Allgemeine Hinweise zur Klausur

Transkript

1 Semestralklausur Numerisches Programmieren, WS 2009/10, Name, Vorname, Matrikelnummer: Seite 1/17 Unterschrift: Bearbeitungszeit: 110 Minuten. Allgemeine Hinweise zur Klausur Hilfsmittel: Ein DIN-A4 Blatt, beidseitig handschriftlich beschrieben (keine Kopie!). ggf. Fremdsprachenwörterbuch (Deutsch-.../...-Deutsch) ohne handschriftliche Eintragungen! Punkteverteilung: Für die 5 Klausuraufgaben werden insgesamt 43 Punkte vergeben. Die ungefähre Punkteverteilung innerhalb einer Aufgabe ist als Orientierungshilfe jeweils zu Beginn der Aufgabe angegeben. Die einzelnen Teilaufgaben sind bis auf wenige Ausnahmen unabhängig voneinander lösbar. Sollten Sie zu einer Teilaufgabe keine Lösung finden, so können Sie diese Teilaufgabe also einfach überspringen. Trennen Sie unter keinen Umständen die Heftung der Blätter auf! Falls der Platz zur Bearbeitung einer Teilaufgabe nicht ausreicht, markieren Sie dies bitte und benutzen die Rückseite des vorhergehenden Blattes. Beschriften Sie den Kopf jedes Blattes mit Ihrem Namen! Die letzte Seite stellt ein leeres Zusatzblatt dar. Viel Erfolg! /10 /11 /7 /6 /9 /43 Seite 1/17

2 Semestralklausur Numerisches Programmieren, WS 2009/10, Seite 2/17 1 Gleitkomma-Arithmetik (ca = 10 Punkte) a) Bei der Lösung mathematischer Probleme im Computer lassen sich Diskretisierungsfehler nicht vermeiden. Dies beginnt schon beim Übergang in ein diskretes Zahlensystem wie das der Gleitkommazahlen. In dieser Aufgabe gehen wir von einer Darstellung durch Gleitkommazahlen F B,t der folgenden Form aus: Sei B = 10 die Basis der Darstellung Sei M die Mantisse zur Basis B mit t = 4 Stellen Sei E der Exponent (in beliebiger Darstellung) Die Umrechnung eines Tupels (M, E) in die reellen Zahlen erfolgt dann über die Formel (M, E) (F10,4 ) = (0, m 0 m 1 m 2 m 3 10 E ) (10), wobei die Eindeutigkeit der Darstellung durch die implizite 0 vor der Mantisse sowie die Forderung m 0 0 sichergestellt wird. (i) Stellen Sie die Hexadezimalzahl (40a) (16) im F 10,4 -System dar. Ist diese Darstellung exakt? (ii) Beschreiben Sie kurz das Phänomen der Auslöschung. Führen Sie ein Zahlenbeispiel an, bei dem dieser Effekt unter Verwendung des F 10,4 -Systems auftritt. (i) (40a) (16) = (1034) (10) = (1034, 4) (F10,4 ). Die Darstellung ist exakt. 1 Pkt. (ii) Tritt bei Addition zweier betragsmäßig ähnlicher Zahlen unterschiedlichen Vorzeichens auf. Hat einen Verlust der Genauigkeit zur Folge. 1 Pkt. Bsp.: 1, , = (0, ) (F10,4 ) Seite 2/17

3 Semestralklausur Numerisches Programmieren, WS 2009/10, Seite 3/17 b) Rechnen Sie die reelle Zahl 43 8 in eine Festkommazahl mit den folgenden Spezifikationen um! Die Darstellung erfolgt bezüglich der Basis 2. Das Vorzeichen wird explizit als + oder angegeben. Die Darstellung besitzt genau eine Nachkommastelle. Es wird möglichst genau gerundet. Im uneindeutigen Fall wird abgerundet. (43) (10) = (101011) (2), (8) (10) = (1000) (2) : 1000 = 101, Es muss nun aufgerundet werden auf 101, 1. c) Gegeben ist die Funktion f : ]0, [ IR, definiert durch 1 Pkt. f(x) := (x 1) ln(x). (1) Bestimmen Sie zuerst allgemein den Betrag der relativen Konditionszahl cond f (x) = x f (x) f(x) (2) für die Auswertung von f an der Stelle x ]0, [! Berechnen Sie dann cond f (1) durch Einsetzen! f (x) cond f (x) cond f (1) P roduktregel = Definition = (3) = lim (zeilenweise) 1 + 0,5 + 1,5 Pkt. x 1 + (ln x) x x f (x) (3) f(x) = x 1 + x(ln x) (ln x)(x 1) x 1 + x(ln x) x 1 (ln x)(x 1) = lim 1 x 1 ln x + x x 1 Seite 3/17 = Einsetzen

4 Semestralklausur Numerisches Programmieren, WS 2009/10, Seite 4/17 d) Ist eine computergestützte Berechnung anhand von Formel (1) stabil? Bestimmen Sie dazu den Betrag des relativen Fehlers, der durch die Gleitkomma-Arithmetik für exakte Eingangswerte hervorgerufen wird! Gehen Sie dabei davon aus, dass die Berechnung des Wertes ln(x) einen Fehler in der Größenordnung des Maschinengenauigkeit ε m verursacht! Hinweise: Es kann angenommen werden, dass Potenzen von ε vernachlässigbar klein sind. Relativer Rundungsfehler: err rel = rd(x) x x (3) rd(f(x)) = ((ln x)(1 + ε 1 )(x 1)(1 + ε 2 )) (1 + ε 3 ) = f(x)(1 + ε 1 )(1 + ε 2 )(1 + ε 3 ). = f(x)(1 + ε 1 + ε 2 + ε 3 ) err rel Definition = rd(f(x)) f(x) f(x) Ungl. ε 1 + ε 2 + ε 3 (4). = f(x)(1 + ε 1 + ε 2 + ε 3 ) f(x) f(x) Rechnung 1 Pkt., Abschätzung bzw. Ergebnis Stabil! Seite 4/17

5 Semestralklausur Numerisches Programmieren, WS 2009/10, Seite 5/17 2 Numerische Differenziation und Integration (ca = 11 Punkte) a) In einer Testfahrt wurde bei einem Fahrzeug die Geschwindigkeit v ermittelt und mit den zugehörigen Zeitstempeln (Annahme: äquidistante Zeitschritte) gespeichert. Ihre Aufgabe ist es nun, eine Funktion zu schreiben, welche durch Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit die Beschleunigung ermittelt. Gegeben sind: Geschwindigkeit im Vektor v = (v 0, v 1,..., v n 1 ) Zeit im Vektor t = (t 0, t 1,..., t n 1 ) Länge n der Vektoren t und v Das Ergebnis soll ein Beschleunigungsvektor a sein, der approximierte Ableitungswerte der Geschwindigkeit zu allen Zeitstempeln enthält. Berechnen Sie den Vektor a unter Verwendung der in der Vorlesung und den Programmierübungen behandelten finiten Differenzen. Versuchen Sie die Genauigkeit der lokalen Approximation möglichst hoch zu halten, während Sie zur Berechnung der Ableitungswerte jeweils nur auf die Messwerte der Geschwindigkeit zum momentanen Zeitpunkt sowie den direkten Nachbarzeitpunkten zugreifen. Ergänzen Sie den folgenden Programmrumpf um die entsprechende Methode! p u b l i c s t a t i c double [ ] d i f f ( double [ ] v, double [ ] t, i n t n ){ double [ ] a = new double [ n ] ; a [ 0 ] = ( v [1] v [ 0 ] ) / ( t [1] t [ 0 ] ) ; / / f o r w a r d d e r i v f o r ( i n t i =1; i <n 1; i ++){ a [ i ] = ( v [ i +1] v [ i 1 ] ) / ( t [ i +1] t [ i 1 ] ) ; / / c e n t r a l d e r i v } a [ n 1] = ( v [ n 1] v [ n 2 ] ) / ( t [ n 1] t [ n 2 ] ) ; / / b a c k w a r d d e r i v richtiges Erkennen jedes Verfahrens: richtige Implementierung jedes Verfahrens: nichtbehandelte Stützstelle (Unvollständigkeit): 1 Pkt. 1 Pkt. -1 Pkt. return a ; } / end d i f f / Seite 5/17

6 Semestralklausur Numerisches Programmieren, WS 2009/10, Seite 6/17 b) Numerische Quadratur hoher Ordnung Gegeben sei der folgende Code: p u b l i c s t a t i c double i n t e g r a t e ( F u n k t i o n func, double a, double b, i n t s t a r t n, i n t m){ i n t n = s t a r t n ; double h [ ] = new double [m] ; double T [ ] = new double [m] ; f o r ( i n t i =0; i <m; i ++){ h [ i ] = ( b a ) / ( double ) n ; T [ i ] = trapezsumme ( func, a, b, n ) ; f o r ( i n t k= i 1; k >=0; k ){ } T [ k ] = T [ k +1]+(T [ k+1] T [ k ] ) / ( ( h [ k ] h [ k ] ) / ( h [ i ] h [ i ] ) 1 ) ; } n = n 2 ; } return T [ 0 ] ; p u b l i c s t a t i c double trapezsumme ( F u n k t i o n func, double a, double b, i n t n ){ double x = a ; double summe = 0 ; double h = ( b a ) / n ; } summe += f unc. e v a l ( a ) / 2. 0 ; f o r ( i n t i =1; i <n ; i ++){ x = x+h ; summe += f unc. e v a l ( x ) ; } summe += f unc. e v a l ( b ) / 2. 0 ; return summe h ; (i) Die Funktion integrate implementiert ein Quadraturverfahren hoher Ordnung. Welches? (ii) Beide Funktionen arbeiten fehlerfrei, vor allem trapezsumme ist jedoch hinsichtlich Effizienz nicht optimal. Erklären Sie knapp, wo Sie unmittelbare Verbesserungsmöglichkeiten sehen. Seite 6/17

7 Semestralklausur Numerisches Programmieren, WS 2009/10, Seite 7/17 (iii) Wenden Sie das in integrate implementierte Quadraturverfahren zur Berechnung einer Näherung für das folgende Integral an. Sie dürfen dabei die Formel aus der Vorlesung verwenden, um das entstehende Dreiecksschema zu füllen. I(f) = b=2 a= 2 3 x 2 (x 2 9) dx (4) }{{} f(x) Verwenden Sie die Trapezsumme Q T S (f; h) zur Ermittlung der benötigten Sequenz von Integralen für n = 1, 2, 4 Teilintervalle. Hinweis: Erinnern Sie sich an Aufgabenteil (ii), und nutzen Sie bestimmte Eigenschaften des Integranden. Auf Grund der Achsensymmetrie von f kommt man mit insgesamt 3 Funktionsauswertungen aus: f( 2) = f(2) = 60 f( 1) = f(1) = 24 f(0) = 0 (i) Romberg-Quadratur bzw. Extrapolation (ii) Wiederholte Auswertung des Integranden kann vermieden werden. Für die 3 Trapezsummen gilt damit (unter Ausnutzung der Achsensymmetrie): jeweils Q T S (f, 4) = Q T S (f, 2) = Q T S (f, 1) = ( ) = 240 (60 + 0) = 120 Tragen Sie Ihre Zwischenergebnisse in folgende Tabelle ein: ( ) = 108 i h i O(h 2 ) O(h 4 ) O(h 6 ) Seite 7/17

8 Semestralklausur Numerisches Programmieren, WS 2009/10, Seite 8/17 3 Gewöhnliche Differenzialgleichungen (ca = 7 Punkte) a) Berechnen Sie die analytische Lösung y(t) des folgenden Anfangswertproblems ẏ(t) = 2y(t), y(0) = y 0, t 0 mit Hilfe der Separation der Variablen! Fallunterscheidung: y 0 = 0: Es gilt die triviale Lösung y(t) = 0. y 0 0: y dy = 2y dt dy 2y = dt t 1 y 0 2η dη = dτ (ln y ln y 0 ) = t 0 y(t) = e2t y 0 y(t) = ±y 0 e 2t Da für t = 0 als Anfangswert y(t = 0) = y 0 gegeben ist, muss die +-Lösung y(t) = y 0 e 2t gelten. Herleitung: Einarbeitung des Anfangswerts: 1 Pkt. 1 Pkt. Seite 8/17

9 Semestralklausur Numerisches Programmieren, WS 2009/10, Seite 9/17 b) In den Abbildungen 1 und 2 ist jeweils ein Gradientenfeld zu einer Differenzialgleichung y = f(t, y) abgebildet. Die Pfeile in den Schaubildern stellen die Werte f(t, y) ausgewertet auf einem regelmäßigen Gitter dar. Die dicke schwarze Linie zeigt die exakte Lösung für den Anfangswert y 0 = 0, 1. (i) Zeichnen Sie in das Schaubild Nr. 1 vier explizite Eulerschritte ein. Vorgaben: y k+1 = y k + δt f(t k, y k ) Zeitschrittweite δt = 2 Anfangswert y 0 = 0, 1 Markieren und benennen Sie die Näherungswerte jedes Schrittes. Abbildung 1: Euler Seite 9/17

10 Semestralklausur Numerisches Programmieren, WS 2009/10, Seite 10/17 (ii) Zeichnen Sie in das Schaubild Nr. 2 einen Schritt des Verfahrens von Heun. Vorgaben: y k+1 = y k + δt 2 (f(t k, y k ) + f(t k+1, y k + δt f(t k, y k ))) Zeitschrittweite δt = 4 Anfangswert y 0 = 0, 1 Bennen Sie Zwischenergebnisse. Eventuell ist es hilfreich, Steigungsdreiecke einzuzeichnen. Abbildung 2: Heun c) Wie verändert sich der globale Diskretisierungsfehler bei Halbierung der Zeitschrittweite für i) das explizite Euler Verfahren? ii) das Verfahren von Heun? Der Fehler wird halbiert bzw. geviertelt (Ordnung 1 bzw. 2). je Seite 10/17

11 Semestralklausur Numerisches Programmieren, WS 2009/10, Seite 11/17 4 Iterative Lösungsverfahren (ca = 6 Punkte) Zur Lösung des Problems Ax = b haben wir in der Vorlesung zwei Klassen von iterativen Verfahren kennen gelernt, die Relaxationsverfahren und die Abstiegsverfahren. a) Die Iterationsvorschrift eines Relaxationsverfahrens hat die allgemeine Form x (k+1) = x (k) + M 1 (b Ax (k) ). Nennen Sie zwei Beispiele solcher Verfahren. Welche Form hat die Matrix M jeweils? Richardson: M = I Jacobi: M = D A Gauß-Seidel: M = L A + D A pro Name bzw. Matrix: 4 0,5 = 2 Pkt. b) Bei der Konvergenzanalyse der Relaxationsverfahren spielt die sogenannte Iterationsmatrix C C = M 1 (A M) die entscheidende Rolle. Sie wird in jeder Iteration auf den Fehler e (k) = x (k) x angewendet, wobei x die exakte Lösung ist. Welche Eigenschaft muss die Matrix C erfüllen, damit die Konvergenz des jeweiligen Verfahrens gewährleistet ist? Erklären Sie kurz und anschaulich, indem Sie den Fehler e (k) als Linearkombination von Eigenvektoren v i der Matrix C betrachten: e (k) = n α i v i i=0 Der Spektralradius ϱ(c) muss kleiner als 1 sein. Damit sind alle Eigenwerte betragsmäßig kleiner 1 und bei Anwendung von C auf den Fehler e (k) werden alle Eigenvektoranteile verkleinert. ϱ(c) < 1 oder λ i < 1, Bedeutung (z.b. Skalierung) Seite 11/17

12 Semestralklausur Numerisches Programmieren, WS 2009/10, Seite 12/17 c) In einer Iteration des Verfahrens des steilsten Abstiegs werden die Werte α (k), r (k) sowie die neue Näherung x (k+1) berechnet. Benennen Sie die ersten beiden Werte samt ihrer Bedeutung. Wie wird x (k+1) gewählt? r (k) : Das Residuum r (k) = b Ax (k) dient als neue Suchrichtung. α (k) : Die Schrittweite (in Richtung des Residuums) 0,5 + 0,5 = 1 Pkt. x (k+1) = x (k) + α (k) r (k) (Linearkombination aus alter Näherung und neuer Suchrichtung) d) Unter der unrealistischen Annahme exakter Arithmetik sollen das Verfahren des steilsten Abstiegs und das Verfahren der konjugierten Gradienten hinsichtlich Konvergenzgeschwindigkeit verglichen werden. Nach wie vielen Iterationen beider Verfahren stimmt die Näherung x (k) im Regelfall spätestens mit der Lösung x des Problems überein? Steilster Abstieg: Im Normalfall wird die exakte Lösung selbst nach unendlich vielen Schritten nicht erreicht. Konjugierte Gradienten: Nach spätestens n Schritten (Dimension der Matrix A) wird die Lösung erreicht. Seite 12/17

13 Semestralklausur Numerisches Programmieren, WS 2009/10, Seite 13/17 5 Eigenwertberechnung (ca = 9 Punkte) In dieser Aufgabe widmen wir uns der analytischen sowie der numerischen Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren. Im Mittelpunkt steht dabei die Gleichung λv = Av, (5) die jeweils für Paare von Eigenwerten λ und Eigenvektoren v einer n n Matrix A gilt. a) Sei M eine reelle, symmetrische Matrix M = i) Was wissen Sie über die Eigenvektoren der Matrix M? ( ) 3/5 4/5. (6) 4/5 3/5 Zu einer symmetrischen Matrix lässt sich eine Basis orthogonaler bzw. orthonormaler Eigenvektoren konstruieren. ii) Berechnen Sie die Eigenvektoren und Eigenwerten der Matrix auf analytischem Weg. λ 1 = 1 λ 2 = 1 ( ) 1 v 1 = 2 ( ) 2 v 2 = 1 charakt. Polynom, jeder EW, jeder EV jew. 0,5 = 2,5 Pkt. Seite 13/17

14 Semestralklausur Numerisches Programmieren, WS 2009/10, Seite 14/17 b) In diesem Aufgabenteil soll das Konvergenzverhalten des aus der Vorlesung bekannten Power Iteration Algorithmus untersucht werden. Dazu vergleichen wir in Tabelle (9) die Näherungen, die sich für drei Kombinationen von Startvektoren x (0) und Parametern µ zu Beginn des Algorithmus ergeben. Betrachtet wird die Matrix A, die in Gleichung (7) mitsamt Eigenwerten und -vektoren gegeben ist. Der Algorithmus ist zur Erinnerung in Abbildung (8) noch einmal abgedruckt. A = ( 3 0 3/4 4 ) λ 1 = 4 v 1 = λ 2 = 3 v 2 = ( ) 0 1 ( ) 4 3 (7) 1 Wähle Startvektor x (0) R n mit x (0) = 1 2 for k = 0, 1, 2,... : 3 w (k) := (A µi)x (k) 4 λ (k) := (x (k) ) T w (k) 5 x (k+1) := w(k) w (k) 6 # Abbruchbedingung 7 if w (k) λ (k) x (k) ε w (k) : 8 break 9 end if 10 end loop (8) Seite 14/17

15 Semestralklausur Numerisches Programmieren, WS 2009/10, Seite 15/17 (1) (2) (3) µ 0 2, 75 = x (0) 1 w (0) ( ) ( ) 4 15 ( ( ) 1 12 ) ( ) 4/5 3/5 λ (0) 3, 675 0, ( ) 4/5 3/5 (9) x (1) 1 w (1) 1 ( ) ( ) ( ( ) ( ) 4/5 12 3/5 57 ) λ (1) 3, 747 1, 181 (i) Gegen welche Werte konvergieren die Sequenzen der λ (k), x (k) jeweils? Begründen Sie für jeden der drei Rechenläufe stichwortartig. Orientieren Sie sich dabei an den gegebenen Eigenwerten und -vektoren der Matrix A. (ii) Geben Sie die Konvergenzraten der Eigenwertberechnungen für die Fälle (1) und (2) an. Interpretieren Sie die Ergebnisse kurz. Seite 15/17

16 Semestralklausur Numerisches Programmieren, WS 2009/10, Seite 16/17 (i) (1) λ (k) 4, x (k) v 1, da der betragsmäßig größte Eigenwert bei wiederholter Anwendung der Matrix dominiert. Standardfall: (2) λ (k) 5 4 = 1, 25, x(k) v 1. Durch das Shifting der Eigenwerte mit dem Parameter µ = 11 4 = 2, 75 werden nur die Eigenwerte beeinflusst. Sonderfall durch Shifting anderer EW: 0,5 + 0,5 = 1 Pkt. (3) λ (k) 3, x (k) v 2, da x (0) = v 2 gilt. Bei Anwendung von A auf x (0) läuft man direkt in die Abbruchbedingung und hat wegen der Definition des Rayleigh-Quotienten ebenfalls den exakten Eigenwert λ 2 = λ (0) berechnet. EW, EV, Erklärung: (ii) Für die Konvergenzraten gilt λ 2 λ 1 jew. 0,5 = 1,5 Pkt. = 3 4 bzw. λ2 λ 1 = λ 2 µ λ 1 µ = 1 5. Durch das Shifting der Eigenwerte um µ = 2, 75 verstärkt sich die Dominanz des größten Eigenwerts die Konvergenrate verbessert sich. Konvergenzraten:, Schlussfolgerung: Seite 16/17

17 Semestralklausur Numerisches Programmieren, WS 2009/10, Seite 17/17 c) Seien λ i die Eigenwerte einer Matrix A und seien λ i die Eigenwerte von A µ = A µi für ein µ R. Zeigen Sie, dass A und A µ dieselben Eigenvektoren besitzen. Hinweis: Gehen Sie von einem gegebenen Eigenwert λ der Matrix A aus, und berechnen Sie den zugehörigen Eigenvektor v. Schreiben Sie dazu Gleichung (5) von Seite 13 zur Ermittlung von v in geeigneter Weise um. Führen Sie dies nun analog für einen Eigenwert λ der Matrix A µ durch, und überlegen Sie, wie die Eigenwerte beider Matrizen zusammenhängen. λv = Av (A λi)v = 0 Ebenso gilt für Ansatz λṽ = A µ ṽ (A µi λi)ṽ = 0 (A (µ }{{ + λ } )I)ṽ = 0 =λ v =! ṽ Erkennung λ = λ + µ: 1 Pkt., v = ṽ: Seite 17/17