Übung Informatik I - Programmierung - Blatt 3

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1 RHEINISCH- WESTFÄLISCHE TECHNISCHE HOCHSCHULE AACHEN LEHR- UND FORSCHUNGSGEBIET INFORMATIK II RWTH Aachen D Aachen GERMANY LuFG Informatik II Prof. Dr. Jürgen Giesl Peter Schneider-Kamp, René Thiemann, Thomas Weiler Übung Informatik I - Programmierung - Blatt 3 (Lösungsvorschlag) Aufgabe 1 Die folgenden Schleifen sind semantisch äquivalent zu der angegebenen repeat-until- Schleife: a) <Anweisungen> while (!<Bedingung>) { <Anweisungen> b) do { <Anweisungen> while(!<bedingung>); c) <Anweisungen> for ( ;!<Bedingung>; ) { <Anweisungen> Aufgabe 2 a) Die folgenden Programme berechnen die Basis des natürlichen Logarithmus e mit Hilfe der angegebenen Reihenentwicklung unter ausschließlicher Verwendung von (a) WHILE-Schleifen 1

2 * Dieses Programm berechnet eine Naeherung der Euler schen * Zahl e mit Hilfe einer Reihenentwicklung unter * ausschliesslicher Verwendung von WHILE - Schleifen. * Thomas Weiler * Umgebung: JDK 1.4.2, Windows XP * Erstellt: public class EWhile { public static void main ( S t r i n g args [ ] ) { // Aktuelles Ergebnis der Naeherung double erg = 1 ; // Vorheriges Ergebnis der Naeherung double ergalt = 42; // Angestrebte Genauigkeit double e p s i l o n = 1; // Kehrwert der berechneten Fakultaet double invfakultaet ; // Einlesen von Epsilon while ( e p s i l o n <= 0) { System. out. p r i n t ( "Epsilon: " ) ; e p s i l o n = IO. readdouble ( ) ; i f ( e p s i l o n <= 0) { System. out. p r i n t l n ( "Epsilon muss groesser 0 sein. Bitte wiederholen Sie Ihre Eingabe." ) ; int i = 1 ; * Die Schleife terminiert, wenn der Abstand * zweier aufeinander folgenden Naeherungen * kleiner als Epsilon ist. while ( Math. abs ( erg ergalt ) >= e p s i l o n ) { invfakultaet = 1 ; int j = 1 ; // Berechnung des Kehrwerts der Fakultaet fuer das aktuelle Reihenglied while ( j <= i ) { 2

3 invfakultaet = invfakultaet / j ; j ++; ergalt = erg ; erg = erg + invfakultaet ; i ++; // Ausgabe der notwendigen Iterationsschritte System. out. p r i n t l n ( "Nach "+i+" Iterationen betraegt die Naeherung fuer e: "+erg ) ; (b) DO-WHILE-Schleifen * Dieses Programm berechnet eine Naeherung der Euler schen * Zahl e mit Hilfe einer Reihenentwicklung unter * ausschliesslicher Verwendung von DO- WHILE - Schleifen. * Thomas Weiler * Umgebung: JDK 1.4.2, Windows XP * Erstellt: public class EDo { public static void main ( S t r i n g args [ ] ) { // Aktuelles Ergebnis der Naeherung double erg = 1 ; // Vorheriges Ergebnis der Naeherung double ergalt = 42; // Angestrebte Genauigkeit double e p s i l o n = 1; // Kehrwert der berechneten Fakultaet double invfakultaet ; // Einlesen von Epsilon do { System. out. p r i n t ( "Epsilon: " ) ; e p s i l o n = IO. readdouble ( ) ; i f ( e p s i l o n <= 0) { System. out. p r i n t l n ( "Epsilon muss groesser 0 sein. Bitte wiederholen Sie Ihre Eingabe." ) ; 3

4 while ( e p s i l o n <= 0) ; int i = 1 ; do { i f ( Math. abs ( erg ergalt ) >= e p s i l o n ) { invfakultaet = 1 ; int j = 1 ; // Berechnung des Kehrwerts der Fakultaet fuer das aktuelle Reihenglied do { i f ( j <= i ) { invfakultaet = invfakultaet / j ; j ++; while ( j <= i ) ; ergalt = erg ; erg = erg + invfakultaet ; i ++; * Die Schleife terminiert, wenn der Abstand zweier * aufeinander folgenden Naeherungen kleiner als * Epsilon ist. while ( Math. abs ( erg ergalt ) >= e p s i l o n ) ; // Ausgabe der notwendigen Iterationsschritte System. out. p r i n t l n ( "Nach "+i+" Iterationen betraegt die Naeherung fuer e: "+erg ) ; (c) FOR-Schleifen * Dieses Programm berechnet eine Naeherung der Euler schen * Zahl e mit Hilfe einer Reihenentwicklung unter * ausschliesslicher Verwendung von FOR- Schleifen. * Thomas Weiler * Umgebung: JDK 1.4.2, Windows XP * Erstellt:

5 public class EFor { public static void main ( S t r i n g args [ ] ) { // Aktuelles Ergebnis der Naeherung double erg = 1 ; // Vorheriges Ergebnis der Naeherung double ergalt = 42; // Angestrebte Genauigkeit double e p s i l o n = 1; // Kehrwert der berechneten Fakultaet double invfakultaet ; // Einlesen von Epsilon for ( ; e p s i l o n <= 0;) { System. out. p r i n t ( "Epsilon: " ) ; e p s i l o n = IO. readdouble ( ) ; i f ( e p s i l o n <= 0) { System. out. p r i n t l n ( "Epsilon muss groesser 0 sein. Bitte wiederholen Sie Ihre Eingabe." ) ; int i ; * Die Schleife terminiert, wenn der Abstand zweier * aufeinander folgenden Naeherungen kleiner als * Epsilon ist. for ( i = 1 ; Math. abs ( erg ergalt ) >= e p s i l o n ; i ++) { invfakultaet = 1 ; // Berechnung des Kehrwerts der Fakultaet fuer das aktuelle Reihenglied for ( int j = 1 ; j <= i ; j++) { invfakultaet = invfakultaet / j ; ergalt = erg ; erg = erg + invfakultaet ; // Ausgabe der notwendigen Iterationsschritte System. out. p r i n t l n ( "Nach "+i+" Iterationen betraegt die Naeherung fuer e: "+erg ) ; 5

6 b) Anzahl der benötigten Iterationsschritte: ε Iterationsschritte e Aufgabe 3 * Diese Programm ver- und entschluesselt einen Text * nach dem Caesar- Chiffre. * Thomas Weiler * Umgebung: JDK 1.4.2, Windows XP * Erstellt: public class Caesar { public static void main ( S t r i n g [ ] args ) { int auswahl = 0 ; int f a k t o r ; while ( auswahl! = 3 ) { f a k t o r = 1 ; do { System. out. p r i n t l n ( "*** Auswahl ***" ) ; System. out. p r i n t l n ( "1 - Text verschluesseln" ) ; System. out. p r i n t l n ( "2 - Text entschluesseln" ) ; System. out. p r i n t l n ( "3 - ENDE" ) ; System. out. p r i n t l n ( ) ; System. out. p r i n t ( "Ihre Auswahl: " ) ; auswahl = IO. readint ( ) ; switch ( auswahl ) { case 1 : break ; case 2 : f a k t o r = 1; break ; case 3 : break ; default : 6

7 System. out. p r i n t l n ( "Ungueltige Eingabe. Bitte wiederholen Sie die Eingabe." ) ; while (! ( auswahl >= 1 && auswahl <= 3) ) ; i f ( auswahl! = 3 ) { int s c h l u e s s e l = 0 ; do { System. out. p r i n t ( "Bitte geben Sie den Schluessel ein: " ) ; s c h l u e s s e l = IO. readint ( ) ; i f (! ( s c h l u e s s e l >0 && s c h l u e s s e l < 26) ) { System. out. p r i n t l n ( "Der Schluessel muss >0 und < 26 sein. Bitte wiederholen Sie Ihre Eingabe." ) ; System. out. p r i n t l n ( ) ; while (! ( s c h l u e s s e l > 0 && s c h l u e s s e l < 26) ) ; s c h l u e s s e l = f a k t o r s c h l u e s s e l ; i f ( f a k t o r == 1){ System. out. p r i n t ( "Bitte geben Sie den zu verschluesselnden Text ein: " ) ; else { System. out. p r i n t ( "Bitte geben Sie den zu entschluesselnden Text ein: " ) ; S t r i n g t e x t = IO. readline ( ) ; S t r i n g e r g e b n i s = "" ; for ( int p o s i t i o n = 0 ; p o s i t i o n < t e x t. length ( ) ; p o s i t i o n ++) { char aktzeichen = t e x t. charat ( p o s i t i o n ) ; char ergzeichen ; char b a s i s Z e i c h e n = a ; i f ( aktzeichen < a ) { b a s i s Z e i c h e n = A ; i f ( aktzeichen == ) { ergzeichen = ; else { ergzeichen = ( char ) ( b a s i s Z e i c h e n +(MathExt. modulo ( aktzeichen b a s i s Z e i c h e n + s c h l u e s s e l, 2 6 ) ) ) ; e r g e b n i s = e r g e b n i s + ergzeichen ; 7

8 i f ( f a k t o r == 1) { System. out. p r i n t l n ( "Verschluesselter Text: "+ e r g e b n i s ) ; else { System. out. p r i n t l n ( "Entschluesselter Text: "+ e r g e b n i s ) ; System. out. p r i n t l n ( ) ; Aufgabe 4 a) Erweiterung des Hoare-Kalküls: (a) Regel für die do-while-schleife: ϕ P ϕ ϕ do {P while (B) ϕ B Auch möglich: ψ P ϕ ϕ B P ϕ ψ do {P while (B) ϕ B (b) Regel für die for-schleife: ϕ I 1 ϕ ϕ B P ; I 2 ϕ ϕ for (I 1 ; B; I 2 ){P ϕ B b) Fibonacci-Zahlen (a) Schleifeninvariante: Die Fibonacci Zahlen ergeben sich laut Definition zu n fib(n) Um die Schleifeninvariante zu ermitteln, betrachten wir zunächst die im Algorithmus verwendeten Variablen für n = 5: 8

9 Man erkennt, dass: n currentfib nextfib i tmp currentfib = fib(i 1) nextfib = fib(i) i n + 1 Dies ist die gesuchte Schleifeninvariante I. (b) Partielle Korrektheit: 9

10 n 0 n n = 0 currentfib = 0; n currentfib = 0 n currentfib = 0 1 = 1 nextfib = 1; n currentfib = fib(0) nextfib = 1 n currentfib = fib(0) nextfib = fib(1) n currentfib = fib(1 1) nextfib = fib(1) i = 1; n + 1 i currentfib = fib(i 1) nextfib = fib(i) currentfib = fib(i 1) nextfib = fib(i) i n + 1 I while (i <= n){ currentfib = fib(i 1) nextfib = fib(i) i n + 1 i n I B currentfib + nextfib = fib(i + 1) nextfib = fib(i) i n tmp = nextfib; currentfib + nextfib = fib(i + 1) tmp = fib(i) i n nextfib = currentfib + nextfib; nextfib = fib(i + 1) tmp = fib(i) i n currentfib = tmp; nextfib = fib(i + 1) currentfib = fib(i) i n nextfib = fib(i + 1) currentfib = fib(i + 1 1) i + 1 n + 1 i = i + 1; nextfib = fib(i) currentfib = fib(i 1) i n + 1 I nextfib = fib(i) currentfib = fib(i 1) i n + 1 (i n) I B nextfib = fib(i) currentfib = fib(i 1) i = n + 1 nextfib = fib(n + 1) currentfib = fib(n) i = n + 1 currentfib = fib(n) (c) Terminierung: Für die Schleife while (B) P ist ein int-ausdruck gesucht mit: B V 0 und V = m B P V < m q.e.d. 10

11 Die Betrachtung der o.a. Tabelle zeigt, dass die Variante n i diese Bedingungen erfüllt. Beweis: Zu zeigen: B V 0 i n 0 n i i Zu zeigen: V = m B P V < m n i = m i n tmp = nextfib; n i = m nextfib = currentfib + nextfib; n i = m currentfib = tmp; n i = m n (i + 1) + 1 = m i = i + 1; n i + 1 = m n i < m q.e.d. (d) Für n > 46 erfolgt in JAVA ein Integer-Überlauf, wodurch das zugehörige JAVA-Programm ein falsches Ergebnis liefert. 11