Erde, Mond und die Gravitationskonstante

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1 , Mond und die Gravitationskonstante Franz Embacher Fakultät für Physik der Universität Wien Vortrag im ahmen der Lehrerfortbildungstagung ASTONOMIE Friedrich-Schiller-Universität Jena, Juli 013

2 Fragen Wie groß sind und Mond? Wie weit ist der Mond von der entfernt? Welche Masse hat die? Welchen Wert hat die im Newtonschen Gravitationsgesetz MM F = G r 1 auftretende Gravitationskonstante?

3 Fragen Wie groß sind und Mond? Wie weit ist der Mond von der entfernt? Welche Masse hat die? Welchen Wert hat die im Newtonschen Gravitationsgesetz MM F = G r 1 auftretende Gravitationskonstante? und woher kennen wir die Antworten auf diese Fragen?

4 Antwortmöglichkeiten 1 Gravitationskonstante hat Henry Cavendish im Labor gemessen adius der hat Eratosthenes von Kyrene bestimmt Masse der aus der Formel für die Erdbeschleunigung M g = G Größe und Entfernung des Mondes durch Beobachtung einer Mondfinsternis und durch zeitgleiche Beobachtung des Mondes von unterschiedlichen Positionen auf der

5 Antwortmöglichkeiten 1 Gravitationskonstante hat Henry Cavendish im Labor gemessen adius der hat Eratosthenes von Kyrene bestimmt Masse der aus der Formel für die Erdbeschleunigung g M = G nicht leicht durchführbar nicht leicht durchführbar nicht leicht durchführbar Größe und Entfernung des Mondes durch Beobachtung einer Mondfinsternis und durch zeitgleiche Beobachtung des Mondes von unterschiedlichen Positionen auf der

6 In der egel wird das Ergebnis den SchülerInnen lediglich mitgeteilt. Antwortmöglichkeiten 1 Gravitationskonstante hat Henry Cavendish im Labor gemessen adius der hat Eratosthenes von Kyrene bestimmt Masse der In der egel wird das Ergebnis den SchülerInnen lediglich mitgeteilt. aus der Formel für die Erdbeschleunigung In der egel wird das Ergebnis den SchülerInnen lediglich mitgeteilt. Größe und Entfernung des Mondes g M = G nicht leicht durchführbar nicht leicht durchführbar nicht leicht durchführbar durch Beobachtung einer Mondfinsternis und durch zeitgleiche Beobachtung des Mondes von unterschiedlichen Positionen auf der

7 Theoretische Voraussetzung: Antwortmöglichkeiten a Newtonsches Gravitationsgesetz ein bisschen Geometrie und Algebra Vier Beobachtungsdaten: Erdbeschleunigung ( 10 m/s ) Umlaufzeit des Mondes ( 4 Wochen) Scheinbare Größe des Mondes ( 1/ Winkelgrad) Größe des Erdschattens auf dem Mond ( 3 mal der Größe des Mondes) Mond r GM bestimmen:,, und!

8 Antwortmöglichkeiten a Theoretische Voraussetzung: Newtonsches Gravitationsgesetz ein bisschen Geometrie und Algebra Vier Beobachtungsdaten: Erdbeschleunigung ( 10 m/s ) Umlaufzeit des Mondes ( 4 Wochen) Scheinbare Größe des Mondes ( 1/ Winkelgrad) Größe des Erdschattens auf dem Mond ( 3 mal der Größe des Mondes) Alternative bzw. ergänzende sachlogische Vorgangsweise für die Sek II Mond r GM bestimmen:,, und!

9 Theoretische Voraussetzungen Newtonsches Gravitationsgesetz MM F = G r 1 mit als unbekannt angenommener Gravitationskonstante. G

10 Theoretische Voraussetzungen Newtonsches Gravitationsgesetz MM F = G r 1 Grundgesetz der Mechanik Mm ma= G r mit als unbekannt angenommener Gravitationskonstante. G

11 Theoretische Voraussetzungen Newtonsches Gravitationsgesetz MM F = G r 1 Grundgesetz der Mechanik Mm ma= G r mit als unbekannt angenommener Gravitationskonstante. G a = = ω r π T 4 r Erdbeschleunigung 3. Keplersches Gesetz für (kreisförmigen) Mondumlauf g = GM r T GM 4π 3 =

12 Voraussetzungen Näherungen Weitere Voraussetzungen: Strahlensatz Satz von Pythagoras elementare algebraische Umformungen Näherungen: und Mond sind Kugeln. Erdposition ist fixiert. Mond umläuft die auf einer Kreisbahn. Sonne und Mond werden unter dem gleichen Winkel gesehen. Weitere Näherungen: Erdumlauf um die Sonne wird vernachlässigt, Erdatmosphäre wird vernachlässigt.

13 Worum es (nicht) geht Worum es (hier) in erster Linie geht: Verwendung von Größen, die der Anschauung leicht zugänglich sind, deren Werte größenordnungsmäßig bekannt sind oder leicht (näherungsweise) in Erfahrung gebracht werden können, die (zumindest zum Teil) von SchülerInnen selbst gemessen werden können und die mit den gesuchten Größen in einen physikalischen (SchülerInnen bekannten) Zusammenhang gebracht werden. Worum es (hier) in erster Linie nicht geht: Präzisionsaussagen Problematisierung von Messfehlern und unberücksichtigten Effekten

14 Erdbeschleunigung Der Wert der Erdbeschleunigung g kann in einem Fallexperiment bestimmt werden und ist im Physikunterricht gut etabliert. Der Idealwert ist: g = 9.81 m/s (Der wahre Wert hängt vom Ort auf der Erdoberfläche ab und variiert um einige Promille.)

15 Umlaufzeit des Mondes elevant ist der siderische Monat, d.h. die Zeitspanne, nach der sich die beobachtete Stellung des Mondes relativ zu den Fixsternen wiederholt. Seine Messung erfordert die Beobachtung des Mondes über längere Zeiten, aber im Prinzip ist klar, wie sie durchgeführt wird, und die Größenordnung des Ergebnisses ist wohlbekannt ( 4 Wochen). Der Idealwert ist: T = 7.3 Tage

16 Eine Verlockung Der synodische Monat, nach dem sich die Mondphasen wiederholen, ist mit ganztägiger Genauigkeit als Zeitspanne zwischen zwei Vollmonden aus einem Kalender zu ermitteln, aber um Tage länger als der siderische Monat (im Mittel 9.5 Tage), physikalisch hier eigentlich nicht zulässig, und seine Verwendung bewirkt einen Fehler von 15 bis 30% in den Endergebnissen. Daher ist von dieser vermeintlichen Vereinfachung eher abzuraten.

17 Monddurchmesser : Mondentfernung Das Verhältnis α = Mond r kann mit einem Lineal gemessen werden: Mond α = = r d r'

18 Monddurchmesser : Mondentfernung Der Idealwert ist: α = Mond r (das entspricht 1/ α = Winkelgrad). Anmerkung: Aufgrund des variierenden -Mond-Abstands schwankt α zwischen und

19 Größe der : Größe des Mondes Das Verhältnis κ = Mond kann aus der Aufnahme einer Mondfinsternis (genauer: Kernschattenfinsternis) ermittelt werden:

20 Größe der : Größe des Mondes κ = Mond Dabei ist allerdings zu bedenken, dass Kernschattenradius Erdradius! (Hipparchos, zweites vorchristliches Jahrhundert)

21 Größe der : Größe des Mondes Da wir Sonne und Mond unter dem gleichen Winkel sehen, gilt daher und folglich Kernschatten = Mond Kernschatten Mond = Mond 1 κ = = Kernschatten + Mond Mond 1

22 Geometrische Auswertung (etwa anhand eines Papierausdrucks): Satz von Pythagoras: ( ' ) und daraus: : Mond s ' Kernschatten Kernschatten h + = Kernschatten ' Kernschatten 4 h + s = = ' 8 h' Mond Mond Mond

23 Geometrische Auswertung (etwa anhand eines Papierausdrucks): Satz von Pythagoras: ( ' ) und daraus: : Mond s ' Kernschatten Kernschatten h + = Kernschatten ' Kernschatten 4 h + s = = ' 8 h' Mond Mond Mond abmessen! berechnen!

24 : Mond Typischer Papierausdruck: h = 6.5 mm s = 74 mm ' Mond = 40 mm daher ' ' Kernschatten Mond =.7 und ( Idealwert ) κ = = Mond 3.7

25 Größe der : Größe des Mondes Anmerkung zur Genauigkeit der Bestimmung von : Fehlerquelle Erdatmosphäre: Schattengrenze unscharf und u.u. schwer zu lokalisieren Schattenvergrößerung um % Fehlerquelle Konstrastverstärkung (digitales endering) κ

26 Zusammenfassung: Idealwerte g = 9.81 m/s T = 7.3 Tage Mond α = = r κ = = Mond 3.7

27 Bestimmung von,, r und GM Mond GM = g 4π r GM 3 = T Mond r = α Mond = κ

28 Bestimmung von,, r und GM Mond GM = g 4π r GM 3 Vier Gleichungen für vier Unbekannte:,, und! = T r GM Mond bekannt! Mond r bekannt! = α bekannt! bekannt! Mond = κ nach den Unbekannten auflösen!

29 Bestimmung von,, r und GM Nach den Unbekannten aufgelöst: Mond Mond 3 3 gt ακ 3π 3 gt ακ 3π gt ακ r = 16π GM gtακ 3 π 4 Jede der vier Größen,, und ist nötig! = = = g T α κ

30 Bestimmung von,, r und GM Mond Die numerischen Ergebnisse mit den Idealwerten sind: Mond 6381 km 175 km r = km GM = = = m /s 14 3

31 Bestimmung von,, r und GM Mond Die numerischen Ergebnisse mit den Idealwerten sind: Mond 6381 km 175 km r = km GM = = = m /s 14 3 mittlerer Erdradius: km mittlerer Mondradius: 1737 km mittlere -Mond-Distanz: km geozentrische Gravitationskonstante: m 3 /s (World Geodetic System 1984) Abweichungen von den wahren (mittleren) Werten < 1%!

32 Bestimmung von,, r und GM Mond Einfluss von Messfehlern und unberücksichtigten Effekten: elative Fehler verursachen relative Fehler α α κ κ Mond Mond r r ( GM) GM

33 Antwortmöglichkeiten b Bisher GM bestimmt, aber nicht G und M! Tieferer Grund: m Struktur des Newtonschen Gravitationsgesetzes Gleichheit von träger und schwerer Masse! Eines der großen Probleme der Astronomie des 17. und 18. Jahrhunderts! ma= F1+ F +... wobei = M m j F j G e j kürzt sich aus der Bewegungsgleichung heraus (links als träge Masse und rechts als schwere Masse)! Massen können nicht durch die Beobachtung rein gravitativ bestimmter Bewegungen bestimmt werden! r

34 Erdmasse und Gravitationskonstante Massen können nicht durch die Beobachtung rein gravitativ bestimmter Bewegungen bestimmt werden! Zur Bestimmung von G und M müssen nicht-gravitative Kräfte einbezogen werden: Mit kleinen Massen: Experiment von Henry Cavendish (1798) und nachfolgende Verbesserungen (Loránd Eötvös, ): Gravitations-Drehwaage Mit großen Massen: Isaac Newton: Näherungswert der Gravitationskonstante durch Abschätzung der Dichte der!

35 Erdmasse und Gravitationskonstante Massen können nicht durch die Beobachtung rein gravitativ bestimmter Bewegungen bestimmt werden! Zur Bestimmung von G und M müssen nicht-gravitative Kräfte einbezogen werden: Mit kleinen Massen: Experiment von Henry Cavendish (1798) und nachfolgende Verbesserungen (Loránd Eötvös, ): Gravitations-Drehwaage Mit großen Massen: Isaac Newton: Näherungswert der Gravitationskonstante durch Abschätzung der Dichte der! M V = ρ

36 Erdmasse und Gravitationskonstante Wie kann die Dichte ρ der abgeschätzt oder zumindest plausibel eingegrenzt werden? Dichte oberflächennaher Gesteine: kg/m Im Erdinneren ist die Dichte sicher größer als an der Oberfläche (physikalische Argumente: Absinken, Druck) Allgemeine Eigenschaft von festen und flüssigen Stoffen: Dichten variieren in einem überschaubaren Bereich 3 3 (von etwa 1000 kg/m bis 0000 kg/m )! Physikalischer Grund: Atome sind sehr robust (und ihre Größe variiert nicht sehr stark) dank der elektromagnetischen Wechselwirkung und ihrer Quantennatur!

37 Erdmasse und Gravitationskonstante Zwei mögliche Strategien: Gut raten : Veranschlagen einen Faktor im Vergleich zu Oberflächengestein: 3 ρ 5400 kg/m Damit ergibt sich M kg (wahrer Wert: kg ) und G GM = M m (wahrer Wert: ). kg s 11 3 m kg s

38 Erdmasse und Gravitationskonstante Zwei mögliche Strategien: Gut raten : Veranschlagen einen Faktor im Vergleich zu Oberflächengestein: 3 ρ 5400 kg/m Damit ergibt sich M kg Newton hat geraten : Dichte der = 5 mal der Dichte von Wasser. (wahrer Wert: kg ) und G GM = M m (wahrer Wert: ). kg s 11 3 m kg s

39 Erdmasse und Gravitationskonstante Seriöse Eingrenzung: Selbst wenn die im Inneren aus schwersten Metallen besteht, kann erwartet werden: Damit ergibt sich 700 kg/m < ρ < kg/m kg < M < 3 10 kg 4 5 und m kg s m kg s < G <

40 Physikalische Nachbemerkungen Fragen an die SchülerInnen: Warum hat die Masse des Mondes keine olle gespielt (und konnte daher auch nicht ermittelt werden)? Kann dieses Verfahren auch dazu verwendet werden, um die Größe der Sonne und ihre Entfernung (die Astronomische Einheit ) zu bestimmen?

41 Physikalische Nachbemerkungen Fragen an die SchülerInnen: Warum hat die Masse des Mondes keine olle gespielt (und konnte daher auch nicht ermittelt werden)? Kann dieses Verfahren auch dazu verwendet werden, um die Größe der Sonne und ihre Entfernung (die Astronomische Einheit ) zu bestimmen? Antworten: Nein! In einem System Zentralkörper + Satellit kann (bei bekanntem G ) aus der Bewegung nur die Masse des Zentralkörpers bestimmt werden! (Grund: träge = schwere Masse, Methode: Kepler 3) Unsere genauesten Daten der Planetenmassen: von der Bewegung künstlicher Satelliten!

42 Antworten: Physikalische Nachbemerkungen Ohne genaue Kenntnis der Massen (im 17./18. Jahrhundert) konnte die Newtonsche Theorie nur die Verhältnisse von Distanzen im Sonnensystem angeben und vorhersagen, nicht aber die absoluten Distanzen. Die Astronomische Einheit wurde im 18. und 19. Jahrhundert parallaktisch bestimmt (Venustransit).

43 Antworten: Physikalische Nachbemerkungen Ohne genaue Kenntnis der Massen (im 17./18. Jahrhundert) konnte die Newtonsche Theorie nur die Verhältnisse von Distanzen im Sonnensystem angeben und vorhersagen, nicht aber die absoluten Distanzen. Die Astronomische Einheit wurde im 18. und 19. Jahrhundert parallaktisch bestimmt (Venustransit).

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