Musterlösung. 120 Minuten + 15 Minuten Lesezeit am Anfang! 35 (unterschiedlich gewichtet, total 49 Punkte)

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1 BSc - Sessionsprüfung Regelungstechnik II ( ) Ochsner Musterlösung Dauer der Prüfung: Anzahl der Fragen: Bewertung: 120 Minuten + 15 Minuten Lesezeit am Anfang! 35 (unterschiedlich gewichtet, total 49 Punkte) Um die Note 6 zu erlangen, müssen nicht alle Fragen richtig beantwortet werden. Bei jeder Frage ist die Punktezahl angegeben. Bei Mehrfachwahlfragen gibt es die Hälfte der Punkte, wenn alle ausser einer Antwort richtig sind. Bei allen anderen Fragen gibt es nur Punkte, wenn die Antwort vollständig richtig ist. Nicht eindeutige Lösungen werden als falsch bewertet. Erlaubte Hilfsmittel: 20 A4-Blätter (40 Seiten) Taschenrechner (zur Verfügung gestellt) Die Assistenten dürfen keine Hilfe geben. Zur Beachtung: Die Lösungen sind nicht zu begründen. Es zählt ausschliessich das Endresultat. Zu einer korrekten Lösung gehört auch die richtige Masseinheit. Geben Sie die Lösungen ausschliesslich an den dafür vorbereiteten Stellen an.

2 Seite 2 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Thema: SISO Reglersynthese F1 Die Regelstrecke P (s) hat einen Pol im Ursprung (n 0 = 1), einen (instabilen) Pol in der rechten Halbebene (n + = 1), sowie eine Phase von 270 bei ω = 0 und eine Phase von 180 bei ω =. Aus dem Nyquist-Kriterium n c = n 0 /2 + n + = 1.5 folgt, dass der Punkt 1 für ω [, ] anderthalb mal im Gegenuhrzeigersinn umkreist werden soll. Für die positiven Frequenzen ergibt das 3/4 Umdrehungen im Gegenuhrzeigersinn. Abbildung 1 zeigt die Kreisverstärkung mit allen vier Reglern und offensichtlich erreicht nur der erste Regler die korrekte Anzahl Umdrehungen. Mit einem Pol wird die Phase reduziert und der Punkt 1 kann nicht umkreist werden. Somit können C(s) = 2 s und C(s) = 2 (1 + 1 s ) die Regelstrecke nicht stabilisieren. Damit der Punkt 1 umkreist wird, muss die Phase angehoben werden. Da C(s) = 2 die Phase unverändert lässt, kann dieser die Regelstrecke ebenfalls nicht stabilisieren. Nur mit C(s) = 2 (s + 1) hat die Kreisverstärkung L(s) wegen der Nullstelle 90 mehr Phase und der Faktor 2 gewährleistet eine tatsächliche Umkreisung Im 0 L 1 (s) L 2 (s) L 3 (s) L 4 (s) Re Abbildung 1: Kreisverstärkungen mit den Reglern C 1 (s) bis C 4 (s). F2 C 1 (s) = 2 (s + 1) C 2 (s) = 2 s C 3 (s) = 2 (1 + 1 s ) C 4 (s) = 2 Für eine nominale Regelgüte muss S(s) W 1 (s) < 1 erfüllt sein. Aus dem gegebenen Maximalwert der Sensitität und der konstanten Schranke folgt 1.25 k 1 < 1, und somit: 0 < k 1 < 0.8

3 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 3 F3 Für robuste Stabilität muss T (s) W 2 (s) < 1 erfüllt sein. Für ω = 0 rad/s gilt T (j0) = 1 und W 2 (j0) = 20 k 2, weshalb 20 k 2 < 1 erfüllt werden muss. Somit lautet das Resultat: 20 < k 2 < F4 Ein Smith Predictor kann die Totzeit der Regelstrecke nicht komplett entfernen, da die Verzögerung physikalisch vorhanden ist. In der Rückführung entfällt die Totzeit allerdings, so dass Sie nicht in der charakteristischen Gleichung auftaucht. QC im Buch liefert die Erklärung, weshalb die Regelstrecke nicht instabil sein darf. Als Faustregel für den Einsatz eines Smith Predictors gilt T/(T +τ) > 0.3, was bei T = τ offensichtlich erfüllt ist. Aussage richtig falsch Ein Smith Predictor darf nicht eingesetzt werden, wenn die Regelstrecke instabil ist. Die Totzeit kann durch einen Smith Predictor komplett entfernt werden. Wenn Totzeit und Zeitkonstante einer Regelstrecke gleich gross sind, ist die Anwendung eines Smith Predictors sinnvoll. Unter Einsatz eines Smith Predictors erscheint die Totzeit nicht in der charakteristischen Gleichung des geschlossenen Regelkreises. F5 Abbildung 2 zeigt die Struktur der Kaskadenregelung für die SIMO Regelstrecke. Daraus C lässt sich ableiten, dass P out (s) = P s (s) f (s) 1+P f (s)c f (s). Durch Einsetzen der Übertragungsfunktionen erhält man: P out (s) = 1 5s 2 +6s+1 2(s+1) (s+3) = 0.4 s s+0.6 = 2 (5s+1)(s+3) = 2 5s 2 +16s+3 r s P s (s) e s r f e f u Cs (s) C f f (s) y f Pf (s) y s Abbildung 2: Struktur der Kaskadenregelung für die SIMO Regelstrecke.

4 Seite 4 Sessionsprüfung Regelungstechnik II F6 Eine Kaskadenregelung kann wie ein normaler Regler in allen Situationen verwendet werden (wenn eine SIMO Regelstrecke vorliegt). Auch gibt es keine Einschränkungen für den inneren Regelkreis. Richtig ausgelegt kann eine Kaskadenregelung die Störungsunterdrückung verbessern. Aussage richtig falsch Eine Kaskadenregelung kann nur eingesetzt werden, wenn die Regelstrecke asymptotisch stabil ist. Eine Kaskadenregelung kann nur eingesetzt werden, wenn die Regelstrecke keine Totzeit beinhaltet. Der innere Regler einer Kaskadenregelung darf keinen I-Teil besitzen. Eine Kaskadenregelung kann die Störungsunterdrückung (disturbance rejection) verbessern.

5 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 5 Thema: Reglerimplementation F7 Die Sollwertgewichtungen (setpoint weights) a, b und c stellen eine Vorsteuerung dar. Sie beeinflussen daher die Folgeregelungseigenschaften, nicht jedoch die Stabilitäts- oder Robustheitseigenschaften des geschlossenen Regelkreises und auch nicht die Störungungsunterdrückung. Die Wahl b = 1 ist notwendig für einen verschwindenden statischen Nachlauffehler, da nur in diesem Fall bei r = y der Eingang in den Integrator gleich 0 ist. Aussage richtig falsch Mit der Wahl der Parameter a, b und c können die Stabilitätseigenschaften des geschlossenen Regelkreises beeinflusst werden. Mit der Wahl der Parameter a, b und c können die Robustheitseigenschaften des geschlossenen Regelkreises beeinflusst werden. Mit der Wahl des Parameters a können die Folgeregelungseigenschaften (reference tracking) des geschlossenen Regelkreises beeinflusst werden. Mit der Wahl des Parameters a kann die Störungsunterdrückung (disturbance rejection) des geschlossenen Regelkreises beeinflusst werden. Für die Wahl b = 1 wird der statische Nachlauffehler lim t (r(t) y(t)) nach einem Sollwertsprung zu 0. F8 Im eingeschwungenen Zustand (ẋ(t) = 0) reduziert sich die Strecke P auf y = x 3 = (k u) 3. Wenn der Regelfehler e gleich 0 ist, ist auch der Ausgang des Proprtionalreglers gleich 0 und somit gilt u = f. Ausserdem kann y = r eingesetzt werden. Die Gleichung lässt sich so nach f auflösen. f = 1 k r 1 3 F9 Ein ARW ist nur bei einem offenen Integrator im Regler notwendig und anwendbar. In dieser Auswahl ist das nur beim PI-Regler der Fall. Regler ja nein P-Regler PI-Regler PD-Regler LQ-Regulator LQG-Regler

6 Seite 6 Sessionsprüfung Regelungstechnik II F10 ˆ Das Ausgangssignal des DAC u ist durch die konstanten Ausgangswerte des zeroorder-hold charakterisiert (unten links). ˆ Das entsprechende zeitdiskrete Signal u d ist unten rechts abgebildet. ˆ Das zweite zeitdiskrete Signal e d ist somit das oben links Abgebildete. ˆ Die Werte von e d entsprechen dem zeitkontinuierlichen Signal e (unten mitte). ˆ Zum Schluss können die verbleibenden Signale r und y mit der Überlegung e = r y zugeordnet werden. F11 Aliasing durch hochfrequentes Rauschen im Messsignal y kann nur durch Filtern des analogen Signals (vor dem ADC) verhindert werden. Es gibt damit 2 richtige Antwortmöglichkeiten: r e e d u d u y Ein Anti-Aliasing Filter ist bei hochfrequentem Messrauschen nicht notwendig.

7 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 7 F12 In dieser Aufgabe geht es nur um den Regler selbst, nicht um den Regelkreis oder die Strecke. Für α > 0 hat der zeitkontinuierliche Regler C(s) nur einen stabilen Pol (bei π c = 1/α). Alle zeitkontinuierlich stabilen Pole bleiben bei einer Emulation mittels Euler backward und Tustin stabil. Für die Euler forward Emulation muss der zeitdiskrete Pol berechnet werden: C(z) s= z 1 T = 1 α z 1 T + 1 = 1 α T (z (1 T/α)) πd = 1 T α Für T > 2 α ist der Betrag des Pols grösser als 1 und der zeitdiskrete Regler ist instabil. Emulationsmethode wahr falsch Euler forward Euler backward Tustin

8 Seite 8 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Thema: MIMO Systemanalyse F13 Die Stabilität von MIMO Systemen wird, analog zu SISO Systemen, mit der Bestimmung der Eigenwerte der Matrix A überprüft. Es ergibt sich: det(λi A) = (λ + 2) (λ + 1) λ 1 = 2, λ 2 = 1 Die richtige Anwort lautet somit: Das System ist Lyapunov asymptotisch stabil. F14 Die Steuerbarkeitsmatrix wird analog zu SISO Systemen aufgestellt, allerdings ist sie nicht mehr quadratisch. R = [B A B... A n 1 B] R n (n m) R = ( ) F15 Für das Finden der Pol- und Nullstellen eines MIMO Systems müssen die Minoren der Übetragungsfunktionsmatrix P (s) bestimmt werden. Die Minoren einer Matrix A C n m sind die Determinanten aller quadratischen Untermatrizen, wobei der maximale Minor derjenige ist, welcher aus der Untermatrix mit der grössten Dimension berechnet wurde. Die Minoren sind: 1. Ordnung : s + 2 s + 1, (s + 1)(s + 4), 2. Ordnung : s + 3 (s + 2)(s + 4) s + 3 Die Polstellen sind die Nullstellen des kleinsten gemeinsamen Nenners aller Minoren. Dieser Nenner ist (s + 1)(s + 3) und die richtige Lösung lautet somit: π i = { 1, 3} π i = { 1, 4} π i = { 1, 3, 4} π i = { 1, 2, 3}

9 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 9 F16 Für die Berechnung der Nullstellen muss der maximale Minor erweitert werden, so dass er das Polpolynom als Nenner hat. Dadurch erhält man: (s + 2)(s + 4)(s + 1) (s + 3)(s + 1) Die Nullstellen von P (s) sind nun die Nullstellen des Zählers. ζ i = { 1, 3} ζ i = { 1, 2} ζ i = { 1, 2, 4} ζ i = { 1, 2, 3} F17 ˆ Wählt man die Durchtrittsfrequenz in den Bereichen I oder V ist die RGA ähnlich der Einheitsmatrix. Somit kann die Strecke mit konventioneller Input-Output-Paarung und SISO-Tools geregelt werden. ˆ Wählt man die Durchtrittsfrequenz in den Bereichen II oder IV müssen MIMO-Tools verwendet werden, da die Diagonalterme und die Nebendiagonalterme ähnlich gross sind. ˆ Für Bereich III gelten im Wesentlichen die Aussagen der Bereiche I und V, allerdings mit vertauschter Input-Output-Paarung. Frequenz SISO u 1 y 1, u 2 y 2 SISO u 1 y 2, u 2 y 1 MIMO u 1, u 2 y 1, y 2 ω c I ω c II ω c III ω c IV ω c V

10 Seite 10 Sessionsprüfung Regelungstechnik II F18 ˆ Die Richtigkeit der Aussagen 1 und 2 ergibt sich aus der Definition der RGA. ˆ Aussage 3 ist korrekt, da in diesem Bereich jeder Ausgang y i mit dem Eingang u i geregelt werden kann. ˆ Die Richtigkeit der Aussage 4 ergibt sich aus der Definition RGA(s) = P (s). P (s) T für den Fall, dass P (s) eine Dreiecksmatrix ist. Aussage richtig falsch Die Summe der Zeileneinträge ist immer gleich 1. Die Summe der Spalteneinträge ist immer gleich 1. Wählt man die Durchtrittsfrequenz in einem Bereich in dem die RGA ähnlich der Einheitsmatrix ist, können SISO-Ansätze zur Regelung verwendet werden. Die RGA einer Dreiecksmatrix ist die Einheitsmatrix. F19 Die Singulärwerte sind die Wurzel der Eigenwerte von M T M. Somit gilt: ( ) M T M = M T 16 0 M = 0 4 λ 1 = 16, λ 2 = 4 Die richtige Antwort lautet somit: σ 1 = 16 = 4, σ 2 = 4 = 2 Die Reihenfolge spielt für diese Aufgabe keine Rolle.

11 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 11 F20 Zur Bestimmung der Singulärwerte ist die Frequenz notwendig. Diese lässt sich aus dem Eingangssignal ablesen: ω = 2π f = 2π 1 T = 2π 1 π = 2 rad /sec Die Singulärwerte können damit abgelesen werden und lauten: σ 1 2.3, σ Der Amplitudenvektor des Eingangssignals ist µ = [3 2] T. Somit ergibt sich die euklidische Norm des Amplitudenvektors des Eingangssignals zu: µ = = Die euklidische Norm des Amplitudenvektors des Ausgangssignals ν muss demnach in dem Bereich liegen, der von den Singulärwerten aufgespannt wird. Für diesen gilt: µ [σ min, σ max ] = 3.6 [0.95, 2.3] [3.42, 8.28] Zur Beantwortung der Aufgabe sind nun die Ausgangssignale zu betrachten. ˆ ˆ ˆ ˆ A: ν = / [3.42, 8.28] Antwort A ist nicht korrekt. B: ν = [3.42, 8.28] Antwort B ist korrekt. C: Die Frequenz des Ausgangssignals ist augenscheinlich verschieden von der Frequenz des Eingangssignals. Antwort C ist nicht korrekt. D: ν = / [3.42, 8.28] Antwort D ist nicht korrekt. Die richtige Antwort lautet somit: A B C D F21 Die Matrizen U und V T sind unitäre Matrizen. Ein Vektor der mit einer unitären Matrix multipliziert wird behält seine länge, d.h. die ganze Längenänderung der Matrix M ist in den Singulärwerten in der Matrix Σ gespeichert. Da ein Vektor u gesucht wird, der mit σ 1 gestreckt wird, muss die Multiplikation von V T und u ein Einheitsvektor ergeben: V T u = [1 0] T Die Lösung entspricht dem ersten Zeilenvektor von V T, transponiert oder dem negativen davon. u = [ ] T oder u = [ ] T

12 Seite 12 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Thema: MIMO Reglersynthese F22 Die K-Matrix hat die gleichen Dimensionen wie B T R F23 Die minimale Kreisverstärkungsdifferenz kann nicht grösser als 1 sein, da L(jω ) 0. Allerdings hat man bei LQR, wenn R die Form r I 3 3 hat, eine garantierte minimale Kreisverst rkungsdifferenz von 1. µ min < 1 µ min = 1 µ min = β Die minimale Kreisverstärkungsdifferenz kann beliebige Werte annehmen. F24 Das Gewichtungspaar, bei welchem das Verhältnis R/Q am kleinsten ist entspricht am ehesten Cheap Control. Q = 10 und R = 1. Q = und R = 100. Q = und R = Q = 1 und R = 100. F25 Im Gleichgewicht gilt 0 = ẋ = A x + B u, wobei u = K x. Durch Einsetzen erhält man 0 = A ( 5) B K ( 5) = (1 K) ( 5) und somit lautet die Lösung: K = 1 Beachten Sie, dass in diesem Fall der geschlossene Regelkreis grenzstabil ist, was für einen Regulator nicht erwünscht ist.

13 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 13 F26 Das Gütekriterium erfordert einen möglichst kleinen Benzinverbrauch. Die korrekte Stage Cost Function ist somit m f = u 1. Es gibt keine zusätzliche Terminal Cost. l(x, u) = u 1 m(x) = 0 F27 Um die Zeit zu minimieren muss die Stage Cost Function die Zeit T abbilden. Als Integral ausgedrückt gilt T = T 0 1 dt. Somit lautet die Stage Cost Function l(x, u) = 1 Beachten Sie, dass alle positiven Konstanten Vielfache von 1 sind und deshalb die gleiche Lösung ergeben. Diese wurden ebenfalls als richtig Bewertet. F28 Um das LQR Problem zu lösen muss zuerst die Matrix-Riccati-Gleichung gelöst werden: ΦBR 1 B T Φ ΦA A T Φ Q = 0. Mit A = 0, B = Q = 1 und R = 4 erhält man Φ 2 = 4 und folglich Φ = 2 als einzige positiv definite Lösung. Die Matrix K lässt sich dann mithilfe von K = R 1 B T Φ berechnen. K = 1 2 F29 Um das LQR als MPC zu implementieren, ist der explizite Verlauf der Stellgrösse u (t) gesucht. Damit die Umsetzung effektiv der LQR-Lösung entspricht muss zu jedem Zeitpunkt u (t) = K x (t) gelten, wobei der Verlauf von x (t) noch bestimmt werden muss. Diesen Verlauf erhält man durch Einsetzten von u (t) = K x (t) in die DGL ẋ(t) = u(t). Damit erhält man ẋ (t) = K x (t) und mit der Anfangsbedingung x(0) = 1 die Lösung x (t) = 1 e K t. Der explizite Verlauf von u (t) während des Zeitschritts wird dadurch zu: u (t) = K e K t F30 Es gibt zwei Beschänkungen, die eingehalten werden müssen, nämlich U = [ u max, u max ] und f = {1}. Damit die Beschränkung für den Endzustand (final state constraint)

14 Seite 14 Sessionsprüfung Regelungstechnik II eingehalten werden kann, muss das System also von x(0) = 0 nach x(t ) = 1 bewegt werden. Die Dynamik des Systems wird dabei durch einen offenen Integrator beschrieben ẋ(t) = u(t). Wenn während der gesamten Zeit u(t) = u max gewählt wird, erhält man den schnellstmöglichen Anstieg des Systems mit der Lösung x(t) = u max t. In diese Lösung kann nun t = T = 2 und x(t ) = 1 eingesetzt werden und man erhält 1 = u max 2. Somit lautet die Lösung: u max 0.5

15 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Seite 15 Thema: Zustandsbeobachter, LQG/LTR F31 Das Lösen der (skalaren) dualen Matrix-Riccati-Gleichung führt zu zwei Lösungen: Ψ = 2 ± 4, wovon nur Ψ = 2 positiv definit ist. Durch Einsetzen in L T = 1/q C Ψ findet man die Verstärkung des Zustandsbeobachters. L = 1 F32 Die Dynamik eines LQG Reglers wird durch die Matrix A BK LC beschrieben, welche die gleichen Dimensionen hat wie die A-Matrix der Regelstrecke. Wegen des Separationsprinzips ist für einen LQG-Regler Stabilität immer garantiert, solange der Beobachter und der LQ-Regulator jeweils für sich stabil sind. Allerdings ist keine Aussage über die Robustheit eines LQG-Reglers a priori möglich. Die minimale Kreisverstärkungsdifferenz kann für LQG Regler beliebig klein werden. Mit dem LTR Verfahren kann die Robustheit erhöht werden. Die korrekten Antworten lauten daher: Aussage Richtig Falsch Ein LQG Regler besitzt die gleiche Ordnung wie die zugehörige Regelstrecke. Das LTR Verfahren ist notwendig, um für ein LQG- Regelsystem Stabilität zu garantieren. Ein LQG Regelsystem ist genau dann stabil, wenn der Zustandsbeobachter und der LQ-Regulator jeweils für sich alleine stabil sind. Die Verwendung eines LQG Reglers mit dem nominellen Streckenmodell führt zu einer minimalen Kreisverstärkungsdifferenz von 1. F33 Im eingeschwungenen Zustand gilt ˆx = 0. Daher gilt 0 = (A BK LC)ˆx Lr + Λr. Das Ausgangssignal des Reglers berechnet sich über die Gleichung u = K ˆx + Γr Auflösen der ersten Gleichung nach ˆx und einsetzen in die zweite liefert das Ergebnis: u = ( K(A BK LC) 1 (L Λ) + Γ ) r

16 Seite 16 Sessionsprüfung Regelungstechnik II Thema: Matlab/Simulink F34 Die Matrix Q gewichtet den Zustand, die Matrix R den Eingang. Somit lautet die richtige Lösung: Zeile 11: ### = nx oder 4 oder 4,4 Zeile 12: ### = nu oder 2 oder 2,2 F35 An die Stelle der Platzhalter γ, ɛ und δ müssen die Matrizen B, A und C gesetzt werden. Mit der Matrix ζ wird der Zustand zurückgeführt, an dieser Stelle muss also die Verstärkungsmatrix K des LQ-Regulators verwendet werden. Anhand der Struktur ist ersichtlich, dass es sich bei den grau hinterlegten Blöcken um einen Zustandsbeobachter handelt. Für den Platzhalter α muss daher die Verstärkungsmatrix L gesetzt werden. Um für β den richtigen Block zu wählen, muss man wissen, dass eine Differenz berechnet wird (#11 fällt weg) und dass die A-Matrix des Beobachters A L C lautet. Somit kommt nur Block #4 in Frage. Platzhalter α β γ δ ɛ ζ Nummer des Simulink Blocks