5. REGISTERMASCHINEN Ein formales Berechnungsmodell auf den natürlichen Zahlen

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1 EINFÜHRUNG IN DIE THEORETISCHE INFORMATIK Prof. Dr. Klaus Ambos-Spies Sommersemester REGISTERMASCHINEN Ein formales Berechnungsmodell auf den natürlichen Zahlen Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 1 / 49

2 Übersicht (1) Im ersten Teil dieses Kapitels führen wir ein weiteres formales Berechnungskonzept für Zahlfunktionen (d.h. Funktionen vom Typ f : N n N) ein. Während bei den Turingmaschinen die Berechenbarkeit von Zahlfunktionen auf die Berechenbarkeit von Wortfunktionen zurückgeführt wird, indem Zahlen geeignet durch Wörter dargestellt werden (wir haben hierzu bekanntlich die Unärdarstellung benutzt), wird hier von der Darstellung der Zahlen abstrahiert, indem auf elementare Zahloperationen zurückgegriffen wird. Gemein hat dieser neue Ansatz zur Formalisierung der Berechenbarkeit mit dem Turingmaschinenansatz, dass man (nach Festlegung des Datenformats: nämlich Wörter bzw. Zahlen) den Algorithmenbegriff mit Hilfe von formal definierten mathematischen Maschinen definiert, und so einen formalen Berechnungsbegriff erhält. Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 2 / 49

3 Übersicht (2) Ein dritter Ansatz zur Formalisierung der Berechenbarkeit, den wir im nächsten Kapitel behandeln werden, wird ein anderer sein. Dort wird nicht der Algorithmenbegriff formalisiert, sondern eine Klasse berechenbarer Funktionen, die sog. rekursiven Funktionen, formal induktiv definiert. ( maschinenunabhängige Präzisierung der Berechenbarkeit) Wie bei den Turingmaschinen werden bei den Registermaschinen die Programme maschinenorientiert sein, d.h. als Kontrollstrukturen Sprünge und bedingte Sprünge (basierend auf Fallunterscheidungen) benutzen. Dies macht das aktuelle Schreiben von Programmen recht aufwendig. Im zweiten Teil des Kapitels führen wir daher eine höhere (benutzerorientierte) Programmiersprache für Registermaschinen ein, die sog. Registeroperatoren. Bei diesen werden Sprünge durch (while-) Schleifen ersetzt. Wir werden den Komfort dieser höheren Programmiersprache im nächsten Kapitel nutzen, wenn wir zeigen, dass die rekursiven Funktionen von Registermaschinen berechnet werden können. Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 3 / 49

4 5.1 Registermaschinen und Registermaschinen-Berechenbarkeit Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 4 / 49

5 Registermaschinen Die Registermaschinen formalisieren Berechnungsverfahren über den natürlichen Zahlen: Der SPEICHER besteht aus einer festen Anzahl von Registern, die je eine natürliche Zahl aufnehmen können. Die elementaren (TRANSFORMATIONS-)OPERATIONEN erlauben das Inkrementieren (+1) und das Dekrementieren ( 1) der Zahlen in den Registern. (Hierbei: (n + 1) 1 = n und 0 1 = 0) Die elementaren TESTOPERATIONEN erlauben festzustellen, ob die Register leer sind, d.h. die 0 enthalten. Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 5 / 49

6 Turingmaschinen vs. Registermaschinen Turingmaschinen: Daten = Wörter Speicher = 1 Wort (mit Blanks) und Zeiger auf einen der Buchstaben Operationen = elementare Wortoperationen (Ersetzen, Löschen und Anfügen von Buchstaben) Tests = Lesen eines Buchstabens Registermaschinen: Daten = natürliche Zahlen Speicher = 1 Zahlenvektor Operationen = elementare Zähloperationen (Hoch-/Runterzählen) Tests = Nulltests Bei der Registermaschine wird von der Darstellung der Zahlen abstrahiert (vgl. die Idee des Datentyps). Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 6 / 49

7 Intuitive Beschreibung einer Registermaschine M: Speicherstruktur und Ein-/Ausgabe Eine Registermaschine M zur Berechnung einer n-stelligen (partiellen) Funktion ϕ : N n N verfügt über folgende Komponenten: SPEICHER: Der Speicher besteht aus k n + 1 Registern: Register 1 - n: Eingaberegister Register n + 1: Ausgaberegister Register n k: eventuelle Hilfsregister Hierbei kann jedes Register eine natürliche Zahl aufnehmen. EINGABE: Zu Beginn der Rechnung wird die i-te Komponente x i der Eingabe x = (x 1,...,x n ) in das i-te Register geschrieben (1 i n). Die übrigen Register sind leer (d.h. enthalten die Zahl 0). AUSGABE: Am Ende der Rechnung wird die Ausgabe dem n + 1-ten Register entnommen. Hilfsregister (aber auch die Ein- und das Ausgaberegister) dienen während der Rechnung zum Speichern von Zwischenergebnissen. Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 7 / 49

8 Intuitive Beschreibung einer Registermaschine M: Speicheroperationen Für i = 1,...,k kann M folgende elementaren Operationen ausführen: Inkrementieren des i-ten Registers: a i : N k N k wobei a i (x 1,...,x i 1,x i,x i+1,...,x k ) = (x 1,...,x i 1,x i + 1,x i+1,...,x k ) Dekrementieren des i-ten Registers: s i : N k N k wobei s i (x 1,...,x i 1,x i,x i+1,...,x k ) = (x 1,...,x i 1,x i 1,x i+1,...,x k ) ACHTUNG: s i (x 1,...,x i 1,0,x i+1,...,x k ) = (x 1,...,x i 1,0,x i+1,...,x k ) Nulltest für das i-te Register: t i : N k {0,1} wobei { 1 falls x t i (x 1,...,x i 1,x i,x i+1,...,x k ) = i = 0 0 falls x i > 0 Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 8 / 49

9 Intuitive Beschreibung einer Registermaschine M: Programm Das Programm ist eine endliche Folge von Operations- und Testinstruktionen. Operationsinstruktionen: (z,a i,z ) bzw. (z,s i,z ) Interpretation: im Zustand z in-(bzw. de-)krementiere das i-te Register und gehe in Zustand z Testinstruktionen: (z,t i,z,z ) Interpretation: im Zustand z teste, ob das i-te Register leer (=0) ist; falls nein, gehe in Zustand z, falls ja, gehe in Zustand z Dabei gibt es zu jedem Zustand z höchstens eine mit z beginnende Instruktion ( Determinismus). Ein Zustand, mit dem keine Instruktion beginnt, ist ein Stoppzustand. Beginnt die Instruktion I mit dem Zustand z, so heisst z die Adresse von I. Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 9 / 49

10 Bemerkung zum Instruktionsformat Bei unserem Turingmaschinenmodell ist das Programm eine endliche Folge von bedingten Anweisungen: Die Instruktion (z,a,a,b,z ) bewirkt, dass die Maschine im Zustand z zunächst testet ob a auf dem Arbeitsfeld steht und im positiven Fall werden die Druck- und Bewegungsbefehle a und B ausgeführt und in den Zustand z gesprungen (if-then-format). Bei dem Registermaschinenmodell haben wir dagegen unbedingte Operationsanweisungen (In- und Dekrementieren) und auf den Nulltests basierende bedingte Sprünge getrennt. Bei den Turingmaschinen könnten wir die entsprechende Trennung vornehmen, wobei wir für jeden Buchstaben a des Bandalphabets den Test t a ( steht a auf dem Arbeitsfeld? ) einführen würden und die entsprechenden bedingten Sprünge erlauben würden. Das so erhaltene Modell wäre äquivalent zu unserem Modell. Beim Nachweis der Äquivalenz benutzt man, dass hier der Testsatz t a (a Γ) vollständig und eindeutig ist, d.h. in jeder Situation mindestens ein und höchstens ein (also genau ein) Test positiv ausgeht. Der Testsatz bei den Registermaschinen ist dagegen weder vollständig noch eindeutig, weshalb das bei den Turingmaschinen gewählte Instruktionsformat hier nicht ausreicht: Die gewünschte Aktion bei einem negativen Testausgabe könnte mit dem bedingten Instruktionsformat i.a. nicht beschrieben werden. Dies liesse sich dadurch beheben, dass man entweder die dualen Tests t i ( ist Register i nicht leer? ) hinzufügt (und so den Testsatz vervollständigt), oder - alternativ - dadurch, dass man das bei der Turingmaschine gewählte bedingte Format if - then durch das Format if - then - else ersetzen würde. In jedem Fall könnte man so die von uns eingeführten Programme simulieren. Es bliebe aber noch das Problem des Determinismus, da die Testsätze nicht eindeutig sind. Eindeutigkeit und Vollständigkeit erhielte man, wenn man für jede mögliche Situation einen Test einführen würde (also Tests der Form t mit der Bedeutung Ist Register 1 leer und Register 2 nicht leer und Register 3 leer und... und Register k leer? ). Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 10 / 49

11 Beispiel: eine Registermaschine M, die addiert Eine Registermaschine M zur Berechnung der Addition f (x,y) = x + y kommt mit den beiden Eingabe- und dem Ausgaberegister aus. M arbeitet wie folgt: Zunächst wird das erste Register dekrementiert bis es leer ist und dabei gleichzeitig das dritte Register entsprechend inkrementiert. Dann wird genauso mit dem zweiten Register verfahren. (z 0,t 1,z 1,z 3 ) z 0 : if r 1 = 0 then goto z 3 else goto z 1 ; (z 1,s 1,z 2 ) z 1 : r 1 := r 1 1; goto z 2 ; (z 2,a 3,z 0 ) z 2 : r 3 := r 3 + 1; goto z 0 ; (z 3,t 2,z 4,z 6 ) z 3 : if r 2 = 0 then goto z 6 (= stop) else goto z 4 ; (z 4,s 2,z 5 ) z 4 : r 2 := r 2 1; goto z 5 ; (z 5,a 3,z 3 ) z 5 : r 3 := r 3 + 1; goto z 3. Am Ende der Rechnung sind die beiden Eingaberegister geleert und das Ausgaberegister enthält die Summe der beiden Eingaben. Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 11 / 49

12 Formale Definition einer k-registermaschine M zur Berechnung einer n-stelligen Funktion Eine k-registermaschine (k-rm) M zur Berechnung einer (partiellen) Funktion ϕ : N n N ist ein 5-Tupel mit folgenden Komponenten: M = (k,n,z,z 0,δ) k ist die Anzahl der Register von M wobei k n + 1. n ist die Stelligkeit der berechneten Funktion. Z ist die endliche Menge der (Programm-)Zustände. z 0 Z ist der Startzustand. δ, das Programm, ist eine partielle Funktion δ : Z (OPER Z ) (TEST Z Z ) wobei OPER = {a 1,...,a k,s 1,...,s k } und TEST = {t 1,...,t k }. (δ ordnet der Adresse einer Instruktion deren Rumpf zu.) Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 12 / 49

13 Beispiel Die im vorhergehenden Beipiel beschriebene Registermaschine M zur Berechnung der Summe zweier Zahlen ist formal wie folgt definiert : M = (3,2,Z,z 0,δ), wobei Z = {z 0,...,z 6 } und δ durch folgende Tabelle bestimmt ist: Z ( OPER Z ) ( TEST Z Z ) z 0 t 1 z 1 z 3 z 1 s 1 z 2 z 2 a 3 z 0 z 3 t 2 z 4 z 6 z 4 s 2 z 5 z 5 a 3 z 3 Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 13 / 49

14 Formale Beschreibung der Arbeitsweise der k-rm M: Vorgehensweise Zur formalen Beschreibung der Arbeitsweise der k-registermaschine M = (k,n,z,z 0,δ) gehen wir entsprechend wie bei Turingmaschinen vor und benutzen die dort eingeführten Begriffe: Zunächst definieren wir die M-Konfigurationen, die die möglichen Situationen beschreiben, in denen sich M befinden kann. Wir beschreiben dann Eingabemechanismus (Eingabefunktion, Startkonfiguration) und Ausgabemechanismus (Ausgabefunktion). Schließlich definieren wir die Nachfolgekonfiguration einer Konfiguration. Hiermit werden dann Konfigurationenfolgen, Rechnungen und berechnete Funktion wie bei den Turingmaschinen definiert. Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 14 / 49

15 Formale Beschreibung der Arbeitsweise der k-rm M: Konfigurationen und Eingabemechanismus M-Konfigurationen: Eine M-Konfiguration besteht aus den Registerinhalten und dem aktuellen Zustand, ist also ein (k + 1)-Tupel (x 1,...,x k,z) N k Z. KON M = N k Z ist also die Menge der M-Konfigurationen. Eingabemechanismus (Eingabefunktion und Startkonfiguration): Die Eingabefunktion von M bildet einen Eingabevektor x N n auf die zugehörige Startkonfiguration ab. Die Startkonfiguration von M bei Eingabe x = (x 1,...,x n ) N n ist hierbei die Konfiguration α M ( x) = (x 1,...,x n,0,...,0,z 0 ) = ( x,0,0 k (n+1),z 0 ) Die Komponenten der Eingabe stehen also in den Eingaberegistern, die restlichen Register sind leer, und M befindet sich im Startzustand z 0. Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 15 / 49

16 Formale Beschreibung der Arbeitsweise der k-rm M: Ausgabemechanismus und Nachfolgekonfigurationen Ausgabemechanismus (Ausgabefunktion): Die Ausgabefunktion out M : KON M N ordnet jeder M-Konfiguration den Inhalt des Ausgaberegisters zu: out M (x 1,...,x k,z) = x n+1 (NB: Wie bei den TMs wird die tatsächliche Ausgabe y von M bei Eingabe x der am Ende der Rechnung erreichten Stoppkonfiguration (falls existent) entnommen.) Nachfolgekonfigurationen: Die Nachfolgekonfiguration s(α) einer M-Konfiguration α = ( x,z) mit x = (x 1,...,x k ) ist genau dann definiert, wenn δ(z) definiert ist. In diesem Fall gilt (x 1,...,x i 1,x i + 1,x i+1,...,x k,z ) falls δ(z) = (a i,z ) (x s(α) = s( x,z) = 1,...,x i 1,x i 1,x i+1,...,x k,z ) falls δ(z) = (s i,z ) ( x,z ) falls δ(z) = (t i,z,z ) und x i > 0 ( x,z ) falls δ(z) = (t i,z,z ) und x i = 0 NB: Falls definiert, ist die Nachfolgekonfiguration s(α) von α eindeutig bestimmt. Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 16 / 49

17 Formale Beschreibung der Arbeitsweise der k-rm M: Stoppkonfigurationen, Einschrittrelation, etc Die weiteren Begriffe Stoppkonfiguration, Einschrittrelation, Mehrschrittrelation, (maximale) Konfigurationenfolge, etc. lassen sich aus den bis hier eingeführten Begriffen wie im Falle der Turingmaschinen ableiten: s. dort. Hiermit erhält man dann (ebenfalls exakt wie bei den Turingmaschinen): Rechnungen: Die Rechnung von M bei Eingabe x, Rechnung M ( x), ist die (eindeutig bestimmte) maximale mit der Startkonfiguration α M ( x) beginnende Konfigurationenfolge. Berechnete Funktion: Die von M berechnete partielle Funktion ist definiert durch: ϕ M : N n N ϕ M ( x) ist genau dann definiert, wenn die M-Rechnung bei Eingabe x endlich ist. Ist α1,...,α l die M-Rechnung bei Eingabe x, so ist ϕ M ( x) = out M (α l ). Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 17 / 49

18 Registermaschinen-berechenbare Funktionen Damit haben wir die Arbeitsweise der Registermaschine M = (k,n,z,z 0,δ) und die von ihr berechnete partielle Funktion ϕ M : N n N formal beschrieben. Dies liefert uns eine weitere Klasse von (partiellen) Funktionen, die im formalen Sinne berechenbar sind. DEFINITION. Eine (partielle) Funktion ϕ : N n N ist (partiell) Registermaschinen-berechenbar (kurz: (partiell) RM-berechenbar), wenn es eine k-registermaschine M (k n + 1) gibt, die ϕ berechnet, d.h. für die ϕ = ϕ M gilt. BEZEICHNUNGEN: F(RM) (n) = {ψ : N n N : ψ partiell RM-berechenbar} F(RM) = n 0 F(RM) (n) F tot (RM) (n) = {f : N n N : f RM-berechenbar} F tot (RM) = n 0 F tot (RM) (n) Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 18 / 49

19 RM-Berechenbarkeit vs. TM-Berechenbarkeit Wie wir zeigen werden stimmen RM-Berechenbarkeit und TM-Berechenbarkeit überein: SATZ: F(RM) = F(TM) (und damit auch F tot (RM) = F tot (TM)). Hier werden wir zunächst nur die Inklusion F(RM) F(TM) zeigen. Die Rückrichtung F(TM) F(RM) wird sich später aus einem Ringschluss ergeben, bei dem wir das weitere formale Berechnungskonzept der (partiell) rekursiven Funktion mit einbeziehen werden. Zum Beweis der Inklusion F(RM) F(TM) genügt es zu zeigen, dass ( ) F(RM) F(k-TM) gilt, da aufgrund des Bandreduktionssatzes F(k-TM) F(TM) gilt. Die Inklusion ( ) ergibt sich unmittelbar aus der folgenden Simulation von k-registermaschinen durch k-band-turingmaschinen. k 1 Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 19 / 49

20 Das RM-TM-Simulationslemma RM-TM-SIMULATIONSLEMMA: Zu jeder k-registermaschine M = (k,n,z,z 0,δ) zur Berechnung einer n-stelligen partiellen Funktion N n N (k n + 1) gibt es eine äquivalente k-band-turingmaschine. M = (k,{0},n,{0},{0,b},z,z 0,δ ) NB Da die TM M auf der Unärdarstellung 0 x+1 der Zahl x operiert, muss für die von M und M berechneten Funktionen ϕ M und ϕ M gelten: ϕ M (0 x 1+1,...,0 x n+1 ) = 0 ϕ M (x 1,...,x n )+1 Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 20 / 49

21 Das RM-TM-Simulationslemma: Beweisidee Die k-band-tm M simuliert die k-rm M Schritt-für-Schritt. D.h. jeder Rechenschritt von M wird durch eine endliche Schrittfolge von M (Simulationszyklus) simuliert. Hierzu wird der aktuelle Inhalt y j des j-ten Registers von M auf dem j-ten M -Band unär dargestellt (1 j k). Dabei steht (zu Beginn und Ende eines jeden Simulationszyklus) der LS-Kopf auf der ersten 0 des Wortes 0 y j +1 und das j-te Band ist ansonsten leer:...b00 y j b... Vor der Simulationsphase müssen daher die n Eingaben x 1,...,x n von M, die M unär durch Blanks getrennt auf Band 1 als Eingabe erhält, auf die Bänder 1,...,n verteilt werden, und die übrigen Bänder mit 0 (=0) beschriftet werden (Initialisierungsphase). Nach Abschluss der Simulationsphase muss dann noch die Ausgabe 0 y n+1, die auf Band n + 1 steht, auf das Ausgabeband k kopiert werden (Abschlussphase). Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 21 / 49

22 Das RM-TM-Simulationslemma: Beweisidee (2) Das Programm δ von M besteht also aus 3 Teilprogrammen: δ init zur Ausführung der Initialisierungsphase δ sim zur Ausführung der Simulationsphase δ fin zur Ausführung der Abschlussphase Wir geben diese Programmteile an, indem wir die zugehörigen Instruktionen (=Programmzeilen) auflisten. Dabei ändern wir zur Verbesserung der Lesbarkeit die Reihenfolge der Komponenten: statt der Anordnung benutzen wir Z {0,b} k ({0,b} Bew) k Z Z {0,b} k {0,b} k Bew k Z. Die Zustandsmenge Z von M, die die Zustandsmenge Z von M umfasst, ergibt sich implizit aus der Beschreibung von δ. Dabei gehen wir davon aus, dass alle Zustände, die nicht explizit von Z übernommen werden, neu sind. Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 22 / 49

23 Das RM-TM-Simulationslemma: Initialisierung Vorgehensweise: Die Initialisierungsphase beginnt mit der Startkonfiguration von M bei Eingabe (x 1,...,x n ): z 0 : b0x 1+1 b0 x b0 x n+1, b,..., b Es wird dann zunächst auf die erste Null von 0 x 1+1 gegangen, und es werden die Bänder 2 bis k mit 0 beschriftet: z 1 lesen : 00x 1b0 x b0 x n+1, 0,..., 0 Dann wird weiter auf das Blank hinter der ersten Eingabe 0 x 1+1 gegangen: z 2 copy : 0 x 1+1 b0 x b0 x n+1, 0,..., 0 Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 23 / 49

24 Das RM-TM-Simulationslemma: Initialisierung (2) Vorgehensweise (Forts.): Es wird dann der Block 0 x 2+1 gelesen, gleichzeitig gelöscht und (von rechts nach links unter Weglassen der bereits vorhandenen 0) auf Band 2 kopiert: z 3 copy : 0 x 1+1 bb x 2+1 b0 x b0 x n+1, 00 x 2, 0..., 0 Dies wird dann für i = 3,...,n iteriert: z n+1 copy : 0 x 1+1 bb x bb x n+1 b, 00 x 2,..., 00 x n, 0,..., 0 Schliesslich wird auf Band 1 das Arbeitsfeld auf die erste 0 der verbliebenen Eingabe 0 x+1 zurückgesetzt und in den Startzustand z 0 von M gegangen ( Übergang zur Simulationsphase): z 0 : 00 x 1, 00 x 2,..., 00 x n, 0,..., 0 Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 24 / 49

25 Das RM-TM-Simulationslemma: Initialisierung (3) Das Programmstück δ init wobei i = 2,...,n: Z {0,b} k {0,b} k Bew k Z z 0 b k b0 k 1 RS k 1 z 1 lesen zlesen 1 0 k 0 k RS k 1 zlesen 1 zlesen 1 b0 k 1 b0 k 1 S k zcopy 2 zcopy i b0 k 1 b0 k 1 RS k 1 zcopy+ i zcopy+ i 00 k 1 b0 k 1 RS i 2 LS k i zcopy++ i zcopy++ i 00 i 2 b0 k i b0 i 2 00 k i RS i 2 LS k i zcopy++ i zcopy++ i b0 i 2 b0 k i b0 i 2 b0 k i SS i 2 RS k i zcopy i+1 zcopy n+1 b0 k 1 b0 k 1 LS k 1 zcopy n+1 zcopy n+1 00 k 1 00 k 1 LS k 1 z links z links 00 k 1 00 k 1 LS k 1 z links z links b0 k 1 b0 k 1 RS k 1 z 0 Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 25 / 49

26 Das RM-TM-Simulationslemma: Simulationsphase Das Programmstück δ sim enthält für jede M-Instruktion entsprechende Programmzeilen zur Simulation, wobei diese natürlich vom Typ der M-Instruktion abhängen. Wir geben diese im Folgenden an. Inkrementierungsanweisung (z,a i,z ): Simulationsprogramm: Z {0,b} k {0,b} k Bew k Z z 0 k 0 k S i 1 LS k i z + z + 0 i 1 b0 k i 0 k S k z Anschaulich: Auf Band i wird auf das b vor der aktuellen Inschrift gegangen und dieses in eine 0 verwandelt. Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 26 / 49

27 Das RM-TM-Simulationslemma: Simulationsphase (2) Dekrementierungsanweisung (z,s i,z ): Simulationsprogramm: Z {0,b} k {0,b} k Bew k Z z 0 k 0 i 1 b0 k i S i 1 RS k i z + z + 0 i 1 b0 k i 0 k S k z z + 0 k 0 k S k z Anschaulich: Auf Band i wird die erste 0 in der aktuellen Zahldarstellung gelöscht und nach rechts gegangen. Steht dort eine 0, so stoppt man (man hat eine Zahl > 0 dekrementiert); steht dort ein Blank, so ersetzt man dieses durch eine 0 (man stellt hier die Darstellung 0 der Zahl 0 wieder her, nachdem man diese davor gelöscht hatte). Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 27 / 49

28 Das RM-TM-Simulationslemma: Simulationsphase (3) Testanweisung (z,t i,z,z ): Simulationsprogramm: Z {0,b} k {0,b} k Bew k Z z 0 k 0 k S i 1 RS k i z =0? z =0? 0 i 1 b0 k i 0 i 1 b0 k i S i 1 LS k i z z =0? 0 k 0 k S i 1 LS k i z Anschaulich: Auf Band i wird rechts hinter die erste 0 in der aktuellen Zahldarstellung gegangen. Steht dort ein b, so wird die Null dargestellt und man geht in Zustand z ; andernfalls wird eine Zahl > 0 dargestellt und man geht in Zustand z. In beiden Fällen läuft man auf Band i auf die erste 0 der Zahldarstellung zurück. Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 28 / 49

29 Das RM-TM-Simulationslemma: Abschlussphase (1) Bei der Definition des Programmstücks δ fin muss man die Fälle n + 1 < k und n + 1 = k unterscheiden. Im Falle von n + 1 < k besteht δ fin aus folgenden Instruktionen für jeden Stoppzustand z von M: Z {0,b} k {0,b} k Bew k Z z 0 k 0 k S k 1 L Links Links 0 k 1 b 0 k 1 b S k 1 L Copy Copy 0 k 1 b 0 k S n RS k (n+2) L Copy Copy 0 n b0 k (n+2) b 0 n b0 k (n+2) b S k STOP Anschaulich: Die auf Band n + 1 stehende Ausgabe 0 y n+1+1 wird auf Band k vor die dort stehende Zahdarstellung (getrennt durch ein b) geschrieben. Hierbei wird auf Band n + 1 von links nach rechts gelesen und auf Band k von rechts nach links geschrieben. Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 29 / 49

30 Das RM-TM-Simulationslemma: Abschlussphase (2) Im Falle von n + 1 = k besteht δ fin aus der folgenden Instruktion für jeden Stoppzustand z von M: Z {0,b} k {0,b} k Bew k Z z 0 k 0 k S k 1 L STOP Anschaulich: Die Ausgabe steht bereits auf Band k. Es genügt also das AF von der ersten 0 der Ausgabe auf das Blank davor zu verlegen. Damit ist der Beweis des Simulationslemmas abgeschlossen. Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 30 / 49

31 5.2 Registeroperatoren Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 31 / 49

32 Sprünge und Zustände Die Programme von Registermaschinen (und ebenso von Turingmaschinen) benutzen die Konzepte der maschinennahen Programmierung: Kontrollstrukturen sind: Sprünge auf Fallunterscheidungen basierende bedingte Sprünge (Bei den TMs werden diese zu bedingten Anweisungen zusammengefasst.) So entspricht die Programmzeile δ(z) = (o i,z ) bzw. δ(z) = (t i,z,z ) dem folgenden Sprung z : führe o i aus; goto z bzw. bedingten Sprung z : if i-tes Register leer then goto z else goto z ; Die Programmzustände dienen hierbei als Sprungmarken. Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 32 / 49

33 Sprünge vs. Schleifen In höheren Programmiersprachen werden Sprünge und bedingte Sprünge durch Schleifen ersetzt. Im Folgenden führen wir solch ein höhere Programmiersprache für das Registermaschinenkonzept ein (die sog. Registeroperatoren), die auf while-schleifen basiert. Wir erinnern hierzu zunächst an das Schleifenkonzept. Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 33 / 49

34 Iterative Anweisungen I: for-schleifen Die n-fache Iteration Iter(f,n) = f n einer Operation f : D D ist wie folgt definiert: Iter(f,0)(s) = f 0 (s) = s Iter(f,n + 1)(s) = f n+1 (s) = f (f n (s)) = f (Iter(f,n)(s)) D.h. es wird zu Beginn bereits festgelegt, wie oft f ausgeführt wird: Iter(f,n)(s) ˆ= for i = 1 to n do s := f (s) Die n-fache Iteration entspricht also gerade der (klassischen) for-schleife in Programmiersprachen. Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 34 / 49

35 Iterative Anweisungen II: while-schleifen Die Iteration Iter t (f ) von f nach einem Test t (wobei f : D D und t : D {0,1}) ist wie folgt definiert: Iter t (f )(s) = f n s (s), wobei n s das kleinste n mit t(f n (s)) = 1 ist, falls solch ein n existiert, und Iter t (f )(s) andernfalls. D.h. f wird so oft ausgeführt, bis t erstmals positiv ist. Dabei wird vor jeder Ausführung von f getestet, ob t gilt; ist t bereits zu Beginn positiv, wird also f nie ausgeführt: Iter t (f )(s) ˆ= while t(s) = 0 do s := f (s) Die Iteration Iter t (f ) von f nach einem Test t entspricht also gerade der while-schleife in Programmiersprachen. Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 35 / 49

36 Registeroperatoren: Idee Auf Schleifen basierende Registermaschinen-Programme definieren wir mit Hilfe sog. Registeroperatoren. Solch ein Operator ist eine partielle RM-Speichertransformation basierend auf Verkettung und Iteration der elementaren RM-Operationen (In- bzw. Dekrementieren von Registern), wobei die elementaren RM-Tests (Ist das i-te Register leer?) als Stoppkriterien bei den Iterationen dienen. Da die Speicherstruktur einer RM nur von der Anzahl k der Register abhängt, sprechen wir auch von k-registeroperatoren P. Jeder solcher Operator P ist eine partielle Funktion P : N k N k. Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 36 / 49

37 Induktive Definition der k-registeroperatoren DEFINITION: Die k-registeroperatoren (k-ros) P sind induktiv wie folgt definiert: 1. Jedes P {a 1,...,a k,s 1,...,s k } ist ein k-ro, wobei a i (r 1,...,r k ) = (r 1,...,r i 1,r i + 1,r i+1,...,r k ) s i (r 1,...,r k ) = (r 1,...,r i 1,r i 1,r i+1,...,r k ) ( inkrementiere bzw. dekrementiere Register i ) 2. Sind P 1 und P 2 k-ros, so auch P 1 P 2, wobei ( erst P 1, dann P 2 ) P 1 P 2 ( r) = P 2 (P 1 ( r)) 3. Ist P ein k-ro und 1 i k, so ist auch [P] i ein k-ro, wobei [P] i ( r) = Iter ti (P)( r) ( iteriere P so lange, bis das i-te Register leer ist ) Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 37 / 49

38 k-registeroperatoren: Gleichheit und Äquivalenz Bei einem k-ro P muss man zwischen dem Operator selbst (als Zeichenreihe = Programmtext, Syntax) und der dargestellten Funktion (Wirkung des Programms, Semantik) unterscheiden. Wir sagen dass zwei Operatoren P und P gleich sind (P P ), wenn diese als Zeichenreihen identisch sind, und dass P und P äquivalent sind (P = P ), wenn diese dieselbe Funktion darstellen. So sind z.b. die Operatoren a 1 s 2 und s 2 a 1 nicht gleich (a 1 s 2 s 2 a 1 ) aber äquivalent (a 1 s 2 = s 2 a 1 ), da beide die Funktion f (x 1,x 2 ) = (x 1 + 1,x 2 1) darstellen. Dagegen sind s 1 a 1 und a 1 s 1 nicht äquivalent (s 1 a 1 a 1 s 1 ), da s 1 a 1 (0) = 1 wogegen a 1 s 1 (0) = 0. Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 38 / 49

39 Beschränkte Iteration und primitive Registeroperatoren Bei einem Iterationsoperator [P] i kann man i.a. nicht a priori sagen, wie oft der innere Operator P ausgeführt wird (while-schleife). Dies können wir jedoch durch folgende Einschränkung der Iteration vermeiden: 3. Ist P ein k-ro, in dem die Operatoren a i und s i nicht vorkommen, so ist auch [s i P] i ein k-ro. Wird hier [s i P] i auf r = (r 1,...,r k ) angewandt, so wird der innere Operator P r i -mal hintereinander ausgeführt (und das i-te Register ist nach Ausführung von [s i P] i leer) (for-schleife). Ersetzt man in der Definition der k-registeroperatoren die Iterationsklausel 3. durch die beschränkte Iteration 3., so erhält man die primitiven k-registeroperatoren (k-pros). Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 39 / 49

40 ROs vs. PROs: Bemerkungen k-pros sind total! (Triviale Induktion nach Aufbau der k-pros.) k-ros können dagegen partiell sein. So stellt z.b. der 1-RO a 1 [a 1 ] 1 die nirgends definierte Funktion dar. Jeder k-pro ist ein k-ro. In der beschränkten Iteration [s i P] i lassen wir auch den leeren Operator P (= Identitätsfunktion) zu. D.h. [s i ] i ist ein k-pro. Offensichtlich gilt [s i ] l = [s i a n s n ] l (für n i). Ist [s i P] i ein primitiver RO, so ist [s i P] i zu [Ps i ] i äquivalent: Da der Teiloperator P nicht auf Register i zugreift, spielt es keine Rolle, ob wir dieses vor oder nach Ausführung von P dekrementieren. Wir akzeptieren daher i.a. auch [Ps i ] i als PRO. Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 40 / 49

41 Von ROs berechnete Funktionen Ein k-ro P stellt eine (partielle) Funktion vom Typ N k N k dar. Indem wir den Ein- und Ausgabemechanismus von Registermaschinen verwenden, können wir P aber auch eine partielle Funktion vom Typ N n N zuordnen (für n + 1 k): DEFINITION. Sei n < k und P ein k-ro. Die von P berechnete n-st. partielle Funktion ϕ (n) P : Nn N is definiert durch ϕ (n) P (x 1,...,x n ) = U k n+1 (P(x 1,...,x n,0,0 k (n+1) )) Hierbei ist Un+1 k die k-stellige Projektion auf die (n + 1)-te Komponente: Un+1 k (y 1,...,y k ) = y n+1. Gilt zusätzlich für alle x = (x 1,...,x n ) Db(ϕ (n) P ) P( x,0,0 k (n+1) ) = ( x,ϕ (n) P ( x),0k (n+1) ), so sagen wir, dass der RO P die Funktion ϕ (n) P konservativ berechnet. In einer konservativen Rechnung sind also am Ende der Rechnung die Eingaberegister wiederhergestellt und die Hilfsregister gelöscht. Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 41 / 49

42 Beispiele Der (primitive) 3-Registeroperator Sum = [s 1 a 3 ] 1 [s 2 a 3 ] 2 berechnet die Summe zweier natürlicher Zahlen, wobei er wie die in einem früheren Beispiel vorgestellte RM zur Berechnung der Summenfunktion vorgeht. Sum ist nicht konservativ, da die Eingaben im Laufe der Rechnung zerstört werden: Sum(m 1,m 2,0) = (0,0,m 1 + m 2 ). Der k-pro [s i ] i leert das i-te Register: [s i ] i (x 1,...,x i 1,x i,x i+1,...,x k ) = (x 1,...,x i 1,0,x i+1,...,x k ) Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 42 / 49

43 Beispiele (Forts.) Der PRO TL i j = [s j ] j [s i a j ] i, kopiert Register i in Register j (j i), wobei Register i gelöscht wird (Registertransfer mit Löschen): Der (primitive) Registeroperator TL i j (...,r i,...,r j,...) = (...,0,...,r i,...) T i j,h = [s j ] j [s h ] h [s i a j a h ] i [s h a i ] h beschreibt den Registertransfer ohne Löschen von Register i in Register j unter Verwendung von Register h als Hilfsregister (i, j, h paarweise verschieden): T i j,h (...,r i,...,r j,...,r h,...) = (...,r i,...,r i,...,0,...) Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 43 / 49

44 Rechnungen vs. konservative Rechnungen BEOBACHTUNG: Mit Hilfe der Löschoperatoren und der Registertransfers kann man jeden k-(p)ro P zur Berechnung einer partiellen Funktion ϕ (n) (n < k) in einen (k + n)-(p)ro P überführen, der ϕ (n) konservativ berechnet: P T 1 k+1,n+1...t n,k+n,n+1 P[s n+2 ] n+2...[s k ] k TL k TL k+n n BEISPIEL: So erhält man z.b. aus dem oben eingeführten 3-PRO Sum zur Berechnung von + den folgenden 5-PRO zur konservativen Berechnung von +: Sum kon = T 1 4,3 T 2 5,3 Sum TL 4 1 TL 5 2 Wir werden diese Beobachtung im Folgenden nutzen: Wenn wir einen (P)RO P zur Berechnung einer (partiellen) Funktion ϕ gegeben haben, so dürfen wir o.b.d.a. annehmen, dass der Operator P ϕ konservativ berechnet! Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 44 / 49

45 RO-Berechenbarkeit Entsprechend zur RM-Berechenbarkeit definieren wir: DEFINITION. Eine (partielle) Funktion ϕ : N n N ist (partiell) Registeroperatoren-berechenbar (kurz: (partiell) RO-berechenbar), wenn es einen k-registeroperator P (k n + 1) gibt, der ϕ berechnet, d.h. für den ϕ = ϕ (n) P gilt. Entsprechend: Eine Funktion f : N n N ist primitiv Registeroperatorenberechenbar (kurz: PRO-berechenbar), wenn es einen primitiven k-registeroperator P (k n + 1) gibt, der f berechnet, d.h. für den f = ϕ (n) P gilt. BEZEICHNUNGEN: F(RO) (n) = {ψ : N n N : ψ partiell RO-berechenbar} F(RO) = n 0 F(RM) (n) F tot (RO) (n) = {f : N n N : f RO-berechenbar} F tot (RO) = n 0 F tot (RO) (n) F(PRO) (n) = {f : N n N : f PRO-berechenbar} F(PRO) = n 0 F(PRO) (n) Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 45 / 49

46 RM-Berechenbarkeit vs. RO-Berechenbarkeit Man kann zeigen, dass das Registermaschinen- und das Registeroperatorenkonzept äquivalent sind, d.h. die Klasse der (partiell) RM-berechenbaren Funktionen mit der Klasse der RO-berechenbaren Funktionen übereinstimmt: F(RM) = F(RO) Für uns ist nur die Inklusion F(RO) F(RM) interessant, die sich aus dem RO-RM-Simulationslemma ergibt, das wir als nächstes beweisen werden. Diese Inklusion wird im Beweis, dass Turingmaschinenberechenbarkeit, Registermaschinenberechenbarkeit und (die noch einzuführende) Rekursivität zusammenfallen (Äquivalenzsatz), von uns verwendet werden. (Die Inklusion F(RM) F(RO) wird sich aus dem Ringschluss zum Beweis des Äquivalenzsatzes ebenfalls ergeben.) Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 46 / 49

47 RO-RM-Simulationslemma Da Ein- und Ausgabe bei Registeroperatoren und Registermaschinen gleich definiert sind, genügt es zum Nachweis von F(RO) F(RM) folgendes Lemma zu zeigen. RO-RM-SIMULATIONSLEMMA. Zu jedem k-ro P gibt es eine k-rm M mit Startzustand α M und ausgezeichnetem Stoppzustand ω M, sodass für alle r N k gilt: (i) Ist P( r) definiert, so ist die mit ( r,α M ) beginnende Rechnung von M endlich und endet mit der Stoppkonfiguration (P( r),ω M ). (ii) Ist P( r) undefiniert, so ist die mit ( r,α M ) beginnende Rechnung von M unendlich. Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 47 / 49

48 RO-RM-Simulationslemma: Beweis Der Beweis ist durch Induktion nach Aufbau (= Länge) des RO P. 1. P a i oder P s i (1 i k): Dann besteht das Programm δ von M aus der Instruktion (α M,a i,ω M ) bzw. (α M,s i,ω M ). 2. P P 1 P 2 : Nach I.V. gibt es dann die die ROs P i simulierenden Maschinen M i mit Zustandsmengen Z i und ausgezeichneten Zuständen α Mi und ω Mi (i = 1,2). Durch eventuelles Umbenennen der Zustände können wir erreichen, dass Z 1 Z 2 = {ω M1 } und ω M1 = α M2 gilt. Das Programm von M ist dann die Vereinigung der Programme von M 1 und M 2, α M = α M1 und ω M = ω M2. Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 48 / 49

49 RO-RM-Simulationslemma: Beweis (Fortsetzung) 3. P = [P 1 ] i (1 i k): Nach I.V. gibt es dann eine den RO P 1 simulierende Maschine M 1 mit ausgezeichneten Zuständen α M1 und ω M1. Das Programm der Maschine M erhält man aus dem Programm von M 1 durch Hinzufügen der Instruktion (α M,t i,α M1,ω M ), wobei α M = ω M1 während ω M neu ist. (Ende des Beweises) Theoretische Informatik (SoSe 2011) 5. Registermaschinen 49 / 49