Algorithmen für Routenplanung Vorlesung 1

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1 Algorithmen für Routenplanung Vorlesung Daniel Delling Forschungsuniversität gegründet 85 Forschungsuniversität gegründet 85 / 44

2 Organisatorisches Vorlesung Daniel Delling freitags 9:45 - :5, SR 30 + SWS Achtung: nächste Woche (.5.) Feiertag Achtung: übernächste Woche (4.5.) auf Übungstermin Übung Thomas Pajor montags (4 tägig) 5:45-7:30, SR 30 Vorlesungsseite: routenplanung/index Forschungsuniversität gegründet 85 / 44

3 Weitere Vorlesungen SS 09 Algorithmen für planare Graphen (+ SWS) Dozentin: Prof. Dorothea Wagner Vorlesung: dienstags 4:00-5:30 Übung (4-tg): dienstags 4:00-5:30 Algorithmen zur Visualisierung von Graphen (+ SWS) Dozent: Martin Nöllenburg Vorlesung: donnerstags 4:00-5:30 Übung (4-tg): dienstags 9:45 - :5 Algorithmen für Ad-hoc- und Sensornetze ( SWS) Dozent: Bastian Katz Vorlesung: mittwochs 4:00-5:30 Algorithmentechnikblock SS09 machbar Forschungsuniversität gegründet 85 3/ 44

4 Weitere Veranstaltungen SS 09 Seminar: Parametrisierte Algorithmen für NP-schwere Probleme Ansprechpartner: Reinhard Bauer Marcus Krug Ignaz Rutter Praktikum: Werkzeugentwicklung für die Routenplanung ITI Sanders Vorbesprechung Ansprechpartner: Veit Batz Dennis Luxen Forschungsuniversität gegründet 85 4/ 44

5 Problemstellung gesucht: finde die beste Verbindung in einem Transportnetzwerk Idee: Netzwerk als Graphen G = (V, E) Kantengewichte sind Reisezeiten kürzeste Wege in G entsprechen schnellsten Verbindungen klassisches Problem (Dijkstra) Probleme: Transportnetzwerke sind groß Dijkstra zu langsam (> Sekunde) Forschungsuniversität gegründet 85 5/ 44

6 Problemstellung gesucht: finde die beste Verbindung in einem Transportnetzwerk Idee: Netzwerk als Graphen G = (V, E) Kantengewichte sind Reisezeiten kürzeste Wege in G entsprechen schnellsten Verbindungen klassisches Problem (Dijkstra) Probleme: Transportnetzwerke sind groß Dijkstra zu langsam (> Sekunde) Forschungsuniversität gegründet 85 5/ 44

7 Beschleunigungstechniken Beobachtungen: viele Anfragen in (statischem) Netzwerk manche Berechnungen scheinen unnötig Idee: Zwei-Phasen Algorithmus: offline: berechne Zusatzinformation während Vorberechnung online: beschleunige Berechung mit diesen Zusatzinformationen drei Kriterien: wenig Zusatzinformation O(n) kurze Vorberechnung (im Bereich Stunden/Minuten) hohe Beschleunigung Forschungsuniversität gegründet 85 6/ 44

10 Unterschiede zur Industrie Industrie: Falk, TomTom, bahn.de, usw. alles heuristische Verfahren betrachte nur noch wichtige Kanten wenn mehr als x kilometer von Start weg Kombination mit A Suche langsam! Ausnahme: Google unser Anspruch: Anfragen sollen beweisbar korrekt sein weniger Ausnahmeregelungen schneller (!) Verfahren sollen nach und nach in der Industrie eingesetzt werden Forschungsuniversität gegründet 85 7/ 44

11 Ergebnisse Eingabe: Straßennetzwerk von Westeuropa 8 Mio. Knoten 4 Mio. Kanten Vorberechnung Anfrage Zeit Platz Zeit Jahr [h:m] [byte/n] [ms] Beschl. Dijkstra 959 0: Arc-Flags 004 7: Highway Hierarchies 005 0: Transit-Node Routing 006 : Mio. Contraction Hier : CH + Arc-Flags 008 : ca TNR + AF 008 3: ca. 3 Mio. : Damalige Variant deutlich langsamer, wir sehen nachher, warum Forschungsuniversität gegründet 85 8/ 44

12 Schwerpunkte Vorlesung Algorithm Engineering Beschleunigungstechniken Implementierungsdetails Ergebnisse auf Real-Welt Daten aktueller Stand der Forschung (Veröffentlichungen bis 009) Ansatz übertragbar auf andere Themen (z.b. Flüsse) ideale Grundlage für Studien- und Diplomarbeiten in dem Bereich Übungen: Implementation von (kleinen!) Teilproblemen bestehendes Framework Straßendaten von Nordamerika Implementation hilft beim Verständnis aber nicht zwingend nötig für die Vorlesung und Prüfung Forschungsuniversität gegründet 85 9/ 44

13 Was diese Vorlesung nicht ist keine Algorithmentechnik Vertiefung von kürzesten Wege (Dijkstra) Grundlagen sind Stoff von Info /Algotech (heute nochmal Crashkurs) Grundvorlesung vereinfachen Wahrheit oft Implementierung Betonung auf Messergebnisse keine Theorievorlesung wenig Beweise (wenn doch, sehr kurz) Reale Leistung vor Asymptotik hinter vielen Optimierungsproblemen stehen (vielleicht?) NP-schwere Probleme wird hier nur kurz erwähnt Forschungsuniversität gegründet 85 0/ 44

14 Inhalt der Vorlesung. Grundlagen Algorithm Engineering Graphen, Modelle, usw. Kürzeste Wege. Beschleunigung von (statischen) Punkt-zu-Punkt Anfragen zielgerichtete Verfahren hierarchische Techniken Kombinationen 3. Erweiterungen many-to-many dynamische Szenarien zeitabhängige Routenplanung Alternativrouten 4. Offene Probleme Forschungsuniversität gegründet 85 / 44

15 Nützliche Vorkenntnisse Informatik I/II Algorithmentechnik (muss aber nicht sein) ein bißchen Rechnerarchitektur passive Kenntnisse von C++/Java Vertiefungsgebiet: Algorithmentechnik, (Theoretische Grundlagen) Forschungsuniversität gegründet 85 / 44

16 Material Folien wissenschaftliche Aufsätze (siehe Vorlesunghomepage) Basiskenntnisse: Cormen Leiserson, Rivest, Stein: Introduction to Algorithms Mehlhorn, Sanders: Algorithms and Data Structures Forschungsuniversität gegründet 85 3/ 44

17 . Grundlagen Forschungsuniversität gegründet 85 4/ 44

18 Klassischer Ansatz (?) problem algorithm asymptotic bounds implementation experiments theoretical applied Forschungsuniversität gegründet 85 5/ 44

19 Lücke Theorie vs. Praxis Theorie vs. Praxis einfach Problem-Modell komplex einfach Maschinenmodell komplex komplex Algorithmen einfach fortgeschritten Datenstrukturen einfach worst-case Komplexitäts-Messung typische Eingaben asymptotisch Effizienz konstante Faktoren hier: anwendungsnahes Gebiet Eingaben sind echte Daten Straßengraphen Eisenbahn Flugplan Forschungsuniversität gegründet 85 6/ 44

20 Lücke Theorie vs. Praxis Theorie vs. Praxis einfach Problem-Modell komplex einfach Maschinenmodell komplex komplex Algorithmen einfach fortgeschritten Datenstrukturen einfach worst-case Komplexitäts-Messung typische Eingaben asymptotisch Effizienz konstante Faktoren hier: anwendungsnahes Gebiet Eingaben sind echte Daten Straßengraphen Eisenbahn Flugplan Forschungsuniversität gegründet 85 6/ 44

21 Algorithm Engineering algorithm engineering analysis deduction perf. guarantees realistic models design falsifiable hypotheses induction implementation algorithm libraries real Inputs experiments applications Forschungsuniversität gegründet 85 7/ 44

22 Graphen Tupel (V, E) =: G endliche Knotenmenge V endliche Kantenmenge E n := V, m := E ungerichtet: Kanten sind Knotenpaar, d.h. E ( ) { } V = {u, v} u v, u, v V Grad: deg(u) = {u,v} E gerichtet: Kanten sind geordnete Paare, d.h. E { (u, v) u v, u, v V } Ausgangsgrad: deg out (u) = (u,v) E Eingangsgrad: deg in (u) = (v,u) E einfach: keine Multi-Kanten gewichtet: Kantengewichtsfunktion erstmal len : E R + dünn: m O(n) planar: kreuzungsfrei einbettbar Forschungsuniversität gegründet 85 8/ 44

23 Graphen Tupel (V, E) =: G endliche Knotenmenge V endliche Kantenmenge E n := V, m := E ungerichtet: Kanten sind Knotenpaar, d.h. E ( ) { } V = {u, v} u v, u, v V Grad: deg(u) = {u,v} E gerichtet: Kanten sind geordnete Paare, d.h. E { (u, v) u v, u, v V } Ausgangsgrad: deg out (u) = (u,v) E Eingangsgrad: deg in (u) = (v,u) E einfach: keine Multi-Kanten gewichtet: Kantengewichtsfunktion erstmal len : E R + dünn: m O(n) planar: kreuzungsfrei einbettbar Forschungsuniversität gegründet 85 8/ 44

24 Graphen Tupel (V, E) =: G endliche Knotenmenge V 3 endliche Kantenmenge E n := V, m := E 5 ungerichtet: Kanten sind Knotenpaar, d.h. E ( ) { } V = {u, v} u v, u, v V 3 Grad: deg(u) = {u,v} E gerichtet: Kanten sind geordnete Paare, d.h. E { (u, v) u v, u, v V } Ausgangsgrad: deg out (u) = (u,v) E Eingangsgrad: deg in (u) = (v,u) E einfach: keine Multi-Kanten gewichtet: Kantengewichtsfunktion erstmal len : E R + dünn: m O(n) planar: kreuzungsfrei einbettbar Forschungsuniversität gegründet 85 8/ 44

25 Spezielle Graphen DAG: directed acyclic graph zyklenfrei Baum: zyklenfrei m = n also dünn Forschungsuniversität gegründet 85 9/ 44

26 Spezielle Graphen DAG: directed acyclic graph zyklenfrei Baum: zyklenfrei m = n also dünn Forschungsuniversität gegründet 85 9/ 44

27 Datenstruktur drei klassische Ansätze: Adjazenzmatrix Adjazenzlisten Adjazenzarray Forschungsuniversität gegründet 85 0/ 44

28 Datenstruktur drei klassische Ansätze: 0 3 Adjazenzmatrix Adjazenzlisten Adjazenzarray Forschungsuniversität gegründet 85 0/ 44

29 Datenstruktur drei klassische Ansätze: Adjazenzmatrix Adjazenzlisten Adjazenzarray Forschungsuniversität gegründet 85 0/ 44

30 Datenstruktur drei klassische Ansätze: Adjazenzmatrix Adjazenzlisten Adjazenzarray firstedge targetnode weight Forschungsuniversität gegründet 85 0/ 44

31 Was brauchen wir? Eigenschaften: Matrix Liste Array Speicher O(n ) O(n + m) O(n + m) Ausgehende Kanten iterieren O(n) O(deg u) O(deg u) Kantenzugriff (u, v) O() O(deg u) O(deg u) Effizienz + + Updates (topologisch) + + Updates (Gewicht) Fragen: Was brauchen wir? Was muss nich supereffizient sein? erstmal Modelle anschauen! Forschungsuniversität gegründet 85 / 44

32 Was brauchen wir? Eigenschaften: Matrix Liste Array Speicher O(n ) O(n + m) O(n + m) Ausgehende Kanten iterieren O(n) O(deg u) O(deg u) Kantenzugriff (u, v) O() O(deg u) O(deg u) Effizienz + + Updates (topologisch) + + Updates (Gewicht) Fragen: Was brauchen wir? Was muss nich supereffizient sein? erstmal Modelle anschauen! Forschungsuniversität gegründet 85 / 44

33 Modellierung (Straßengraphen) Forschungsuniversität gegründet 85 / 44

34 Modellierung (Straßengraphen) Forschungsuniversität gegründet 85 / 44

35 Modellierung (Straßengraphen) Knoten sind Kreuzungen Kanten sind Straßen Einbahnstraßen Metrik ist Reisezeit Forschungsuniversität gegründet 85 / 44

38 Modellierung (Straßengraphen) Eigenschaften (sammeln): Forschungsuniversität gegründet 85 / 44

39 Modellierung (Straßengraphen) Eigenschaften: dünn (fast) ungerichtet geringer Knotengrad polygonzüge Hierarchie (Autobahnen!) Forschungsuniversität gegründet 85 / 44

40 Modellierung (Eisenbahngraphen) Eingabe: 4 Stationen (A,B,C,D) Zug : Station A B C A Zug : Station A B D C A Züge operieren aller 0 Minuten Forschungsuniversität gegründet 85 3/ 44

41 Modellierung (Eisenbahngraphen) Eingabe: 4 Stationen (A,B,C,D) Zug : Station A B C A Zug : Station A B D C A Züge operieren aller 0 Minuten C A B D Forschungsuniversität gegründet 85 3/ 44

44 Modellierung (Eisenbahngraphen) Eingabe: 4 Stationen (A,B,C,D) Zug : Station A B C A Zug : Station A B D C A Züge operieren aller 0 Minuten C Kanten sind zeitabhängig! A B D Forschungsuniversität gegründet 85 3/ 44

45 Modellierung (Eisenbahngraphen) Eingabe: 4 Stationen (A,B,C,D) Zug : Station A B C A Zug : Station A B D C A Züge operieren aller 0 Minuten C A B D Kanten sind zeitabhängig! oder roll die Zeit aus Forschungsuniversität gegründet 85 3/ 44

46 Zeitexpandiertes Modell Vorgehen: Knoten sind Events Kanten Elementarverbindungen Wartekanten an den Stationen Station B: Diskussion: + keine zeitabhängigen Kanten Graph größer Forschungsuniversität gegründet 85 4/ 44

47 Zeitexpandiertes Modell Vorgehen: Knoten sind Events Kanten Elementarverbindungen Wartekanten an den Stationen Station B: Diskussion: + keine zeitabhängigen Kanten Graph größer Forschungsuniversität gegründet 85 4/ 44

48 Problem der Modellierung Problem: C A B D Forschungsuniversität gegründet 85 5/ 44

49 Problem der Modellierung Problem: Umstiegszeiten? erweitere das Modell C A B D Forschungsuniversität gegründet 85 5/ 44

50 Modellierung (Flugdaten) Airport Airport s s o o s s o o s s o o Airport 3 Forschungsuniversität gegründet 85 6/ 44

51 Eigenschaften der Graphen dünn (!) gerichtet geringer Knotengrad meist verborgene Hierarchie (Autobahnen, ICE, Langstreckenflüge) Einbettung vorhanden (fast planar?) teilweise zeitabhängig Kantengewichte positiv zusammenhängend Diskussion: berechnen beste Verbindungen in solchen Netzwerken zeitabhängigkeit (war lange) ein Problem ab jetzt: zeitunabhängige Netze (Straßen) später: zeitabhängig Forschungsuniversität gegründet 85 7/ 44

52 Datenstruktur Eigenschaften auf dünnen Graphen: Matrix Liste Array Speicher O(n ) O(n + m) = O(n) O(n + m) = O(n) Ausgehende Kanten iterieren O(n) O(deg u) O(deg u) Kantenzugriff (u, v) O() O(deg u) O(deg u) Effizienz + + Updates (topologisch) + + Updates (Gewicht) also: Adjazenzarray Forschungsuniversität gegründet 85 8/ 44

53 Datenstruktur Eigenschaften auf dünnen Graphen: Matrix Liste Array Speicher O(n ) O(n + m) = O(n) O(n + m) = O(n) Ausgehende Kanten iterieren O(n) O(deg u) O(deg u) Kantenzugriff (u, v) O() O(deg u) O(deg u) Effizienz + + Updates (topologisch) + + Updates (Gewicht) also: Adjazenzarray Forschungsuniversität gegründet 85 8/ 44

54 Datenstruktur Problem: ein- und ausgehende Kanten (fast) ungerichtet Forschungsuniversität gegründet 85 9/ 44

55 Datenstruktur Problem: ein- und ausgehende Kanten (fast) ungerichtet 3 firstedge targetnode weight isincoming isoutgoing Forschungsuniversität gegründet 85 9/ 44

56 Kürzeste Wege Anfrage: gegeben Graph G = (V, E) mit positiver Kantenfunktion len : E R +, zwei Knoten s und t finde den Pfad (s,..., t) mit d(s, t) minimal s 5 d(s,t) = 3 8 t Forschungsuniversität gegründet 85 30/ 44

57 Kürzeste Wege Anfrage: gegeben Graph G = (V, E) mit positiver Kantenfunktion len : E R +, zwei Knoten s und t finde den Pfad (s,..., t) mit d(s, t) minimal s 5 d(s,t) = t Forschungsuniversität gegründet 85 30/ 44

60 Eigenschaften von kürzesten Wegen Beobachtungen: Subpfade sind auch kürzeste Wege alle kürzesten Wege von s aus spannen einen Baum auf steigender Abstand von Wurzel zu den Blättern sind einfach d(u, s) analog über eingehende Kanten können mit Dijkstra berechnet werden Anmerkungen: längste Wege: NP-schwer negative Kantengewichte, keine negative Zyklen: Bellmann-Ford negative Kantengewichte, negative Zyklen: NP-schwer s Forschungsuniversität gegründet 85 3/ 44

64 Beispiel Forschungsuniversität gegründet 85 3/ 44

72 Dijkstra Dijkstra(G = (V, E),s) for all nodes v V do d[v] =, p[v] = NULL ; // array for distances, parents d[s] = 0 Q.clear(), Q.add(s, 0); // container while!q.empty() do u Q.deleteMin(); // settling node u for all edges e = (u, v) E do // relaxing edges if d[u] + len(e) < d[v] then d[v] d[u] + len(e) p[v] u if v Q then Q.decreaseKey(v, d[v]) else Q.insert(v, d[v]) Forschungsuniversität gegründet 85 33/ 44

73 Korrektheit Beh.: Dijkstra terminiert mit d[u] = d(s, u) für alle u V zwei Schritte: alle erreichbaren Knoten werden abgearbeitet wenn u abgearbeitet wird, ist d[u] = d(s, u) Beweis : Beh.: v wird nicht bearbeitet, ist aber erreichbar es gibt kürzesten Weg p = (v,..., v k ), s = v, v = v k es gibt v i mit v i abgearbeitet und v i nicht v i wird in die Queue eingefügt Widerspruch Forschungsuniversität gegründet 85 34/ 44

74 Korrektheit Beh.: Dijkstra terminiert mit d[u] = d(s, u) für alle u V zwei Schritte: alle erreichbaren Knoten werden abgearbeitet wenn u abgearbeitet wird, ist d[u] = d(s, u) Beweis : Beh.: v wird bearbeitet mit d[v] > d(s, v) es gibt v i, dass noch nicht abgearbeitet wurde, und für das gilt d[v i ] + len(v i, v) < d[v] d[v i ] < d[v] v i wird vor v Widerspruch Forschungsuniversität gegründet 85 35/ 44

75 Dijkstra(G = (V, E),s) for all nodes v V do d[v] =, p[v] = NULL ; // n times Q.clear() Q.add(s, 0); while!q.empty() do u Q.deleteMin(); for all edges e = (u, v) E do // relaxing edges if d[u] + len(e) < d[v] then d[v] d[u] + len(e) p[v] u if v Q then Q.decreaseKey(v, d[v]); else Q.insert(v, d[v]); // make-heap once // n times // m times // n times T Dijkstra Forschungsuniversität gegründet 85 36/ 44

76 Dijkstra(G = (V, E),s) for all nodes v V do d[v] =, p[v] = NULL ; // n times Q.clear() Q.add(s, 0); while!q.empty() do u Q.deleteMin(); for all edges e = (u, v) E do // relaxing edges if d[u] + len(e) < d[v] then d[v] d[u] + len(e) p[v] u if v Q then Q.decreaseKey(v, d[v]); else Q.insert(v, d[v]); // make-heap once // n times // m times // n times T Dijkstra = T init + n T deletemin + m T decreasekey + n T insert Forschungsuniversität gegründet 85 36/ 44

77 Laufzeit T Dijkstra = T init + n T deletemin + m T decreasekey + n T insert Liste Binary Heap Binomial heap Fibonacci heap operation (worst-case) (worst-case) (worst-case) (amortized) Init Θ() Θ() Θ() Θ() Insert Θ() Θ(lg k) O(lg k) Θ() Minimum Θ(n) Θ() O(lg k) Θ() DeleteMin Θ(n) Θ(lg k) Θ(lg k) O(lg k) Union Θ() Θ(k) O(lg k) Θ() Decrease-Key Θ() Θ(lg k) Θ(lg k) Θ() Delete Θ() Θ(lg k) Θ(lg k) O(lg k) Dijkstra O(n + m) O((n + m) lg n) O((n + m) lg n) O(n + m lg n) Dij (m O(n)) O(n ) O(n lg n) O(n lg n) O(n lg n) Forschungsuniversität gegründet 85 37/ 44

80 Laufzeit T Dijkstra = T init + n T deletemin + m T decreasekey + n T insert Liste Binary Heap Binomial heap Fibonacci heap operation (worst-case) (worst-case) (worst-case) (amortized) Init Θ() Θ() Θ() Θ() Insert Θ() Θ(lg k) O(lg k) Θ() Minimum Θ(n) Θ() O(lg k) Θ() DeleteMin Θ(n) Θ(lg k) Θ(lg k) O(lg k) Union Θ() Θ(k) O(lg k) Θ() Decrease-Key Θ() Θ(lg k) Θ(lg k) Θ() Delete Θ() Θ(lg k) Θ(lg k) O(lg k) Dijkstra O(n + m) O((n + m) lg n) O((n + m) lg n) O(n + m lg n) Dij (m O(n)) O(n ) O(n lg n) O(n lg n) O(n lg n) Transportnetzwerke sind dünn binary heaps Forschungsuniversität gegründet 85 37/ 44

81 . Beschleunigungstechniken Forschungsuniversität gegründet 85 38/ 44

82 Bewertungskriterien Vorberechnung: Platz Zeit Beschleunigung der Anfragen: Suchraum Anzahl abgearbeiteter Knoten Anzahl relaxierter Kanten Problem: Overhead durch Beschleunigung? Anfragezeit (Vergleichbarkeit?) auf Basis von k > 000 Zufallsanfragen, d.h. wähle s und t zufällig (gleichverteilt) Forschungsuniversität gegründet 85 39/ 44

83 Schematischer Suchraum von Dijkstra s t Forschungsuniversität gegründet 85 40/ 44

85 Abbruch Beobachtung: durchsuchen des ganzen Graphen wenig sinnvoll vor allem wenn s und t nah beiander sind Idee: stop die Anfrage, sobald t aus der Queue entfernt wurde korrektheit analog zu Dijkstra im Schnitt: Beschleunigungsfaktor Forschungsuniversität gegründet 85 4/ 44

88 Initialisierung for all nodes v V do d[v] =, p[v] = NULL Problem: O(n) Viele Anfragen auf gleichem Netzwerk wird auch ausgeführt, wenn s und t im vorigen Lauf nah beinander waren Idee: lasse counter mitlaufen Forschungsuniversität gegründet 85 43/ 44

91 Dijkstra count d[s] = 0 Q.clear(), Q.add(s, 0) while!q.empty() do u Q.deleteMin() if u = t then RETURN for all edges e = (u, v) E do if run[v] count then d[v] d[u] + len(e) Q.insert(v, d[v]) run[v] count else if d[u] + len(e) < d[v] then d[v] d[u] + len(e) Q.decreaseKey(v, d[v]) Forschungsuniversität gegründet 85 44/ 44