Bericht zur Prüfung im Mai 2007 über Bausparmathematik (Grundwissen)

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1 Blätter DGVFM DOI /s ACTUARIAL EXAMS Bericht zur Prüfung im Mai 2007 über Bausparmathematik (Grundwissen) Hans Laux Received: 22 Juli 2007 DAV / DGVFM 2007 Am 5. Mai 2007 fand in Köln die Prüfung über das Grundwissen der Bausparmathematik statt. Der Klausur unterzogen sich 114 Teilnehmer, von denen 103 die Prüfung bestanden haben. Die Klausur umfasste vier Aufgaben, für die maximal die jeweils angegebene Zahl von Punkten, insgesamt 90 Punkte, erzielbar waren. Die Klausur war auf 90 Minuten ausgelegt und galt als bestanden, wenn 40 Punkte erreicht wurden. Hilfsmittel waren außer einem Taschenrechner nicht zugelassen. Aufgabe 1 (20 Punkte) Ein Ratensparer zahlt auf seinen Bausparvertrag (BV) vierteljährlich nachschüssig in den ersten s 1 Quartalen den Sparbeitrag A 1, weiteren s 2 Quartalen den Sparbeitrag A 2 und letzten s 3 Sparzeitquartalen den Sparbeitrag A 3. a) Wie lautet die Formel für die Sparerleistung SL, wenn die Zuteilung (und vollständige Auszahlung der BS) im Zeitpunkt s = s 1 + s 2 + s 3 angenommen wird? b) Nach welcher Formel lässt sich in diesem Falle das individuelle Sparer-Kassen-Leistungsverhältnis (isklv) berechnen, wenn man annimmt, mit der Zuteilung erwachse aus dem BV der Anspruch auf ein Bauspardarlehen (BD) nach dem F- bzw. 50-Modell, also auf ein BD in fester Höhe von 50% der BS unabhängig vom Anspargrad, das vollständig im Zuteilungszeitpunkt ausgezahlt wird, wenn hierfür die Merkmale B (Tilgungsbeitrag pro Quartal), q = 1 + j (Zinsfaktor für das BD), d (Darlehensgebühr, die dem BDzugeschlagen wird) und das Quartalsmodell der Darlehensverzinsung gelten? Hans Laux, Kornwestheim, Deutschland, laux.aktuar@t-online.de

2 H. Laux c) Berechnen Sie SL und isklv für folgende Spezialisierung BS = 100; s 1 = s 2 = 10, s 3 = 12; A 1 = 1,2, A 2 = 1,5 und A 3 = 1,8; r = 1,00375, q = 1,01; d = 0,02; B = 1,5. Zu a) Das Endguthaben im Zeitpunkt s stellt sich auf G(s) = A 1 rs 1 1 r 1 rs 2+s 3 + A2 rs2 1 r 1 rs 3 + A 3 rs3 1 r 1 und die Sparerleistung SL auf SL = G(s) A 1 s 1 A 2 s 2 A 3 s 3. r 1 Zu b) Bezeichnet D(0) das Bruttoanfangs-Bauspardarlehen, hier in Höhe von und t die Tilgungszeit, die nach der Formel D(0) = 1,02 0,5 BS, t = ln(q) ln(q) mit B Q = B (q 1) D(0) berechnet werden kann, so beträgt die Kassenleistung KL KL = B t D(0) q 1 und das individuelle Sparer-Kassen-Leistungsverhältnis isklv isklv = SL KL. Zu c) Die Berechnungen mit Zwischenwerten gehen aus der nachstehenden Tabelle hervor r 10 r10 1 r 12 1 r 1 r 1 r 22 1.Term r 12 2.Term 3.Term 1, ,1707 1,08583,2524 1, , , ,05 G(32) ΣA k s k SL D(0) Q t KL isklv 51, ,6 709, , , ,84 0, Die Sparerleistung beträgt mithin rund 709,5% der Bausparsumme und das individuelle Sparer-Kassen-Leistungsverhältnis annähernd 61% (exakt 60,96%).

3 Actuarial Exam Bausparmathematik GW Aufgabe 2 (24 Punkte) Betrachtet werden vier Bausparverträge (BV), die hinsichtlich Bausparsumme (BS = ), Bausparguthaben (BG = ) und Bewertungsstichtag (BWS) übereinstimmen. Die Verträge, deren BS jeweils um 50% erhöht werden soll, unterscheiden sich jedoch bezüglich der Berechnungsart und -formel der Bewertungszahl (BZ) und des Bewertungszahlfaktors (BZF) wie folgt: BV A Habensaldenmethode HSS = BZF = 40 BV B Zuwachsmethode BZ = 200 BZF = 40 BV C Zinsenmethode SG Z = 2000 BZF = BV D Mischformel mit Nenner = 0,004 BS SGZ = 2000 BZF = 10 Darin ist HSS = Habensaldensumme; SG Z = Summe der erreichten Guthabenzinsen. Die BZ wird jeweils auf ganze Zahlen gerundet. Die Abschlussgebühr für den Erhöhungsteil kann außer acht gelassen werden. a) Welche Formeln sind konkret in den vier Beispielfällen bei den Vertragsänderungen infolge der Erhöhung anzuwenden? b) Weisen Sie für jeden der BV nach, dass die Erhöhung zum gleichen Ergebnis führt wie die Zusammenlegung mit einem neu abgeschlossenen, noch nicht besparten BV über die BS von Zu a) 1. Beim BV A genügt es, vom nächsten BWS nach der Erhöhung an in den Nenner der BZ- Formel BZF HSS BZ = BS die erhöhte BS einzusetzen. Zum selben BWS vermindert sich die BZ dadurch von auf BZalt = (1) = 200 (2) BZneu = = 3. (3) Für die Parameter im Zähler ändert sich grundsätzlich nichts. 2. Für den BV B muss die erreichte BZ im Verhältnis der alten zu der neuen BS ermäßigt werden. Das führt wie unter 1. zu der neuen BZ BZneu = = 3. In der Folgezeit ist der Zuwachs der BZ nach der Formel zu berechnen. Zuw = 40 BG

4 H. Laux 3. Für den BV C gilt das unter 1. Gesagte sinngemäß. Dazu ersetze man in (1) bis (3) HSS durch SG Z. Es gelten mithin die Formeln allgemein, für die bisherige BZ und BZalt = BZ = BZF SG Z BS = BZneu = = 3 (4) für die neue BZ zum selben BWS. 4. Auch der BV D ist nach den Regeln zu behandeln, die unter 1. und 3. erläutet worden sind. Die allgemeine Mischformel lautet Die bisherige BZ vermindert sich auf zum selben BWS. BZ = BZalt = BZneu = BG + BZF SG Z 0,004 BS = 200 = 3 (5) Zu b) Vorweg: Nachdem die Veränderungen der BZ in den vier Fällen errechnet sind, genügt es, die BZneu nach den Formeln für die Zusammenlegung nachzuweisen. 1. Bei der Habensaldenmethode ergibt sich die BZneu nach einer Zusammenlegung auf einfache Weise, indem man die HSS für den Zähler und die BS für den Nenner addiert. Daraus resultiert aber direkt die Formel (3), da der Neuvertrag keine HSS aufweist. 2. Die Zusammenlegungsformel liefert für den BV B BZneu = = und 4. Hier gelten wieder mutatis mutandis die Ausführungen unter 1. Da der Neuvertrag keine SG Z liefert, erhöht sich nur der Nenner, hier bei der Zinsenmethode um , bei der Mischformel um 200. Im Ergebnis erhält man die Formeln (4) und (5), womit die Gleichheit der Ergebnisse bei Erhöhung einerseits und Zusammenlegung andererseits nachgewiesen ist.

5 Actuarial Exam Bausparmathematik GW Aufgabe 3 (35 Punkte) Eine Bausparkasse führt einen Optionstarif mit drei Laufzeitvarianten, die sie nach dem Faktormodell in einem Tarif zusammengefasst hat. Der Tarif weist ein tarifliches Mindestsparguthaben (MG) von 50% der Bausparsumme (BS), einen festen Darlehensanspruch von 50% der BS und keine Darlehensgebühr auf. Ferner gilt für die Vierteljahresperioden r = 1,005 und q = 1,0125. Die wichtigsten Tarifmerkmale lauten Variante Charakter A B monatlich L Langzeitvariante 3 3,8 M Mittellaufvariante 5 5 K Kurzzeitvariante 7 6,2 Beurteilen Sie die bauspartechnische Kompatibilität der drei Varianten nach den Formeln der Bausparmathematik anhand des individuellen Sparer-Kassen-Leistungsverhältnisses (isklv) je eines Bausparers, der ohne weiteren Sparbeitrag genau 3 Monate nach dem (gebrochenen) Zeitpunkt, in dem sein Bausparvertrag mit den angegebenen Sparbeiträgen das MG erreicht, zugeteilt und dem sofort Bausparguthaben und Bauspardarlehen voll ausgezahlt wird. Zunächst sind die Sparzeiten s zum Erreichen des Anspargrades von 50% zu ermitteln. Bei der BS = 100 gilt die Bestimmungsgleichung 50 = G(s) = A rs 1 r 1. Daraus erhält man umgeformt r s 50 (r 1) = 1 + = R A und s = ln(r) ln(r). Die Sparerleistung bis zum Zuteilungszeitpunkt s + 1beträgt Darin ist SL = SG(s + 1) = G(s + 1) s A r 1 G(s + 1) = G(s) r. Auf der Darlehensseite ist t zu bestimmen mittels des Hilfswertes zu Q = B B (q 1) D(0). t = ln(q) ln(q).

6 H. Laux Für die Berechnung der Kassenleistung KL = B t D(0) q 1 sind alle Parameter bekannt. Schließlich gilt isklv = SL KL. Die numerischen Berechnungen sind in der nachfolgenden Tabelle zusammengestellt Variante A B R s SL Q t KL isklv L 0,9 1,14 1, , ,55 2,26 63, ,68 0,6564 M 1,5 1,5 1, , ,86 1, , ,64 0,6446 K 2,1 1,86 1, , ,25 1, , ,16 0,6388 Für die betrachteten Prototypen des Spar-, Zuteilungs- und Tilgungsverhaltens liegen die isklv in den drei Fällen sehr nahe beieinander (65,6% bis 63,9%). Die Kompatibilität ist somit vom isklv her gesehen voll gewahrt. Aufgabe 4 (11 Punkte) Zeigen Sie formelmäßig, dass die Annuitäten- oder progressive Tilgung von Darlehen zurecht auch mit geometrischer Tilgung bezeichnet wird. Die Bezeichnung geometrische Tilgung geht darauf zurück, dass die in den Tilgungsbeiträgen enthaltenen Tilgungsbeträge, d. h. die Tilgungsanteile, im Laufe der Tilgungszeit von Zinsperiode zu Zinsperiode mit dem Zinsfaktor q der Darlehensverzinsung geometrisch zunehmen. Das kann man auf verschiedene Weisen zeigen. Ein möglicher Lösungsansatz geht von der Rekursionsformel für den Darlehensstand aus D(k + 1) = D(k) q B für k = 0, 1, 2,...t 1 und der Gleichung für den Tilgungsanteil der k-ten Periode Dadurch gelangt man über T(k) = D(k 1) D(k) für k = 1, 2, 3,...t. T(k) = D(k 2) q B [D(k 1) q B]=q [D(k 2) D(k 1)] bereits zu dem Beweis der Progression von T um q in T(k) = q T(k 1). Ein anderer Lösungsansatz basiert auf der Anfangstilgung von T(1) = D(0) D(1) = B (q 1) D(0)

7 Actuarial Exam Bausparmathematik GW und der aus der Grundgleichung für die progressive Tilgung ableitbaren Beziehung D(k) = D(0) q k B qk 1 q 1. Daraus ergibt sich der Tilgungsanteil in der Periode k + 1zu T(k + 1) = D(k) D(k + 1) = D(0) (q k q k+1 ) B q 1 (qk 1 q k+1 + 1) = D(0) q k (1 q) B q 1 qk (1 q) = B q k (q 1) q k D(0) = q k [B (q 1) D(0)] = q k T(1) Damit ist aufgezeigt, dass die Anfangstilgung B (q 1) D(0) mit dem Zinsfaktor q bis zur Periode k + 1 geometrisch auf das q k -fache anwächst.