprechen Shortcuts... Folie Juni 2012

26 Merge von Funktionen Minimum zweier Funktionen f und g Für alle (ti f, w i f f ): behalte Punkt, wenn wi < g(ti f ) Für alle (t g j, w g j ): behalte Punkt, wenn w g j < f (t g j ) Schnittpunkte müssen ebenfalls eingefügt werden Vorgehen: Linearer sweep Evaluiere, welcher Abschnitt oben Checke ob Schnittpunkt existiert travel time departure time Folie Juni 2012

27 Diskussion Merge Laufzeit Sweep Algorithmus O( I f + I g ) Zum Vergleich: Zeitunabhängig: O(1) Speicherverbrauch Minimum-Funktion kann mehr als I f + I g Interpolationspunkte enthalten Problem: Während Profilsuche werden Funktionen gemergt Laufzeit der Profilsuchen wird durch diese Operationen dominiert Folie Juni 2012

28 Eingabe Netzwerk Deutschland V 4.7 Mio., E 10.8 Mio. 5 Verkehrszenarien: Montag: 8% Kanten zeitabhängig Dienstag - Donnerstag: 8% Freitag: 7% Samstag: 5% Sonntag: 3% Folie Juni 2012

29 Grad der Zeitabhängigkeit #delete mins slow-down time [ms] slow-down kein 2,239, % % Montag 2,377, % % DiDo 2,305, % % Freitag 2,340, % % Samstag 2,329, % % Sonntag 2,348, % % Beobachtung: kaum Veränderung in Suchraum Anfragen etwas langsamer durch Auswertung Folie Juni 2012

30 Profilsuchen Beobachtung: Nicht durchführbar durch zu großen Speicherbedarf (> 32 GiB RAM) Interpoliert: Suchraum steigt um ca. 10% Suchzeiten um einen Faktor von bis zu inpraktikabel Folie Juni 2012

31 Zusammenfassung Zeitabhängige Netzwerke (Basics) Funktionen statt Konstanten an Kanten Operationen werden teurer O(log I ) für Auswertung O( I f + I g ) für Linken und Minimum Speicherverbrauch explodiert Zeitanfragen: Normaler Dijkstra Kaum langsamer (lediglich Auswertung) Profilanfragen nicht zu handhaben Folie Juni 2012

32 Literatur Abbiegekosten: Robert Geisberger, Christian Vetter Efficient Routing in Road Networks with Turn Costs In: Proceedings of the 10th International Symposium on Experimental Algorithms (SEA 11), 2011 Daniel Delling, Andrew V. Goldberg, Thomas Pajor, Renato Werneck Customizable Route Planning In: Proceedings of the 10th International Symposium on Experimental Algorithms (SEA 11), 2011 Zeitabhänige Routenplanung Daniel Delling: Engineering and Augmenting Route Planning Algorithms Ph.D. Thesis, Universität Karlsruhe (TH), Folie Juni 2012

33 Nächste Termine Mittwoch, Montag, Montag, Folie Juni 2012