Modellieren mit linearen Funktionen. Didaktik III GTR im MU Johannes Berdin

Transkript

1 Modellieren mit linearen Funktionen Didaktik III GTR im MU Johannes Berdin

2 Ablauf Kurze Wiederholung Lineare Funktionen Graphen zeichnen Wertetabellen ausfüllen Rollen des Grafischen Taschenrechners im Mathematikunterricht Modellieren mit linearen Funktionen Lehrplanbezug Beispielaufgabe Tarifdschungel Mobilfunk Gruppenarbeit Diskussion

3 Was ist was? Steigungsdreieck Gerade Funktion Lösungspaare linear y-achsenabschnitt Zuordnung Gleichung Steigung

4 Graphen zeichnen Kochrezept 1. p-taste 2. y-menü (5) 3. Funktionsvorschrift eingeben Navigation erfolgt über Steuerkreuz Variableeingabe über f-taste Wertebereich als Intervall durch, anfügen 4. Funktion auswählen q-taste (SEL) 5. Funktion zeichnen u-taste (DRAW)

5 Wertetabelle erstellen Kochrezept 1. p-taste 2. i-menü (7) 3. Funktionsvorschrift eingeben Navigation erfolgt über Steuerkreuz Variableeingabe über f-taste Wertebereich als Intervall durch, anfügen 4. Funktion auswählen q-taste (SEL) 5. Tabelle erzeugen u-taste (TABL)

6 Tabellenkalkulation verwenden Kochrezept 1. p-taste 2. r-menü (4) 3. Werte eintragen 4. Weitere Optionen durch u und mit q-taste Graph plotten

7 Rollen des grafischen Taschenrechners Medium zur Darstellung, Demonstration und Veranschaulichung math. Phänomene wie Kurven, Funktionen als Graphen, Tabellen, Terme, etc. (vgl Tietze et. al2, S. 45) Rechenknecht (Werkzeug) zur Einübung gewisser Techniken und Fertigkeiten, zur Unterstützung des Verständnisses math. Begriffe und zur Verringerung des Rechenaufwandes bei Beispielen und des Aufwandes an Termumformungen (Tietze et. al, S. 45)

8 Rollen des grafischen Taschenrechners Entdecker als Hilfe beim Entdecken math. Zusammenhänge im Sinne eines experimentellen Unterrichts, beim Entwickeln und Überprüfen von Hypothesen (Tietze et. Al, S. 45) Unterrichtsinhalt als Gegenstand des Unterrichts z.b. bei der Untersuchung von Phänomenen, welche bei der graphischen Darstellung von Funktionsgraphen auftreten (vgl. Hischer3 2002, S. 293ff.)

9 Modellieren mit linearen Funktionen Problem Mathematik Modell Lösung deduzieren modellieren, mathematisieren Welt Situation Konsequenzen interpretieren validieren Ergebnisse (vgl. Schupp 1988, S. 11)

10 Lineare Funktionen in Klassenstufe 7 - aufbauend auf Zuordnungsbegriff aus Klassenstufe 5 - mächtige Methode und universelles Mittel zur Beschreibung quantitativer Zusammenhänge Im Mittelpunkt - erkennen funktionaler Abhängigkeiten - formale Beschreiben mit Hilfe von Funktionstermen - graphische Veranschaulichung - übersetzen realer Situationen in formale Sprache und Strukturen durch Aufstellen und Analysieren von Funktionstermen ( - Lehrpläne Mathematik Gymnasien)

11 Aufgabenbeispiel Tarifdschungel Mobilfunk

12 Aufgabenbeispiel (Cassis Unterricht mit neuen Medien, Lambert, S. 6ff) Vorwort Mathematik ist eine Sprache mit der wir Aspekte unserer Wirklichkeit beschreiben können. Du kennst das zum Beispiel aus der Physik, wo du aus bekannten Größen mit Hilfe math. Formeln dir unbekannte Größen bestimmen kannst.

13 Aufgabenbeispiel (Cassis Unterricht mit neuen Medien, Lambert, S. 6ff) Vorwort Aber Mathematik ist auch eine Sprache mit der wir uns Wirklichkeit vorbeschreiben (lassen). Dafür sind Handykosten ein gutes Beispiel. Im Folgenden wollen wir versuchen einen Einblick in die math. Struktur von Handytarifen zu gewinnen.

14 Aufgabenbeispiel (Cassis Unterricht mit neuen Medien, Lambert, S. 6ff) Hinführung zum Thema Arbeitsauftrag Schreibe einen Aufsatz, der die folgenden Fragen beantwortet: - Welche Handyhersteller kennst du? Welches Handy besitzt du? Warum hast du dich für dieses Handy entschieden? - Welche Handytarife kennst du? Welchen Handytarif hast du? Warum hast du dich für diesen Tarif entschieden? Diskutiert eure Aufsätze gemeinsam im Unterricht und fasst eure Erkenntnis an der Tafel zusammen.

15 Aufgabenbeispiel (Cassis Unterricht mit neuen Medien, Lambert, S. 6ff) Hinführung zum Thema Zweck (verstehen) können von eigenen Erfahrungen berichten erhalten einen Überblick zum Thema Handy und Handytarife ebenso einen Einblick in die Vielfalt und Fülle von technischen und tariflichen Möglichkeiten sinnentnehmendes Lesen erstellen eines Situationsmodells

16 Aufgabenbeispiel (Cassis Unterricht mit neuen Medien, Lambert, S. 6ff) Hinführung zum Thema Ausgangssituation Im Internet findest du viele verschiedene Handytarife unterschiedlicher Tarifanbieter wer hat da noch den Überblick? Bei dem folgenden Angebot vom Juli 2005 handelt es sich um sogenannte Minutenpakete. Ohne Basispreis die Zeit vergessen klingt doch sehr verlockend, oder?

17 Vodafone-MinutenPakete Vergiss die Zeit! Genießen Sie die Vorteile von Vodafone D2. Wir zeigen Ihnen, wie das Telefonieren mit dem Handy rund um die Uhr Spaß macht. Vergessen Sie Haupt-, Neben- und Wochenendzeiten. Mit den neuen Minutentarifen von Vodafone haben Sie die Kosten im Griff. Und das ganze ohne Basispreis nur mit einem günstigen monatlichen Paketpreis. Klarer und transparenter geht s nicht. Ihre Vorteile auf einen Blick: - keinen Basispreis, günstiger Paketpreis - rund um die Uhr günstige Minutenpreise ohne Haupt- und Nebenzeiten, 7 Tage die Woche - kostenloser Wechsel (s. Cassis Unterricht mit neuen Medien, Lambert, S. 6ff)

18 Aufgabenbeispiel (Cassis Unterricht mit neuen Medien, Lambert, S. 6ff) Hinführung zum Thema Zwischenfragen Welche Informationen aus dem Text helfen dir, dich für den richtigen Tarif zu entscheiden? Zweck (verstehen, modellieren) zeigt, wie Informationen verschleiert werden (Wirklichkeit vorschreiben lassen) wirft kritische Fragen auf überprüft Textverständnis

19 Aufgabenbeispiel (Cassis Unterricht mit neuen Medien, Lambert, S. 6ff) Hinführung zum Thema Ausgangssituation Der Text ist ergänzt um die folgende Tabelle. Vielleicht bist du ja nach dem Lesen schlauer!

20 Vodafone-MinutenPakete Minutenpakete mtl. Basispreis mtl. Inklusivminuten nat. Festnetz dt. Vodafonenetz Handyfon-Mailbox mtl. Festpreis Taktung 60/1 Wechsel in, aus oder zwischen VodafoneMinutenPaketen Minutenpreis außerhalb des Pakets nat. Festnetz dt. Vodafonenetz Handyfon-Mailbox Minutenpreis in andere dt. Mobilfunknetze nat. SMS-Preis Tarifoption Taktung 10/10 0 EUR Vodafone EUR Vodafone EUR Vodafone EUR 50 min 100 min 200 min 500 min 15 EUR 25 EUR 40 EUR 90 EUR Vodafone 50 kostenlos 0,40 EUR 0,35 EUR 0,30 EUR 0,25 EUR 0,60 EUR 0,50 EUR 0,40 EUR 0,30 EUR 0,20 EUR 3 EUR mtl. 5 EUR mtl. (s. Cassis Unterricht mit neuen Medien, Lambert, S. 6ff)

21 Aufgabenbeispiel (Cassis Unterricht mit neuen Medien, Lambert, S. 6ff) Einstieg ins Thema Fragen Was bedeutet Taktung 60/1, was 10/10? Was heißt nationales Festnetz? Was muss man zahlen, wenn man gar nicht telefoniert? Was hat dann Ganz ohne Basispreis bzw. Kein Basispreis (beides im Text) bzw. Monatlicher Basispreis 0 Euro (in der Tabelle) zu bedeuten? Findest du diese Angaben klar und transparent? Zweck (modellieren) beseitigt Unklarheiten (Realität klären) wichtige Angabe identifizieren durch präzisieren der Fragen es ergibt sich ein Realmodell intensives Auseinandersetzen mit Fachbegriffen bzgl. Mobilfunk (man macht sich quasi zum Experten) fördert Umgang mit Medium Internet

22 Aufgabenbeispiel (Cassis Unterricht mit neuen Medien, Lambert, S. 6ff) Einstieg ins Thema Tabellen

23 Aufgabenbeispiel (Cassis Unterricht mit neuen Medien, Lambert, S. 6ff) Einstieg ins Thema Zweck (strukturieren, mathematisieren) konkrete Annahmen treffen nachvollziehen der Kostenzusammenstellung arbeiten mit der unübersichtlichen Tariftabelle bearbeiten eines Teilproblems Computereinsatz informationstechnische Grundbildung (ITG) vereinfacht einige Berechnungen

24 Aufgabenbeispiel (Cassis Unterricht mit neuen Medien, Lambert, S. 6ff) Einstieg ins Thema Einfache Berechnungen (Thorbens Schwester) Rechnung für Vodafone 50 ergibt 15 EUR Basispreis 8 EUR Kosten für Anschlussminuten 9 EUR Fremdnetzkosten Insgesamt 32 EUR Was ist mit Vodafone 200?

25 Aufgabenbeispiel (Cassis Unterricht mit neuen Medien, Lambert, S. 6ff) Einstieg ins Thema Zweck (mathematisieren, deduzieren) Kosteninformation in Mathematik übersetzen durch Aufstellen der Formeln wird Tarifstruktur vergleichbar erkennen von Abhängigkeiten lohnender Vergleich

26 Aufgabenbeispiel (Cassis Unterricht mit neuen Medien, Lambert, S. 6ff) Einstieg ins Thema Formel aufstellen (Algorithmus) 1. Bestimmt die Anzahl der Anschlussminuten 2. Berechne die Gesamtkosten mit folgender Formel Basispreis + (Anschlussminuten * Anschlusspreis) + (Fremdnetzminuten * Fremdnetzpreis) +...

27 Aufgabenbeispiel (Cassis Unterricht mit neuen Medien, Lambert, S. 6ff) Einstieg ins Thema Wertetabelle und Graphen (Vodafone 100) Minuten täglich 0 min 1 min 2 min 3 min 4 min 5 min 10 min 20 min Minuten monatlich Anschluss -minuten ,5 EUR 95 EUR 200 EUR Gesamtkosten 25 EUR 25 EUR 25 EUR 25 EUR 32 EUR

28 Aufgabenbeispiel (Cassis Unterricht mit neuen Medien, Lambert, S. 6ff) Einstieg ins Thema Wertetabelle und Graphen Funktionsvorschriften bestimmen Formel zur Kostenberechnung bereits bekannt (vorangegangene Aufgabe) jetzt als Funktion/Zuordnung Die Funktionsvorschrift enthält alle Angaben Des ausgewählten Modells in komprimierter Form

29 Aufgabenbeispiel (Cassis Unterricht mit neuen Medien, Lambert, S. 6ff) Einstieg ins Thema Wertetabelle und Graphen Funktionsvorschriften bestimmen

30 Aufgabenbeispiel (Cassis Unterricht mit neuen Medien, Lambert, S. 6ff) Einstieg ins Thema Zweck (mathematisieren, deduzieren, interpretieren) erkennen von Zusammenhängen Funktionsvorschrift bestimmen beachte: Funktion abschnittsweise definiert mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Ergebnis erklären (math. argumentieren) GTR hier nicht im Vordergrund als Medium zur Darstellung math. Phänomene als Rechenknecht zur Verringerung des Rechen- bzw. Schreibaufwandes ist Motivation zum Aufstellen der Funktionsvorschriften

31 Aufgabenbeispiel (Cassis Unterricht mit neuen Medien, Lambert, S. 6ff) Im Thema Weitere Zusammenhänge entdecken Funktionen lassen sich weitere Kostenpunkte anhängen, z.b. Gespräche in andere Mobilfunknetze, SMS,... gewählte Modell ist somit erweiterbar

32 Aufgabenbeispiel (Cassis Unterricht mit neuen Medien, Lambert, S. 6ff) Im Thema GTR kann diese Erweiterungen sichtbar machen nimmt zusätzlich Rolle des Entdeckers ein

33 Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit

34 Parameterform linearer Funktionen Kollidierende Schiffe

35 Situation (Cassis Aufgaben für den Taschencomputer, Peters) Gleichzeitig fahren eine Fähre in Lübeck und ein Dampfer in Rostock ab. Rostock liegt 44 sm östlich und 14 sm nördlich von Lübeck. Beide Schiffe fahren auf einem geradlinigen Kurs. Die Fähre ist in einer Stunde 15 sm nach Norden und 15 sm nach Osten gefahren, der Dampfer hat in derselben Zeit 12,5 sm nach Westen und 4 sm nach Norden zurückgelegt. Kommt es zu einer Kollision der beiden Schiffe, falls sie ihren Kurs unverändert beibehalten?

36 Aufgaben (Cassis Aufgaben für den Taschencomputer, Peters) a) Zeichne die Starthäfen und die Kurse in ein geeignetes Koordinatensystem. b) Bestimme mit Hilfe des Steigungsdreiecks die Geradengleichung der beiden Kurse und übertrage diese in deinen Taschenrechner. Ist eine Kollision möglich? Warum lässt sich diese Frage noch nicht genau beantworten? BASIC f1(x)=x f2(x)=-8/25x+28

37 Eine Lösung (Cassis Aufgaben für den Taschencomputer, Peters)

40 Eine Lösung (Cassis Aufgaben für den Taschencomputer, Peters) Geradensteigung lässt sich mit Hilfe des Steigungsdreiecks einfach ablesen

41 Aufgaben (Cassis Aufgaben für den Taschencomputer, Peters) c) Entwickle zu jedem Schiff zwei Gleichungen, die den Zusammenhang zwischen x -und y-koordinate und der Zeit t darstellen. Diese Darstellung nennt man Parameterform der Geradengleichung d) Schalte deinen Taschenrechner in den Parameter-Modus (SIMULGRAPH) und gib die Parametergleichungen für beide Schiffe ein PARAMETRIC x1(t)=15t y1(t)=15t x2(t)=-12.5t+44 y2(t)=4t+14 Damit die Graphen gleichzeitig gezeichnet werden, musst du in den Graph-Optionen den Schlüssel SIMUL GRAPH auf ON setzen

42 Aufgaben (Cassis Aufgaben für den Taschencomputer, Peters) Einsatz des GTR als Medium zur Darstellung math. Phänomene (hier: Funktionsgraph in Abhängigkeit von der Zeit) als Entdecker als Hilfe beim Entdecken math. Zusammenhänge (hier: Kollidieren die Schiffe) und zur Überprüfung von Hypothesen ( Nein, die Schiffe kollidieren nicht )