FP-Versuch E112 Zeeman- und Paschen-Back-Effekt

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1 FP-Versuch E112 Zeeman- und Paschen-Back-Effekt Martin Urban, Philipp Wilking 17. Oktober 2007 In diesem Versuch soll das Verhalten von Atomen im äußeren Magnetfeld beobachtet werden. Wir messen die Zeeman-Aufspaltung bei vier Linien im Cadmiumspektrum und die Paschen-Back-Aufspaltung einer Helium-Linie und bestimmen aus den gemessenen Daten das Bohrsche Magneton µ B sowie die spezifische Ladung e m. 1

2 INHALTSVERZEICHNIS 2 Inhaltsverzeichnis I Theorie 3 I.1 Atome im äußeren Magnetfeld I.1.1 Zeeman-Effekt I.1.2 Paschen-Back-Effekt I.2 Beobachtete Übergänge I.2.1 Auswahlregeln I.2.2 Polarisation I.2.3 Übergänge beim Cadmium I.2.4 Übergänge beim Helium I.2.5 Nichtauflösbare Linien I.3 Optische Geräte I.3.1 Lummer-Gehrcke-Platte I.3.2 Fabry-Perot-Interferometer II Versuchsdurchführung und -auswertung 11 II.1 Zeeman-Effekt II.1.1 Versuchsaufbau II.1.2 Magnetfeldeichung II.1.3 Messung der Zeeman-Aufspaltung bei Cd II.1.4 Bestimmen des Bohrschen Magnetons µ B II.1.5 Auflösungsvermögen der Lummer-Gehrcke-Platte II.2 Paschen-Back-Effekt II.2.1 Versuchsaufbau II.2.2 Magnetfeldeichung II.2.3 Messung der Paschen-Back-Aufspaltung bei He II.2.4 Bestimmen der spezifischen Ladung e m III Résumé 16 IV Anhang 16 IV.1 Tabellen IV.2 Graphen

3 I THEORIE 3 I Theorie I.1 Atome im äußeren Magnetfeld In einem äußeren Magnetfeld wird die m-entartung aufgehoben, wodurch eine Aufspaltung der Energieniveaus zu beobachten ist. Die genaue Art der Aufspaltung hängt von der relativen Stärke des Magnetfelds (im Vergleich zu typischen Spin-Bahn-Kopplungsenergien) ab: Bei schwachen Magnetfeldern tritt der sogenannte Zeeman-Effekt auf, bei starken der Paschen-Back-Effekt. Da die Spin-Bahn-Kopplung mit der Kernladungszahl Z zunimmt, tritt der Paschen-Back-Effekt bei leichten Elementen schon bei niedrigeren Magnetfeldern ein als bei schwereren Elementen; aus diesem Grund verwenden wir für die beiden Versuchsteile verschiedene Gaslampen Das Übergangsgebiet zwischen beiden Effekten ist sowohl experimentell als auch theoretisch schwer zu erfassen und soll hier nicht behandelt werden. Die Linienaufspaltung kann störungstheoretisch mithilfe des Gesamt-Hamilton- Operators H = H 0 + V LS + V B behandelt werden, wobei V LS den Spin-Bahn-Kopplungsterm und V B = µ B den Wechselwirkungsterm bezeichnen. I.1.1 Zeeman-Effekt Für ein relativ schwaches Magnetfeld (d.h. V LS V B ) spricht man vom Zeeman-Effekt. Hier ergibt die Rechnung, dass der Gesamtdrehimpuls J = L + S ein Präzessionsbewegung um das B-Feld ausführt, während gleichzeitig Bahndrehimpuls L und Spin S um J präzedieren, entsprechendes gilt für die zugehörigen magnetischen Momente (vergleiche Abbildung??). Der Erwartungswert des Störpotenzials ist wobei µ B = e 2m e V B = E B = µ B g J m J B, das Bohrsche Magneton und g J = 1 + J(J + 1) L(L + 1) + S(S + 1) 2J(J + 1) den Landé-Faktor bezeichnen. Für den Fall S = 0 und somit J = L spricht man vom normalen Zeeman-Effekt, sonst vom anormalen (diese historischen

4 I THEORIE 4 Bezeichnungen sind leicht irreführend, da eigentlich der normale Zeeman- Effekt lediglich ein Spezialfall ist). Im Versuch messen wir die Energieverschiebung beim Übergang zwischen zwei Niveaus, für diese gilt also E = E B E B = (m J g J m Jg J) µ B B = hν, wobei ν die Frequenz des ausgestrahlten Photons ist. I.1.2 Paschen-Back-Effekt Ist das Magnetfeld stark (V LS V B ), so ist die Spin-Bahn-Kopplung aufgehoben es macht nun keinen Sinn mehr, vom Gesamtdrehimpulsvektor J zu sprechen, Spin und Bahndrehimpuls präzedieren unabhängig voneinander um das Magnetfeld (siehe Abbildung??). Hier ergibt die Rechnung V B = E B = (g L m L + g S m S ) µ B B mit g L = g(s = 0) = 1 und g S = g(l = 0) = 2. Somit ist die Energieverschiebung E = ( m L + 2 m S ) µ B B = hν. (1) I.2 Beobachtete Übergänge I.2.1 Auswahlregeln Beim Übergang zwischen zwei Niveaus wird die überschüssige Energie in Form eines Photons abgegeben. Da dieses einen Drehimpuls von ±1 mitnimmt, folgt aus der Drehimpulserhaltung, dass es für optische Übergänge gewisse Auswahlregeln gibt: I.2.2 L = ±1 J = 0, ±1 m J = 0, ±1, wobei m J = 0 für J = 0 m S = 0 m L = 0, ±1 Polarisation Das bei einem Übergang ausgesandte Photon weist eine von m abhängige Polarisation auf: Bei Beobachtung transversal zur Magnetfeldrichtung sind drei Linien zu erkennen, wobei die äußeren sogenannten σ ± -Linien den Übergängen mit m = ±1 entsprechen und eine lineare, senkrechte Polarisation aufweisen. Die mittlere unverschobene sogenannte π-linie ist ebenfalls linear

5 I THEORIE 5 polarisiert, allerdings waagerecht. Bei longitudinaler Beobachtungsrichtung ist die π-linie nicht zu sehen und die σ-linien weisen zirkulare Polarisation auf, und zwar (bei Beobachtung in Feldrichtung) rechtszirkulare für die σ + - und linkszirkulare für die σ -Linie (vergleiche Abbildung??). Um diese Polarisationsrichtungen zu verstehen, kann man (wie z.b. in [3] erläutert) ein oszillierendes Elektrons in drei Ersatzoszillatoren zerlegen, von denen einer linear parallel zum Magnetfeld und zwei entgegengesetzt zirkular und senkrecht zum Feld schwingen So lassen sich mithilfe der Dipolabstrahlcharakteristik sowohl die Polarisation der abgegebenen Photonen als auch die fehlende π-linie bei longitudinaler Beobachtung erklären. I.2.3 Übergänge beim Cadmium Im ersten Versuchsteil wird der Zeeman-Effekt untersucht. Hierzu wird die Aufspaltung von vier Cadmium-Linien beobachtet, die den Übergängen 5 1 D P S S S P S P 0 entsprechen. In Abbildung 1 ist der normale (Gesamtspin gleich 0) Zeeman- Effekt anhand der roten Linie zu sehen. Der Landé-Faktor g j = 1 und da man für die verschiedenen übergänge mit gleichem m j eine Spektrallienie bekommt, erwartet man insgeammt drei Linien, die allerdings eine unterschiedliche Polarisation aufweisen. Ihre Energie, also Frequenz, nimmt mit größerem m j zu (σ + ist höherenergetischer als σ ). Das Übergangsschema der grünen Linie ist in Abbildung 2 zu sehen. Der Gesamtspin ist nicht gleich 0, es liegt der anormale Zeemaneffekt vor. Es ergeben sich die Landé- Faktoren g J1 = 2 und g J2 = 3 für die jeweiligen Energien. Da sich für die 2 verschieden Übergänge unterschiedliche Energien ergeben, erwarten wir eine Aufspaltung in neun Linien. Für die blaue Linie (siehe Abbildung 3 ist ebenfalls g J1 = 2 und g J2 = 3. Da es sechs mögche Übergänge gibt, ergibt 2 sich ein Spektrum mit einer Aufspaltung in 6 Linien. Abbildung 4 zeigt die Aufspaltung der violetten Linie. Es ist g j = 2 und es ergeben sich drei Linien in der Aufspaltung.

6 I THEORIE 6 Abbildung 1: Aufspaltung der roten Cd-Linie Abbildung 2: Aufspaltung der grünen Cd-Linie

7 I THEORIE 7 Abbildung 3: Aufspaltung der blauen Cd-Linie Abbildung 4: Aufspaltung der violetten Cd-Linie

8 I THEORIE 8 Abbildung 5: Aufspaltung der gelben He-Linie I.2.4 Übergänge beim Helium Im zweiten Versuchsteil weisen wir den Paschen-Back-Effekt anhand der Aufspaltung der gelben Helium-Linie nach. Es ist der 2 1 P S 0 Übergang. Wir erwarten drei Linien im Spektrum, da der Grundzustand unaufgespalten ist (siehe Abbildung 5). Die Energieverschiebung ist beim Paschen-Back-Effekt allerdings durch die Änderung von m L und nicht m J gegeben. Sie berechnet sich nach Formel 1. I.2.5 Nichtauflösbare Linien Nicht alle der beobachteten Linien sind mit den verwendeten optischen Geräten auflösbar, für nicht aufgelöste Linien müssen wir den Linienschwerpunkt ermitteln: Dieser ergibt sich durch gewichtete Mittelung aller beitragenden Übergänge, wobei die Gewichtungsfaktoren die Quadrate der (tabellierten) Clebsch-Gordan-Koeffizienten Cm JJ J m sind. J Definieren wir G gemäß (m J g J m J G := g J ) für aufgelöste Übergänge bzw. ) 2 (mj g J m J g J (C ) JJ m J m für nichtaufgelöste Übergänge, J so können wir die Energieaufspaltung immer als E = G µ B B (2)

9 I THEORIE 9 schreiben. I.3 Optische Geräte I.3.1 Lummer-Gehrcke-Platte Im ersten Versuchsteil verwenden wir eine Lummer-Gehrcke-Platte als Interferometer. Diese besteht aus einer Glasplatte mit parallelen Grenzflächen, in die das Licht durch ein Prisma eingekoppelt wird. Durch Totalreflexion gelangt es in die Glasplatte, an deren Seitenflächen Vielfachreflexion stattfindet. Dabei wird jedes Mal ein kleiner Teil des Lichts transmittiert; es treten also viele parallele Strahlen aus, zwischen denen Interferenz stattfindet. Aus dem Gangunterschied s ergibt sich die Bedingung für konstruktive Interferenz (zur Erläuterung der Bezeichungen siehe Abbildung??) s = 2a b = n 2d 2d sin α tan ɛ cos ɛ = 2d n 2 sin 2 α 2d n 2 1! = m λ wobei das Brechungsgesetz sin α sin ɛ = n verwendet sowie im letzten Schritt α 90 genähert wurde. Das Licht verschiedener Wellenlängen λ und λ + λ ist nicht mehr zu trennen, wenn das k-te Maximum von λ mit dem (k + 1)-ten von λ + λ zusammenfällt dann gilt für den sogenannten Dispersionsbereich λ = λ2 2d 1 n2 1. Bezeichnen wir nun den Winkelabstand benachbarter Ordnungen mit α und den zur Linienaufspaltung δλ gehörigen Winkelabstand mit δα, so lässt sich die Relation δλ λ = δα (3) α

10 I THEORIE 10 zeigen. Nun können wir die Energiedifferenz der Linienaufspaltung mit Interferometergrößen in Beziehung setzen und erhalten E = h δν = h (3) = h = c λ 2 δλ c δα λ 2 α λ hc 2d n 2 1 δα α. (4) Das Auflösungsvermögen der Lummer-Gehrcke-Platte ergibt sich zu A = λ δλ = L λ (n 2 1 ) ; es steigt also mit der Länge L der Platte, da für größeres L mehr interferierende Strahlen austreten. I.3.2 Fabry-Perot-Interferometer Das im zweiten Versuchsteil verwendete Fabry-Perot-Interferometer funktioniert ähnlich wie die Lummer-Gehrcke-Platte: Licht trifft fast senkrecht auf zwei parallele halbdurchlässige Glasplatten und wird zwischen diesen mehrfach hin- und herreflektiert (siehe Abbildung??). Da jedes Mal ein geringer Anteil transmittiert wird, tritt auch hier wieder ein Bündel paralleler Strahlen aus für den Gangunterschied benachbarter Strahlen gilt s = 2d cos α! = m λ. Da Gleichung (3) auch hier gilt, ergibt sich für die Energiedifferenz der Linienaufspaltung E = h δν = hc 2d δα α, (5) wobei wir cos α 1 angenähert haben.

11 II VERSUCHSDURCHFÜHRUNG UND -AUSWERTUNG 11 Abbildung 6: Versuchsaufbau Zeeman-Effekt II Versuchsdurchführung und -auswertung II.1 II.1.1 Zeeman-Effekt Versuchsaufbau Zur Messung der Zeeman-Aufspaltung betrachten wir vier verschiedene Linien des Cadmiumspektrums. Die Cd-Lampe wird ins homogene Magnetfeld zwischen zwei Polschuhen platziert, mit unterschiedlichen Farbfiltern blenden wir jeweils alle Linien bis auf die gewünschte aus. Als Interferometer verwenden wir eine Lummer-Gehrcke-Platte, deren Interferenzbild mit einem Fernrohr betrachtet wird. Da wir nur in transversaler Richtung beobachten, sind alle aufgespalteten Linien linear polarisiert und wir können mit einem Polfilter die ungewünschten ausblenden. Der Aufbau ist schematisch in Abbildung 6 gezeigt.

12 II VERSUCHSDURCHFÜHRUNG UND -AUSWERTUNG 12 II.1.2 Magnetfeldeichung Zunächst bestimmen wir den Zusammenhang zwischen Spulenstrom und Magnetfeld. Dieses wird mit einer Hallsonde gemessen, wobei der Zusammenhang zwischen Hallspannung und Feldstärke laut [2] durch B = 0, T SkT U H gegeben ist. Für die Eichung entfernen wir die Lampe aus dem Magnetfeld (was wir zunächst vergessen haben), da die Metallteile der Lampe die Messung beeinflussen, und messen das Magnetfeld in auf- und absteigender Richtung durch, um eventuelle Hystereseeffekte auszugleichen. Die Messwerte sind in Tabelle?? zu sehen, der zugehörige Graph in Abbildung 8. Man erkennt, dass aufgrund von Sättigungseffekten ein linearer Zusammenhang zwischen Spulenstrom und Magnetfeld nicht überall gegeben ist; wir haben deshalb ein Polynom vierten Grades gefittet (Fitparameter siehe Tabelle??). Als Fehler auf die zu fittenden Werte haben wir Ableseungenauigkeiten von I = 0, 25 A bzw. U H = 1 SkT (wodurch sich der Fehler auf B laut Gaußscher Fehlerfortpflanzung zu B = 0, 01 T ergibt) angenommen. II.1.3 Messung der Zeeman-Aufspaltung bei Cd In diesem Versuchsteil ist die Apparatur bereits vorjustiert, wir mussten lediglich den Farbfilter einsetzen und den Polarisationsfilter so einstellen, dass die horizontal polarisierte π-linie zur erhöhten Übersichtlichkeit ausgeblendet wird. Das Magnetfeld stellen wir so ein, dass die σ-linien äquidistant sind dann gilt für das Verhältnis von Linienaufspaltung δα zu Winkelabstand der Ordnungen α genau δα = 1 (vergleiche Abbildung α 4??)1. Für die grüne und blaue Linie konnten wir die entarteten σ + - bzw. σ -Linien nicht auflösen und haben deshalb für die weitere Auswertung den (wie im Theorieteil erläutert durch Clebsch-Gordan-Koeffizienten bestimmten) Linienschwerpunkt verwendet. Die Messwerte stehen in Tabelle??, wobei wir den Fehler auf B wie in [2] erläutert zu B = 0, 02 T abgeschätzt haben. Dieser Fehler stammt aus der Inhomogenität im Raumgebiet der Lampe es macht hier wenig Sinn, den Fehler durch Gaußsche Fortpflanzung der Fitfehler zu berechnet, da dieser dann bei hohen Strömen unrealistisch groß würde (wegen des polynomiellen Zusammenhangs ginge I in die Fehlerformel in erster, zweiter und dritter Potenz ein). Wegen der subjektiven Einstellung hat jeder 1 Alternativ könnte man die Linien zweier Ordnungen zusammenlaufen lassen, dann wäre δα α = 1 2. Dies war allerdings im Versuch nicht möglich, da wir kein hinreichend großes Magnetfeld erzeugen konnten.

13 II VERSUCHSDURCHFÜHRUNG UND -AUSWERTUNG 13 von uns jede Messung zweimal durchgeführt; die eingestellten Stromstärken haben wir gemittelt und deren Standardabweichung als Fehler angenommen. II.1.4 Bestimmen des Bohrschen Magnetons µ B Aus der Messung können wir nun das Bohrsche Magneton gemäß bestimmen. Laut Gleichung (4) und (2) ergibt sich µ B = hc 2d n GB δα α. Für den Fehler erhalten wir laut Gaußscher Fehlerfortpflanzung (( µ B = δα ) ) 2 ( ξ ξ + B α GB GB δα ) 2, 2 α wobei wir hc ξ := 2d n 2 1 definiert haben. Mit den Daten der Lummer-Gehrcke-Platte (d = 4, 04 mm und n = 1, 4567, aus [2]) sowie δα = 1 ± 10 % erhalten wir die Werte in α 4 Tabelle??. Mitteln wir diese fehlergewichtet, so ergibt sich als Endresultat µ B = (1, 04 ± 0, 12) Am 2, was innerhalb der Fehlergrenzen mit dem Literaturwert µ B = 0, Am 2 (aus [3]) übereinstimmt. Unsere Werte sind allesamt zu groß, es scheint also außer den (offenbar sinnvoll abgeschätzten) erwähnten Fehlern weitere systematische Fehlerquellen zu geben, denkbar wäre beispielsweise eine ungenaue Magnetfeldeichung. II.1.5 Auflösungsvermögen der Lummer-Gehrcke-Platte Um das Auflösungsvermögen der Lummer-Gehrcke-Platte zu bestimmen, wird das Magnetfeld so eingestellt, dass die roten σ-linien gerade aufgelöst sind. Auch diese Einstellung haben wir mehrmals vorgenommen (Messwerte siehe Tabelle??). Das Auflösungsvermögen errechnet sich gemäß mit zugehörigem Fehler A = hc λµ B GB A = B hc λµ B GB 2.

14 II VERSUCHSDURCHFÜHRUNG UND -AUSWERTUNG 14 Mit den Daten der Lummer-Gehrcke-Platte, λ = 644, 027 nm, G = 1 sowie dem Literaturwert für µ B erhalten wir A = ± Dies ist deutlich schlechter als der theoretisch errechnete Wert von A = dies war aber zu erwarten, da ja auch das Fernrohr ein begrenztes Auflösungsvermögen hat, was in der Rechnung nicht bedacht wurde. II.2 II.2.1 Paschen-Back-Effekt Versuchsaufbau Der Versuchsaufbau ist ähnlich wie im ersten Versuchsteil, allerdings sind diesmal die Polschuhe des Magneten durchbohrt, um eine Messung in longitudinaler Richtung zum ermöglichen. Statt der Lummer-Gehrcke-Platte verwenden wir diesmal ein Fabry-Perot-Interferometer, das auch schon justiert ist. Wir müssen lediglich die anderen optischen Elemente auf dem Reiter anordnen und justieren, wobei wir in longitudinaler Richtung zusätzlich zum Polfilter ein λ -Plättchen benötigen, da hier die σ-linien zirkular polarisiert 4 sind. Zur Justierung der Apparatur verwenden wir zunächst wieder eine Cd-Lampe, da die He-Lampe immer nur für zwei Minuten betrieben werden darf und dann abkühlen muss. Eine Übersicht über den Aufbau ist ein Abbildung 7 zu sehen. II.2.2 Magnetfeldeichung Wie im ersten Versuchsteil wird zunächst die Magnetfeldeichung durchgeführt, wozu wir dieselbe Hallsonde verwenden. Die Messwerte und Fitparameter stehen in Tabellen?? und??, der Graph ist in Abbildung 9 zu sehen. Auch hier war ein Polynom vierten Grades ausreichend. II.2.3 Messung der Paschen-Back-Aufspaltung bei He Wir betrachten nacheinander in transversaler und horizontaler Richtung die (vom dem Gelbfilter durchgelassene) 584 nm-linie des Heliums. Da sonst die Lampe schon vor einer deutliches Linienaufspaltung ausging, mussten wir Betriebsspannung der Lampe auf 150 V erhöhen. In transversaler Richtung sind wieder zwei vertikal polarisierte σ-linien sowie die horizontal polarisierte π-linie zu sehen, die wir für die Messung mithilfe des Polfilters ausblenden. In longitudinaler Richtung taucht die π-linie nicht

15 II VERSUCHSDURCHFÜHRUNG UND -AUSWERTUNG 15 Abbildung 7: Versuchsaufbau Paschen-Back-Effekt auf und die beiden σ-linien sind zirkular polarisiert. Um die Polarisation zu untersuchen, drehen wir (bei fest eingestelltem Polfilter) am λ-plättchen. 4 Wir stellen fest, dass bei 45 nur die innere Linie und bei +45 nur die äußere zu sehen ist; da die energiereichere Linie stärker abgelenkt wird, muss sie die äußere sein. Somit ist in unserem Fall die (äußere) σ + -Linie rechtszirkular und die (innere) σ -Linie linkszirkular polarisiert, wir beobachten somit in Feldrichtung. Wie im ersten Teil stellen wir nun das Verhältnis δα auf 1 ein, auch diese α 4 Messung wird (für transversale und longitudinale Richtung) mehrmals durchgeführt, die Messwerte stehen in Tabelle??. II.2.4 Bestimmen der spezifischen Ladung e m Aus den eingestellten Magnetfeldstärken berechnen wir die spezifische Ladung (aus Gleichungen (5) und (1)) gemäß mit zugehörigem Fehler (( e m = δα ) α e m = 2 µ B = ) 2 ( ζ + d δα db α 2πc d m L 1 B δα α ) 2 ( ζ + B δα d 2 B α ) 2 ζ, db 2

16 III RÉSUMÉ 16 wobei wir ζ = 2πc m L definiert haben. Mit δα = 1 ± 10 % und d = (8, 000 ± 0, 005) mm (aus [1]) α 4 erhalten wir die Werte in Tabelle??. Mitteln wir die Resultate für longitudinale und transversale Richtung fehlergewichtet, so erhalten wir unser Endergebnis e m = (1, 69 ± 0, 20) C 1011 kg. e Der Literaturwert liegt bei = 1, 7588 m 1011 C, was in den Fehlergrenzen kg unseres Wertes liegt. III Résumé Der Versuch zeigt eindrucksvoll die Linienaufspaltung bei Atomen im äußeren Magnetfeld. Trotz der teilweise sehr subjektiven Einstellungen passen alle bestimmten Größen zu den Literaturwerten, der Versuch war also ein voller Erfolg. IV IV.1 IV.2 Anhang Tabellen Graphen

17 IV ANHANG Fehler Fit Magnetfeldeichung Zeeman-Effekt B [T] I [A] Abbildung 8: Magnetfeldeichung Zeeman-Effekt 0.7 Fehler Fit Magnetfeldeichung Paschen-Back-Effekt B [T] I [A] Abbildung 9: Magnetfeldeichung Paschen-Back-Effekt

18 LITERATUR 18 Literatur [1] Versuchsbeschreibungen Physikalisches Praktikum für Fortgeschrittene Teil I [2] Staatsexamensarbeit Optische Untersuchungen von Atomen im magnetischen Feld, K. Weber [3] Haken, Wolf: Atom- und Quantenphysik, Berlin 2004 [4] T. Mayer-Kuckuk: Atomphysik, Stuttgart 1997 [5] [6] gnuplot tips: not so Frequently Asked Questions