Protokoll Optik-Praktikum WS 2001/2002 Universität Potsdam

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1 Protokoll Optik-Praktikum WS 2001/2002 Universität Potsdam Matthias Füßling Konrad Kieling Uta Naether Fabian Schmidt Helge Todt Arwed Weigel 23. Mai 2002 Zusammenfassung Unter der Zielstellung, Methoden zur Bestimmung des Brechungsindex zu vergleichen, haben wir uns in einem einwöchigen Praktikum mit Interferenzen (Michelson-Interferometer, Newtonsche Ringe), Refraktometrie (Abbé-Refraktometer, Brewsterwinkel, Dispersionskurve) und Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit auseinandergesetzt. Dabei lag das Augenmerk auf dem Vergleich der Methoden, also welche für Stoffe welchen Aggregatzustandes die genauesten Messungen zulässt. Dabei zeigte sich, daß für Gase das Michelson-Interferometer und für Flüssigkeiten sowie mindestens einseitig plangeschliffene, transparente Festkörper die verhältnismäßig einfache Methode des Abbé-Refraktometers die zuverlässigsten Werte liefern. Inhaltsverzeichnis 1 Interferenz Michelson-Interferometer allgemeiner Aufbau Kalibrierung Gase Festkörper Newtonsche Ringe Aufgaben Aufbau Grundlagen Ergebnisse Fehlerquellen Begrenzungen der Methode in Bezug auf die Brechzahlbestimmung

2 ABBILDUNGSVERZEICHNIS 2 Refraktometrie Abbé-Refraktometer Grundlagen Flüssigkeiten Festkörper Brewsterwinkel Grundlagen Durchführung Ergebnisse Fehlerquellen Begrenzungen des Versuches Dispersionskurve Grundlagen Durchführung Auswertung Lichtgeschwindigkeit Aufgaben Grundlagen Durchführung Ergebnisse Fehlerquellen Begrenzungen der Methode in Bezug auf die Brechzahlbestimmung Vergleich der Methoden 22 Abbildungsverzeichnis 1 Prinzipieller Strahlengang am Michelson-Interferometer Brechungsindex-Druck-Abhängigkeit für Gase am Michelson-Interferometer Versuchsanordnung Newtonsche Ringe Newtonsche Ringe Radienquadrate über Beugungsordnung für alle gemessenen Stoffe Radienquadrate über Beugungsordnung bei Luft für verschiedene Wellenlängen Strahlengang am Abbé-Refraktometer Ergebnisse bei der Bestimmung des Reflektionskoeffizienten Symmetrischer Strahlengang im Prisma Aufbau eines Einkreisgoniometers Dispersionskurven von Glas, NaCl und Quarz Schematischer Aufbau zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit Protokoll Optik-Praktikum

3 1 INTERFERENZ Schirm Laser l 2 Spiegel 2 l 1 Strahlteiler Spiegel 1 1 Interferenz Abbildung 1: Prinzipieller Strahlengang am Michelson-Interferometer Um Brechungsindizes über Interferometrie zu messen, werden Interferenzmuster erzeugt, die in irgendeiner Weise mit den Brechungsindizes zusammenhängen. Diese Verfahren sind also indirekt, und die eigentliche Größe, die es zu variieren gilt, ist die optische Weglänge. Dazu müssen je nach vorliegendem Aggregatzustand und Form Methoden verwendet werden, um die optische Weglänge auf eine Messgröße wie z.b. Winkel, Druck oder Dicke des Materials zurückzuführen, die direkt mit dem Brechungsindex zusammenhängt. 1.1 Michelson-Interferometer allgemeiner Aufbau Eine Lichtquelle mit möglichst monochromatischem Licht und langer Kohärenzlänge (in der heutigen Zeit eignet sich also am besten ein LASER) sendet Licht durch eine konvexe Linse zu einem Strahlteiler, der den Winkel ϑ = 45 zum Lichtstrahl einnimmt (Abb. 1). Teilbündel 1 wird also an der Vorderseite des Strahlteilers reflektiert, läuft zu Spiegel 1, wird dort wiederum reflektiert, durchläuft den Strahlteiler und landet auf einem Schirm oder Detektor. Die Weglänge zwischen Strahlteiler und Spiegel 1 sei mit l 1 bezeichnet. Teilbündel 2 durchläuft den Strahlteiler, wird an Spiegel 2 reflektiert, wird wiederum an der Rückseite des Strahlteilers reflektiert und landet auf dem Schirm. Durch Variation der optischen Weglängen (Drehen oder Verschieben der Spiegel) bilden sich Inteferenzmuster heraus, die Aufschluß über den Betrag der Änderung geben können Kalibrierung Als Lichtquellen wurden He-Ne-LASER der Wellenlängen λ r = 632, 8 nm (rot) sowie λ g = 543, 5 nm (grün) verwendet. Das von uns verwendete Michelson-Interferometer, genannt Precision Interferometer der Firma pasco scientific, Modellnummer A, ist leider nicht so präzise wie angegeben: Protokoll Optik-Praktikum 3

4 1.1 Michelson-Interferometer 1 INTERFERENZ Eine Kalibrierung der Mikrometerschraube, mit welcher Spiegel 2 der Messanordung verschoben werden kann, zeigte eine erhebliche Abweichung von den Angaben des Herstellers an. Mit den bei der Kalibrierung ermittelten Werten für die Mikrometerschraube bestimmten wir die Wellenlängen der LASER zu λ r = 634, 08 nm sowie λ g = 542, 4 nm, das entspricht in beiden Fällen einer Abweichung von 0, 3%, also durchaus annehmbar. Für diese Bestimmung ist folgende Überlegung notwendig: Verschiebt man den Spiegel 2 um eine halbe Wellenlänge, ändert sich die optische Weglänge wegen des Hin- und Zurücklaufen des Strahles um eine Wellenlänge, d. h. man wird auf dem Schirm das gleiche Interferenzmuster wie zu Beginn erhalten. Zählt man also die Anzahl N der gleichen Interferenzmuster, ergibt sich für die Wellenlänge des verwendeten Lichtes: Gase λ = 2d N N Versuchsaufbau und mathematische Grundlagen Für die Ermittelung des Brechungsindex von Gasen wird nun in l 2 eine evakuierbare Küvette der Länge s eingebracht, wobei s die für den Versuch relevante innere Länge der Küvette bezeichnet. Hier ist man auf die Herstellerangaben angewiesen. Die Küvette wird am besten so ausgerichtet, dass s l 2, also keine Umrechnungen für den Winkel erforderlich sind. Der Ursprungsgedanke dieses Versuches ist es nun, dass der Brechungsindex von Gasen linear mit dem Gasdruck zusammenhängt, und dass für p = 0 gilt n p=0 = 1: n(p) = n p=0 + n p p (2) An die Küvette sind sowohl eine Hand-Vakuumpumpe wie ein Digitalbarometer angeschlossen. Die gesamte Anordnung lässt sich mittels Durchspülung mit einem beliebigen Gas füllen, wobei wir uns aus Gründen der Verfügbarkeit sowie gesundheitlichen Erwägungen auf Raumluft, Argon, Kohlendioxid und Stickstoff (N 2 ) beschränkten. Erniedrigt man nun den Druck in der Apparatur, ändert sich die optische Weglänge in der Küvette gemäß (1): (1) s N n = λ 2 N (3) Aus (3) erhalten wir durch Umstellen und Division durch p sofort den Anstieg der Geraden aus (2): n p = N λ p 2s Eine Messung des Druckes in Abhängigkeit von der Anzahl der durchlaufenen identischen Interferenzmuster liefert uns dann mittels (2) die Brechungsindizes der untersuchten Gase. Ergebnisse und Vergleich mit den Literaturwerten Mit der oben beschriebenen Methode erhielten wir bei der Wellenlänge λ r = 632, 8 nm, einem Luftdruck von p = 1013 mbar und einer Temperatur von ϑ 22 C die Ergebnisse in Tabelle 1 (siehe auch Abb. 2). Stoff n gemessen n Literatur 1 bei ϑ in C und λ in nm n/10 5 Raumluft 1, , , 3 7,8 CO 2 1, , , 3 12,3 Ar 1, , , 3 8,0 N 2 1, , , 3 8,1 Tabelle 1: Brechungsindizes der Gase 1 [Stö00] 4 Protokoll Optik-Praktikum

5 1 INTERFERENZ 1.1 Michelson-Interferometer CO 2 N 2 Luft Ar Brechungsindex n Druck p / hpa Abbildung 2: Abhängigkeit des Brechungsindex vom Druck für CO 2, N 2, Luft und Ar (eingezeichnete Pfeile für Normdruck p 0 = 1013 hpa Fehlerquellen Wie man sieht, weicht unser Messergebnis vom Literaturwert recht konstant (mit Ausnahme des CO 2 ) ab. Es muss sich also um einen systematischen Messfehler handeln. Erklärungen: In der Literatur wurde Licht der Natrium-D-Linie (589,3 nm) verwendet, während wir mit dem langwelligeren Licht des He-Ne-Lasers arbeiteten. Es wurde bei höherer Temperatur gearbeitet. Schließlich spielt herein, dass keine Herstellerangaben zu der inneren Länge der Küvette vorlagen, und daher erster Näherung die äußere Länge genügen musste. Der sytematische Fehler hierbei musste also wohl oder übel in Kauf genommen werden. Die Prozedur des Füllens der Küvette bedingte ein nicht 100% reines Gas. Die Apparatur war nicht besonders dicht, das heißt, ab einem bestimmten Druck strömte verunreinigende Außenluft hinein und verfälschte das Ergebnis. Dies führte dazu, dass die einzelnen Versuchsreihen möglichst schnell durchgeführt wurden, verbunden mit einer erhöhten Ableseungenauigkeit am Digitalbarometer. Positiv lässt sich vermerken, dass die Verhältnisse (abgesehen von Kohlendioxid) der Brechungsindizes der Gase untereinander stimmen. D. h. das Wissen um den systematischen Fehler ermöglicht eine überaus genaue Bestimmung des Brechungsindex der zu untersuchenden sgase auf eine Größenordnung von Damit stellt das Michelson-Interferometer im Rahmen unserer Versuchsreihe das mit Abstand beste Mittel dar, um Gase die sich naturgemäß in ihren optischen Eigenschaften bei Druckverhältnissen zwischen 0 atm und 1, 5 atm nicht wesentlich voneinander unterscheiden, zu charakterisieren. Hervorzuheben ist, dass sich hier mit einem Experiment mit relativ einfachen Mitteln sehr hohe Genauigkeiten erreichen lassen. Protokoll Optik-Praktikum 5

6 1.1 Michelson-Interferometer 1 INTERFERENZ Festkörper Versuchsaufbau und mathematische Grundlagen Anzumerken ist erst einmal, dass sich über die Änderung der optischen Weglänge und der damit zusammenhängenden Änderung des Interferenzmusters beliebige (durchsichtige) Stoffe mit Hilfe des Michelson-Interferometers untersuchen lassen. Da wir allerdings leider keine Küvette hatten, die sich mit Flüssigkeit füllen ließ, entfiel die Möglichkeit, diesen Aggregatszustand zu untersuchen. Sicher kann man nun nicht die Dichte des Festkörpers verändern. Die Idee besteht stattdessen darin, einen planparallel geschliffenen Körper in l 2 einzubringen und dann die Anzahl der identischen Interferenzmuster in Abhängigkeit vom Winkel der Flächen zum Lichtstrahl aufzunehmen: Die Änderung des Winkels bewirkt eine Änderung der Länge der zu durchlaufenden Platte und damit eine Änderung der optischen Weglänge. Der Brechungsindex berechnet sich dann nach: n(n, ϕ) = (2s Nλ)(1 cos ϕ) 2s(1 cos ϕ) Nλ deren Herleitung hier zuviel Raum beanspruchen würde. Für die konkrete Durchführung war der Erfindungsgeist gefragt: Wir benutzten die Küvettenhalterung aus dem vorhergehenden Versuch, auf die wir die Platten (drei Sorten Plexiglas sowie einen gewöhnlichen Objektträger aus Fensterglas) mittels Klebestreifen aufklebten, immer im Vertrauen darauf, dass wir so eine einigermaßen parallele Ausrichtung zur Drehachse erreichten. Des weiteren bastelten wir uns aus Pappe einen Zeiger, der von der Küvettenhalterung zur bereits angebrachten Skala reichte, an welchem wir auch die Winkeländerung vornahmen. Der Zeiger traf den korrekten Winkel mit einer Genauigkeit von ±0, 2. Hinzuaddieren muss man noch die Ableseungenauigkeit von ±0, 5. Ergebnisse und Vergleich mit den Literaturwerten Wir führten das Experiment sowohl mit λ r als auch (teilweise) mit λ g durch, bei einer Temperatur von ϑ 22 C und einem Luftdruck von p 1005 mbar. Die untersuchten Materialien hatten folgende Dicken: Plexiglas 1: 3, 9 mm, Plexiglas 2: 5, 3 mm, Plexiglas 3: 4, 9 mm, Objektträger: 0, 9 mm. Die Ergebnisse sind in Tabelle 2 dargestellt. 6 Protokoll Optik-Praktikum

7 1 INTERFERENZ 1.1 Michelson-Interferometer Stoff ϕ in N n Fehler n Plexiglas 1, λ r 5 15,5 1,4916 0, ,4993 0,14 1, ,5 1,4934 0,10 Plexiglas 2, λ r ,5624 0, ,5389 0,15 1, ,5332 0,11 Plexiglas 2, λ g ,5372 0, ,5170 0,14 Plexiglas 3, λ r ,5118 0, ,5074 0,14 Objektträger, λ r 5 3,7 1,5174 0, ,5236 0, ,5185 0, ,5103 0,11 1,5271 1,5096 1,5175 Objektträger, λ g 5 4,8 1,6128 0, ,4 1,5678 0, ,5512 0,16 1, ,5412 0, ,5337 0,12 Tabelle 2: Brechungsindizes der Festkörper Zuerst einmal fällt auf, dass bei gleichen Ausgangsbedingungen aber verschiedenen Winkeln für einen Stoff teilweise erheblich voneinander abweichende Brechungsindizes ermittelt wurden. Diese müssten ja eigentlich innerhalb einer Messreihe gleich sein. Des weiteren sticht der große Fehler ins Auge, der, systematisch bedingt, selbst im hier besten Fall von 0,1 keine zufriedenstellende Charakterisierung des vorliegenden Stoffes ermöglicht. Ein Vergleich mit Literaturwerten liefert für Plexiglas Werte von n = 1, 49 [Stö00] bis n = 1, 52 [Gre91] für Licht der Natrium-D-Linie sowie einer Temperatur von ϑ = 20 C. Für Fensterglas erhalten wir n 1, 51 [Stö00]. Wir folgern: Da sowohl Plexiglas als auch Fensterglas Werkstoffe mit nicht genau definiertem Brechungsindex sind (dies liegt in erster Linie an ihrer Heterogenität), ist es notwendig, andere Kriterien hinzuzuziehen, um den Stoff eindeutig zu charakterisieren. Die erreichbare Genauigkeit bei der Bestimmung des Brechungsindex von Festkörpern mittels Michelson- Interferometer ist für wissenschaftliche Zwecke nicht zufriedenstellend. Wir haben alle Brechungsindizes der Festkörper mit einer Genauigkeit von ±0, 1 im Vergleich mit Literaturwerten bestimmt. Aus unseren Messreihen lässt sich aber beispielsweise nicht erkennen, ob es sich bei den drei Plexigläsern um die gleiche oder verschiedene Sorten handelt. Es könnte sich auch genauso gut um Kronglas oder NaCl handeln, jedenfalls was die Genauigkeit des ermittelten Wertes des Brechungsindex anbelangt. Vier der sechs Messreihen haben einigermaßen zufriedenstellende Ergebnisse geliefert, wobei bei den übrigen zwei Messreihen einmal Licht der Wellenlänge λ = 632, 8 nm umd einmal der Wellenlänge λ = 543, 5 nm verwendet wurde, was einen systematischen Fehler aufgrund des verwendeten LASERs erst einmal in den Hintergrund drängt. Fehlerquellen Neben möglichen Fehlern im parallelen Anbau der Platten an das Interferometer lieferte die Winkelmessung bedingt durch den Aufbau keine besonders genauen Werte Schließlich ist noch zu beachten, dass das Interferenzmuster mit zunehmendem Winkel sehr schnell wechselt, so dass man hier auch eine Zählungenauigkeit von ±2 auf N = 100 annehmen kann. Protokoll Optik-Praktikum 7

8 1.2 Newtonsche Ringe 1 INTERFERENZ 1.2 Newtonsche Ringe Aufgaben Bei diesem Versuch wird der Brechungsindex von Luft und drei verschiedenen Flüssigkeiten durch Messung des Durchmessers von Newtonschen Ringen bestimmt Aufbau Auf einer optischen Bank wurde eine Xenon-Lampe installiert, deren Lichtstrahl mit Hilfe eines Linsensystems (zwei Plan-Konvex-Linsen und ein Astro-Objektiv) parallelisiert wurde. Dieses Licht fiel durch eine Blende und gegebenenfalls einen Filter auf einen Strahlteiler, der weitere Strahlverlauf ist in Abb. 3 gezeigt. Die Ringe (Abb. 4) wurden dann mit Hilfe eines Mikroskops und einer CCD-Kamera beobachtet Grundlagen Durch Interferenz an einer dünnen Schicht zwischen einer schwach gewölbten Linse und einer Planglasplatte entstehen die Newtonschen Ringe. R. Hook(1665) und I. Newton(1676) verwendeten erstmals diese Anordnung. parallel einfallendes Licht d 0 Mikroskop CCD Kamera r 1 2 d +d Abbildung 3: Versuchsanordnung Newtonsche Ringe 0 Wir beobachteten das von der Glasplatte reflektierte Licht, dadurch mit minimaler Helligkeit im Zentrum (Abb. 4). Es ist aber ebenso möglich, das durchgehende Licht zu betrachten, dann ist die Helligkeit im Zentrum maximal. Im reflektierenden Fall interferieren die an der Unterseite der Linse und an der Oberseite der Glasplatte refektierten Strahlen 1 und 2 (siehe Abb. 3). Die durch Brechung und Reflexion an der oberen Linsenfläche entstehenden Richtungsänderungen wurden wegen des fast senkrechten Einfalls vernachlässigt. Die Luftschicht zwischen Linse und Glasplatte hat im Abstand r vom Berührungspunkt die Dicke d 0 + d. Mit d 0 wird berücksichtigt, dass keine ideale Berührung vorliegt, sondern der Abstand z.b. durch Staub vergrößert oder durch Deformation der Linse verkleinert werden kann. Abgesehen von der vernachlässigbaren Brechung der Strahlen an der Linse beträgt der Gangunterschied der beiden interferierenden Wellenzüge 2n(d 0 + d). Die Reflexion des zweiten Wellenzuges erfolgt am optisch dichteren Medium, also muß noch ein Gangunterschied von λ 2 addiert werden. Daraus ergibt sich ein Gesamtgangunterschied von x = 2n(d 0 + d) + λ 2 und eine Phasenverschiebung: δ = 2π x λ = 4πn λ (d 0 + d) + π Für δ = 2πk, k = {1, 2,..} ist die Interferenz konstruktiv, für δ = π(2k 1) destruktiv. Nach Pythagoras ist (mit Linsenradius R) R 2 = (R d) 2 + r 2, also r 2 = 2Rd d 2. Da d << R ist, folgt für die dunklen Ringe mit k = {1, 2,...} und für die hellen Ringe r 2 k = (k 1) Rλ 2d 0 R n rk 2 = k 1 2 n Rλ 2d 0R 8 Protokoll Optik-Praktikum

9 1 INTERFERENZ 1.2 Newtonsche Ringe Ergebnisse Medium λ in nm Messwert n Tabellenwert Abweichung n/n Luft Abweichung d 0 in nm in % in % Luft 546 0,9691 1, ,12 1, ,9636 1, ,66 1, Wasser 546 1,2768 1, ,32 1,3119 1, ,2752 1, ,36 1,3237 0, Ethanol 546 1,306 1,3635 4,10 1,348 1, ,308 1,3622 3,98 1,3578 0, Zucker ,3476 1, ,15 1,391 1, lösung 578 1,3272 1, ,40 1,3777 2, Der Krümmungsradius der Linse wurde mit einem Sphärometer bestimmt (R=163 mm), durch die Verwendung von Filtern ließ sich die Wellenlänge des einfallenden Lichts bestimmen. Alle verwendeten Vergleichswerte wurden [KWK96] entnommen, bis auf den Brechungsindex der Zuckerlösung, der mit dem Abbé-Refraktometer bestimmt wurde (dieser Wert bezieht sich also jeweils auf die Natrium-D-Line). Tabelle 3: Ergebnisse Fehlerquellen Bei den gemessenen Brechungsindizes ergab sich eine systematische Abweichung nach unten, was einer Messung von zu großen Durchmessern entspricht. Eine mögliche Ursache ist eine fehlerhafte Messung des Maßstabs mit dem Objektmikrometer. Auch Linsenfehler und Ungenauigkeiten der Filter sind nicht auszuschließen. Um eine konstante systematische Abweichung zu korrigieren, haben wir in der fünften Spalte der Tabelle 3 die Abbildung 4: Newtonsche Ringe, obere Hälfte bei grünem Licht, untere bei orangenem Licht. Im Zentrum erkennt man die minimale Helligkeit durch destruktive Interferenz. Werte so normiert, dass die Messwerte für Luft mit den Literaturwerten übereinstimmen. Die Fehler dazu sind in der sechsten Spalte angegeben. Wie man sieht, sind die Fehler deutlich reduziert, es bleibt aber immer noch eine gewisse systematische Abweichung Begrenzungen der Methode in Bezug auf die Brechzahlbestimmung Der Versuchsaufbau ist recht zeitaufwendig durch die genaue Justierung, die durchgeführt werden muss, und außerdem sehr erschütterungsempfindlich. Die Messergebnisse sind bis auf Abweichungen von 5% genau, durch Normierung kann die Genauigkeit auch noch etwas verbessert werden. Mit der Ausmessung der Newtonschen Ringe kann nur der Brechungsindex von Gasen (bevorzugt Luft, alle anderen Gase verkomplizieren den Versuchsaufbau enorm) und Flüssigkeiten bestimmt werden, solange er sich nicht 2 mit Abbérefraktometer gemessener Vergleichswert 3 mit Abbérefraktometer gemessener Vergleichswert Protokoll Optik-Praktikum 9

10 1.2 Newtonsche Ringe 1 INTERFERENZ Messdaten Luft Regressionsgerade Luft Messdaten Wasser Regressionsgerade Wasser Messdaten Ethanol Regressionsgerade Ethanol Messdaten Zuckerlösung Regressionsgerade Zuckerlösung 1 r 2 / mm Ordnung der Interferenzringe (k) Abbildung 5: Radienquadrate über Beugungsordnung aller gemessenen Stoffe bei 546 nm 2.5 Messdaten grünes Licht (λ=546nm) Regressionsgerade grünes Licht Messdaten oranges Licht (λ=577nm) Regressionsgerade oranges Licht r 2 / mm Ordnung der Interferenzringe (k) Abbildung 6: Radienquadrate über Beugungsordnung bei Luft bei grünem (546 nm) bzw. orangenem (578 nm) Licht 10 Protokoll Optik-Praktikum

11 2 REFRAKTOMETRIE zu stark dem der verwendeten Linse annähert. Dann nämlich werden die Kontraste immer schwächer, bis die Interferenzerscheinung ganz verschwindet. Die von uns verwendete Xenonlampe verbesserte die Ausmessung sehr, die anfangs benutzte Halogenlampe hätte nicht so viele Messdaten liefern können. Im Allgemeinen ist dieser Versuch nicht als die genaueste und schnellste Möglichkeit zu sehen, Brechungsindizes auszumessen, aber er bietet eine gute Möglichkeit, Interferenzerscheinungen zu vermitteln und sichtbar zu machen. 2 Refraktometrie 2.1 Abbé-Refraktometer Grundlagen Das auf dem Prinzip der Totalreflexion beruhende Abbérefraktometer stellt eine genial einfache wie effiziente Methode zur Bestimmung der Brechungsindizes in erster Linie von Flüssigkeiten, aber auch bestimmter Festkörper dar. Das ursprünglich von dem deutschen Physiker Ernst Abbé ( ) entwickelte Gerät hat folgenden Aufbau: Herzstück des Abbérefraktometers sind zwei rechtwinklige Prismen (Abb. 7: P 1 und P 1 ) hoher Brechzahl (in unserem Refraktometer betrug diese n = 1, 75, die längsseitig aufeinandergelegt werden. Die Auflagefläche des unteren Prismas ist dabei rauh, die des oberen plan geschliffen, und zwischen diese beiden Prismen ist die zu untersuchende Flüssigkeit einzubringen (mechanische Vorrichtungen gestatten das Auseinanderklappen sowie Drehen). Durch die Fläche zwischen den kurzen Katheten der Seitendreiecke des unteren Prismas wird nun Licht eingestrahlt. Ein Teil des einfallenden Lichtes wird, da es sich bei dem Prisma um das optisch dichtere Medium handelt, total reflektiert (α g = arcsin n F l n P ). Ein weiterer Teil wird in die Flüssigkeit hineingebrochen, von dort gelangt es in das obere Prisma und verlässt es seinerseits durch die kleine Kathetenfläche. Dieses dort austretende Licht wird nun durch ein Fernrohr beobachtet. Das Fernrohr ist dabei drehbar gelagert und mit einer Winkelskala bzw. einer Skala für den Brechungsindex (geeicht auf eine bestimmte Wellenlinie) oder auch einer Konzentrationsskala verbunden. Auf das Okular ist ein Messkreuz aufgebracht, dessen Schnittpunkt man mit der Hell-Dunkel-Grenze der Totalreflexion zur Übereinstimmung führen muss. Um Dispersionserscheinungen zu eliminieren, ist in den Strahlengang noch ein entsprechender Kompensator eingebaut. Unser Refraktometer war auf die Natrium-D-Linie geeicht, was den Vergleich mit Literaturwerten natürlich erleichtert. Desweiteren war ein Thermometer sowie eine Temperierungsvorrichtung (Wärmetausch über durchströmende Flüssigkeit) angebracht, mittels derer sich nach Wunsch auch die Temperaturabhängigkeit des Brechungsindex ablesen läßt. Schließlich handelte es sich um ein binokulares Modell, durch dessen rechtes Rohr man die Grenzlinie und parallel dazu durch das linke direkt den Brechungsindex und die Konzentration (Doppelskala) ablesen konnte Flüssigkeiten hell Fernrohr Objektiv P 2 dunkel P 1 Abbildung 7: Strahlengang am Abbé- Refraktometer (Brechungserscheinungen wurden vernachlässigt) Eichung Der Hersteller des Gerätes bezeichnete die Genauigkeit mit ±2 der 4. Dezimale. Dies ist natürlich eine sehr hohe Genauigkeit (um physikalisch exakt zu sein sogar höher, als man in herkömmlichen Experimenten annehmen Protokoll Optik-Praktikum 11

12 2.1 Abbé-Refraktometer 2 REFRAKTOMETRIE darf, da die Skalierung nur bis zur dritten Dezimale ging!), und um diese aufrechterhalten zu können, darf die Mechanik nicht beschädigt sein. Um die Herstellerangaben zu überprüfen, verwendeten wir reines H 2 O, dessen Brechungsindex wir bei ϑ = 22 C bestimmten. Wir ermittelten n H2O = 1, In den Geräteangaben des Herstellers war zur Kalibrierung genau dieser Wert angegeben. Man sieht also bereits jetzt, dass das Abbérefraktometer ein überaus exaktes Messinstrument für Materialien mit Brechungsindex 1, 3 n D 1, 7 darstellt. Wir verzichten daher auf Fehlerangaben und führen nur den Literatur-Referenzwert an. Messergebnissse und Vergleich mit den Literaturwerten Stoff n gemessen ϑ in C n Lit 4 /c gem ϑ in C C 2 H 5 OH (vergällt) 1, , 8 C 2 H 5 OH (rein) 1, , 8 1, C 3 H 8 O 3 (Glycerin) 1, , 8 1, Immersionsöl (Zedernholzöl) 1, , 4 1, Zuckerlösung I 1, , 5 c I = 42, 95% Zuckerlösung II 1, c I = 71, 21% Tabelle 4: Brechungsindizes Flüssigkeiten beim Abbérefraktometer Festkörper Durchführung und Messergebnisse Für die Messung des Brechungsindex von Festkörpern mittels Abbé-Refraktometer ist ein etwas abgewandeltes Verfahren zu verwenden. Erst einmal ist es notwendig, dass der zu untersuchende, durchsichtige Körper mindestens eine plangeschliffene Fläche hat, um Totalreflexion erzeugen zu können. Hat er sogar zwei plangeschliffene Flächen, die in einem Winkel ϕ 90 aufeinanderstehen, gibt es zwei Methoden, den Brechungsindex zu bestimmen: Einerseits mit streifend zur Grenzfläche einfallendem und andererseits mit total reflektiertem Licht. Hierzu wird die Apparatur aufgeklappt und der Körper mit der plangeschliffenen Fläche auf die plane Fläche des Prismas des Refraktometers gelegt. Da sich dazwischen immer etwas Luft befindet, ist es notwendig, eine Flüssigkeit mit höherem Brechungsindex als dem des zu untersuchenden Körpers zwischen den beiden Flächen einzubringen (Immersionsöl). Für Festkörper mit höheren Brechungsindizes ist es natürlich einigermaßen schwer, eine Flüssigkeit mit noch höherem Brechungsindex zu finden. Die (uns (noch) nicht zur Verfügung stehende) Flüssigkeit α-bromnaphtalin hat den sehr hohen Brechungsindex n = 1, 658, aber selbst damit könnte man beispielsweise kein schweres Flintglas identifizieren (n = 1, 8052). Uns stand nur das bereits oben angegebene Zedernholzöl zur Verfügung, so dass keine Hoffnung bestand, die Glasprismen der anderen Experimente oder unseren Objektträger untersuchen zu können. Bei diesem Experiment (wir arbeiteten ausschließlich mit total reflektiertem Licht) bekommt man nun zwei Grenzlinien zu sehen. Die eine ist die des Grenzwinkels der Totalreflektion am Immersionsöl, und die andere die entsprechende für den Festkörper. Wenn man zuerst den Brechungsindex des Immersionsöls bestimmt, ist es ein Leichtes, diese zu unterscheiden. Wir untersuchten die drei Plexigläser aus dem Versuch mit dem Michelson-Interferometer sowie das Quarzprisma aus dem Prismenversuch. Die Ergebnisse: Ergebnisse Da es sich bei dem Plexiglas um einen recht heterogenen Stoff handelt, können wir hier durchaus annehmen, dass die Grundmischung die gleiche war. Auch für das Quarzprisma erhalten wir 4 [Nie93], [dlb98] 5 [Stö00] 6 [dlb98] 12 Protokoll Optik-Praktikum

13 2 REFRAKTOMETRIE 2.2 Brewsterwinkel Stoff n gemessen ϑ in C n Lit ϑ in C Plexiglas 1 1, , 9 Plexiglas 2 1, , Plexiglas 3 1, , 7 Quarzglas 1, , Tabelle 5: Brechungsindizes Festkörper beim Abbérefraktometer einen überaus genauen Wert, wenn man die Temperaturabhängigkeit des Brechungsindex mitberücksichtigt. Wir halten fest: Für den Messbereich 1, 3 n D 1, 7 stellt das Abbérefraktometer die am einfachsten zu handhabende Messmethode dar und ist darüberhinaus bei geringem Aufwand überaus exakt. Es können Brechungsindizes sowohl von Festkörpern (Vorhandensein eines optisch sehr dichten Immersionsöls vorausgesetzt) und Flüssigkeiten mit hoher Genauigkeit bestimmt werden. Der einzige Nachteil, der sich gegenüber anderen Refraktometern (die im Allgemeinen aber nicht so genau arbeiten) ergibt, ist die ausschließliche Normierung auf eine Wellenlänge. 2.2 Brewsterwinkel Grundlagen Die Eigenschaften der Polarisation, der Brechung und der Reflexion des Lichtes können zur Messung des Brechungsindex ausgenutzt werden. Die Grundlagen bilden die Fresnelschen Formeln, die eine vollständige Theorie dieser Eigenschaften des Lichtes in isotropen Medien enthalten. Fresnel leitete die Formeln 1821 aus seiner elastischen Lichttheorie her, ohne Kenntnis und Benutzung der elektromagnetischen Natur des Lichtes. Die Fresnelschen Formeln fanden später ihre Begründung in der elektromagnetischen Theorie nach Maxwell. Mit diesem Versuch wird die Intensität des Lichtes, das an einer Grenzfläche zweier durchsichtiger Medien reflektiert wird, untersucht. In Abhängigkeit vom Einfallswinkel und von der Polarisationsrichtung wird nun der Intensitätsverlauf als Reflektionskoeffizient R (Verhältnis der Intensität der reflektierten und der eingestrahlten Welle) für parallel polarisiertes Licht (R ) und senkrecht polarisiertes Licht (R ) aufgenommen. Die beiden Fresnel-Formeln, die die Reflektion beschreiben, lauten: ( ) 2 n cos α cos β R = n cos α + cos β ( ) 2 cos α n cos β R = cos α + n cos β Man erhält zwei Kurven (Abb. 8), die drei Möglichkeiten der Berechnung des Brechungsindex des untersuchten Stoffes zulassen. Die Kurve für R nimmt mit zunehmendem Einfallswinkel zunächst ab und verschwindet für einen bestimmten Winkel, den Brewster-Winkel. Fällt Licht auf die Grenzfläche zweier durchsichtiger Medien, so dass reflektierter und gebrochener Strahl aufeinander senkrecht stehen, enthält die reflektierte Welle keinen parallel zur Einfallsebene polarisierten Anteil. Dies ist das Brewstersche Gesetz, ein Spezialfall der Fresnel-Formeln. Der Brewstersche Winkel ist abhängig vom Brechungsindex und damit die erste Möglichkeit der Berechnung: n = tan α B (4) Für diesen Brewster-Winkel hat der senkrechte Anteil jedoch noch einen nicht verschwindenden Reflektionskoeffizienten und ermöglicht so eine weitere Berechnung des Brechungsindex. Aus den Fresnel-Formeln Protokoll Optik-Praktikum 13

14 2.2 Brewsterwinkel 2 REFRAKTOMETRIE 1 R (α) R (α) Messwerte R Messwerte R Glühlampe Laser Glas Reflektionskoeffizient R, R 0 1 Plexiglas Einfallswinkel α in Abbildung 8: Messwerte und R (α)- bzw. R (α)-kurven für Glas (obere Zeile) und Plexiglas (untere Zeile), ermittelt mit Glühlampe (linke Spalte) und Laser (rechte Spalte). Für die Kurven wurden die ermittelten Brechungsindizes aus Methode 2 (5) genutzt (siehe Tabelle 6 ). erhält man: n = 1 + R 1 R (5) Die Kurve für R ist für alle 0 < α < 90 monoton steigend und R > R außer an den Randwerten. Für α = 0 sind R und R gleich und aus den Fresnel-Formeln erhält man: n = 1 + R 1 R (6) Durchführung Von einer Glühlampe ausgesandtes Licht wird parallelisiert und durch einen Polarisationsfilter polarisiert. Es fällt in ein geschlossenes Gehäuse, dass das störende Streulicht der Umgebung abhalten soll. In dem Gehäuse ist eine Grenzfläche drehbar gelagert. Durch eine Photodiode wird der Intensitätsverlauf der reflektierten Strahlung in Abhängigkeit des Einfallswinkels aufgenommen. Zur Verbesserung des Versuches wurde die Glühlampe in einer weiteren Messreihe durch einen um seine optische Achse drehbar gelagerten roten Laser ersetzt. Definiertere Polarisation und höhere Intensität sollten bessere Messergebnisse ermöglichen Ergebnisse Die Brechungsindizes für alle drei Methoden sind in Tabelle 6 zusammengefasst. 14 Protokoll Optik-Praktikum

15 2 REFRAKTOMETRIE 2.3 Dispersionskurve Stoff Methode 1 (4) Methode 2 (5) Methode 3 (6) Durch- Messunge- Literaturwert G L G L schnitt nauigkeit Glas 1, 60 1, 50 1, 49 1, 49 1, 50 1, 52 0, 16 1, 51 7 Plexiglas 1, 60 1, 44 1, 47 1, 50 1, 46 1, 49 0, 16 1, , 52 9 Tabelle 6: Ergebnisse (G: Glühlampe, L: Laser) Als Tendenz ist ein höherer Brechungsindex von Glas zu Plexiglas zu erkennen. Die Methode (4) liefert dabei die ungenauesten Ergebnisse. Im Sinne einer Messgenauigkeit auf die zweite Kommastelle ließ sich kein zufriedenstellendes Ergebnis erzielen Fehlerquellen Die Skaleneinteilung der Drehvorrichtung für die Grenzfläche von 1 -Schritten und der daraus resultierenden Unsicherheit im Drehen der Grenzfläche hatte den größten Einfluss auf die Messergebnisse. Eine weitere Fehlerrechnung (in den Messapparaten, z.b. Photodiode) war durch diesen großen Fehler nicht sinnvoll. Besonderen Einfluss hatte dieser Fehler auf die Methode nach (4). Weiterhin ließen sich beliebig kleine Einfallswinkel ließen sich nicht messen, da dann die Photodiode den Strahleneingang blockierte. Die Approximation für die Methode nach (6) wurde daher unsicherer. Generell ließ sich auch das störende Streulicht der Umgebung nicht vollkommen auslöschen. Desweiteren konnte die Polarisation durch den Polarisationsfilter nicht zu 100 % gelingen. Selbst die Nutzung des Lasers als Lichtquelle vollständiger Polarisation erhöhte die Messgenauigkeit nicht und brachte zudem weitere Probleme. Das Laserlicht war periodisch schwankend in seiner Intensität und erzwang so eine weitere Aufnahme der Intensität des einfallenden Laserlichtes zur Normierung Begrenzungen des Versuches Nur Materialien mit eindeutiger und genügend glatter Grenzfläche lassen sich durch diese Methode hinsichtlich des Brechungsindex untersuchen. Das führt unter anderem zu Problemen bei dünnen Glasplättchen, da die zweite Grenzfläche abgedunkelt (absorbierend) gemacht werden muss. Bei nicht genügender Absorptionsfähigkeit der zweiten Grenzschicht (auch diese ist wellenlängenabhängig) erhält man sonst eine zweite Intensitätskurve mit unterschiedlichem Verlauf, die sich bei der Messaufnahme mit der ersten Kurve überlagern kann, da die transmittierte Lichtwelle an der hinteren Grenzschicht vom optisch dichteren zum dünneren Medium gebrochen wird. Wäre die Apparatur nicht nur horizontal, sondern auch vertikal drehbar gelagert, so wäre die Messung an Grenzflächen von Flüssigkeiten ebenfalls möglich. Die Messung von Brechungsindizes von Gasen ist wegen fehlender Grenzfläche (Diffusion, etc.) nicht möglich. 2.3 Dispersionskurve Grundlagen Dispersion lässt sich mit Hilfe des elektromagnetischen Wellenmodells des Lichts verstehen. Fällt Licht auf einen prismenförmigen durchsichtigen Körper, so geht ein Teil des Lichtes durch das Prisma. Dabei wird es wellenlängenabhängig von der ursprünglichen Ausbreitungsrichtung verschieden stark abgelenkt. Die Beziehung zwischen Einfalls- und Ausfallswinkel (α und β) an der Grenzfläche zwischen den Medien 7 [Stö00] 8 [Stö00] 9 [Gre91] Protokoll Optik-Praktikum 15

16 2.3 Dispersionskurve 2 REFRAKTOMETRIE 1 und 2 wird durch das Snelliussche Brechungsgesetz beschrieben: sin α sin β = c 1 c 2 = n 2 n 1 (7) Dabei ist n abhängig von der Wellenlänge. Infolgedessen wird das Licht in ein Spektrum aufgefächert. Ursache für die Dispersion ist die Wechselwirkung der einzelnen Atome des Mediums mit der elektromagnetischen Welle der Kreisfrequenz ω. Sie führt zu einer gedämpften Schwingung der Elektronen, wobei Resonanz bei der Eigenfrequenz ω 0 stattfindet. Im Fall der Dispersion regt die einfallende Welle die Atome an, welche nun eine Sekundärwelle mit zunehmender Phasenverschiebung und somit verkürzter 1 Wellenlänge abstrahlen. Da die Resonanzamplitude proportional ist, ergibt sich die Frequenz- und wegen c = λω 2π ω 2 0 ω2 Wellenlängenabhängigkeit der Brechzahl. Das elektrische Feld des Lichtes lenkt die Elektronen (Anzahl N im Volumen V ) des Mediums aus ihrer Gleichgewichtslage aus und erzeugt in jedem Atom ein Dipolmoment Atom = α E mit Polarisierbarkeit α. Die Polarisation des ganzen Mediums ist dann P = dn dv = ε dn 0 dv α E = ε 0 (ε r 1) E (8) Die Materialkonstante ε r bezeichnet man u. a. als Dielektrizitätszahl. Näherungsweise gilt n = ε r µ r ε r im Falle nicht allzu hoher Frequenzen für Medien, deren Permeabilität µ r 1 ist, also für alle nichtferromagnetischen Stoffe, z. B. Gläser. Dann erhält man aus (8) n 2 1 = dn dv α. Um α abzuschätzen, verwendet man das Modell der erzwungenen Schwingung der Elektronen: Das Elektron (Ladung e) verhalte sich wie ein Federschwinger der Masse m und Federkonstante k. Seine Eigenfrequenz sei ω 0 = k/m und für seine Auslenkung x sowie das daraus resultierende Dipolmoment = ex gelte bei periodischer Anregung E(t) = Êeıωt die Schwingungsgleichung (erzwungene Schwingung ohne Dämpfung): m 2 x t 2 + kx = eêeıωt. Mit der Lösung für ˆx = eê m(ω 2 0 ω2 ) gilt dann wegen = ex = αe α = eˆx E = e 2 m(ω 2 0 ω2 ). Summiert man über die Z Elektronen des Atoms auf (verschiedene ω 0 ) und berücksichtigt dabei auch deren verschiedenen Oszillatorstärken f j, so dass Z f j = 1, j=1 16 Protokoll Optik-Praktikum

17 2 REFRAKTOMETRIE 2.3 Dispersionskurve ε δ min α 1 α 2 β 1 β 2 Abbildung 9: Symmetrischer Strahlengang im Prisma bei Minimalablenkung der Strahlen (Winkel δ 0 ). Dabei sind α 1 = α 2 = α und β 1 = β 2 = β. ergibt sich n 2 1 = dn dv α = dn dv ( ) e 2 Z m j=1 f j ω 2 j,0 ω2. Bei relativ dichten durchsichtigen Medien muss allerdings die gegenseitige Beeinflussung der atomaren Dipolfelder infolge der Oberflächenladungen berücksichtigt werden. D. h., betrachtet man eine Kugelschale um das Atom, so erzeugt die ebenfalls durch E außen polarisierte Umgebung im Inneren ein zusätzliches elektrisches Feld das Lorentz-Feld vom Betrag P/3ε 0. Folglich ist (8) auf P = ε 0 dn dv α ( P E + ) 3ε 0 = dn dv ε 0 Eα 1 dn dv zu erweitern bei gleichbleibendem α. Daher erhält man durch Koeffizientenvergleich aus (8) und (9) P = ε 0 (ε r 1) E = dn ε 0Eα dv und umgestellt dn dv α = 3(ε r 1) = 3(n2 1) ε r + 2 n 2 = dn + 2 dv 1 dn dv α 3 ( ) e 2 Z m j=1 α 3 (9) f j ω 2 j,0 ω2. Somit ergibt sich 3(n 2 1) 1 n ω0 2 (10) ω2 Die Brechzahl über die Wellenlänge aufgetragen ergibt die Dispersionskurve. Dabei findet man im Bereich des sichtbaren Lichtes für die meisten Gläser eine Zunahme der Brechzahl mit abnehmender Wellenlänge Durchführung Im Falle des Prismas ergibt sich für die Ein- und Ausfallswinkel (Abb. 9: α 1, α 2 ) auf den gegenüberliegenden brechenden Seiten mit Hilfe des Snelliusschen Brechungsgesetzes (7) sin α 1 = n sin β 1 und sin α 2 = n sin β 2 (11) Protokoll Optik-Praktikum 17

18 2.3 Dispersionskurve 2 REFRAKTOMETRIE Einkreisgoniometer mit Teilkreis δ min Lichtquelle teleskopisches System Prisma Fernrohr Zwischenbildebene (mit Fadenkreuz) Auge Abbildung 10: Aufbau eines Einkreisgoniometers (beim symmetrischen Strahlenverlauf durchs Prisma) wobei β 1, β 2 die zugehörigen Innenwinkel bezeichnet. Mit ε als brechenden Winkel folgt wegen ε = β 1 +β 2 : sin α 2 = n sin(ε β 1 ) = n sin ε cos β 1 n cos ε sin β 1 = n 2 sin 2 α 1 sin ε cos ε sin α 1 Die totale Ablenkung δ = α 1 β 1 + α 2 β 2 = α 1 + α 2 ε zwischen ein- und ausfallendem Strahl ist dann ) δ = α 1 + arcsin ( n 2 sin 2 α 1 sin ε cos ε sin α 1 ε Im Falle eines symmetrischen Strahlendurchganges (α 1 = α 2 = α) ist δ minimal und es gilt ε + δ min = α und β = ε 2 2 Damit kann man in (11) einsetzen und erhält die Beziehung ( ) ε + δmin sin = n sin ε 2 2. Nach n umgestellt erhält man eine Formel, mit der man n aus dem Brechungs- und dem Ablenkungswinkel bestimmen kann: n = sin ( ) ε+δ min 2 sin ε. (12) 2 18 Protokoll Optik-Praktikum

19 2 REFRAKTOMETRIE 2.3 Dispersionskurve Die Versuchsdurchführung gestaltet sich vergleichsweise einfach. Auf einem Drehtisch, der mit einem Einkreisgoniometer (Abb. 10) versehen ist, befindet sich der Probekörper. Dieser hat die Form eines Prismas. Das Licht einer bekannten Quelle in diesem Fall einer Quecksilber- und einer Cadmiumlampe wird durch einen Spalt möglichst parallel auf die brechende Seite des Prismas gelenkt. Mithilfe des Goniometers und eines daran befestigten Fernrohrs mit Fadenkreuz wird nun für jede einzelne Spektrallinie der minimale Ablenkungswinkel bestimmt. Dieser ist dadurch gekennzeichnet, dass er bei weiterer Drehung des Prismas scheinbar einen Umkehrpunkt bei der Bewegung der Linien darstellt. Wo genau dieser Umkehrpunkt liegt, ist leider nur subjektiv feststellbar. Zur Identifizierung der Spektrallinien verwendet man eine Tabelle mit Intensitätsangaben, die möglichst auf das Auge bezogen sein sollten. Schließlich bestimmt man mit derselben Apparatur noch die Größe des brechenden Winkels, indem man den Winkelabstand der reflektierten Spaltbilder misst Auswertung Aus dem minimalen Ablenkungswinkel δ min und dem Brechungswinkel ε des Prismas ergibt sich die zugehörige Brechzahl (12). Trägt man diese in Abhängigkeit von der Wellenlänge der betrachteten Spektrallinie auf, so erhält man die Dispersionskurven in Abbildung 11. Man sieht, dass die Dispersionskurven charakteristisch für jedes Material sind. Insbesondere ergibt sich für alle drei Kurven der Verlauf aus der Relation (10). Zum Vergleich ermittelt man per Interpolation die Brechzahl bei der Wellenlänge der Natrim-D-Linie. Dazu wird eine Polynom-Regression mittels Computer durchgeführt. Der Fehler wird mit Hilfe der Graphen und der Messwerte nach oben abgeschätzt (Literaturwerte aus [dlb98] dahinter): Glas n = 1, 5878 ± 0, 0014 Quarz n = 1, 4574 ± 0, 0009 (1,4584) NaCl n = 1, 5428 ± 0, 0019 (1,5442) Glas NaCl Quarz Abbildung 11: Die Dispersionskurven der drei untersuchten Prismen mit Messwerten. In den Diagrammen ist der Brechungsindex n über der Wellenlänge λ (in nm) aufgetragen. Dieses Verfahren ermöglicht zwar die Bestimmung der Brechzahl für viele verschiedene Wellenlängen im sichtbaren Bereich, ist aber nur mit durchsichtigen Festkörper-Prismen durchführbar. Darüber hinaus erfordert die Trennung der Spektrallinien eine möglichst hohe Brechzahl des verwendeten Prismen-Körpers. Protokoll Optik-Praktikum 19

20 3 LICHTGESCHWINDIGKEIT x Abbildung 12: Schematischer Aufbau zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit 3 Lichtgeschwindigkeit 3.1 Aufgaben Der Versuch besteht aus zwei Teilen: Mit Hilfe einer schnellgetakteten Leuchtdiode wird die Lichtgeschwindigkeit durch Bestimmung der Lichtlaufzeit auf einer Strecke von ca. 2 1, 50 m Länge direkt bestimmt. Zur Bestimmung der Brechzahl werden Wasser, Ethanol und CO 2 in einer Küvette in den Lichtweg gebracht und die Lichtgeschwindigkeit in diesen Medien bestimmt. 3.2 Grundlagen Alle klassische Methoden zur direkten terrestrischen Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit beruhen auf einem (möglicherweise viele Kilometer langen) Lichtweg l, den das Licht zweimal durchläuft, indem es von einem Umlenkspiegel wieder in Richtung Sender und Empfänger, die dicht beieinander liegen, zurückreflektiert wird (Abb. 12). Zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit c muss dann noch das zugehörige (sehr kleine) Zeitintervall t bestimmt werden, dann gilt c = 2 l t. Diese Zeitmessung wurde historisch zum Beispiel durch ein schnell rotierendes Zahnrad (Fizeau) bzw. durch einen schnell rotierenden Spiegel (Foucault) bewerkstelligt. Foucault wies mit dieser Methode auch zum ersten Mal nach, dass die Lichtgeschwindigkeit in brechenden Medien gewöhnlich kleiner ist als im Vakuum bzw. in Luft. 20 Protokoll Optik-Praktikum

21 3 LICHTGESCHWINDIGKEIT 3.3 Durchführung Bei diesem Versuch wurde t durch die Phasenverschiebung von Sinussignalen bestimmt. Dazu wurde das vom Sender (Leuchtdiode) emittierte Licht mit einer Sinusschwingung von 50, 1 MHz moduliert, und das vom Empfänger (Photodiode) empfangene Signal mit der ursprünglichen Modulationsspannung an einem Oszilloskop überlagert. Um ein gängiges Oszilloskop nutzen zu können, wurden die Frequenzen von einem Frequenzteiler jeweils um einen Faktor 1000 reduziert. Für die Versuchsdurchführung und Rechnung spielt diese Frequenzteilung jedoch keine Rolle. Bringt man den Umlenkspiegel nun in zwei verschiedene Stellungen mit Abstand l, so dass die Phasenverschiebung zwischen diesen Lichtwegen genau π beträgt, dann ist t = π/ω = 1 /2f, also c = 2 l t = 4 lf, wobei f die Modulationsfrequenz ist. Um die Lichtgeschwindigkeit (und damit den Brechungsindex) in einem Medium zu bestimmen, wird die 1 m lange Küvette mit Glasfenstern mit der Substanz, die natürlich flüssig oder gasförmig sein muss, befüllt und in den Lichtweg gebracht. Entfernt man die Küvette wieder, dann kann man durch verschieben des Umlenkspiegels (also durch verlängern des Lichtweges) um ein l den gleichen Phasenzustand wie mit der Küvette erreichen. Die Zeit t, die das Licht braucht, um diese 2 l in Luft zurückzulegen, ist genau die Zeit, die es für die Strecke im Medium länger braucht als durch die Luft: t = 2 l c = l Medium l Medium c Medium c = l Medium (n 1), c wobei l Medium der im Medium zurückgelegte Weg und c Medium = c/n die Lichtgeschwindigkeit im Medium sowie n der Brechungsindex des Mediums sind. Man erhält also für den Brechungsindex 3.3 Durchführung n = 2 l l Medium + 1 Zuerst wurde der Versuchsaufbau justiert, das heißt, die Linsen vor Sender und Empfänger sowie die Umkehrspiegel wurden so eingestellt, dass die über das Oszilloskop gemessene Intensität am Empfänger möglichst groß wurde. Diese Justage wurde außerdem an jedem Messpunkt wiederholt, da sie aufgrund von Ungenauigkeiten des Lichtwegs an jedem Punkt auf der optischen Bank verschieden ist. Eine hohe Strahlungsintensität oder ein empfindlicher Empfänger sind nötig, um den Fehler bei der Phasenbestimmung möglichst klein zu halten (s. Abschnitt 3.5 Fehlerquellen ). Für die Messungen wurde dann das Oszilloskop auf x-y-betrieb eingestellt, wobei an einem Kanal das Sender-, auf dem anderen das Empfängersignal lag. Für den ersten Teil des Versuchs wurde der Umkehrspiegel nahe an den Sender/Empfänger gebracht. Dann wurden mittels des Phasendrehknopfes am Betriebsgerät die beiden Signale auf eine Phasenverschiebung von 0 oder π gebracht, das heißt, auf dem Oszilloskopschirm war eine Gerade zu sehen. Nun wurde der Umlenkspiegel auf der optischen Bank vom Empfänger weg verschoben. Dabei änderte sich das Bild auf dem Schirm zu einer Ellipse, und bei weiterer Verschiebung wieder zu einer Geraden. Genau an diesem Punkt entspricht die Verschiebungsdistanz einer Phasenverschiebung von π. Der Verschiebungsabstand wurde zu l = 149, 7 cm bestimmt. Nun wurde der Spiegel so weit vom Empfänger weg verschoben, dass die Küvette auf zwei Halterungen zwischen Spiegel und Empfänger passte. Zuerst wurde eine mit Wasser, Ethanol bzw. CO 2 gefüllte Küvette aufgelegt und die Phase wieder auf 0 bzw. π gebracht. Dann wurde die Küvette gegen eine mit Luft gefüllte Küvette ausgetauscht, und der Spiegel nach hinten verschoben, bis wieder die ursprüngliche Phase eingestellt war. Auf diese Weise wurde die Verfälschung durch die Kunststofffenster der Küvetten ausgeschaltet. Es ergab sich bei Wasser und Ethanol ein Wegunterschied von l = 17, 5 cm, bei CO 2 konnte keine Verschiebung gegenüber Luft gemessen werden. Protokoll Optik-Praktikum 21

22 3.4 Ergebnisse 4 VERGLEICH DER METHODEN 3.4 Ergebnisse Nach der obigen Formel ergibt sich für ein l = 149, 7 cm mit der fest eingestellten Frequenz von f = 50, 1 MHz eine Lichtgeschwindigkeit von c = 2, m/s, bei einem Literaturwert von c Lit = 2, m/s ist das ein relativer Fehler von c/c = 0, 07 %, eine erstaunlich gute, wohl zufällige Übereinstimmung. Dass die obige Genauigkeit bei der Lichtgeschwindigkeit ein reproduzierbares Ergebnis, also nicht nur eine zufällig gute Übereinstimmung ist, scheint durch die Ergebnisse bei der Brechzahlbestimmung eher unwahrscheinlich. Denn obwohl die Brechzahlen von Ethanol (1,36) und Wasser (1,33) um mehr als 2 % auseinanderliegen, war eine Phasenverschiebung zwischen beiden nicht nachweisbar. Es ergibt sich bei einer Verschiebung von l = 17, 5 cm und einer Küvettenlänge (ohne Fenster) von l Medium = 98, 4 cm bei beiden eine Brechzahl von n = 1, 356 (ein Fehler von 2 % bei Wasser und 0,3 % bei Ethanol). Ebenso war eine von 1 verschiedene Brechzahl bei CO 2 nicht nachzuweisen, was verständlich ist, da die Brechzahldifferenz von Luft und CO 2 weniger als 0,0002 beträgt. 3.5 Fehlerquellen Die Hauptfehlerquelle bei dieser Methode besteht bei der genauen Bestimmung der Phase. Aufgrund eines internen Übersprechens ist dem Empfängersignal eine Störspannung U S überlagert. Dadurch wird die Lissajous-Figur auf dem Oszilloskopschirm nie eine echte Gerade, und man muss die geraden-nächste Form erraten. Der maximale relative Fehler der Spannung und damit auch der gemessenen Lichtgeschwindigkeit ist S U 2 U Signal. Die Ungenauigkeit in der Längenbestimmung beträgt dann einige Millimeter bis zu 1 cm. Dies erklärt auch teilweise den größeren Fehler der Brechzahlen, da die Flüssigkeiten Licht zusätzlich absorbieren und streuen, so dass das obige Verhältnis noch ungünstiger wird. Dieser Fehler wird durch eine sorgfältige Justage, auch bei den einzelnen Messpunkten, minimiert, da hierdurch die Signalamplitude U Signal maximiert wird. Andere Fehlerquellen wie Frequenz- und Längenmaßstabsungenauigkeit sind demgegenüber vernachlässigbar. Eine Verkleinerung der Ungenauigkeit bei dieser Messung ist wohl nur durch eine Erhöhung der Lichtintensität und damit der Signalspannung möglich, da eine Verlängerung des Lichtweges (z.b. auf 3 m) zwar die relative Ungenauigkeit in der Längenbestimmung reduziert, aber dadurch gleichzeitig die Lichtintensität am Empfänger reduziert wird, so dass die Störspannung den Fehler wieder erhöht. 3.6 Begrenzungen der Methode in Bezug auf die Brechzahlbestimmung Mit dieser Methode lassen sich natürlich nur Brechzahlen von Stoffen bestimmen, die in ausreichender Menge vorhanden sind, da man einen Lichtlaufweg im Medium von mindestens 1 m braucht. Für Flüssigkeiten und Gase ist das erforderliche Volumen etwa 2 Liter. Man sieht außerdem, dass man mit Unsicherheiten im Prozentbereich rechnen muss. Diese Methode ist also für praktische Zwecke kaum geeignet, erlaubt allerdings im Gegensatz zu allen anderen Verfahren den direkten Nachweis des Zusammenhangs zwischen Brechzahl und Lichtgeschwindigkeit im Medium. 4 Vergleich der Methoden Zum Vergleich muss erst einmal klargestellt werden, was denn genau mit der jeweiligen Methode gemessen wurde (Wellenlängenabhängigkeit und Aggregatzustände), da diese Bedingungen schon eine große Einschränkung der Methode darstellen können: 22 Protokoll Optik-Praktikum