Personalisierte Routenplanung

Transkript

1 Personalisierte Routenplanung Vorlesung Routenplanung, KIT, 2016 Sabine Storandt, JMU Würzburg

2 Motivation Viele Kriterien definieren die optimale Route von A nach B. Distanz Reisezeit Benzinverbrauch Staugefahr Szenerie Energieverbrauch Mautkosten 37min, e min, e min, e 3.81

3 Motivation Viele Kriterien definieren die optimale Route von A nach B. Distanz Reisezeit Benzinverbrauch Staugefahr Szenerie Energieverbrauch Mautkosten Gewichtung für jeden Fahrer anders... Teilweise fahrzeugabhängig. 37min, e min, e min, e 3.81

4 Problemdefinition

5 Problemdefinition Gegeben G(V, E) Straßennetzwerk c : E R d d-dimensionaler Kostenvektor pro Kante (12, 0.5, 488) (1, 40, 100)

6 Problemdefinition Gegeben G(V, E) Straßennetzwerk c : E R d d-dimensionaler Kostenvektor pro Kante (12, 0.5, 488) s t Anfrage s, t V (1, 10, 0.25) (1, 40, 100) α R d Gewichtsvektor

7 Problemdefinition Gegeben G(V, E) Straßennetzwerk c : E R d d-dimensionaler Kostenvektor pro Kante = 139 (12, 0.5, 488) s t Anfrage s, t V α R d Gewichtsvektor (1, 10, 0.25) Ziel: Finde Pfad p von s nach t mit min e p α T c = 426 (1, 40, 100)

8 Problemdefinition Gegeben G(V, E) Straßennetzwerk c : E R d d-dimensionaler Kostenvektor pro Kante = 139 (12, 0.5, 488) s t Anfrage s, t V α R d Gewichtsvektor (1, 10, 0.25) Ziel: Finde Pfad p von s nach t mit min e p α T c = 426 (1, 40, 100) Problem 1: Wie findet man personalisierte optimale Routen effizient? Problem 2: Kann man α aus Nutzerdaten extrahieren?

9 Bisherige Ansätze

10 Bisherige Ansätze Alternativrouten Wähle unter den Alternativen die beste gemäß α.

11 Bisherige Ansätze Alternativrouten Wähle unter den Alternativen die beste gemäß α. Optimale α-route evtl. deutlich billiger...

12 Bisherige Ansätze Alternativrouten Wähle unter den Alternativen die beste gemäß α. Optimale α-route evtl. deutlich billiger... Dijkstra (3,2,4) 2.75 (2,1,3) s (1,7,12) (20,0,0) t (5,6,1) Berechne Kantenkosten bei Relaxierung. O(n log n + dm) α = (0.5, 1, 0.25)

13 Bisherige Ansätze Alternativrouten Wähle unter den Alternativen die beste gemäß α. Optimale α-route evtl. deutlich billiger... Dijkstra (3,2,4) 2.75 (2,1,3) s (1,7,12) α = (0.5, 1, 0.25) (20,0,0) t (5,6,1) Berechne Kantenkosten bei Relaxierung. O(n log n + dm) > 7 Sekunden

14 Bisherige Ansätze Multikriterielle Routenplanung/CSP Methoden für personalisierte Routenplanung einsetzbar. NP-hart, große Pareto-Mengen, auch in der Praxis, Overkill. dominiert Pareto-optimal α-optimal c 1 c 2 d = 2 λ = α 1 α 1 + α 2 λc 1 + (1 λ)c 2 untere konvexe Hülle 0 1 λ

15 Bisherige Ansätze Multikriterielle Routenplanung/CSP Methoden für personalisierte Routenplanung einsetzbar. NP-hart, große Pareto-Mengen, auch in der Praxis, Overkill. dominiert Pareto-optimal α-optimal c 1 c 2 d = 2 Pareto-optimale Pfade Obermenge der α-optimalen Pfade. untere konvexe Hülle λ = α 1 α 1 + α 2 λc 1 + (1 λ)c λ

16 Bisherige Ansätze Customization (z.b. CRP, CCH) 3 Phasen: 1. Konstruiere metrik-unabhängigen Overlay Graph. (preprocessing) 2. Überziehe Overlay mit Metrik. (customization) 3. Beantworte Queries im Overlay Graph. (queries) Zeit min sec ms

17 Bisherige Ansätze Customization (z.b. CRP, CCH) 3 Phasen: 1. Konstruiere metrik-unabhängigen Overlay Graph. (preprocessing) 2. Überziehe Overlay mit Metrik. (customization) 3. Beantworte Queries im Overlay Graph. (queries) Zeit min sec ms

18 Bisherige Ansätze Customization (z.b. CRP, CCH) 3 Phasen: Zeit 1. Konstruiere metrik-unabhängigen Overlay Graph. (preprocessing) min 2. Überziehe Overlay mit Metrik. (customization) sec 3. Beantworte Queries im Overlay Graph. (queries) ms pro Anfrage/Query Kann für personalisierte Routenplanung instrumentalisiert werden. Personalisiert den Overlay Graph

19 Bisherige Ansätze Customization (z.b. CRP, CCH) 3 Phasen: Zeit 1. Konstruiere metrik-unabhängigen Overlay Graph. (preprocessing) min 2. Überziehe Overlay mit Metrik. (customization) sec 3. Beantworte Queries im Overlay Graph. (queries) ms pro Anfrage/Query Kann für personalisierte Routenplanung instrumentalisiert werden. Personalisiert den Overlay Graph. Anfragezeiten unparallelisiert kaum schneller als mit Dijkstra (superlinear)

20 Effiziente Personalisierung

21 Effiziente Personalisierung Ansatz 1 Problem: Personalisierte CH-Konstruktion. Welche Shortcuts müssen gesetzt werden? (2,5) (3,7)?

22 Effiziente Personalisierung Ansatz 1 Problem: Personalisierte CH-Konstruktion. Welche Shortcuts müssen gesetzt werden? (2,5) (3,7)? Ansatz 2 Von Customizable zu Personalizable 1. Konstruiere metrik-unabhängigen Overlay Graph. 2. Überziehe Overlay Graph mit Kostenvektoren. 3. Beantworte personalisierte Anfragen. Problem: Wie prunt man Kostenvektormengen? (2,7) (1,5) (8,1) (5,3) (8,0) (2,2) (8,15) (10,2) (9,6)

23 Effiziente Personalisierung Ansatz 1 Problem: Personalisierte CH-Konstruktion. Welche Shortcuts müssen gesetzt werden? (2,5) (3,7)? California 11M nodes, 23M edges Metriken Reisezeit + Benzinkosten Dijkstra 2097ms CH-Dijkstra 2ms speed-up >1000 Ansatz 2 Von Customizable zu Personalizable 1. Konstruiere metrik-unabhängigen Overlay Graph. 2. Überziehe Overlay Graph mit Kostenvektoren. 3. Beantworte personalisierte Anfragen. Problem: Wie prunt man Kostenvektormengen? (1,5) (2,7) (8,1) (8,0) (2,2) (5,3) Germany 22M nodes, 44M edges d # polls # vectors time speed-up ms ms ms ms ms ms 20 (8,15) (10,2) (9,6)

24 Personalisierte CH Alle α-optimalen Pfade müssen erhalten werden.

25 Personalisierte CH Alle α-optimalen Pfade müssen erhalten werden. (2,3) (4,1) (6,4)?

26 Personalisierte CH Alle α-optimalen Pfade müssen erhalten werden. α-optimal = Teil der unteren konvexen Hülle (UKH) UKH kann exponentiell groß sein. c 2 c 1 λ

27 Personalisierte CH Alle α-optimalen Pfade müssen erhalten werden. α-optimal = Teil der unteren konvexen Hülle (UKH) UKH kann exponentiell groß sein. Check ob Pfad optimal für bestimmtes α = Dijkstra Lauf in G α c 2 c 1 λ

34 Personalisierte CH Alle α-optimalen Pfade müssen erhalten werden. α-optimal = Teil der unteren konvexen Hülle (UKH) UKH kann exponentiell groß sein. Check ob Pfad optimal für bestimmtes α = Dijkstra Lauf in G α c 2 c 1 c : E N M = max e E c(e) Zwei Eckpunkte der UKH haben Mindestabstand Ω(1/(nM) 2 ). λ

35 Personalisierte CH Alle α-optimalen Pfade müssen erhalten werden. α-optimal = Teil der unteren konvexen Hülle (UKH) UKH kann exponentiell groß sein. Check ob Pfad optimal für bestimmtes α = Dijkstra Lauf in G α c 2 c 1 c : E N M = max e E c(e) Zwei Eckpunkte der UKH haben Mindestabstand Ω(1/(nM) 2 ). λ Intervall wird in jeder Runde halbiert. Laufzeit O(log(nM)(n log n + m))

36 Personalisierte CH Alle α-optimalen Pfade müssen erhalten werden. Generalisierbar für d > 2.

37 Personalisierte CH Alle α-optimalen Pfade müssen erhalten werden. Generalisierbar für d > 2. Kosten c 1,, c d UKH d 1 i=1 λ ic i + (1 d 1 i=1 λ i)c d λ i [0, 1], d i=1 λ i = 1 Linien Hyperebenen c 1 c 2 c 3 c 1 c λ λ λ 2 1

38 Personalisierte CH Alle α-optimalen Pfade müssen erhalten werden. Generalisierbar für d > 2. Erzeugt minimale CH für gegebene Kontraktionsreihenfolge. Ermöglicht theoretische Laufzeitschranken. Gute Kontraktionsreihenfolge? Vorberechnung teuer, da mehrere Dijkstra Läufe notwendig sind für jede Shortcut-Entscheidung. CAL, d=2 18 min Speed-Up geringer für höheres d. d = 2 : 1000, d = 3 : 200

39 Von Customizable zu Personalizable

40 Von Customizable zu Personalizable Idee konstruiere metrik-unabhängigen Overlay Graph, Customization mit Vektoren statt skalaren Kosten (13, 13) (10, 17) (7, 23) (9,1) (6,5) (3,11) (12, 14) (9,18) (6, 24) (4,12) (3,13) (4,2) (2,3) (9,1) (0,0) (2,6) (1,5) (3,7) (2,2) (1,5) (1,11)

41 Von Customizable zu Personalizable Idee konstruiere metrik-unabhängigen Overlay Graph, Customization mit Vektoren statt skalaren Kosten (13, 13) (10, 17) (7, 23) Große Kostenvektormengen pro Shortcut! (9,1) (6,5) (3,11) (12, 14) (9,18) (6, 24) (4,12) (3,13) (4,2) (2,3) (9,1) (0,0) (2,6) (1,5) (3,7) (2,2) (1,5) (1,11)

42 Von Customizable zu Personalizable Viele Vektoren überflüssig für korrekte Queries... b b a (1,2) (3,4) (2,1) v (10,0) u (6,6) w (5,9) c a (1,2) (16,6) (2,1) u (11,15) (3,4) v (15,9) c a (1,2) (19,20) (5,5) u b (18,13) a (20,22) (6,7) b (18,13) (16,20) (22,15) (36,20) (30,35) (36,30) (40,35) (11,15) (17,10) (31,15) c (12,17) (18,12) (32,17) c

43 Von Customizable zu Personalizable (2,4) (3,6) Lösche dominierte Vektoren ein Vektor v R d dominiert einen anderen Vektor w R d wenn v i w i i = 1,..., d und v i < w i für mindest ein i {1,..., d}. Naiver Ansatz vergleiche alle Paare von Vektoren O(d S 2 ) Beschleunigung wähle d Kandidaten (z.b. den kostenminimalen pro Dimension) überprüfe für alle anderen Vektoren ob diese dominiert werden runtime O(d 2 S )

44 Von Customizable zu Personalizable (2,4) (5,3) (6,2) Löschen aufgespannter Vektoren Lemma Ein Vektor v R d kann gelöscht werden wenn eine Konvexkombination von höchstens d anderen Vektoren v dominiert.

45 Von Customizable zu Personalizable Löschen aufgespannter Vektoren (2,4) (5,3) (6,2) 4 3 Lemma Ein Vektor v R d kann gelöscht werden wenn eine Konvexkombination von höchstens d anderen Vektoren v dominiert. Annahme: α : α T v = z minimal und eindeutig w 1,, w d Vektoren die v aufspannen mit v < v

46 Von Customizable zu Personalizable Löschen aufgespannter Vektoren (2,4) (5,3) (6,2) 4 3 Lemma Ein Vektor v R d kann gelöscht werden wenn eine Konvexkombination von höchstens d anderen Vektoren v dominiert. Annahme: α : α T v = z minimal und eindeutig w 1,, w d Vektoren die v aufspannen mit v < v γi w i = v < v mit γ i = 1 und γ i 0 α T γ i w i = α T v < α T v = z

47 Von Customizable zu Personalizable Löschen aufgespannter Vektoren (2,4) (5,3) (6,2) 4 3 Lemma Ein Vektor v R d kann gelöscht werden wenn eine Konvexkombination von höchstens d anderen Vektoren v dominiert. Annahme: α : α T v = z minimal und eindeutig w 1,, w d Vektoren die v aufspannen mit v < v γi w i = v < v mit γ i = 1 und γ i 0 α T γ i w i = α T v < α T v = z γ i α T w i < z α T v minimal und eindeutig α T w i > z γ i α T w i > γ i z = z

48 Von Customizable zu Personalizable Löschen aufgespannter Vektoren (2,4) (5,3) (6,2) 4 3 Lemma Ein Vektor v R d kann gelöscht werden wenn eine Konvexkombination von höchstens d anderen Vektoren v dominiert. Annahme: α : α T v = z minimal und eindeutig w 1,, w d Vektoren die v aufspannen mit v < v γi w i = v < v mit γ i = 1 und γ i 0 α T γ i w i = α T v < α T v = z γ i α T w i < z α T v minimal und eindeutig α T w i > z γ i α T w i > γ i z = z Widerspruch!

49 Von Customizable zu Personalizable (2,4) (5,3) (6,2) Löschen aufgespannter Vektoren Lemma Ein Vektor v R d kann gelöscht werden wenn eine Konvexkombination von höchstens d anderen Vektoren v dominiert. Pruning Orakel Überprüfung auf Existenz einer solchen Konvexkombination mit folgendem Gleichungssystem: γ 1 w 11 + γ 2 w γ d w d1 v 1 γ 1 w 12 + γ 2 w γ d w d2 v 2 γ 1 w 1d + γ 2 w 2d + + γ d w dd v d γ 1 + γ γ d = 1 γ i 0 Theoretisch b = ( S d ) viele Basen möglich. Wähle vielversprechende Kandidaten.

50 Von Customizable zu Personalizable Dreiecks-Pruning w (4,3) v (5,2) (1,7) (8,8) (9,6) u

51 Von Customizable zu Personalizable Experimentelle Pruning Ergebnisse

52 Von Customizable zu Personalizable Experimentelle Pruning Ergebnisse Bis d = 64 Anfragezeiten unter einer Sekunde.

53 Automatische α-deduktion

54 Automatische α-deduktion Problem α manuell zu spezifizieren ist aufwändig und nicht trivial 0.3 Reisezeit, 0.4 Benzinkosten, 0.3 Staugefahr? 0.2 Reisezeit, 0.5 Benzinkosten, 0.3 Staugefahr? 0.2 Reisezeit, 0.2 Benzinkosten, 0.6 Staugefahr?

55 Automatische α-deduktion Problem α manuell zu spezifizieren ist aufwändig und nicht trivial 0.3 Reisezeit, 0.4 Benzinkosten, 0.3 Staugefahr? 0.2 Reisezeit, 0.5 Benzinkosten, 0.3 Staugefahr? 0.2 Reisezeit, 0.2 Benzinkosten, 0.6 Staugefahr? Idee automatische α-berechnung aus bisherigen Routen eines Nutzers

56 Automatische α-deduktion Eine Menge von Pfaden ist zulässig, wenn es ein α gibt, sodass alle diese Pfade optimal sind für dieses α. O.B.d.A. α i [0, 1], i α i = 1 Wie findet man α für eine gegebene Menge P zulässiger Pfade?

57 Automatische α-deduktion Eine Menge von Pfaden ist zulässig, wenn es ein α gibt, sodass alle diese Pfade optimal sind für dieses α. O.B.d.A. α i [0, 1], i α i = 1 Wie findet man α für eine gegebene Menge P zulässiger Pfade? LP-Formulierung α α d = 1 α 1 0 α d 0

58 Automatische α-deduktion Eine Menge von Pfaden ist zulässig, wenn es ein α gibt, sodass alle diese Pfade optimal sind für dieses α. O.B.d.A. α i [0, 1], i α i = 1 Wie findet man α für eine gegebene Menge P zulässiger Pfade? LP-Formulierung α α d = 1 α 1 0 α d 0 p(s, t) P : für alle alternativen s t Pfade p : α T c(p) α T c(p ) 0 alle Alternativpfade müssen teurer sein als p für α

59 Automatische α-deduktion Eine Menge von Pfaden ist zulässig, wenn es ein α gibt, sodass alle diese Pfade optimal sind für dieses α. O.B.d.A. α i [0, 1], i α i = 1 Wie findet man α für eine gegebene Menge P zulässiger Pfade? LP-Formulierung α α d = 1 α 1 0 α d 0 p(s, t) P : für alle alternativen s t Pfade p : α T c(p) α T c(p ) 0 alle Alternativpfade müssen teurer sein als p für α Problem potenziell exponentiell viele Alternativpfade

60 Automatische α-deduktion Abhilfe Füge Constraints nach Bedarf hinzu.

61 Automatische α-deduktion Abhilfe Füge Constraints nach Bedarf hinzu. (10,12) 1 α 2 (8,3) (0.5,0.5) (12,5) 0 1 α 1

62 Automatische α-deduktion Abhilfe Füge Constraints nach Bedarf hinzu. (10,12) 1 α 2 (8,3) (0.5,0.5) (12,5) 0 1 α (10,12) 1 α 2 (0,1) 6α 1 2α (8,3) (5,5) 8.5 (12,5) 6.5 (6,7) 3α 1 2α α 1

63 Automatische α-deduktion Abhilfe Füge Constraints nach Bedarf hinzu (10,12) 1 (0,1) (8,3) (5,5) 8.5 (12,5) 6.5 (6,7) α α 1

64 Automatische α-deduktion Abhilfe Füge Constraints nach Bedarf hinzu (10,12) 1 (0,1) (8,3) (5,5) 8.5 (12,5) 6.5 (6,7) 0 1 α (10,12) (28,9) α 2 α α 1 3α (8,3) (0.25,0.75) 5 (12,5) 0 1 α 1

65 Automatische α-deduktion Abhilfe Füge Constraints nach Bedarf hinzu (10,12) (28,9) 1 α 2 3 (8,3) (0.25,0.75) 5 (12,5) 0 1 α 1

66 Automatische α-deduktion Abhilfe Füge Constraints nach Bedarf hinzu (10,12) (28,9) 1 α 2 3 (8,3) (0.25,0.75) 5 (12,5) 11.5 (10,12) 0 1 α (8,3) 6.75 (12,5)

67 Automatische α-deduktion Abhilfe Füge Constraints nach Bedarf hinzu. Polyzeitalgorithmus via Ellipsoidmethode.

68 Automatische α-deduktion Abhilfe Füge Constraints nach Bedarf hinzu. Polyzeitalgorithmus via Ellipsoidmethode. Beschleunigung in der Praxis: CCH mit Customization pro while-durchlauf (innerhalb der Schleife α für alle Queries gleich)

69 Automatische α-deduktion Resultate Stadt Bundesland Deutschland Zeit Runden α com Zeit Runden α com Zeit Runden α com P (s) A N (s) A N (s) A N d = 10 A N misst wie stark sich Pfade unterscheiden, die mit dem echten Nutzer-α und dem von uns berechneten α generiert wurden.

70 Zusammenfassung Beschleunigungstechniken in abgewandelter Form für personalisierte Queries anwendbar. Personalisierte CH. Notwendigkeit eines Shortcuts entscheidbar in Polyzeit. Customizable Personalizable. Schnelles Prunen von hochdimensionalen Vektormengen.

71 Zusammenfassung Beschleunigungstechniken in abgewandelter Form für personalisierte Queries anwendbar. Personalisierte CH. Notwendigkeit eines Shortcuts entscheidbar in Polyzeit. Customizable Personalizable. Schnelles Prunen von hochdimensionalen Vektormengen. Nutzerpräferenzen können automatisch aus Pfaddaten ermittelt werden. LP-Formulierung Ellipsoid-Methode + effizientes Dijkstra-Orakel für Constraints basierend auf CCH

72 Literatur Daniel Delling, Andrew V. Goldberg, Moiss Goldszmidt, John Krumm, Kunal Talwar, Renato F. Werneck: Navigation made personal: inferring driving preferences from GPS traces. SIGSPATIAL/GIS 2015: 31:1-31:9 Julian Dibbelt, Ben Strasser, Dorothea Wagner: Fast exact shortest path and distance queries on road networks with parametrized costs. SIGSPATIAL/GIS 2015: 66:1-66:4 Stefan Funke, Sabine Storandt: Personalized route planning in road networks. SIGSPATIAL/GIS 2015: 45:1-45:10 Stefan Funke, Sabine Storandt: Polynomial-time construction of contraction hierarchies for multi-criteria objectives. ALENEX 2013: Robert Geisberger, Moritz Kobitzsch, Peter Sanders: Route Planning with Flexible Objective Functions. ALENEX 2010: