Korrespondenzen und Hyperelliptische Kurven

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1 1 Korrespondenzen und Hyperelliptische Kurven gemeinsam mit G. Frey; vgl. [FK] (2012) 1. Einleitung. B. Smith (2008) endeckte, daß der diskrete Logarithmus der Gruppen, die von Jacobischen von hyperelliptischen Kurven vom Geschlecht 3 über k = F p (p > 3) herkommen, nicht so sicher ist, wie man bisher angenommen hatte. Grund: die sogenannte trigonale Konstruktion. Diese konstruiert zu einer gegeben hyperelliptischen Kurve C/k vom Geschlecht 3 eine zweite (i.a. nicht-hyperelliptische) Kurve D/k und eine Isogenie T : J C J D der Jacobischen Varietäten. Diese Konstruktion geht auf Recillas (1974) und Donagi/Livné (1999) zurück. Genauer: Donagi/Livné (1999) betrachten eine Entartung der Konstruktion von Recillas, die dann auf hyperelliptische Kurven vom Geschlecht 3 anwendbar ist. Ziel: Ein elementarer Zugang zu dieser Theorie mit Hilfe von gewissen S 4 -Überlagerungen.

2 2 2. Spezielle S 4 -Überlagerungen. Definition: Es sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei f : C C eine separable Überlagerung von Kurven über k. Sei f : C C die Galoissche Hülle von f. Dann heißt Mon(f) = Aut( f) die Monodromiegruppe von f. Bezeichnung: Es sei Ram(f) = {P C 1 : e P (f) > 1} die Menge der Verzweigungspunkte und Br(f) := f(ram(f)) der Verzeigungsort (branch locus) von f. Satz 1: Es sei char(k) 2, und sei f = f 2 f 1 : C C 1 P 1 eine Überlagerung mit den folgenden Eigenschaften: 1) deg(f 2 ) = 3 und f2 1 (P ) Ram(f 2), P P 1 ; 2) deg(f 1 ) = 2, #(f1 1 (f 1(P )) \ Ram(f)) = 1, P Ram(f), und Br(f 1 ) Ram(f 2 ) =. Dann ist Mon(f 2 ) S 3 und Mon(f) S 4. Zusatz: In der obigen Situation sei f 3 : C P 1 die Überlagerung, die zur Adjunktion der Diskriminante von f 2 gehört. Dann ist f 2 = f 3 f 4 : C1 C P 1, wobei f 4 : C1 C eine zyklische, unverzweigte Überlagerung mit deg(f 4) = 3 ist. Bemerkung: Wir haben also die folgende Situation von Überlagerungen mit zugehörigen Galoisgruppen:

3 3 C f 1 C C 0 f 0 π C 1 C 1 f 4 f 2 P 1 C f 3 NT 2 1 NT K P 2 3 S 4 2 K 3 A 4 Bemerkung: Es sei s := # Ram(f 2 ). Nach Riemann-Hurwitz ist dann g C1 = s/2 2, g C = s/2 1, also muß s 4 sein. Ferner sei 2t = # Br(f 1 ). Dann gilt g C = s + t 5, g C = 6(s + t 4) + 1. Außerdem sieht man, daß die S 4 -Überlagerung f : C P 1 den folgenden Verzweigungstyp hat: s Konjugiertenklassen von Transpositionen und t Konjugiertenklassen von (2, 2)-Zykel. Bezeichnung: Es sei Hs,t (k) die Menge der Isomorphieklassen von Überlagerungen f = f 2 f 1 : C P 1 wie in Satz 1 zu vorgegebenen s, t. Dann kann man zeigen, daß (der Funktor) H s,t fein repräsentiert wird durch einen Hurwitzraum H s,t der Dimension s + t. Der Quotient H s,t := Aut(P 1 )\ H s,t hat demnach die Dimension s + t 3.

4 3. Der hyperelliptische Fall. Vorbemerkung: Es sei jetzt s = 4. Dann ist g C1 = 0, also ist C hyperelliptisch. Ferner sind dann E := C und E := C 1 elliptische Kurven, und daher ist f 4 : E = C 1 E = C (nach Wahl geeigneter Nullpunkte) eine 3-Isogenie. Sei C 0 = C/(NT K) die Normalisierung von C C1 C1, und sei f 0 : C 0 C 1 = E die zugehörige Überlagerung (s. Diagramm). Der Diskriminantendivisor D := Disc(f 0 ) = (f 0 ) (Diff(f 0 )) Div(E ) ist reduziert vom Grad 4t. Bei geeigneter Wahl des Nullpunktes kann man D wie folgt zerlegen: D = D 1 + [ 1] E D 1, D 1 = D 11 + D 12 mit (f 4 ) D 11 = (f 4 ) D 12. Wir erhalten also einen reduzierten Divisor D 11 vom Grad t auf E, der aber nicht ganz eindeutig bestimmt ist. Umgekehrt: Sei E /K eine elliptische Kurve mit 3-Torsionpunkt P 3 E [3](k), und sei f 4 : E E die zugehörige 3-Isogenie mit Kern P 3. Ferner sei ein reduzierter Divisor D 11 vom Grad t auf E gegeben, zu dem es einen Divisor D 12 gibt mit der Eigenschaft, daß (f 4 ) D 11 = (f 4 ) D 12. Außerdem sollen (f 4 ) D 11 und D := D 11 + D 12 + [ 1] E (D 11 + D 12 ) reduziert sein. 4

5 5 Sei f 1 : C P 1 eine hyperelliptische Kurve mit wobei Disc(f 1 ) = π (D 11 + D 12 ), π : E E /[ 1] E = P 1, die Weierstraß Überlagerung von E ist. Ferner sei die Weierstraß f 2 : E E/[ 1] E = P 1 Überlagerung von E. Dann ist f = f 2 f 1 : C P 1 P 1 eine (2, 3)-Überlagerung vom Typ von Satz 1, deren Galois- Hülle f : C P 1 eine S 4 -Überlagerung ist, die über f 4 (usw.) faktorisiert. Wir erhalten also: Satz 2. Es sei E 3 X 1 (3) die universelle elliptische Kurve mit 3-Torsionspunkt. Dann gibt es eine dominante rationale Abbildung Φ t : E 3 X1 (3)... X1 (3) E }{{} 3 H 4,t, t Faktoren die endliche Fasern hat.

6 6 4. Die trigonale Konstruktion. Bezeichnungen: Es sei wieder f = f 2 f 1 : C C 1 P 1 eine (2, 3)-Überlagerung wie in Satz 1 mit g C 1 = 0. Wie vorher sei f : C P 1 die zugehörige S 4 -Überlagerung und NT = Gal( C/C). Sei: τ NT eine der zwei Transpositionen in NT, S S 3 eine der zwei Stabilisatoren in S 4 mit τ S. Setzen wir T = C/(S NT ) und D = C/S, so haben wir zwei Überlagerungen ϕ 1 : T C und ϕ 2 : T D, die eine Korrespondenz zwischen C und D definieren; es gilt offenbar deg(ϕ 1 ) = 2 und deg(ϕ 2 ) = 3. Wir erhalten somit einen Homomorphismus T = T ϕ1,ϕ 2 = ϕ 2 ϕ 1 : J C J D zwischen den zugehörigen Jacobischen Varietäten. Satz 3. Ist g C = 3, so ist T ist eine Isogenie vom Grad 8. Bemerkungen: 1) Donagi/Livné (1999) weisen nach, daß es so eine Isogenie gibt, ohne aber eine zugehörige Korrespondenz genau anzugeben. (Der Beweis benützt die Konstruction von Recillas und ein Degenerationsargument.) 2) Smith (2008) benützt in seinem Artikel (ohne Beweis) die Tatsache, daß die von Donagi/Livné konstruierte Isogenie durch eine (explizite) (2, 3)-Korrespondenz induziert wird.

7 3) Der Name trigonale Konstruktion kommt daher, daß man zu einer vorgegeben hyperelliptischen Kurve C/k vom Geschlecht 3 stets eine trigonale Unterlagerung f 2 : P 1 P 1 konstruieren kann derart, daß f = f 2 f 1 eine (2, 3)-Überlagerung (wie in Satz 1) ist. Genauer gilt: Satz 4. Es gibt eine dominante rationale Abbildung Ψ 4 : H 4,4 M H,3 vom Grad 2 von dem Modulraum H 4,4 der hyperelliptischen (2, 3)-Überlagerungen (mit g C = 3) zu dem Modulraum M H,3 der hyperelliptischen Kurven vom Geschlecht 3. Bemerkung: In Smith (2008) (wie auch in Donagi/Livné (1999)) wird die trigonale Unterlagerung durch die Lösung gewisser Tangentenbedingungen konstruiert. In [FK] (2012) geben wir ein explizites lineares Gleichungsystem an, das aus 8 Gleichungen in 7 Variablen besteht, deren Lösung diesen Morphismus bestimmt. 7

8 8 5. Allgemeine S 4 -Überlagerungen. Vorbemerkung: Wie erwähnt, ist die von Donagi/Livné betrachtete Situation eine Entartung der originalen Konstuktion von Recillas (1974). Der folgende Satz unfaßt beide Situationen (und viel mehr). Bezeichnung: Ist f : X Y eine Überlagerung von Kurven, so sei P (f) := Ker(f ) 0 J X die 0-Zusammenhangskomponente des Kerns der Abbildung f : J X J Y. ( Verallgemeinerte Prymsche Varietät.) Bemerkung: P (f) ist eine abelsche Untervarietät von J X der Dimension g X g Y. Ferner gibt es eine (eindeutig bestimmte) Surjection π P (f) : J X P (f) mit i P (f) π P (f) = [deg(f)] JX f f. Bezeichnungen: Es sei G Aut(X) eine endliche Gruppe und π = π G : X Y := X/G der Quotientenmorphismus. Für eine Untergruppe H G sei X H = X/H und f H : X H Y die induzierte Überlagerung. Es gilt also π = f H π H : X πh X H f H Y. Es seien H 1, H 2 G zwei Untergruppen, und sei H 12 = H 1 H 2. Dann haben wir zwei induzierte Abbildungen f i = f H12,H i : X H12 X Hi, i = 1, 2.

9 Also ist (f 1, f 2 ) eine Korrespondenz, die einen Homomorphismus T H1,H 2 = (f 2 ) f 1 : J H1 := J XH1 J H2 := J XH2. der Jacobischen Varietäten induziert. Bemerkung: Sind H i K i G vier Untergruppen, so definiert T H1,H 2 := π P (fh2,k 3 ) T H1,H 2 i P (fh2,k 2 ) einen Homomorphismus T H1,H 2 : P (f H1,K 1 ) P (f H2,K 2 ) der verallgemeinerten Prymschen Varietäten. Bezeichnung: Es sei G = S 4 und NT = τ, σ 2, wobei τ = (12), σ = (1324), P 2 = τ, σ, eine 2-Sylowuntergruppe von S 4, S = τ, ρ, der Stabilisator der Ziffer 4 (ρ = (123)). Satz 5. Es sei π : X Y eine S 4 -Überlagerung, und sei f 1 = f NT,P2 und f 2 = f S,G. Dann sind T NT,S : P (f 1 ) P (f 2 ) und TS,NT : P (f 2 ) P (f 1 ) zwei Isogenien mit T S,NT T NT,S = [16] P (f1 ) und TNT,S T S,NT = [16] P (f2 ). Bemerkung: Im Fall, daß Y X P2 P 1 ist, so gilt offenbar P (f 1 ) = J NT und P (f 2 ) = J S. Hier gilt sogar, daß T S,NT T NT,S = [2] JNT und T NT,S T S,NT = [2] JS. 9