Arbeitsbuch höhere Mathematik

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1 Springer-Lehrbuch

2 Georg Hoever Arbeitsbuch höhere Mathematik Aufgaben mit vollständig durchgerechneten Lösungen 2., korrigierte Auflage

3 Georg Hoever Fachbereich Elektrotechnik und Informationstechnik Fachhochschule Aachen Aachen, Deutschland ISSN Springer-Lehrbuch ISBN DOI / ISBN (ebook) Mathematics Subject Classi cation (2010): 97U40 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliogra e; detaillierte bibliogra sche Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Spektrum Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013, 2015 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikrover lmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichenund Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Berlin Heidelberg ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (

4 Inhaltsverzeichnis Vorwort... xi Teil I: Aufgaben 1 Funktionen Elementare Funktionen Lineare Funktionen Quadratische Funktionen Polynome Gebrochen rationale Funktionen Trigonometrische Funktionen Potenzregeln und Exponentialfunktionen Betrags-Funktion Einige Eigenschaften von Funktionen Umkehrfunktionen Wurzelfunktionen Arcus-Funktionen Logarithmus Modifikation von Funktionen Komplexe Zahlen Grundlagen Eigenschaften Polardarstellung Folgen und Reihen Folgen v

5 vi Inhaltsverzeichnis 3.2 Reihen Potenzreihen Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit Grenzwerte Stetigkeit Differenzialrechnung Differenzierbare Funktionen Rechenregeln Anwendungen Kurvendiskussion RegelvondeL Hospital Newton-Verfahren Taylorpolynomeund-reihen Integralrechnung DefinitionundelementareEigenschaften Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung Integrationstechniken EinfacheIntegrationstechniken PartielleIntegration Substitution Partialbruch-Zerlegung Vektorrechnung VektorenundVektorraum Linearkombination Skalarprodukt Vektorprodukt GeradenundEbenen Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Grundlagen GaußschesEliminationsverfahren Matrizen... 78

6 Inhaltsverzeichnis vii 8.4 QuadratischeMatrizen Determinanten Eigenwerteund-vektoren QuadratischeFormen Funktionen mit mehreren Veränderlichen Differenzialrechnung bei mehreren Veränderlichen PartielleAbleitungundGradient Anwendungen Lokale Extremstellen bei Funktionen mit mehreren Variablen Jacobi-Matrix und lineare Approximation WeiterführendeThemen Kurven Kettenregel Richtungsableitung Hesse-Matrix Integration bei mehreren Veränderlichen SatzvonFubini Integration in anderen Koordinatensystemen Teil II: Lösungen 1 Funktionen Elementare Funktionen Lineare Funktionen Quadratische Funktionen Polynome Gebrochen rationale Funktionen Trigonometrische Funktionen Potenzregeln und Exponentialfunktionen Betrags-Funktion Einige Eigenschaften von Funktionen Umkehrfunktionen Wurzelfunktionen

7 viii Inhaltsverzeichnis Arcus-Funktionen Logarithmus Modifikation von Funktionen Komplexe Zahlen Grundlagen Eigenschaften Polardarstellung Folgen und Reihen Folgen Reihen Potenzreihen Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit Grenzwerte Stetigkeit Differenzialrechnung Differenzierbare Funktionen Rechenregeln Anwendungen Kurvendiskussion RegelvondeL Hospital Newton-Verfahren Taylorpolynomeund-reihen Integralrechnung DefinitionundelementareEigenschaften Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung Integrationstechniken EinfacheIntegrationstechniken PartielleIntegration Substitution Partialbruch-Zerlegung...337

8 Inhaltsverzeichnis ix 7 Vektorrechnung VektorenundVektorraum Linearkombination Skalarprodukt Vektorprodukt GeradenundEbenen Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Grundlagen GaußschesEliminationsverfahren Matrizen QuadratischeMatrizen Determinanten Eigenwerteund-vektoren QuadratischeFormen Funktionen mit mehreren Veränderlichen Differenzialrechnung bei mehreren Veränderlichen PartielleAbleitungundGradient Anwendungen Lokale Extremstellen bei Funktionen mit mehreren Variablen Jacobi-Matrix und lineare Approximation WeiterführendeThemen Kurven Kettenregel Richtungsableitung Hesse-Matrix Integration bei mehreren Veränderlichen SatzvonFubini Integration in anderen Koordinatensystemen

9 Vorwort So wie man Fußballspielen nicht durch Mitverfolgen der Weltmeisterschaft lernt, so lernt man Mathematik nicht dadurch, dass man Vorlesungen besucht oder Bücher durchliest. Man muss es selbst ausprobieren. Aufgaben eigenständig zu bearbeiten, sich zu überlegen, mit welchen mathematischen Werkzeugen man gegebene Probleme angehen kann, eine Problemstellung so zu modellieren, dass man sie in eine Formelsprache übersetzen kann das alles ist unverzichtbar, wenn man sich die Mathematik zu eigen machen will. Dieses Buch will dabei helfen. Das Arbeitsbuch enthält Aufgaben samt vollständig durchgerechneten Lösungen zu den Standardthemen der höheren Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Dabei liegt der Fokus auf dem Verständnis der Mathematik als Werkzeug zur Lösung von Problemen. Inhaltlich orientieren sich die Aufgaben an den Themen, wie sie in einer Vorlesung zur höheren Mathematik der Reihe nach behandelt werden können, und wie sie im parallel erscheinenden Buch Höhere Mathematik kompakt vorgestellt werden. Zunächst werden Aufgaben zur Analysis in einer Variablen gestellt (Kapitel 1 bis 6), dann zur linearen Algebra (Kapitel 7 und 8). Die Aufgaben zur linearen Algebra sind weitestgehend unabhängig von denen zur Analysis und können daher auch vorgezogen werden. Die Kapitel 9 bis 11 beinhalten dann Aufgaben zur Analysis von Funktionen mehrerer Veränderlicher. Die Kapitel entsprechen dabei thematisch genau den Kapiteln aus dem Buch Höhere Mathematik kompakt. Zu Beginn der einzelnen Kapitel bzw. Themenblöcke stehen Aufgaben, die mehr die Rechentechnik üben, gefolgt von Aufgaben, bei denen die Anwendung der Techniken zur Lösung (mehr oder weniger) realer Probleme im Fokus steht. Oft muss dazu zunächst eine geeignete mathematische Modellierung der Problemstellung entwickelt werden. Ferner gibt es die ein oder andere beispielhafte Klausuraufgabe. Bei diesen Aufgaben ist vermerkt, wie lange eine Bearbeitung während einer Klausur ungefähr dauern sollte. Im Teil I sind ausschließlich die Aufgaben aufgeführt. Der Teil II bietet dann die Lösungen an. Dem Leser sei empfohlen, sich die Aufgaben zunächst nur im Teil I anzusehen, um nicht gleich in Versuchung geführt zu werden, einen Blick auf die Lösungen zu werfen. Der Lerneffekt, eine Aufgabe wirklich selbst zum ersten Mal zu lösen, ist unwiederbringlich verloren, wenn man sich die xi

10 xii Vorwort fertige Lösung aus Teil II angesehen hat. Die Lösungen sollen dazu dienen, die eigenen Rechnungen zu kontrollieren. Oft gibt es mehrere Möglichkeiten zur Lösung. Im Lösungsteil wird entsprechend darauf hingewiesen. Die Vorstellung mehrerer Lösungsvarianten zeigt dem Leser, dass es nicht nur einen Weg gibt, den man hätte finden sollen, sondern dass es häufig mehrere Varianten und unterschiedliche Zugänge gibt. Vielleicht hat der Leser sogar noch einen weiteren gefunden. Einige Aufgaben werden später wieder aufgegriffen. Im Aufgabenteil wird das entsprechend erwähnt. Die zu Grunde liegende Theorie ist im parallel erscheinenden Buch Höhere Mathematik kompakt dargestellt. Abgesehen von Verweisen auf Aufgaben beziehen sich Verweise in der Form s. Bemerkung x.x.x o.ä. immer auf dieses Buch. Dabei sind Verweise nicht auf alle benutzten Sätze und Definitionen sondern eher nur bei Detailüberlegungen angeführt. Grundlegend ist immer die Theorie des entsprechenden Kapitels. Ich hoffe, dass diese Aufgabensammlung für die Studierenden interessante und lehrreiche Übungsmöglichkeiten bereitstellt und auch von manchen Dozenten als Anregung geschätzt wird. Über Rückmeldungen freue ich mich, sowohl was die Formulierung der Aufgaben, die inhaltliche Darstellung der Lösung oder fehlende Übungsaspekte angeht, als auch einfach nur die Nennung von Druckfehlern. Eine Liste der gefundenen Fehler veröffentliche ich auf meiner Internetseite An dieser Stelle möchte ich mich bei den vielen Studierenden, Kollegen und Freunden bedanken, namentlich bei Jonas Jungjohann, die zum Entstehen dieses Buches beigetragen haben, sei es durch Anregungen zur Handhabung der Aufgaben, zur Digitalisierung oder zu Druckfehlern in den ersten Versionen. Ferner gebührt mein Dank dem Springer-Verlag für die komplikationslose Zusammenarbeit. Aachen, im September 2012, Georg Hoever Vorwort zur zweiten Auflage Auch bei größter Sorgfalt kann man nicht verhindern, dass es Tipp- oder Druckfehler gibt. Daher freue ich mich, dass ich mit der zweiten Auflage die Fehler, die bisher entdeckt wurden, berichtigen kann, und bedanke mich bei den Studierenden, die mich durch ihre sorgfältige Lektüre auf Druckfehler aufmerksam gemacht haben. Ansonsten ist diese Auflage gegenüber der ersten kaum verändert. Aachen, im Februar 2015, Georg Hoever