2.4 Schleifen. Schleifen unterscheiden sich hinsichtlich des Zeitpunktes der Prüfung der Abbruchbedingung:

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1 2.4 Schleifen Schleifen beschreiben die Wiederholung einer Anweisung bzw. eines Blocks von Anweisungen (dem Schleifenrumpf) bis eine bestimmte Bedingung (die Abbruchbedingung) eintritt. Schleifen unterscheiden sich hinsichtlich des Zeitpunktes der Prüfung der Abbruchbedingung: Prüfung vor jedem Durchlauf durch den Schleifenrumpf Prüfung nach jedem Durchlauf durch den Schleifenrumpf (Prüfung in jedem Durchlauf durch den Schleifenrumpf) Universität Paderborn Technische Informatik für Ingenieure (TIFI) WS 09/10 71

2 Wir unterscheiden in Java 3 verschiedene Schleifenarten: Die while-schleife: (Prüfung vor Durchlauf) while (n > 0) { erg = erg * n; n = n - 1; Solange n noch größer als 0 ist, führe Anweisungen im Schleifenrumpf aus. Der Schleifenrumpf wird 0 mal oder einmal oder mehr als einmal durchlaufen. Die do-schleife (Prüfung nach Durchlauf) do { while (n < 0); Lese einen Wert für n ein, solange n negativ ist. Der Schleifenrumpf wird einmal oder mehr als einmal durchlaufen. Die for-schleife (Prüfung vor Durchlauf) for (i = n; i > 0; i--) erg = erg * i; Für alle Werte i von n bis 1 multipliziere den Wert von erg mit dem Wert von i. Der Schleifenrumpf wird 0 mal oder einmal oder mehr als einmal durchlaufen. Universität Paderborn Technische Informatik für Ingenieure (TIFI) WS 09/10 72

3 Die while-schleife Syntax <WhileSchleife> ::= while ( <Ausdruck> ) <Anweisung> while (n > 0) { erg = erg * n; n = n - 1; Semantik Solange die in <Ausdruck> angegebene Bedingung erfüllt ist, führe die Anweisung (bzwl. den Block von Anweisungen) in <Anweisung> aus. Universität Paderborn Technische Informatik für Ingenieure (TIFI) WS 09/10 73

4 Die do-schleife Syntax <DoSchleife> ::= do <Anweisung> while ( <Ausdruck> ) do while (n < 0); Semantik Führe die Anweisung (bzw. den Block von Anweisungen) in <Anweisung> aus, solange die in <Ausdruck> angegebene Bedingung erfüllt ist. Universität Paderborn Technische Informatik für Ingenieure (TIFI) WS 09/10 74

5 Die for-schleife Syntax <ForSchleife> ::= for ( <[For-Init]>; <[Ausdruck]>; <[For-Update]> ) <Anweisung> <For-Init> ::= <Ausdruck> <{,Ausdruck>... Variablendeklaration <For-Update> ::= <Ausdruck> <{,Ausdruck> for (i = n; i > 0; i--) erg = erg * i; Semantik Führe die Anweisungen in <For-Init> aus. Solange dann die in <Ausdruck> angegebene Bedingung erfüllt ist, führe die Anweisung (bzw. den Block von Anweisungen) in <Anweisung> aus. Nach jeder Ausführung eines Blockes führe die Anweisungen in <For-Update> aus, bevor die Bedingung in <Ausdruck> erneut geprüft wird. Universität Paderborn Technische Informatik für Ingenieure (TIFI) WS 09/10 75

6 Schachtelung von Schleifen Beispiel: Für alle i, j {1,..., n berechne i j und gebe eine Tabelle der Produkte aus: int for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= n; j++) { int p = i*j; Out.print(p + " "); Out.println(); Schleifen können beliebig ineinander verschachtelt werden. Im Beispiel links enthält der Schleifenrumpf der for-schleife mit Laufvariable i eine weitere for-schleife mit Laufvariable j. Universität Paderborn Technische Informatik für Ingenieure (TIFI) WS 09/10 76

7 Schachtelung von Schleifen Beispiel: Für alle i, j {1,..., n berechne i j und gebe eine Tabelle der Produkte aus: int for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= n; j++) { int p = i*j; Out.print(p + " "); Out.println(); Simulation per Hand für n = 2: i j p 1 Universität Paderborn Technische Informatik für Ingenieure (TIFI) WS 09/10 76

8 Schachtelung von Schleifen Beispiel: Für alle i, j {1,..., n berechne i j und gebe eine Tabelle der Produkte aus: int for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= n; j++) { int p = i*j; Out.print(p + " "); Out.println(); Simulation per Hand für n = 2: i j p 1 1 Universität Paderborn Technische Informatik für Ingenieure (TIFI) WS 09/10 76

9 Schachtelung von Schleifen Beispiel: Für alle i, j {1,..., n berechne i j und gebe eine Tabelle der Produkte aus: Simulation per Hand für n = 2: int for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= n; j++) { int p = i*j; Out.print(p + " "); Out.println(); Ausgabe: i j p Universität Paderborn Technische Informatik für Ingenieure (TIFI) WS 09/10 76

10 Schachtelung von Schleifen Beispiel: Für alle i, j {1,..., n berechne i j und gebe eine Tabelle der Produkte aus: Simulation per Hand für n = 2: int for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= n; j++) { int p = i*j; Out.print(p + " "); Out.println(); Ausgabe: i j p Universität Paderborn Technische Informatik für Ingenieure (TIFI) WS 09/10 76

11 Schachtelung von Schleifen Beispiel: Für alle i, j {1,..., n berechne i j und gebe eine Tabelle der Produkte aus: Simulation per Hand für n = 2: for (i = 1; i <= n; i++) { for (j = 1; j <= n; j++) { int p = i*j; Out.print(p + " "); Out.println(); Ausgabe: i j p Universität Paderborn Technische Informatik für Ingenieure (TIFI) WS 09/10 76

12 Schachtelung von Schleifen Beispiel: Für alle i, j {1,..., n berechne i j und gebe eine Tabelle der Produkte aus: Simulation per Hand für n = 2: int for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= n; j++) { int p = i*j ; Out.print(p + " ") ; Out.println(); Ausgabe: i j p Universität Paderborn Technische Informatik für Ingenieure (TIFI) WS 09/10 76

13 Schachtelung von Schleifen Beispiel: Für alle i, j {1,..., n berechne i j und gebe eine Tabelle der Produkte aus: Simulation per Hand für n = 2: for (i = 1; i <= n; i++) { for (j = 1; j <= n; j++) { int p = i*j ; Out.print(p + " ") ; Out.println(); Ausgabe: i j p Universität Paderborn Technische Informatik für Ingenieure (TIFI) WS 09/10 76

20 Schachtelung von Schleifen Beispiel: Für alle i, j {1,..., n berechne i j und gebe eine Tabelle der Produkte aus: Simulation per Hand für n = 2: for (i = 1; i <= n; i++) { for (j = 1; j <= n; j++) { int p = i*j; Out.print(p + " "); Out.println(); Ausgabe: i j p Universität Paderborn Technische Informatik für Ingenieure (TIFI) WS 09/10 76

21 Zusicherungen bei Schleifen Wie bei Verzweigungen kann man auch bei Schleifen Zusicherungen angeben, die das Verständnis eines Programmstücks erleichtern oder evtl. sogar einen formalen Korrektheitsbeweis erlauben. i = 1; erg = 1; while (i <= n) { erg = erg * i; i = i + 1; Out.println("erg = "+ erg); Universität Paderborn Technische Informatik für Ingenieure (TIFI) WS 09/10 77

22 Zusicherungen bei Schleifen Wie bei Verzweigungen kann man auch bei Schleifen Zusicherungen angeben, die das Verständnis eines Programmstücks erleichtern oder evtl. sogar einen formalen Korrektheitsbeweis erlauben: Zusicherungen aus der Schleifenbedingung i = 1; erg = 1; while (i <= n) { // i <= n erg = erg * i; i = i + 1; // i > n Out.println("erg = "+ erg); Universität Paderborn Technische Informatik für Ingenieure (TIFI) WS 09/10 77

23 Zusicherungen bei Schleifen Wie bei Verzweigungen kann man auch bei Schleifen Zusicherungen angeben, die das Verständnis eines Programmstücks erleichtern oder evtl. sogar einen formalen Korrektheitsbeweis erlauben: Zusicherungen aus der Schleifenbedingung und Schleifeninvariante i = 1; erg = 1; while (i <= n) { // i <= n erg = erg * i; i = i + 1; // erg = (i-1)! // i > n Out.println("erg = "+ erg); Universität Paderborn Technische Informatik für Ingenieure (TIFI) WS 09/10 77

24 Zusicherungen bei Schleifen Wie bei Verzweigungen kann man auch bei Schleifen Zusicherungen angeben, die das Verständnis eines Programmstücks erleichtern oder evtl. sogar einen formalen Korrektheitsbeweis erlauben: Zusicherungen aus der Schleifenbedingung und Schleifeninvariante i = 1; erg = 1; while (i <= n) { // i <= n erg = erg * i; i = i + 1; // erg = (i-1)! // i > n Out.println("erg = "+ erg); Zu zeigen: 1) Die Schleifeninvariante gilt immer, dazu: Universität Paderborn Technische Informatik für Ingenieure (TIFI) WS 09/10 77

25 Zusicherungen bei Schleifen Wie bei Verzweigungen kann man auch bei Schleifen Zusicherungen angeben, die das Verständnis eines Programmstücks erleichtern oder evtl. sogar einen formalen Korrektheitsbeweis erlauben: Zusicherungen aus der Schleifenbedingung und Schleifeninvariante i = 1; erg = 1; while (i <= n) { // i <= n erg = erg * i; i = i + 1; // erg = (i-1)! // i > n Out.println("erg = "+ erg); Zu zeigen: 1) Die Schleifeninvariante gilt immer, dazu: 1a) Die Schleifeninvariante gilt vor dem ersten Durchlauf. Universität Paderborn Technische Informatik für Ingenieure (TIFI) WS 09/10 77

26 Zusicherungen bei Schleifen Wie bei Verzweigungen kann man auch bei Schleifen Zusicherungen angeben, die das Verständnis eines Programmstücks erleichtern oder evtl. sogar einen formalen Korrektheitsbeweis erlauben: Zusicherungen aus der Schleifenbedingung und Schleifeninvariante i = 1; erg = 1; while (i <= n) { // i <= n erg = erg * i; i = i + 1; // erg = (i-1)! // i > n Out.println("erg = "+ erg); Zu zeigen: 1) Die Schleifeninvariante gilt immer, dazu: 1a) Die Schleifeninvariante gilt vor dem ersten Durchlauf. 1b) Gilt die Schleifeninvariante vor einem beliebigen Durchlauf, so gilt sie auch nach diesem Durchlauf (Induktion über die Anzahl der Durchläufe). Universität Paderborn Technische Informatik für Ingenieure (TIFI) WS 09/10 77

27 Zusicherungen bei Schleifen Wie bei Verzweigungen kann man auch bei Schleifen Zusicherungen angeben, die das Verständnis eines Programmstücks erleichtern oder evtl. sogar einen formalen Korrektheitsbeweis erlauben: Zusicherungen aus der Schleifenbedingung und Schleifeninvariante i = 1; erg = 1; while (i <= n) { // i <= n erg = erg * i; i = i + 1; // erg = (i-1)! // i > n Out.println("erg = "+ erg); Zu zeigen: 1) Die Schleifeninvariante gilt immer, dazu: 1a) Die Schleifeninvariante gilt vor dem ersten Durchlauf. 1b) Gilt die Schleifeninvariante vor einem beliebigen Durchlauf, so gilt sie auch nach diesem Durchlauf (Induktion über die Anzahl der Durchläufe). 2) Aus der Schleifeninvariante, der Schleifenbedingung (und evtl. einigen Anweisungen aus dem Schleifenblock) folgt die Korrektheit des Programmstückes. Universität Paderborn Technische Informatik für Ingenieure (TIFI) WS 09/10 77

28 Zusicherungen bei Schleifen Wie bei Verzweigungen kann man auch bei Schleifen Zusicherungen angeben, die das Verständnis eines Programmstücks erleichtern oder evtl. sogar einen formalen Korrektheitsbeweis erlauben: Zusicherungen aus der Schleifenbedingung und Schleifeninvariante i = 1; erg = 1; while (i <= n) { // i <= n erg = erg * i; i = i + 1; // erg = (i-1)! // i > n Out.println("erg = "+ erg); Korrektheitsbeweis: 1a) Die Schleifeninvariante erg = (i 1)! gilt vor der ersten Ausführung der Schleife. Universität Paderborn Technische Informatik für Ingenieure (TIFI) WS 09/10 78

29 Zusicherungen bei Schleifen Wie bei Verzweigungen kann man auch bei Schleifen Zusicherungen angeben, die das Verständnis eines Programmstücks erleichtern oder evtl. sogar einen formalen Korrektheitsbeweis erlauben: Zusicherungen aus der Schleifenbedingung und Schleifeninvariante i = 1; erg = 1; while (i <= n) { // i <= n erg = erg * i; i = i + 1; // erg = (i-1)! // i > n Out.println("erg = "+ erg); Korrektheitsbeweis: 1a) Die Schleifeninvariante erg = (i 1)! gilt vor der ersten Ausführung der Schleife, denn da ist i = 1 und erg = 1, also erg = 1 = 0! = (i 1)!. Universität Paderborn Technische Informatik für Ingenieure (TIFI) WS 09/10 78

30 Zusicherungen bei Schleifen Wie bei Verzweigungen kann man auch bei Schleifen Zusicherungen angeben, die das Verständnis eines Programmstücks erleichtern oder evtl. sogar einen formalen Korrektheitsbeweis erlauben: Zusicherungen aus der Schleifenbedingung und Schleifeninvariante i = 1; erg = 1; while (i <= n) { // i <= n erg = erg * i; i = i + 1; // erg = (i-1)! Korrektheitsbeweis: 1a) Die Schleifeninvariante erg = (i 1)! gilt vor der ersten Ausführung der Schleife, denn da ist i = 1 und erg = 1, also erg = 1 = 0! = (i 1)!. 1b) Gilt die Schleifeninvariante vor einer Ausführung der Schleife, so gilt sie auch nach der Ausführung. // i > n Out.println("erg = "+ erg); Universität Paderborn Technische Informatik für Ingenieure (TIFI) WS 09/10 78

31 Zusicherungen bei Schleifen Wie bei Verzweigungen kann man auch bei Schleifen Zusicherungen angeben, die das Verständnis eines Programmstücks erleichtern oder evtl. sogar einen formalen Korrektheitsbeweis erlauben: Zusicherungen aus der Schleifenbedingung und Schleifeninvariante i = 1; erg = 1; while (i <= n) { // i <= n erg = erg * i; i = i + 1; // erg = (i-1)! // i > n Out.println("erg = "+ erg); Korrektheitsbeweis: 1a) Die Schleifeninvariante erg = (i 1)! gilt vor der ersten Ausführung der Schleife, denn da ist i = 1 und erg = 1, also erg = 1 = 0! = (i 1)!. 1b) Gilt die Schleifeninvariante vor einer Ausführung der Schleife, so gilt sie auch nach der Ausführung, denn aus erg = erg i = (i 1)! i und i = i + 1 folgt wieder erg = (i 1)!. Universität Paderborn Technische Informatik für Ingenieure (TIFI) WS 09/10 78

32 Zusicherungen bei Schleifen Wie bei Verzweigungen kann man auch bei Schleifen Zusicherungen angeben, die das Verständnis eines Programmstücks erleichtern oder evtl. sogar einen formalen Korrektheitsbeweis erlauben: Zusicherungen aus der Schleifenbedingung und Schleifeninvariante i = 1; erg = 1; while (i <= n) { // i <= n erg = erg * i; i = i + 1; // erg = (i-1)! // i > n Out.println("erg = "+ erg); Korrektheitsbeweis: 1a) Die Schleifeninvariante erg = (i 1)! gilt vor der ersten Ausführung der Schleife, denn da ist i = 1 und erg = 1, also erg = 1 = 0! = (i 1)!. 1b) Gilt die Schleifeninvariante vor der Ausführung der Schleife, so gilt sie auch nach der Ausführung, denn aus erg = erg i = (i 1)! i und i = i + 1 folgt wieder erg = (i 1)!. 2) Nach der Schleife gilt die Zusicherung durch die Schleifenbedingung i > n, und da i zuletzt um 1 erhöht wurde, gilt i = n + 1. Da die Schleifeninvariante erg = (i 1)! gilt, folgt erg = n!. Universität Paderborn Technische Informatik für Ingenieure (TIFI) WS 09/10 78

33 Zusicherungen bei Schleifen Wie bei Verzweigungen kann man auch bei Schleifen Zusicherungen angeben, die das Verständnis eines Programmstücks erleichtern oder evtl. sogar einen formalen Korrektheitsbeweis erlauben: Zusicherungen aus der Schleifenbedingung und Schleifeninvariante i = 1; erg = 1; while (i <= n) { // i <= n erg = erg * i; i = i + 1; // erg = (i-1)! // i > n Out.println("erg = "+ erg); Korrektheitsbeweis: 1a) Die Schleifeninvariante erg = (i 1)! gilt vor der ersten Ausführung der Schleife, denn da ist i = 1 und erg = 1, also erg = 1 = 0! = (i 1)!. 1b) Gilt die Schleifeninvariante vor der Ausführung der Schleife, so gilt sie auch nach der Ausführung, denn aus erg = erg i = (i 1)! i und i = i + 1 folgt wieder erg = (i 1)!. 2) Nach der Schleife gilt die Zusicherung durch die Schleifenbedingung i > n, und da i zuletzt um 1 erhöht wurde, gilt i = n + 1. Da die Schleifeninvariante erg = (i 1)! gilt, folgt erg = n!. Universität Paderborn Technische Informatik für Ingenieure (TIFI) WS 09/10 78

34 Abbruch von Schleifen: Die break-anweisung Die break-anweisung erlaubt den Abbruch einer Schleife im Schleifenrumpf, unabhängig von der Abbruchbedingung. Beispiel: Wir wollen eine Folge von Zahlen größer als 0 von der Tastatur einlesen und aufsummieren. Das Ende der Zahlenfolge ist durch die Zahl 0 gekennzeichnet. Die Summe soll aber niemals größer als 1000 werden: do { sum = sum + n; if (sum > 1000) { Out.println("Summe ist zu groß "); break; /* Abbruch der do-schleife */ while (n!= 0); Universität Paderborn Technische Informatik für Ingenieure (TIFI) WS 09/10 79

35 Die Zahleneingabe kann auch ohne break-anweisung programmiert werden. Die Sache wird dann aber unübersichtlicher, weil die Abbruchbedingung der Schleife komplexer wird und die Fehler erst nach der Schleife abgefragt werden. do sum = sum + n; while (n!= 0 && sum <= 1000); if (sum > 1000) Out.println("Summe ist zu groß"); break-anweisung sollten nur sparsam eingesetzt werden, da sie die Programmlogik oft kompliziert machen. Zusicherungen bei Schleifenabbruch für Schleifen mit break-anweisung sind schwieriger zu formulieren/verstehen. Universität Paderborn Technische Informatik für Ingenieure (TIFI) WS 09/10 80

36 Die break-anweisung in geschachtelten Schleifen outerloop: for (;;) { /* äußere Endlosschleife */ for (;;) { /* innere Endlosschleife */... if (...) break; /* terminiert innere Schleife */... if (...) break outerloop; /* terminiert äußere Schleife */ Schleifen können Namen erhalten (hier outerloop). Diese Schleifen können dann mit break <Schleifenname>; abgebrochen werden. Universität Paderborn Technische Informatik für Ingenieure (TIFI) WS 09/10 81

37 Terminierung von Schleifen Wir haben gesehen: Eine Schleife for (;;)... terminiert nie, wenn sie nicht durch eine break-anweisung abgebrochen wird. Solche Endlosschleifen machen Sinn in Anwendungen, die endlos laufen sollen, wie z.b. Alarmanlagen oder Betriebssystemen. i = 1; j = 1; do { i = i + j; j++; while (i < 2000); i = 1; j = 20; while (i+j < i) { i = i+2; j--; i = 1; j = -1; while (i+j < i) { i = i+2; j--; terminiert terminiert terminiert nicht Frage: Können wir einer Schleife immer leicht ansehen, ob sie terminiert? Antwort: Nein! I.A. ist es sehr schwer zu beweisen, dass eine Schleife terminiert, oftmals ist es ohne Angabe von Zusicherungen sogar unmöglich. Universität Paderborn Technische Informatik für Ingenieure (TIFI) WS 09/10 82

38 Terminierung von Schleifen: Die Collatz-Funktion (Collatz, 1937) public class Collatz { public static void main(string[] args) { int n; while (n!= 1) { if (n % 2 == 0) /* n gerade */ n = n / 2; else /* n ungerade */ n = 3*n + 1; /* end of while */ /* end of main */ Frage: Terminiert Programm Collatz? Universität Paderborn Technische Informatik für Ingenieure (TIFI) WS 09/10 83

39 Terminierung von Schleifen: Die Collatz-Funktion (Collatz, 1937) public class Collatz { public static void main(string[] args) { int n; while (n!= 1) { if (n % 2 == 0) /* n gerade */ n = n / 2; else /* n ungerade */ n = 3*n + 1; /* end of while */ /* end of main */ Frage: Terminiert Programm Collatz? Antwort: Es ist bis heute unklar, ob das Programm Collatz für jede natürliche Zahl n N terminiert. Bis 2008 wurden mit Computern alle Zahlen bis durchprobiert. Der Algorithmus terminierte immer. Beweise für die Terminierung eines Programmes können sehr schwer, oder sogar mit heutigen mathematischen Mitteln unmöglich sein. Universität Paderborn Technische Informatik für Ingenieure (TIFI) WS 09/10 83

40 Vergleich der Schleifenarten while (B) { S; /* end of while */ if (B) do { S; while (B); for ( ; B; ) { S; /* end of for */ Jede while-schleife kann in ein äquivalentes Programmstück mit do-schleife bzw. for-schleife umgewandelt werden. Das Programmstück mit der do-schleife enthält eine if-anweisung mit Verdoppelung des Programmtextes für die Bedingung B und sollte unbedingt vermieden werden. Die for-schleife enthält keine Initialisierung und keine Aktualisierung. Sie ist jedoch in diesem Kontext weniger verständlich. Universität Paderborn Technische Informatik für Ingenieure (TIFI) WS 09/10 84

41 Vergleich der Schleifenarten do { S; while (B); /* do */ S; while (B) { S; /* while */; S; for ( ; B; ) { S; /* for */ Jede do-schleife kann in ein äquivalentes Programmstück mit while-schleife bzw. for-schleife umgewandelt werden. Die Programmstücke mit der while-schleife und der for-schleife enthalten eine Verdoppelung des Programmtextes für S und sollten unbedingt vermieden werden. Die for-schleife enthält keine Initialisierung und keine Aktualisierung. Universität Paderborn Technische Informatik für Ingenieure (TIFI) WS 09/10 85

42 Vergleich der Schleifenarten for (I; B; A) { S; /* for */ I; while (B) { S; A; /* while */; I; if (B) do { S; A; while (B); Jede for-schleife kann in ein äquivalentes Programmstück mit while-schleife bzw. do-schleife umgewandelt werden. Die Programmstücke mit der while-schleife und der do-schleife trennen die Initialisierung, Bedingung und Aktualisierung der for-schleife und sollten vermieden werden. Das Programmstück mit der do-schleife enthält eine if-anweisung mit Verdoppelung des Programmtextes für die Bedingung B und sollte unbedingt vermieden werden. Universität Paderborn Technische Informatik für Ingenieure (TIFI) WS 09/10 86

43 Vergleich der Schleifenarten: Fazit while-schleife und for-schleife prüfen die Abbruchbedingung vor dem Schleifendurchlauf und sollten auch nur dann eingesetzt werden, wenn das gewünscht ist. Die do-schleife prüft die Abbruchbedingung nach dem Schleifendurchlauf und sollte ebenfalls nur dann eingesetzt werden, wenn das gewünscht ist. Die for-schleife erlaubt eine ortsnahe Beschreibung von Initialisierung, Abbruchbedingung und Aktualisierung und eignet sich besonders als Zählschleife, d.h. zum Aufzählen von Zahlen (for (i=0;...; i++). Alle Schleifen sollten nur dann eine break-anweisung enthalten, wenn sie einen Schleifenabbruch bei Fehler bewirken oder ohne die break-anweisung Programmstücke mehrfach aufgeschrieben werden müssten, ohne die break-anweisung Programmstücke mit if-anweisungen verschachtelt werden müssten. Universität Paderborn Technische Informatik für Ingenieure (TIFI) WS 09/10 87