Verkettungen von optimalen algebraischen und sphärischen Codes bei Coderate 1/2
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- Heinz Bäcker
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1 Verkettungen von optimalen algebraischen und sphärischen Codes bei Coderate 1/2 Dejan E. Lazic Technische Universität Chemnitz-Zwickau, Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik, Institut für Informationstechnik, D Chemnitz Frank Pählke, Thomas Beth Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme, Am Fasanengarten 5, D Karlsruhe 3. März 1998 Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme
2 Motivation Vorherrschend bei der Kanalcodierung sind binäre Codes mit BPSK-Modulation. Nachteile: Beschränkung der Gesamtcoderate auf R < 1 Beste binäre Codes (Turbo-Codes) sind sehr lang (N = ). Problem: Verzögerung. Vorteile mehrwertiger Codes: RS-Codes sind als äußere Codes asymptotisch optimal (theoretisch bewiesen). auch Gesamtcoderate R 1möglich bei gleicher Länge und Coderate größeres Korrekturvermögen aufgrund größerer Minimaldistanz Aber: Soft-decision-Decodierung ist schwierig bis unmöglich, denn der Viterbi-Algorithmus scheidet wegen Komplexität O(Q N K ) aus. Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 1
3 Struktur der untersuchten Codeverkettungen Quelle GF (Q)? RS-/BCH-Encoder GF (Q)? sphärischer Encoder (Modulator)? IRn AWGN-Kanal? IRn sphärischer Decoder (Demodulator) GF (Q)? RS-/BCH-Decoder (Berkekamp-Massey)? Senke GF (Q) Sphärischer Code S: x S: x =1 m= S = Q m 256 n 15 Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 2
4 Parameter der untersuchten Codeverkettungen Äußerer (algebraischer) Code: Coderate R = K N ld Q Normalisierte Coderate R = K N Innerer (sphärischer) Code: Mächtigkeit m = Q 256 Coderate r = ld Q n ( 1 2, 1] Normalisierte Coderate r = 1 n Gesamte Codeverkettung: Codelänge N = N n Coderate R = R r = K N ld Q n 1 2 Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 3
5 Verwendete Decodierverfahren Äußerer (algebraischer) Code: hard-decision-decodierung mit Hilfe des Berlekamp-Massey-Algorithmus Kandidatenlisten -Decodierung (an den vom sphärischen Decoder als besonders unzuverlässig erkannten Positionen werden mehrere alternative Symbole durchprobiert) GMD-Decodierung (Algorithmus von Taipale und Pursley) Innerer (sphärischer) Code: Maximum-Likelihood-Decodierung durch vollständige Suche, optional Weitergabe von soft-decision- Information an den äußeren Decoder Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 4
6 Ergebnisse Bei vergleichbarer Performance haben Verkettungen mit RS-Codes eine kürzere Gesamtlänge, mit BCH- Codes ein kleineres Symbolalphabet. Beste erreichte Performance: dB bei hard-decision-decodierung Beste Verkettungen: Q = 256, N 3000 (RS) Q = 64,N (BCH) Größtes Problem: Fehlen eines effizienten Verfahrens zur gemeinsamen soft-decision-decodierung des inneren und äußeren Codes GMD-Decodierung des äußeren Codes bringt bei den betrachteten Codeverkettungen (relativ große Coderate des inneren Codes) keine, Kandidatenlisten- Decodierung nur geringfügige Vorteile. Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 5
7 Erklärung der Ergebnisse Asymptotisch (n ) gilt für optimale Codes: SER =2 ne(r)+o(n) (E(r) =Fehlerexponent) Aber: Für kleine Codelängen n und kleines E b /N 0 steigt die SER mit wachsendem n, und kein Code mit n 8 und r>1/2erreicht bei E b /N 0 3dB die SER einer einfachen BPSK-Modulation! Hinzu kommt: Je größer n ist, desto kürzer muß (bei gleicher Gesamtlänge N )der äußere Code sein. Dieser kürzere Code muß also mehr Fehler korrigieren als ein binärer Code gleicher Rate. Die Hamming-Minimaldistanz D H,min ist bei mehrwertigen Codes zwar größer, aber dies macht die genannten Nachteile nicht wett. Fazit: Bei praktisch handhabbaren inneren Codes (n 8) ist keine Verbesserung gegenüber binären Codes mit BPSK-Modulation zu erwarten. Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 6
8 Ausblick Derzeit untersucht: soft-decision-decodierung von RS- und BCH-Codes Idee: Modifiziere den Code derart, daß eine sequentielle Decodierung möglich wird. Nachteil: Die Minimaldistanz D H,min wird durch die Modifikationen geringer. Weitere Ansätze: Verkettungen mit Interleaving, Produktcodes, iterative Decodierung Größtes Problem: bei sequentieller Decodierung kein soft output (nötig für iterative Decodierung) bisher keine nennenswerten Erfolge Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 7
9 2.5 Kapazität eines AWGN-Kanals nach Shannon 2 allgemein für mehrwertige Codes 1.5 Rc 1 für binäre Codes mit BPSK-Modulation E b /N 0 [db] Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 8
10 1 0.1 Symbolfehlerrate für sphärische Codes mit r =1 n=8 n=7 n=6 n=5 n=4 n=3 n=2 n=1 SER E b /N 0 [db] Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 9
11 Die besten untersuchten Codes innerer Code äußerer Code Gesamtcode Bezeichnung min N K D H,min N R b /N 0 [db] für E m n d BER =10 5 R R R R B B B B Für jeden Wert von m = Q enthält die obige Tabelle die beste untersuchte Verkettung mit einem RS-Code(R1,...,R4)und die beste untersuchte Verkettung mit einem BCH- Code (B1,...,B4). Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 10
12 7 Codeperformance in Abhängigkeit von der Länge des inneren Codes 6.5 R1 E b /N 0 [db] für BER = B1 B2 R2 B3 R3 3.5 B4 R Codelänge n Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 11
13 7 Codeperformance in Abhängigkeit von der Länge des äußeren Codes 6.5 E b /N 0 [db] für BER = R1 R2 R3 B3 B1 B2 3.5 R4 B Codelänge N Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 12
14 7 Codeperformance in Abhängigkeit von der Gesamtlänge 6.5 R1 E b /N 0 [db] für BER = R2 R3 B3 B1 B2 3.5 R4 B Codelänge N = N n Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 13
15 Codeperformance in Abhängigkeit von der Mächtigkeit des Alphabets E b /N 0 [db] für BER = B1 R1 B2 R2 B3 R3 3.5 B4 R Mächtigkeit m = Q Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 14
16 Anordnung der Seiten Universität Karlsruhe, Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme 15
Verkettungen von optimalen algebraischen und sphärischen Codes bei Coderate 1/2
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