Digitale Signalverarbeitung

Transkript

1 Daniel Ch. von Grünigen Digitale Signalverarbeitung Bausteine, Systeme, Anwendungen PRINT & MEDIA

2 Daniel Ch. von Grünigen Digitale Signalverarbeitung Bausteine, Systeme, Anwendungen Enthält 221 Bilder, 99 Beispiele und 64 Aufgaben Lösungen, Analyse-, Entwurfs- und Simulationsprogramme auf PRINT & MEDIA

3 Prof. Dr. sc. techn. ETH Daniel Ch. von Grünigen lehrt Elektrotechnik und Digitale Signalverarbeitung an der Berner Fachhochschule, Departement für Technik und Informatik Burgdorf Alle in diesem Buch enthaltenen Programme, Verfahren und Systeme wurden nach bestem Wissen erstellt und mit Sorgfalt getestet. Dennoch sind Fehler nicht ganz auszuschliessen. Aus diesem Grund ist das im vorliegenden Buch enthaltene Programm- Material mit keiner Verpflichtung oder Garantie irgendeiner Art verbunden. Autor und Verlag übernehmen infolgedessen keine Verantwortung und werden keine daraus folgende oder sonstige Haftung übernehmen, die auf irgendeine Art aus der Benutzung dieses Programm-Materials oder Teilen davon entsteht. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. ISBN Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdruckes und der Vervielfältigung des Buches, oder Teilen daraus, sind vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung mit Ausnahme der in den 53, 54 URG genannten Sonderfälle, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Verlag Fotorotar Print und Media AG 28 Fotorotar Print und Media AG Internet: Herstellung: Satz: Daniel von Grünigen Produktion der DSP-Programme: Ivo Oesch (dipl. El. Ing. FH) Covergestaltung: Beaterice Roos Druck und Bindung: Fotorotar Print und Media AG Printed in Switzerland

4 Vorwort Die d igitale S ignalv erarbeitung (DSV) ist eine moderne und hochaktuelle Disziplin der Informationstechnik. Dies zeigt sich in der umfangreichen Literatur, die zu diesem Thema erschienen ist und in den vielen Anwendungen (man denke nur an die Audio- und Sprachverarbeitung), die mithilfe dieser Technik realisiert worden sind. Der Grossteil der Fachliteratur ist mathematisch orientiert und legt wenig Gewicht auf die Umsetzung der Theorie in die Praxis. Wenige Fachbücher sind rein praxisorientiert und tragen kaum zum Verständnis der anspruchsvollen Materie bei. Das vorliegende Lehr- und Anwendungsbuch geht einen Mittelweg, es verzichtet auf Vollständigkeit in den Herleitungen und Analysen und ist bestrebt, das Wesentliche der Theorie und der DSV-Algorithmen verständlich zu machen, ohne dabei wissenschaftlich unkorrekt zu sein. Das Thema des Buches sind Bausteine, Systeme und Anwendungen aus aktuellen Bereichen der digitalen Signalverarbeitung. Unter Bausteinen sind Algorithmen d. h. Rechenanweisungen zu verstehen, die zur Realisierung von Systemen zusammengefügt und anschliessend zur Lösung praktischer Aufgabenstellungen auf einem Digitalrechner implementiert werden. Nach einer Einführung und Zusammenfassung der Grundlagentheorie im ersten Kapitel, behandelt das zweite Kapitel Algorithmen zur Auswertung von Funktionen, die häufig in der DSV vorkommen. Das dritte Kapitel befasst sich mit speziellen Digitalfiltern, wie Allpässen, Differentiatoren, Hilbert-Transformatoren, abstimmbaren Filtern, Audioeffekt-Filtern, usw. Daran schliesst sich ein Kapitel über die Analyse von Signalen im Frequenzbereich an. Theorie und Anwendungen adaptiver Filter werden im fünften Kapitel besprochen. Das Buch schliesst mit einem Kapitel über die Multiraten-Signalverarbeitung, in dem so aktuelle Themen wie Filterbänke und Wavelets zur Sprache kommen. Das vorliegende Buch behandelt somit einen Themenkatalog, der denjenigen meines Grundlagenbuchs Digitale Signalverarbeitung deutlich erweitert.

5 VI VORWORT Voraussetzung zum Verständnis des Textes sind Grundlagenkenntnisse der diskreten Signal- und Systemtheorie, wie sie heute in jedem Bachelor-Studium einer technischen Universität oder Fachhochschule gelehrt werden. Zur Einübung des Stoffes schliesst jedes Kapitel mit Theorie-Aufgaben und MATLAB-Übungen ab, deren Lösungen unter der URL zu finden sind. Der Anhang beschreibt überdies MATLAB-Programmezur Simulation und/oder Realisation von konventionellen, speziellen und adaptiven Filtern, von Funktionsgeneratoren, DFT-Analysatoren und Filterbänken, die mithilfe eines C-Codegenerators auf dem Signalprozessor-Kit TMS32C6713-DSK von Texas Instruments implementierbar sind. Diese Programme und allfällige Korrekturen sind ebenfalls unter der oben erwähnten URL abgespeichert. An der Entstehung des Buches haben einige Personen mitgewirkt. Allen voran Herr Ivo A. Oesch, dipl. El.Ing. FH, der den Simulator und Codegenerator entworfen und programmiert hat. Die sorgfältigen Zeichnungen wurden von Herrn D. Hadorn erstellt und freundlicherweise gesponsert von der GEFA, der Gesellschaft für Fachpublikationen des Hochschulstandorts Burgdorf. Mitgearbeitet haben auch Studentinnen und Studenten in Form von Projektarbeiten, die von Ivo A. Oesch hervorragend betreut wurden. Ihnen allen möchte ich danken. Ein herzliches Dankeschön geht auch an Herrn F. Bieri vom Fotorotar-Verlag für die gute Zusammenarbeit. Burgdorf im Oktober 28 Daniel Ch. von Grünigen

6 Inhaltsverzeichnis Vorwort V 1 Einführung Der Signalprozessor als Digitalrechner Grundlagen Festkomma-Zahlen Gleitkomma-Zahlen Das lineare Digitalfilter Einführung Theorie des diskreten LTI-Systems FIR-Filter IIR-Filter Realisierung digitaler Filter Bausteine der digitalen Signalverarbeitung KonzeptdesBausteins Das Transversalfilter als Beispiel eines Bausteins Der Biquad als Beispiel eines Bausteins Realisierungshinweise Anwendungen Schallpegel-Analysator Messung des Dopplereffekts Hörschaden-Simulator Algorithmen zur Auswertung von Funktionen Polynomapproximation VII

7 VIII INHALTSVERZEICHNIS 2.2 Tabellenverfahren Grundlagen Tabelle mit Approximationspolynomen Tabelle mit Spline-Interpolationspolynomen Cordic-Algorithmus Grundlagen Rotation Vektorisierung Newton-Algorithmus Diverse Algorithmen Einfacher Sinus-Cosinus-Generator Quadratwurzel Algorithmen zur Approximation des Betrags Logarithmus einer ganzen Zahl Aufgaben Spezielle Digitalfilter Allpass-Filter AbstimmbareFilter Abstimmbare Shelving-Filter Abstimmbares Bandpass-Bandsperr-Filter FIR-Bandpass-Filter mit variabler Mittenfrequenz Audioeffekt-Filter Echo-Filter Nachhall-Filter Verzögerungseffekt- und Phasing-Filter Equalizer-Filter Diverse spezielle FIR-Filter Mittelwert-Filter Kamm-Filter Schmalband-IFIR-Filter Differentiatoren Hilbert-Transformator Frequenzabtast-Filter

8 INHALTSVERZEICHNIS IX Pulsformer-Filter Schnelle Faltung Median-Filter Aufgaben Signalanalyse im Frequenzbereich Grundlagen Fourier-Transformationen zeitdiskreter Signale Detrending, Fensterung und Nullergänzung Zoom-FFT Die Kurzzeit-Fourier-Transformation Motivation Definition und Eigenschaften Anwendung Die Schätzung des Leistungsdichtespektrums Das Periodogramm Die Welch-Methode Cepstral-Analyse Definition und Motivation Eigenschaften des Cepstrums Realisierung des cepstralen Systems Anwendungsbeispiele Frequenzestimation Grundfrequenz-Schätzung eines periodischen Signals Frequenzschätzungen auf Grundlage der DFT Aufgaben Adaptive Filter Einführung System-Nachbildung Inverse Modellierung Prädiktion Theoretische Grundlagen Das Wiener-Filter

9 X INHALTSVERZEICHNIS Die Lösung der Wiener-Hopf-Gleichung Das Orthogonalitätsprinzip und der Gradient Methode des steilsten Abstiegs LMS-Algorithmus Herleitung Analyse LMS-Algorithmen Anwendungsbeispiele Brummunterdrückung und Vektorvoltmeter Identifikation eines DA-AD-Wandler-Systems Trennung von Signalen verschiedener Korrelation Störunterdrückung in audiologischen Messsystemen Aufgaben Multiraten-Signalverarbeitung Theoretische Grundlagen Die diskrete Abtastfunktion Aufwärtstastung Abwärtstastung Polyphasendarstellung Äquivalenzen Dezimatoren und Interpolatoren Prinzip und Entwurf Realisierung in Polyphasenstruktur Multistufen-Realisierung Der Integrator als Dezimator Nyquist-Interpolatoren Beispiele und Anwendungen Leistungsmessung Schmalband-Filter Sigma-Delta-AD-Wandler Filterbänke Einführung Zweikanal-Filterbänke

10 INHALTSVERZEICHNIS XI Filterbank in Baumstruktur Oktav-Filterbank DFT-Filterbank Die diskrete Wavelet-Transformation (DWT) Einführung Grundlagen Die Berechnung der DWT Beispiele und Anwendungen Allgemeines Signalanalyse Signalentstörung und Signalkompression Aufgaben A Begleitdateien zum Buch 289 A.1 Inhaltsverzeichnis der Archive A.2 Voraussetzungen A.3 Installation A.3.1 Installation des Code-Composers A.3.2 Installation des Programmpakets dsptools A.3.3 Installation des Verzeichnisses MatDSV A.4 Der Signalprozessor-Kit TMS32C6713-DSK von TI B Entwurfs- und Simulationsprogramme 293 B.1 Das Programm dspfilt B.1.1 Grundlagen B.1.2 Benutzeroberfläche B.1.3 Export und Import von Filtern B.1.4 Simulator B.1.5 Code-Generator B.1.6 Hilfe bei Problemen mit dspfilt...3 B.1.7 Zusammenfassung B.2 Das Programm dspfunc B.3 Das Programm dspspecfilt...35 B.4 Das Programm dspfft

11 XII INHALTSVERZEICHNIS B.5 Das Programm dspadaptfilt B.6 Das Programm dspfilterbank

12 Kapitel 1 Einführung Signale sind Träger von Informationen. Liegt ein Signal in zeitkontinuierlicher Form vor, z. B. als Spannung am Ausgang eines Mikrofons, dann spricht man von einem analogen Signal. Überführt man das analoge Signal durch AD- Wandlung in eine Folge von Zahlenwerten, dann entsteht aus dem analogen ein digitales Signal. In dieser Form kann es auf einem Digitalrechner verarbeitet werden. Diese Verarbeitung auf dem Digitalrechner nennen wir digitale Signalverarbeitung, abgekürzt DSV. Die digitale Signalverarbeitung bezweckt die Analyse von Signalen, die Unterdrückung von Störungen, die Komprimierung von Daten, die Erzeugung von Signalen sowie weitere Formen der Signalbearbeitung. Zur Erfüllung dieser Aufgaben sind auf dem Digitalrechner Prozeduren zu programmieren, die im Rechenbetrieb das digitale Signal verarbeiten. Diese Prozeduren nennen wir Bausteine, Baublöcke (engl: building blocks) oder Algorithmen der digitalen Signalverarbeitung. Ein klassisches Beispiel ist das FIR-Filter oder die FFT. Fassen wir mehrere Bausteine zusammen, dann sprechen wir von einem Verfahren oder einem System der digitalen Signalverarbeitung. Beispiele dafür sind das Welch-Verfahren zur Schätzung des Leistungsdichtespektrums oder ein Interpolations-Dezimations-System zur Abtastratenänderung. Bevor wir uns mit der Theorie und der Realisierung digitaler Bausteine und Verfahren beschäftigen, wollen wir die wesentlichen Grundlagen der DSV zusammenfassen. 1.1 Der Signalprozessor als Digitalrechner Grundlagen Jeder Rechner, der Zahlen multiplizieren und addieren kann, eignet sich prizipiell zur digitalen Signalverarbeitung. Ein Rechner, der sich besonders dafür eignet, ist der digitale Signalprozessor, abgekürzt DSP. Das Beispiel eines einfachen digitalen Signalprozessors ist in Bild 1.1 skizziert.

13 1.3. BAUSTEINE DER DIGITALEN SIGNALVERARBEITUNG Spezifikationen und Entwurf Normalerweise wird ein Filter im Frequenzbereich spezifiziert. Der Anwender wählt Durchlass- und Sperrfrequenzen, sowie Rippel im Durchlass- und Sperrbereich und startet anschliessend ein Entwurfsprogramm, das die Filterkoeffizienten berechnet. Die üblichen Entwurfsverfahren sind die Bilinear-Transformation für IIR-Filter und die Equirippel-Methode für FIR-Filter, die auch unter dem Namen Parks-McClellan-, Remez- oder Optimal-Methode bekannt ist. 4. Simulation, Implementation und Kontrolle Nach der Bestimmung der Abtastfrequenz, der Filterstruktur, der Filterkoeffizienten und einer eventuellen Simulation wird das Digitalfilter mit Hilfe von Softwarewerkzeugen auf der bereitgestellten Hardware implementiert. Nach der Implementation ist das Digitalfilter insbesondere falls es sich um ein IIR- Filter handelt unter praxisnahen Bedingungen auszutesten. Führt die Erfolgskontrolle zu einem unbefriedigenden Ergebnis, dann muss der Entwurfsprozess neu gestartet und Punkt für Punkt überarbeitet werden. 1.3 Bausteine der digitalen Signalverarbeitung Konzept des Bausteins Blockdiagramme, bestehend aus Multiplikations-, Additions- und Verzögerungselementen, spielen in der Theorie der Signalverarbeitung eine zentrale Rolle. Eine vereinfachte Form des Blockdiagramms ist das Signalflussdiagramm. Additionspunkte werden dabei durch kleine Kreise und Eingangs-, Ausgangs- und Abzweigknoten durch schwarz ausgefüllte kleine Kreise symbolisiert. Die Multiplikation mit einer Konstanten wird durch einen Pfeil dargestellt, bei dem die Konstante steht. Ein Pfeil, dem das Symbol z 1 beigefügt ist, stellt ein Verzögerungselement dar und ein Pfeil ohne Symbol ist ein gewöhnlicher Signalpfad: a x1[ n] z -1 xn [] yn [] yn [] xn [] yn [] x2[ n] y[]= n ax[] n y[]= n x[]+ n x[] n yn [ ] = xn [ -1] 1 2 Bild 1.8: Elemente des Signalflussdiagramms: Multiplizierer mit einer Konstanten, Addierer und Verzögerungselement Die drei Elemente stehen für Operationen, die auf einem Digitalrechner und insbesondere auf einem Signalprozessor leicht durchzuführen sind. Das Signalflussdiagramm abgekürzt SFD ist somit nichts anderes als die graphische

14 14 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG Darstellung der Rechenoperationen, die zur Erfüllung einer DSV-Teilaufgabe abzuarbeiten sind. Die Anweisungen zur Durchführung der Rechenoperationen werden Algorithmus genannt und in Form eines Programms auf dem Digitalrechner implementiert. Den Algorithmus zur Durchführung einer DSV-Teilaufgabe nennen wir Baustein (engl: building block), Funktionsblock oder Funktionseinheit. Verfahren und Anwendungen der digitalen Signalverarbeitung können wir dann als ein Zusammenfügen von Bausteinen auffassen, die in Form von Programmen auf einem Digitalrechner zu implementieren sind. Signalflussdiagramm und Blockdiagramm sind anschauliche aber nicht immer zweckdienliche Arten, den Algorithmus eines Bausteins zu beschreiben. Vielfach ist es sinnvoller, den Algorithmus eines Bausteins in allgemein verständlichen Rechenanweisungen in Form eines sogenannten Pseudocodes zu beschreiben. Taugliche Beschreibungsmöglichkeiten sind auch Flussdiagramme, C-Code oder Assemblercode. Häufig genügt es, einfach die Differenzen- oder Rekursionsgleichungenanzugeben. Nicht zuletztkönnen MATLAB-Befehle oder LabVIEW- Funktionsblöcke, sogenannte LabVIEW-Vis, als Baustein-Beschreibungen dienen. Ihre Hilfetexte beschreiben die Funktion des Bausteins und geben Hinweise auf die Algorithmen, aufgrund derer sie programmiert sind. Zudem kann durch Abarbeiten des MATLAB-Befehls oder LabVIEW-Vis die Funktion eines Bausteins simuliert und überprüft werden. Das Konzept des Bausteins und seine Beschreibungsmöglichkeiten lassen sich am einfachsten anhand des Transversalfilters und des Biquads erläutern, deren Theorie in den Unterkapiteln FIR-Filter und IIR-Filter behandelt wurde Das Transversalfilter als Beispiel eines Bausteins Die Direktform-Struktur des FIR-Filters in Bild 1.6 nennt sich auch Transversalfilter oder abgegriffene Verzögerungsleitung (engl: tapped delay line). In Form eines Signalflussdiagramms hat das Blockdiagramm folgendes Aussehen: xn [] z -1 z -1 z -1 Verzögerungsleitung b b 1 b 2 b N-1 b N Abgriffe yn [] Bild 1.9: Signalflussdiagramm des Transversalfilters Zum Block- und Signalflussdiagramm gehört die Differenzengleichung y[n] =b x[n]+b 1 x[n 1] + + b N x[n N]. (1.22) Verpacken wir die b-koeffizienten in einen Filterkoeffizienten-Vektor b = [b,b 1,,b N ] T und die Eingangsabtastwerte in einen Datenvektor x[n] =[x[n],x[n 1],,x[n N]] T, so schreibt sich die Differenzengleichung in Form eines Skalarprodukts:

15 1.3. BAUSTEINE DER DIGITALEN SIGNALVERARBEITUNG 15 y[n] =b T x[n]. (1.23) Bezeichnen wir die Komponenten des Daten-Vektors mit x,x 1,,x N und den Ausgangswert zum Zeitpunkt n mit y, dann lässt sich Gl.(1.22) wie folgt in einen Pseudocode umsetzen: y = for i =to N y = b i x i + y (1.24) end Zeile (1.24) steht für eine Zuweisung (engl: assignment), das Gleichheitszeichen hat demnach die Bedeutung eines Zuweisungssymbols. Um den Pseudocode in ein Flussdiagramm umzusetzen, benötigen wir Kenntnisse der Rechnerarchitektur. Als Beispiel dafür betrachten wir den DSP TMS32C6713 von Texas Instruments, der in der Datei TMS32C6713DSK.pdf (siehe Seite 289) und in Lit.[Cha5] dokumentiert ist. Dieser Rechner arbeitet mit 32 Bit-Gleitkommazahlen und reserviert 24 Bit für die Mantisse und 8 Bit für den Exponenten. Er enthält etliche Register, wobei die Register A und A 1 als Adressregister für den Daten- und den Koeffizientenspeicher verwendbar sind (Bild 1.1). Speicher Register A als Daten- Addressgenerator A Zeiger xn [ -1] xn [] xn [ -6] xn [ -5] xn [ -4] xn [ -3] xn [ -2] 32 : Wortlänge MAC B + + B 1 B 3 Register A1 als Koeffizienten- Addressgenerator A b b 1 b 2 b 3 b 4 32 Zeiger b 5 b 6 32 Bild 1.1: Modulo-Adressierung des Speichers beim Abarbeiten der Interruptroutine eines Transversalfilters der Ordnung N = 6

16 16 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG Das Flussdiagramm der Transversalfilter-Interruptroutine kann dann wie folgt gezeichnet werden: Eingangsabtastwert in Datenspeicher schreiben Datenzeiger modulo( N+1) um 1 inkrementieren Ausgangssumme auf setzen Koeffizientenzeiger auf b N stellen Koeffizient mit Datum multiplizieren und zur Ausgangssumme addieren Koeffizientenzeiger um 1 dekrementieren Datenzeiger modulo( N+1) um 1 inkrementieren Schleife ( N+1) mal durchlaufen? NEIN JA Ausgangssumme auslesen Bild 1.11: Flussdiagramm des Bausteins Transversalfilter Der DSP verzweigt in die Transversalfilter-Interruptroutine, sobald der AD- Wandler nach Lesen eines neuen Abtastwertes einen Interrupt ausgelöst hat. Der Zeiger (engl: pointer) des Daten-Adressgenerators zeigt beim Start der Interruptroutine auf diejenige Datenspeicheradresse, wo der älteste Abtastwert x[n N] derverzögerungsleitung abgelegt ist (Bild 1.1). Der erste Befehl überschreibt diesen Abtastwert mit dem jüngsten Abtastwert. Unmittelbar nachher wird das Daten-Adressregister A um 1 inkrementiert und geprüft, ob die Zeigerposition den Datenspeicherbereich der Länge (N + 1) verlassen hat oder nicht. Falls ja, wird der Zeiger auf die Anfangsposition des Datenspeichers gesetzt. Diese Art von Adressierung, die in Assembler besonders effizient durchgeführt werden kann, nennt sich gemäss Legende Bild 1.1 Modulo-Adressierung. Als nächste Aktion wird das Ausgangssummen-Register B 3 auf null gesetzt. Der Zeiger zeigt in unserem Beispiel nun auf Position 4, wo sich der jetzt älteste Abtastwert des Datenvektors befindet.

17 1.3. BAUSTEINE DER DIGITALEN SIGNALVERARBEITUNG 17 Unmittelbar vor dem Eintritt in die Schleife wird der zweite Zeiger auf die Speicherzelle mit dem höchsten Filterkoeffizienten b N gesetzt. Der erste Schleifenbefehl führt nun eine MAC-Instruktion aus, d. h. er multipliziert das Datum im Datenspeicher mit dem Koeffizienten im Koeffizientenspeicher und addiert das Ergebnis zum Inhalt des Summenregisters B 3. Anschliessend wird der Adress-Zeiger dekrementiert und der Daten-Zeiger modulo(n + 1) inkrementiert. Ist die Schleife (N + 1) mal durchlaufen, d. h. sind alle Abtastwerte der diskreten Verzögerungsleitung mit den dazugehörigen b-koeffizienten multipliziert und die Multiplikationsergebnisse aufsummiert, dann stellt die Summe in Register B 3 den Filter-Ausgangsabtastwert dar und kann ausgegeben oder weiterverarbeitet werden. Das Flussdiagramm führen wir in folgendes C-Programm über: /* Eingangsabtastwert in Datenspeicher schreiben */ Delayline[OldestSample] = Inbuf; /* Datenzeiger modulo(n+1) inkrementieren, wobei (N+1) die Filterlaenge ist */ OldestSample++; if (OldestSample >= Filterlength) { OldestSample = ; } k = OldestSample; /* Ausgangssumme auf null setzen */ float Sum = ; /* Am Anfang der Schleife Koeffizientenzeiger auf Koeffizient bn stellen und anschliessend folgende Befehle (N+1) mal abarbeiten: MAC-Operation durchfuehren, d.h. Koeffizient mit Datum multiplizieren und zur Ausgangssumme addieren. Datenzeiger modulo(filterlaenge) inkrementieren und Koeffizientenzeiger dekrementieren */ for (i = Filterlength-1; i >= ; i--) { Sum += Coeffs[i] * Delayline[k]; k++; if (k >= Filterlength) { k = ; } } /* Ausgangssumme auslesen */ Outbuf = Sum;

18 18 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG Bei grossen FIR-Filterordnungen ist der Rechen- und Speicheraufwand somit ungefähr proportional zur Filterlänge. Bei einer Zykluszeit von 5 ns beträgt die Berechnungszeit für ein FIR-Filter der Länge 1 demnach etwas mehr als.5 μs. Im Echtzeitbetrieb müssen sämtliche Berechnungen innerhalb eines Abtastintervalls durchgeführt werden, woraus folgt, dass die Abtastfrequenz für ein FIR-Filter der Länge 1 kleiner als 2 MHz sein muss. Zum Schluss wollen wir die Beschreibungsmöglichkeiten des Bausteins Transversalfilter nochmals auflisten: Graphische Beschreibung: Blockdiagramm, Signalflussdiagramm und Flussdiagramm (engl: flow chart). Mathematische Beschreibung: Differenzengleichung (Rekursionsgleichung) und Skalarprodukt. Beschreibung in Form eines Programms: Pseudocode, C-Programm, MATLAB-Programm (Script M-File), etc. Aus jeder Beschreibung geht hervor, welche Operationen zur Bestimmung eines Ausgangsabtastwertes abzuwickeln sind und wie gross der Speicherbedarf ist. Nicht ersichtlich hingegen sind die Fehler, die beim Rechnen mit Zahlen endlicher Wortlänge entstehen. Diese können nur durch Simulation oder Austesten unter praxisrelevanten Bedingungen ermittelt werden Der Biquad als Beispiel eines Bausteins Ein IIR-Filter lässt sich realisieren, indem man auf einem Digitalrechner die rekursive Differenzengleichung (1.21) gemäss Blockdiagramm Bild 1.7 programmiert. Der MATLAB-Befehl filter und das LabVIEW-Subvi IIR Filter.vi sind beispielsweise derart programmiert. Zur Realisierung auf einem DSP ist diese Struktur transponierte Direktform-II-Struktur genannt ungeeignet, da sie bezüglich ungenauer Zahlendarstellung zu empfindlich ist [vg8]. Besser funktionieren Kaskaden-Strukturen, welche auf der Zerlegung der Übertragungsfunktion N-ter Ordnung in Blöcke 2. Ordnung basieren 4 : H(z) = N/2 i=1 H i (z) = N/2 i=1 b i + b 1i z 1 + b 2i z 2 1+a 1i z 1. (1.25) + a 2i z 2 Einen Block 2. Ordnung nennt man Biquad, weil seine Übertragungsfunktion aus zwei quadratischen Polynomen besteht. Zusätzlich zur geringen Empfindlichkeit bezüglich einer ungenauen Zahlendarstellung hat die Kaskaden-Struktur den Vorteil, dass alle Filterkoeffizienten betragsmässig kleiner als 2 sind. 4 Bei ungerader Ordnung N kann man beispielsweise die b 2 - und a 2 -Koeffizienten des ersten Blocks null setzen.

19 1.3. BAUSTEINE DER DIGITALEN SIGNALVERARBEITUNG 19 xn [] y1[ n] y2[ n] yn/2-1[ n] H1( z) H2( z) H z N/2( ) yn/2[ n] yn [] Bild 1.12: Kaskaden-Struktur eines IIR-Filters In MATLAB kann man H(z) mithilfe der Funktionen tf2zp und zp2sos in Blöcke 2. Ordnung zerlegen. Wegen der Relevanz der Kaskadenstruktur können aber auch alle anderen DSV-Programme, wie z. B. LabVIEW, diese Zerlegung durchführen. Ein bewährter Biquad ist der Block 2. Ordnung in Direktform-I-Struktur, der gemäss Bild 1.13 aus zwei diskreten Verzögerungsleitungen und einem Summationspunkt besteht. xn i [] y i [] n z -1 b i z -1 z -1 b 1i -a 1i z -1 b 2i -a 2i Bild 1.13: Baustein Biquad in Direktform-I-Struktur Die Differenzengleichung des Baublocks Biquad lautet: y i [n] =b i x i [n]+b 1i x i [n 1] + b 2i x i [n 2] a 1i y i [n 1] a 2i y i [n 2]. (1.26) In Vektorform: y i [n] =b T i x i [n] a T i y i [n 1], (1.27) wobei: b T i =[b i,b 1i,b 2i ], x i [n] =[x i [n],x i [n 1],x i [n 2]] T, a T i =[a 1i,a 2i ], y i [n 1] = [y i [n 1],y i [n 2]] T. Zur Realisierung von IIR-Filtern höherer Ordnung schaltet man zwei oder mehrere solcher Biquads in Kaskade und fasst jeweils eine Eingangs- und Ausgangsverzögerungsleitung zusammen, wie Bild 1.13 am Beispiel eines IIR-Filters 6. Ordnung illustriert.

20 2 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG H1() z H2() z H3( z) { {{ xn [] y n 1[ ] y n 2[ ] y n 3[ ] y[ n] z -1 b 1 z -1 b 2 z -1 b 3 z -1 z -1 b 11 -a 11 z -1 b 12 -a 12 z -1 b 13 -a 13 z -1 b 21 -a 21 b 22 -a 22 b 23 -a 23 Bild 1.14: IIR-Filter 6. Ordnung bestehend aus einer Kaskade dreier Biquads Realisierungshinweise Bei der Beschreibung von Bausteinen wird stillschweigend davon ausgegangen, dass sich die zugehörigen Rechenoperationen fehlerfrei durchführen lassen. Bei Gleitkomma-Rechnern ist diese Annahme i. a. gut erfüllt, nicht hingegen bei Festkomma-Rechnern, die mit 16 Bit- oder kleineren Wortlängen rechnen. Der beschränkte Zahlenbereich und das Runden oder Abschneiden von Rechenergebnissen aufgrund der endlichen Wortlänge führen zu Überläufen und Quantisierungsfehlern, die unter Umständen untolerierbar sind. Bei hohen Anforderungen, beispielsweise bei einem hohen Abtast- zu Sperrfrequenz-Verhältnis, kann ein Digitalfilter seinen Dienst versagen, selbst wenn es auf einem 64Bit- Gleitkomma-Computer implementiert ist. Filter, besonders solche die hohen Ansprüchen zu genügen haben, sind vor ihrem Betrieb deshalb unbedingt zu überprüfen und auszutesten! Der beschränkte Zahlenbereich bei Festkomma-Rechnern kann dazu führen, dass Baublöcke unrealisierbar sind. Festkomma-Computer rechnen üblicherweise im Fractional-Format und erfordern infolgedessen Koeffizienten und Abtastwerte, die betragsmässig kleiner gleich eins sind. Zur Realisierung auf einem Festkomma-Rechner ist der Biquad in Bild 1.12 daher ungeeignet, weil die a 1i - Koeffizienten normalerweise im Bereich ( 2, 1] liegen. Vielfach sind zudem die b i -Koeffizienten eines Biquads betragsmässig kleiner als.5, wodurch bei der Fractional-Darstellung Genauigkeit verschenkt wird. Abhilfe schafft eine Skalierung mit Zweierpotenzen, wie z. B. in [vg8] beschrieben ist. Skalierungen spielen immer dann eine Rolle, wenn DSV-Algorithmen auf einem Festkomma- Rechner zu implementieren sind. Ein Beipiel dafür sind Funktions-Algorithmen, wie das zweite Kapitel zeigen wird.

21 1.4. ANWENDUNGEN Anwendungen Durch das Zusammenfügen vondsv-bausteinen lassensich interessanteanwendungen realisieren. Zur Illustration wollen wir drei Beispiele aus den Bereichen Messtechnik, Simulationstechnik und Audiotechnik kurz skizzieren Schallpegel-Analysator Der Schallpegel-Analysator ist ein Gerät zur Messung und Analyse des Schallpegels eines akustischen Signals. Unter dem Schallpegel L p eines akustischen Signals p(t) versteht man eine physikalische Grösse, die wie folgt definiert ist: ( ) P L p =2log, Einheit: db. (1.28) P P ist der Effektivwert des Schalldrucksignals p(t) und P ist der Bezugsschalldruck von 2 μpa. Der Bezugsschalldruck ist der kleinste wahrnehmbare Schalldruck und wird deshalb als Hörschwelle bezeichnet. Zur Messung des Schallpegels wandelt ein Mikrofon das akustische Signal p(t) in ein elektrisches Signal um. Dieses wird verstärkt, mittels eines Antialiasingfilters auf 16 khz bandbeschränkt und mit einer Abtastfrequenz von f s = 32 khz AD-gewandelt (Bild 1.15 a). Ein Interpolator bestehend aus einem Aufwärtstaster und einem A-Filter erhöht die Abtastfrequenz des zeitdiskreten Signals um Faktor zwei. Diese Erhöhung ist notwendig, weil die anschliessende Quadrierung die Bandbreite des Signals verdoppelt und derart Aliasing entstünde. Das A-Filter auch A-Bewertungsfilter genannt bildet zudem die Bandpasscharakteristik des menschlichen Ohres nach. Es sorgt dafür, dass ein für das menschliche Gehör relevanter Schallpegel gemessen wird. Der Quadrierungs-Baustein liefert die Momentanleistung des Schallsignals, der Block Anzeige berechnet daraus den Schallpegel und zeigt ihn an. Die beiden Tiefpassfilter des Anzeige-Blocks glätten das Leistungssignal und der log-baustein berechnet daraus den Schallpegel, der schliesslich angezeigt wird. Das zweite Tiefpassfilter TP 2 ist erster Ordnung und hat eine Eckfrequenz von 1.27 Hz. Wegen der tiefen Eckfrequenz muss die Abtastrate dieses Filters auf unter 1 khz reduziert werden, damit es auf einem Digitalrechner endlicher Wortlänge funktioniert. Diese Reduktion wird durch den Dezimator bestehend aus dem Tiefpass TP 1 und dem Unterabtaster M bewerkstelligt. Vom Schallpegel-Analysator verlangen wir, dass er die Schallpegel in den 9 Oktavbändern 16 8kHz,8 4kHz,..., Hzund im Tieffrequenzband Hz berechnet. Zu diesem Zweck erweitern wir das Schallpegel-Messgerät mit Zweikanal-Filterbänken, welche baumartig an den Ausgang des A-Filters angeschlossen und mit Anzeige-Blöcken abgeschlossen werden. In der vorliegenden Anwendung besteht die Zweikanal-Filterbank aus einem sogenannten orthogonalen Wavlet-Hochpass- und Wavelet-Tiefpassfilter, wobei die Ausgänge der weiterführenden Tiefpassfilter jeweils mit dem Faktor 2 unterabgetastet werden.

22 22 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG a) ~ AD f s = 32 khz. 2 A-F Anzeige TP 2. HP. Anzeige TP 2.. HP. Anzeige TP 2. HP. Anzeige TP. Anzeige b) Anzeige TP 1 M TP 2 log(.) Bild 1.15: a) Blockschema des Schallpegel-Analysators, Anzeige-Blocks b) Bausteine des Bild 1.16 zeigt das Ergebnis einer Schallpegel-Analyse. Jeder Balken steht für einen Schallpegel im entsprechenden Frequenzband und der dazugehörige Schallpegel in db(a) kann anhand der Skala links geschätzt werden. Das beigefügte A zur Einheit db bedeutet, dass bei der Messung das in der Akustik bekannte A-Bewertungsfilter verwendet wurde. Schallpegel in db(a) Bild 1.16: Messergebnis einer Schallpegel-Analyse f / khz Die Logarithmus-Berechnung ist Thema des zweiten Kapitels, Interpolatoren, Dezimatoren und Wavelet-Filterbänke gehören zur Multiraten-Signalverarbeitung und werden im letzten Kapitel behandelt.

23 1.4. ANWENDUNGEN Messung des Dopplereffekts Bewegt sich eine Schallquelle, die einen Ton mit der Frequenz f Q aussendet, mit der Geschwindigkeit v Q auf einen Beobachter zu, dann werden ihre Schallwellen gestaucht. In einem Medium mit der Schallgeschwindigkeit c nimmt daher ein 1 Beobachter einen Ton wahr, dessen Frequenz f B um den Faktor 1 v höher Q/c ist als die ausgesendete Frequenz [HMS89]: f B = f Q 1 v Q /c. (1.29) Bewegt sich die Schallquelle vom Beobachter weg, dann vermindert sich die beobachtete Frequenz um den Faktor 1 1+v Q/c : f B = f Q 1+v Q /c. (1.3) Das klassische Beispiel zur Verifizierung der beiden Formeln ist die pfeifende Lokomotive, deren Pfeiffton sich beim Vorbeifahren erniedrigt. Ein Experiment zur Demonstration des Dopplereffekt lässt sich leicht aufbauen. Man montiert einen Tongenerator mit Lautsprecher auf einen drehbaren Stab und positioniert ein Mikrofon in die Nähe der Tonquellen-Umlaufbahn (Bild 1.17). Das Mikrofon empfängt das Tonsignal, dieses wird verstärkt und bandbegrenzt, AD-gewandelt und schliesslich digital verarbeitet. ~ AD BP Adaptiv- BP Frequenz- Estimator Frequenz- Estimator f s 1 f s1 f s2 f s2 Bild 1.17: Vorrichtung zur Demonstration und Messung des Dopplereffekts Versetzt man den Stab z. B. mit 1 Umdrehung/s in Rotation, so hört der Beobachter einen periodisch an- und abschwellenden Ton gemäss Bild 1.18 c), dessen Amplitude aufgrund des zeitabhängigen Abstands und dessen Frequenz aufgrund des Dopplereffekts zu- und abnehmen. Mit Hilfe der digitalen Signalverarbeitung lassen sich nun Dopplereffekt und Drehzahl messen und darstellen. Die dazu benötigten DSV-Bausteine sind ein Bandpassfilter, ein Adaptivfilter und zwei Frequenzestimatoren.

24 24 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG a) 8 st ()/ m 4 b) vq( t)/ ms -1 ts / ts / c) 1 xt () ts / Bild 1.18: Signale des Dopplereffekt-Experiments: a) Abstand Tonquelle Mikrofon, b) Geschwindigkeit der Tonquelle in Richtung Mikrofon, c) verstärktes Mikrofonsignal Die beiden Filter haben die Aufgabe, sämtliche unerwünschten Signale wie Geräusche, Netzbrumm, Rauschen, etc. zu unterdrücken. Das erste Filter ist ein Bandpass, dessen untere und obere Durchlassfrequenz durch den Frequenzbereich der rotierenden Tonquelle gegeben ist. Das Adaptivfilter ist ein zeitvariantes Bandpassfilter, dessen Durchlassbereich den langsamen Frequenzänderungen der Tonquelle folgt. Langsame Frequenzänderungen werden durch thermische oder andere Einflüsse verursacht. Fehlen diese Einflüsse und/oder ist die Tonquelle frequenzstabil, dann entfällt dieses Zusatzfilter. Der Eingangsteil des ersten Frequenzestimators arbeitet mit der gleichen Abtastfrequenz wie der AD-Wandler. Als Ausgangssignal liefert er die Momentanfrequenz der mit dem Dopplereffekt behafteten Tonquelle. Dieses Signal als Dopplersignal bezeichnet ist langsam, sein Spektrum liegt im Bereich der tiefen Rotationsfrequenz und es kann deshalb mit einer tiefen Abtastfrequenz f s2 weiter verarbeitet werden. Das Dopplersignal (Bild 1.17) ist dem Geschwindigkeitssignal in Bild 1.18 b) ähnlich und bei konstanter Ton- und Rotationsfrequenz f rot -periodisch. Indem wir das Dopplersignal auf einen zweiten Frequenzestimator führen, können wir seine Rotationsfrequenz f rot messen und anzeigen. Frequenzmessverfahren sind Gegenstand des Kapitels Signalanalyse im Frequenzbereich und Theorie und Entwurf von Adaptivfiltern werden in Kap. 5 beschrieben.

25 1.4. ANWENDUNGEN Hörschaden-Simulator Eine andauernde akustische Belastung durch laute Musik, starken Maschinenlärm oder durch andere intensive Geräusche schädigt die Ohren. Der Hörschaden- Simulator ist ein Gerät, das solche Hörschäden simuliert und das zu Präventionszwecken eingesetzt wird. Es besteht aus einer Audioquelle mit nachgeschaltetem AD-Wandler, einer Filterbank mit eingefügter Teilbandverarbeitung, einem DA-Wandler und einem Ausgangsverstärker mit Lautsprecher (Bild 1.19). Eingabewerte Gehörschaden Spline - Interpolation Berechnung des Schallpegels Berechnung der Teilband-Koeffizienten v,..., v 1 N v 1 H Z 1( ) M M G1( Z) v 2 H Z 2( ) M M G2( Z) Audioquelle AD xn [] DA v N H Z N( ) M M GN( Z) Analyse - Filterbank Teilbandverarbeitung Synthese - Filterbank Bild 1.19: Blockschaltbild des Hörschaden-Simulators Die Analyse-Filterbank links zerlegt das Audiosignal in N = 512 Frequenzband-Komponenten und reduziert die Abtastfrequenz um den Faktor M = 128. Im Block Teilbandverarbeitung werden die N Teilbänder mit den Koeffizienten v 1 bis v N multipliziert und in der Synthese-Filterbank rechts wie- der aufwärtsgetastet und zusammengefügt. Das Filterbank-Ausgangssignal wird DA-gewandelt und über einen Endverstärker zum Lautsprecher geführt. Der Benutzer gibt über einen Display 1 Werte eines Audiogramms ein (Bild 1.2), dessen Dämpfungswerte den Hörverlust (engl: hear loss HL) bei der betreffenden Frequenz darstellen. Die Dämpfungswerte werden durch Splines interpoliert und in entsprechende Verstärkungsfaktoren v i umgerechnet. Vielfach ist ein Hörschaden mit einem Dynamikverlust verbunden. D.h. der Geschädigte hört bei grosser Lautstärke normal und bei mittlerer und kleiner Lautstärke wenig. Zur Simulation dieses Effekts Rekruitment genannt [LL] muss der Schallpegel gemessen und die entsprechenden Verstärkungsfaktoren v i korrigiert werden.

26 26 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG HL/dB f /khz Bild 1.2: Hörschadenkurve Die Interpolation von Funktionen mit Splines wird in Kapitel 2 beschrieben und Filterbänke sind Gegenstand des letzten Kapitels, das die Multiraten- Signalverarbeitung zum Thema hat.

27 2.3. CORDIC-ALGORITHMUS 39 Wie aus dem Ergebnis in Bild 2.7 ersichtlich ist, neigen Approximationspolynome zu Welligkeiten, die meistens untolerierbar sind. Im Gegensatz dazu liefert die Spline-Interpolation eine Kurve, die eher unseren Wünschen nach einer kurzen aber glatten Verbindungslinie entspricht. Zur Approximation von Funktionen mit wenig Stützstellen sind Splines deshalb besser geeignet. 2.3 Cordic-Algorithmus Der Cordic-Algorithmus 1 ist ein Rechenverfahren, das zur Rotation zweidimensionaler Vektoren entwickelt wurde [Vol59]. Mit dem Cordic-Verfahren lassen sich auch Cosinus- und Sinusfunktionen berechnen, sowie der Betrag und der Winkel eines Vektors respektive einer komplexen Zahl bestimmen. Im Vergleich zu anderen Rechenverfahren wie Polynomauswertung und Tabellenverfahren begnügt sich der Cordic-Algorithmus mit Additions- und Schiebeoperationen, Operationen also, die mit einfachen Rechenwerken durchführbar sind. Das Cordic-Verfahren kann erweitert werden, so dass auch Exponential-, Logarithmusund weitere Funktionen ausgewertet werden können (siehe dazu Lit. [Pir96] und [And98]) Grundlagen Einen Vektor [x in,y in ] T kann man um den Winkel θ drehen, indem man ihn mit der Drehmatrix multipliziert (siehe dazu Aufgabe 6a): [ ] [ ][ ] xout cos(θ) sin(θ) xin =. (2.2) y out sin(θ) cos(θ) y in Bild 2.8 zeigt in Form eines Vektor- und Signalflussdiagramms, wie sich die Rotation in der cartesischen Ebene auswirkt und wie sie rechnerisch durchzuführen ist. y [ x, y ] out out x T [ x, y ] in in T x in y in cos( ) cos( ) -sin( ) sin( ) Bild 2.8: Rotation eines Vektors um den Winkel θ x out y out 1 Cordic ist eine englische Abkürzung und steht für Coordinate rotation digital computer

28 4KAPITEL 2. ALGORITHMEN ZUR AUSWERTUNG VON FUNKTIONEN Durch Verwendung der Beziehung sin(θ) =tan(θ) (2.21) cos(θ) überführen wir das Signalflussdiagramm in ein äquivalentes SFD gemäss Bild 2.9 rechts. cos( ) -sin( ) sin( ) cos( ) cos( ) cos( ) -tan( ) tan( ) Bild 2.9: Überführung des Signalflussdiagramms in ein äquivalentes SFD Den Rotationswinkel θ spalten wir in eine Summe von N Teilwinkel θ = N 1 i= θ i (2.22) und zerlegen derart die Rotation in N Teilrotationen. Das zugehörige SFD besteht demnach aus einer Kaskade von N Teilsignalflussdiagrammen: cos( ) cos( ) 1 cos( ) N -1 x in -tan( ) -tan( 1 ) -tan( N -1) tan( ) tan( 1 ) tan( ) N -1 x out y in cos( ) cos( ) 1 cos( ) N -1 y out Bild 2.1: Die Zerlegung des SFDs in Bild 2.9 in eine Kaskade von N Teil-SFDs Die Cosinus-Pfade fassen wir zusammen und erhalten so das SFD Bild 2.11.

29 2.3. CORDIC-ALGORITHMUS 41 x in N -1 i= cos( ) i -tan( ) -tan( 1 ) -tan( N -1) tan( ) tan( 1 ) tan( ) N -1 x out y in N -1 i= cos( ) i y out Bild 2.11: Vereinfachung der Kaskade durch Zusammenfassen der Cosinuspfade Als Teilwinkel θ i wählen wir Winkel, deren Tangens Zweierpotenzen sind (Bild 2.12): θ i =arctan(2 i ), wobei: i =, 1,...,N 1. (2.23) Diese Winkel heissen Basiswinkel (engl: elementary angles): = 45 1 =26. 6 N=8 2 =14. 3 =7. 1 4= = =. 9 7 = i Bild 2.12: Die N ersten Basiswinkel θ i =arctan(2 i )

30 42KAPITEL 2. ALGORITHMEN ZUR AUSWERTUNG VON FUNKTIONEN Wir versehen sie mit einem positiven (d i = +1) oder negativen (d i = 1) Vorzeichen und zerlegen den Rotationswinkel θ neu wie folgt: θ = N 1 i= d i θ i. (2.24) Die vorzeichenbehafteten Basiswinkel eingesetzt in das SFD Bild 2.11 führt zum Signalflussdiagramm in Bild 2.13: k N x x 1 x N-1 x N x in N+1 -d 2 -d 1 2 -dn-12 d 2 - d d N N+1 x out y in y out k N y y 1 y N-1 y N Bild 2.13: Kaskade mit binären Verschiebeoperationen Der Skalierungsfaktor k N ergibt sich aus dem Produkt der Cosinuspfade: k N = N 1 i= cos(d i θ i ) = N 1 i= 1 1+tan 2 (d i θ i ) = N 1 i= i. (2.25) Das Signalflussdiagramm in Bild 2.13 ist nichts anderes als die graphische Darstellung des untenstehenden Rekursionsgleichungssystems mit der Initialisierung x = k N x in, y = k N y in und dem Schleifenindex i =, 1,...,N 1: x i+1 = x i d i 2 i y i, y i+1 = y i + d i 2 i x i. (2.26) Zur Drehung eines Vektors um den Winkel θ skalieren wir also den Eingangsvektor mit k N, arbeiten das obige Rekursionsgleichungssystem N-mal ab und erhalten so den gedrehten Vektor [x out,y out ] T. Bemerkenswert dabei ist, dass die Abarbeitung einzig Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen mit Zweierpotenzen erfordert, wobei wie wir aus Kap bereits wissen eine Multiplikation mit einer Zweierpotenz 2 i lediglich einem arithmetischen Rechtsshift um i Binärstellen entspricht. Es lässt sich zeigen [Bac88], dass man unter Inkaufnahme eines Approximationsfehlers arctan(2 1 N ) mit der Zerlegung (2.24) beliebige Winkel zwischen 9 o und +9 o approximieren kann. Zudem werden wir sehen, dass die binären Gewichtskoeffizienten d,d 1,...,d N 1 ganz einfach bestimmbar sind.

31 2.3. CORDIC-ALGORITHMUS 43 Die Attraktivität des Cordic-Algorithmus beruht demnach auf folgenden zwei Punkten: Einfacher Algorithmus und einfaches Rechenwerk: Die Zerlegung des Drehwinkels und die zugehörigen Teilrotationen sind mit einem einfachen Algorithmus durchführbar. Das Rechenwerk muss nur Festkommazahlen addieren, subtrahieren und arithmetisch verschieben können. Die einzige Multiplikation kann ebenfalls mittels Additions-Schiebe-Operationen durchgeführt werden. Vielfältige Funktionen: Drehung eines Vektors, Umwandlung von Polarkoordinaten in cartesische Koordinaten und umgekehrt, Bestimmung von Betrag und Winkel eines Vektors und Berechnung des Cosinus und Sinus eines Winkels. Eine Modifikation des Verfahrens [Wal71] erlaubt ferner die Auswertung von linearen, hyperbolischen und weiteren transzendenten Funktionen. Wir werden in den beiden nächsten Abschnitten erklären, wie die binären Gewichtskoeffizienten d,d 1,...,d N 1 der N Basiswinkel zu finden sind und wie die Vektoroperationen funktionieren. Dabei setzen wir voraus, dass alle Zahlen Fractionalzahlen der Wortlänge B+1 sind und dass der Betrag der eingegebenen Vektoren kleiner gleich 1 ist. Für das Fractionalformat wird die Anzahl Iterationen N gleich oder etwas kleiner als die Wortlänge gewählt (siehe dazu Aufgabe 6d) und die Winkel werden entsprechend der untenstehenden Tabelle auf 18 o normiert. Winkel θ als Winkel θ Winkel θ Fractionalzahl in rad in o 1 π 18.5 π/ π/ Tabelle 2.1: Winkel in verschiedenen Darstellungen

32 Kapitel 3 Spezielle Digitalfilter Unter einem klassischen Digitalfilter stellen wir uns ein lineares Tiefpass-, Bandpass-, Hochpass- oder Bandsperr-Filter vor, das als FIR- oder IIR-Filter in Direktform- oder in Kaskaden-Struktur realisiert wird. Andere Filter von Interesse, wie Filter mit konstantem Amplitudengang, Filter mit variablem Frequenzgang, Filter zur Erzeugung von Audio-Effekten, Filter zur Bildung des laufenden Mittelwertes, Filter mit periodischem Frequenzgang, Hilbert-Transformatoren, Pulsformer-Filter, Filter mit Sortierfunktion, usw. bezeichnen wir als spezielle Filter. Darunter könnte man auch Adaptiv-Filter,Multiraten-Filter, Filterbänke, etc. verstehen; da diese Filter jedoch in eigenen Kapiteln behandelt werden, wollen wir sie nicht zur Kategorie der speziellen Digitalfilter zählen. Im Folgenden werden wir sehen, wie die erwähnten Spezialfilter definiert sind, wie sie entworfen und realisiert werden und wo sie eingesetzt werden können. 3.1 Allpass-Filter Das Allpass-Filter N-ter Ordnung auch als Allpass, Phasenschieber oder Gruppenlaufzeitentzerrer bezeichnet ist ein LTI-System mit folgender Übertragungsfunktion: H(z) = a N + a N 1 z a 1 z N+1 + z N 1+a 1 z a N 1 z N+1. (3.1) + a N z N Zähler- und Nennerpolynom-Koeffizienten sind gleich, treten aber in entgegengesetzter Reihenfolge auf.

33 82 KAPITEL 3. SPEZIELLE DIGITALFILTER Der Amplitudengang dieses Differentiators weicht für hohe Frequenzen stark vom Amplitudengang des idealen Differentiators ab, wie Bild 3.23 b) zeigt. Eine bessere Annäherung erreicht man durch Erhöhung der Ordnung und Anwendung des Parks-McClellan-Entwurfverfahrens, das z. B. im MATLAB-Befehl firpm implementiert ist. Dieses Verfahren liefert die Koeffizienten eines FIR-Filters vom Typ 3 oder 4, d. h. eines Filters mit punktsymmetrischer Impulsantwort gerader oder ungerader Ordnung. Filter dieses Typs haben die für Differentiatoren vorteilhafte Eigenschaft, dass ihr Frequenzgang bei Ω = null ist. Eine Approximation ungerader Ordnung liefert markant bessere Ergebnisse, wie Bild 3.23 illustriert. Die schlechtere Approximation mit einem Typ 3 FIR-Filter ist durch die Nullstelle zu erklären, die dieser Typ bei Ω = π aufweist [Por97]. d) c) a) 2 b) 2 Bild 3.23: Amplitudengänge von Differentiatoren: a) Idealer Differentiator b) einfacher Differentiator, c) Differentiator der Ordnung 11, d) Differentiator der Ordnung Hilbert-Transformator Der ideale digitale Hilbert-Transformator ist ist ein diskretes LTI-System mit dem Frequenzgang j : π Ω <, H(e jω )= (3.31) j : Ω <π und der Impulsantwort h[n] = : n gerade, 2 πn : n ungerade, (3.32) die man durch Anwendung der inversen Fourier-Transformation aus dem Frequenzgang (3.31) erhält. Da die Impulsantwort h[n] ein diskretes Signal ist, muss die Fourier-Transformierte und damit der Frequenzgang H(e jω )2π-periodisch sein.

34 3.4. DIVERSE SPEZIELLE FIR-FILTER 83 Der ideale Hilbert-Transformator hat einen konstanten Amplitudengang mit dem Wert 1 und einen stückweise konstanten Phasengang, der 9 o von π bis und 9 o von bis π beträgt. Der Hilbert-Transformator wird deshalb auch als 9 o -Phasenschieber bezeichnet. Mithilfe des Hilbert-Transformators in Bild 3.24 lässt sich ein reelles diskretes Signal x[n] in ein analytisches diskretes Signal y + [n] überführen. Ein analytisches diskretes Signal ist ein komplexwertiges diskretes Signal, dessen Fourier-Transformierte null ist für π Ω <. yr [] n xn [] y+[ n]=yr[]+j n yi[] n Hilbert- Transformator yi[ n] 1 X( e j ) 2 Y + ( e j ) - - Bild 3.24: Ideales System zur Erzeugung eines analytischen Signals Das analytische Ausgangssignal y + [n] bekommen wir, indem wir das reelle Eingangssignal als seinen Realteil y r [n] und das Hilbert-Transformator- Ausgangssignal als seinen Imaginärteil y i [n] deklarieren: y + [n] =y r [n]+jy i [n]. (3.33) Durch Bestimmung der Fourier-Transformierten Y + (e jω )können wir zeigen, dass y + [n] analytisch ist. Wir transformieren zu diesem Zweck Gl.(3.33) in den Frequenzbereich und erhalten daraus aufgrund von Bild 3.24 und Gl.(3.31): Y + (e jω ) = Y r (e jω )+jy i (e jω ), = X(e jω )+jh(e jω )X(e jω ), = [1+jH(e jω )]X(e jω ), : π Ω <, = 2X(e jω ) : Ω <π. (3.34) Gemäss Gl.(3.34) ist das Spektrum Y + (e jω ) im Frequenzbereich [ π, ) identisch null und das Ausgangssignalist demzufolge tatsächlich analytisch. Mit dem Index + will man ausdrücken, dass das Spektrum eines analytischen Signals nur auf dem positiven Nyquistbereich existiert, wie das Ausgangsspektrum im Bild 3.24 rechts veranschaulicht.