Symmetrische Komponenten in Drehstromsystemen

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1 Symmetrische Komponenten in Drehstromsystemen Von Dr. techno August Hochrainer Direktor des Hochspannungsinstitutes und der Hochspannungsschaltgerätefabrik der AEG, Kassel Mit 346 Abbildungen Springer -Verlag Berlin / Göttingen /Heidelberg 1957

2 ISBN ISBN (ebook) / Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten Ohne ausdrückliche Genehmigung des Verlages Ist es auch nicht gestattet, dieses Buch oder Teile daraus auf photomechanischem Wege (Photokopie, Mikrokopie) zu vervielfältigen by Springer-Verlag OHG" BerllnjGöttlngenjHeldelberg 1957 Softcover reprint ofthe hardcover 1st edition 1957

3 Vorwort Ein Vorwort stellt gewöhnlich eine Rechtfertigung des Verfassers dar oder zum mindesten eine Begründung für die Verfassung des Buches, den Umfang und die Art der Darstellung. Solche Begründungen scheinen mir auch für dieses Buch notwendig zu sein. Daß es geschrieben wurde, verdankt es vor allem der Tatsache, daß es in der deutschen technischen Literatur kein neueres zusammenfassendes Werk über die symmetrischen Komponenten gibt. 'Wohl gibt es zwei ausgezeichnete amerikanische Bücher, nämlich das von W AGNER-Ev ANS" Symmetrical Com ponents" und das von E. CLARK "Circuit Analysis of A.-C. Power Systems". Es wäre wohl möglich gewesen, eines dieser Bücher, die auch in Deutschland bei dem Studium der symmetrischen Komponenten überwiegend verwendet. werden, zu übersetzen, doch ergänzen sich die beiden Werke in gewisser Beziehung und sie sind in ihrer Darstellung doch mehr dem amerikanischen Leser angepaßt. Die beiden Werke haben mir aber weitgehend als Vorbild und als Quelle g e d i sowohl e n ~, im Aufbau als auch im Umfang des behandelten Stoffes, abgesehen von gewissen durch die weitere Entwicklung des Gebietes notwendigen Ergänzungen. Da es sich bei den symmetrischen Komponenten um ein Rechenverfahren handelt, so muß ein Buch darüber grundsätzlich lehrbuchartigen Charakter annehmen. Dies zeigt sich nicht nur im Aufbau vom Elementaren zum Schwierigeren, sondern auch in den Voraussetzungen. Ich habe nach dem Vorbild der beiden erwähnten Werke mit der Darstellung der komplexen Rechnung der Wechselstromtechnik begonnen und versucht, alle aus diesem Gebiet sowohl für Einphasen- als auch für Drehstromnetze später bei den symmetrischen Komponenten gebrauchten Grundlagen in den ersten vier Kapiteln zu entwickeln. An dieser Stelle ist auch einiges zu dem umstrittenen Gebiet der Vorzeichengebung gesagt, wobei ich hinzufügen möchte, daß ich die hier angewendete Art keineswegs air die einzig mögliche oder gar einzig richtige ansehe, da es sich doch nur um eine Zweckmäßigkeitsfrage handelt. Wer mit den erwähnten Grundbegriffen genügend vertraut ist, kann das Studium mit Kap. 5 beginnen. Auch die Darstellung der symmetrischen Komponenten ist zunächst möglichst elementar durchgeführt, obwohl es natürlich verlockend gewesen wäre, gleich von Anfang an die eleganten Verfahren der Transfor- mationstheorie heranzuziehen. Die Erfahrung bei Vorlesungen hat mir

4 IV Vorwort jedoch gezeigt, daß man von dem Durchschnittsingenieur die dazu notwendige Vertrautheit mit den Verfahren der Transformationstheorie und der Matrizenrechnung nicht verlangen kann. Diese Verfahren werden daher erst vom Kap. 19 an verwendet, wo sie dann nicht nur die Formulierung allgemeiner Zusammenhänge, sondern auch die Erweiterung des ursprünglich nur für sinusförmig schwingende Größen gedachten Anwendungsgebietes der symmetrischen Komponenten auf Schaltvorgänge und Wanderwellen erlauben. Für die Behandlung der Schaltvorgänge sind die Kenntnisse der LAPLAcE-Transformation vorausgesetzt, da es den Rahmen des Buches überschritten hätte, die Theorie der LAPLAcE-Transformation mit aufzunehmen und weil andererseits angenommen werden kann, daß der Leser, der sich für diese schwierigeren Anwendungen der symmetrischen Komponenten interessiert, auch mit der LAPLAcE-Transformation genügend vertraut ist. Aus der Transformationstheorie lassen sich dann auch andere Komponentendarstellungen herleiten, von denen die von E. CLARK eingeführten oc- ß-O-Komponenten sich für gewisse Untersuchungen einzubürgern scheinen. Da für diese Komponenten eine handliche Bezeichnung bisher fehlt, wird aus den in Kap. 22 erwähnten Gründen versuchsweise die Bezeichnung Diagonalkomponenten verwendet. Der Leser wird erkennen, daß es mir mehr um die Darstellung der grundlegenden Zusammenhänge und das Verständnis für die Verfahren zu tun war als um eine Durchrechnung aller denkbaren Einzelfälle. Das Ziel bei der Behandlung eines Rechenverfahrens muß es sein, den Leser damit so vertraut zu machen, daß er auch s c h w i ~ Fälle r i gselbständig e r e behandeln kann. Soweit es der Umfang gestattete, sind durchgerechnete Beispiele aufgenommen, um eventuell noch auftretende Zweifel bei der praktischen Anwendung auszuschließen. Man wird feststellen, daß ich die spezielle Anwendung auf Netzmodelle weniger in den Vordergrund gerückt habe, als dies in den eingangs erwähnten amerikanischen Büchern geschieht. Dabei leitete mich die Ansicht, daß nicht jedem, der die symmetrischen Komponenten anwenden will, ein Netzmodell zur Verfügung steht und andererseits es den mit den Netzmodellen arbeitenden Spezialisten leicht ist, die besondere Anpassung an ihr Modell durchzuführen. Auch sonst vermied ich es, alle zu speziellen Anwendungen aufzunehmen, denn diese können dann mit Hilfe der zahlreichen Literatur ohne weiteres behandelt werden, wenn man mit den grundlegenden Verfahren genügend vertraut ist. Das Literaturverzeichnis beschränkt sich auf die wesentlichen Stellen und erhebt in keiner Weise Anspruch auf Vollständigkeit. Einen breiten Raum nehmen die Berechnungen der symmetrischen Impedanzen ein, die beginnend von den Transformatoren über die rotierenden Maschinen bis zu den Freileitungen und Kabeln führen. Die darin enthaltenen Angaben werden beim Rechnen mit symmetrischen Kompo-

5 Vorwort V nenten immer wieder gebraucht. Obwohl sie nicht auf die symmetrischen Komponenten beschränkt sind, so gibt es doch kaum zusammenfassende Darstellungen. Deshalb mußten sie hier ihren Platz finden, ich habe mich aber dabei bemüht, mich auf das für die symmetrischen Komponenten tatsächlich Notwendige zu beschränken, andererseits aber doch mehr zu bieten als bloß Tabellen und Kurvenscharen. Besondere Sorge machten mir die verschiedenen Bezeichnungsweisen. Soweit wie möglich habe ich mich an die Empfehlungen des AEF gehalten, doch bestehen keineswegs für alle Fälle schon endgültige Festlegungen, noch ist es in einem solchen Spezialgebiet möglich, den für allgemeine Zwecke bestimmten Empfehlungen immer zu folgen. Bei den komplexen Wechselstromgrößen habe ich an dem Gebrauch, die sinusförmig schwingenden Größen mit Frakturbuchstaben zu bezeichnen, festgehalten. Ich habe aber darauf verzichtet, diese Schreibweise auch auf die komplexen Impedanzen anzuwenden. Die Durchsicht des Buches möge zeigen, daß man tatsächlich auf keine Schwierigkeiten stößt, wenn man die komplexen Impedanzen mit Antiquabuchstaben bezeichnet. Die Fälle, in denen man die Beträge der Größen braucht, sind so selten, daß man dann ohne weiteres die in der Mathematik übliche Schreibweise mit einem senkrechten Strich vor und hinter dem Buchstaben anwenden kann. Bei den Impedanzen möge erwähnt werden, daß ich in den Abschnitten über Leitungen L und C für die Induktivitäts- bzw. Kapazitätsbeläge verwende, schon um das gewohnte Formelbild beizubehalten. Durch entsprechende Hinweise ist versucht worden, Mißverständnisse zu vermeiden. Für die Drehstromgrößen habe ich an Stelle der häufig anzutreffenden Bezeichnungen der Phasen mit R, S, T oder U, V, W die Kennzeichnung mit den Zahlen 1, 2, 3 vorgezogen, so daß die Ströme in den Leitern SI' S2' Sa sind, während der Strom im Nulleiter So ist. Für die symmetrischen Komponenten sind verschiedene Schreibweisen mit den Indizes Z, P, N oder 0, M, G gebräuchlich. Keine dieser Schreibweisen erschien mir genügend einfach und übersichtlich und ich entschloß mich daher> die Anwendung von oberen Indizes aus der Tensorrechnung zu übernehmen. Um jedoch jede Gefahr der Verwechslung mit Potenzen auszuschließen, wird So, S', S" geschrieben, wobei S' für SI und S" für S2 steht. Die oberen Indizes geben die Möglichkeit in den allgemeinen Darstellungen Si für die Ströme in den Leitern und Si für die symmetrischen Komponenten zu schreiben und in analoger Weise die Impedanzen Zij von den symmetrischen Impedanzen Zif zu unterscheiden. Als Mitverfasser eines Buches über Tensorrechnung bin ich vermutlich des Verdachtes enthoben, zu glauben, daß es sich dabei um eine Anwendung der Tensorrechnung auf elektrische Netzwerke handele. Die Tatsache, daß

6 VI Vorwort obere Indizes zuerst in der Tensorrechnung breite Anwendung gefunden haben, schließt ihre Anwendung in anderen Gebieten ebensowenig aus, wie das Schreiben einer Größe mit oberen Indizes diese zu einem Tensor macht. Es war daher auch zulässig, bei der Multiplikation zweier mit Indizes dargestellter Matrizen einheitlich obere oder untere Indizes miteinander zu verbinden, obwohl dies in der Tensorrechnung anders gehandhabt wird. Besser als alle Erklärungen über die Schreibweise zeigt aber die Durchführung der Rechnungen, ob eine Schreibweise zweckmäßig ist, und nur darauf allein kommt es an. Es bleibt mir noch, Herrn Dr.-Ing. H. BAATz für die Anregung zur Abfassung des Buches und dem Springer-Verlag für die Geduld, mit der er die Abfassung des Manuskriptes erwartete, und die Ausstattung des Buches zu danken. Herr Dr.-Ing. K. HESSENBERG hat durch eine sorgfältige Durchsicht des Manuskripts mich vor manchem Fehler bewahrt, wofür ich ihm sehr zu Dank verpflichtet bin. Ganz besondere Verdienste hat sich Herr Dr.-Ing. H. KINDLER erworben, der nicht nur alle Formeln und Beispiele sorgfältig nachrechnete, wobei ihm Herr Dipl.-Ing. W. GIELESSEN in dankenswerter Weise behilflich war, sondern auch durch seine Kritik Anlaß zu wesentlichen Verbesserungen der Darstellung gab. Kassel, im September 1957 A. Hochrainer

7 Inhaltsverzeichnis 1. Die komplexe Darstellung von sinu.sförmig schwingenden Größen.... a)momentanwert, Scheitelwert, Effektivwert... 1 b) Komplexe Darstellung, Zeiger c) Addition und Multiplikation von Zeigern vvechselstrom und '\Vechselspannung a) Strom, Spannung, Leistung b) Vorzeichen von Strom und Spannung, Zählpfeile c) Einfache Zweipole, Widerstand, Sclbstinduktivität, Kapazität d) Allgemeiner linearer Zweipol, Impedanz, Leitwert Einphasen- und Mehrphasensystem a) Wechselstromquelle, Leerlaufspannung, innerer '\Vidcrstand b) Transformator, Gegeninduktivität c) Kirchhoffsche Gesetze... _ d) Ersatzstromquelle... _ e) Einphasennetze f) Mehrphasennetze g) Symmetrische Spannungen im Drehstromnetz h) Das vollkommen symmetrische Drehstromnetz i) Stern -Dreieckumwandlung k) Gegeninduktivität, allgemeines symmetrisches Drehstromnetz Berechnung im symmetrischen Drehstromnetz a) Berechnung der Betriebskapazität einer Drehstromfernleitung b) Drehstromtransformatoren, Schaltgruppen c) Streuung der Transformatoren, Parallelschaltung d) Kurzschlußstrom, Kurzschlußleistung e) Induktionsmaschine Symmetrische Komponenten... : a) Unsymmetrien in Drehstromsystemen b) Nullsystem, Mitsystem, Gegensystem c) Zeichnerische und rechnerische Gewinnung der Komponenten d) Sonderfälle der Unsymmetrie Die symmetrischen Komponenten von Strom und Spannung. 67 a) Drehstromnetz mit unabhängigen Phasenimpedanzen b) Allgemeines symmetrisches Drehstromnetz, Null-, Mit- und Gegenimpedanz... 70

8 VIII Inhaltsverzeiohnis c) Bestimmung der symmetrisohen Impedanzen d) Kirohhoffsche Gesetze für symmetrisohe Komponenten e) Symmetrische Ersatzstromqueilen f) Zweiphasig belastetes Drehstromnetz Kurzschlußströme in Drehstromnetzen a) Fehlerarten b) Der dreipolige Erdkurzschluß c) Der dreipolige Kurzschluß d) Der einpolige Erdschluß... ' c) Der zweipolige Kurzschluß f) Der zweipolige Erdkurzschluß g) Fehlerimpedanz Ergänzungen zu den Kurzschlüssen a) Kurzschlußströme bei widerstandsbehafteten Fehlern b) Ströme und Spannungen beim dreipoligen Kurzschluß und Erdkurzschluß... _ c) Ströme und Spannungen beim einpoligen Erdschluß d) Ströme und Spannungen beim zweipoligen Kurzschluß e) Ströme und Spannungen beim zweipoligen Erdkurzschluß Der Einfluß des Nullreaktanzverhältnisses und der Fehlerwiderstände a) Der dreipolige Kurzschluß und ErdkurzschluB....' b) Der zweipolige Kurzschluß c) Der einpolige Erdschluß d) Der einpolige Erdschluß im gelöschten Netz e) Der zweipolige Erdkurzschluß _ Transformatoren a) Allgemeine Gleichungen des Zweiwicklungstransformators b) Drehstromtransformatoren, symmetrische Impedanzen c) Dreiwicklungstransformatoren.. _ Das Drehfeld a) Der FluBvektor b) Das Drehfeld. " c) Die Reaktanzen des Volltrommelläufers cl) Unsymmetrische Wicklungen e) Ausgeprägte Pole Die Induktionsmaschine a) Drehfelder relativ zum Ständer und rl'lativ zum Läufer b) Das Mitsystem in Ständer und Läufer c) Das Gegensystem d) Einpolige Unterbrechung e) Kusaschaltung

9 Inhaltsverzeichnis IX 13. Synchronmaschinen 163 a) Stationärer Betrieb, Dauerkurzschlußstrom b) Nichtstationärer Betrieb. Anfangs- und Übergangsreaktanz Die Mitimpedanzen von kurzen Freileitungen a) Kurze und lange Leitungen, Verluste b) Magnetische Energie und Induktivitäten c) Mittlere geometrische Abstände und Radien d) Resultierende Reaktanz e) Bündelleiter f) Mit und Gegenreaktanz einer Drehstromleitung g) Beeinflussung zwischen Drehstromleitungen Die Nullimpedanz kurzer Leitungen... ; a) Induktivitäten von Leitern mit Erdrückleitung b) Näherungsformeln c) Nullimpedanz der Drehstromleitung... '...,, d) Leitungen mit Erdseilen e) Doppelleitungen..., Die Kapazität von Freileitungen a) Die Kapazität des Einzelleiters b) Teilkapazitäten zwischen Leitern c) Teilkapazitäten der Drehstromleitung d) Einfluß des Erdseiles e) Berechnungsbeispiel Die Impedanzen von langen Leitungen a) Vierpolgleichungen der langen Leitung b) Ersatz durch ein T oder ein li Glied..., Die Impedanzen von Kabeln a) Widerstände b) Induktivitäten... '" 226 <X) Drei gleiche EinleiterkaLcl ß) Ein Drehstromkabel y) Mehrere gleiche Dreileiterkalel parallel.... "... " 230 c) Kapazitäten Die symmetrischen Komponenten als Transformation a) Tensorielle Schreibweise, Symmetrierungs- und Entsymmetrierungsmatrix b) Die Strom - Spannungsgleichung c) Die Fehlerimpedanzen Achtpole im Drehstromsystem a) Achtpolgleichungen, Umkehrsatz b) Symmetrische Komponenten, Fundamentalsatz c) Leitungen, Transformatoren

10 x Inhaltsverzeichnis 21. Doppelfehler a) Aktive Achtpole b) Doppelerdschluß c) Darstellung der Doppelfehler im Netzmodell Diagonalkomponenten a) Grundgleichungen... " b) Die Impedanzen der Diagonalkomponenten c) Direkte Bestimmung der Impedanzen d) Fehler und Doppelfehler e) Transformator mit Stern-Dreieckschaltung zwischen den Fehlern Der Zusammenhang zwischen Diagonal- und symmetrischen Komponenten. Normierte Komponenten a) Der Zusammenhang der Komponenten... " 272 b) Beziehungen zwischen den Impedanzen c) Normierte symmetrische Komponenten d) Normierte Diagonalkomponenten..., Ausgleichsvorgänge in Drehstromsystemen a) Zweipol im nichtstationären Zustand b) Zusammenschalten von Zweipolen c) Ausschalten von Zweipolen d) Schaltvorgänge bei Drehstrom e) Ausschalten der ersten Phase eines dreipoligen Kurzschlusses Schaltvorgänge in symmetrischen Komponenten a) Ausgleichsvorgänge der symmetrischen Komponenten..., " 290 b) Schaltvorgänge in der Komponentenschaltung c) Zwei- und dreipolige Fehler Gt) Zweipoliger Kurzschluß - Zweipoliger Erdkurzschluß ß) Zweipoliger Kurzschluß - Dreipoliger Kurzschluß y) Dreipoliger Kurzschluß - Dreipoliger Erdkurzschluß es) Zweipoliger Erdkurzschluß - Dreipoliger Erdkurzschluß d) Einpoliger Erdschluß - Zweipoliger Erdkurzschluß e) Trennung zweier Netze f) Schalter zwischen Netzteilen mit fernem Kurzschluß Schaltvorgänge in Diagonalkomponenten a) Ausgleichsvorgänge der Diagonalkomponenten... " : ~ O O b) Komponentenschaltungen Gt) Einpoliger Erdschluß ß) Einpoliger Erdschluß 2-0 oder y) Zweipoliger Kurzschluß il) Zweipoliger Kurzschluß s) Zweipoliger Kurzschluß 2-3 / Dreipoliger Kurzschluß : ~ 303 C) Einpoliger Erdschluß 1-0 / Zweipoliger Erdschluß ) Zweipoliger Erdkurzschluß [Dreipoliger Erdkurzschluß ß) Universalschaltbild für alle Fehler

11 Inhaltsverzeiohnis XI 27. Wanderwellen auf Drehstromleitungen a) Homogene Einfachleitung b) Drehstromleitung c) Symmetrische Komponenten d) Einschalten eines Leiters, beide anderen Leiter geerdet e) Einschalten eines Leiters, beide anderen Leiter isoliert f) Brechung und Reflexion g) Unsymmetrischer Abschluß bei symmetrischer Beaufschlagung Die Messung der symmetrischen Komponenten a) Allgemeines b) Indirekte graphische Verfahren c) Indirekte rechnerische Verfahren d) Direkte Verfahren für Systeme ohne Nullkomponente e) Direkte Verfahren zur Messung und Elimination der Nullkomponente Tabellenanhang Formelsammlung Schrifttum... '"... '"..,... '" Sachverzeichnis