12GE - Metzler Physik Lösungen der Aufgaben

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1 12GE - Metzler Physik en der Aufgaben Raymond KNEIP, LYCÉE DES ARTS ET MÉTIERS Mai 2016 Folgende Seiten enthalten die en zu einem Teil der Aufgaben aus dem Buch Metzler-Physik und Nücke-Reinhard Physikaufgaben für technische Berufe. Das Dokument wird im Laufe des Jahres vervollständigt. Für jeden Hinweis, der zur Verbesserung dieses Dokumentes beitragen könnte, wäre ich sehr dankbar. 1

2 1 Die gleichförmige Kreisbewegung Aufgabe 26 Seite 43 M Eine Festplatte dreht sich mit 5400 Umdrehungen pro Minute. Der äußere Rand hat 5 cm Abstand von der Mitte. Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit eines Punktes in diesem Abstand. f = min 1 = 90 Hz Bahngeschwindigkeit: r = 0.05 m v = ωr = 2πf r v = 2π 90 Hz 0.05 m v = m/s = km/h Der äußere Rand der CD bewegt sich mit einer Bahngeschwindigkeit von über 100 km/h. Aufgabe 27 Seite 43 M Berechnen Sie die Anzahl der Umdrehung pro Minute eines Fahrradreifens (Durchmesser 28 Zoll = 711 mm) bei einer Geschwindigkeit von v = 18 km/h. r = m Umdrehungszahl des Rads: v = 18 km/h = 5 m/s v = 2πf r f = v 2πr = 5 m/s 2π m f = Hz = min 1 Unter diesen Bedingungen führt das Rad etwa 134 Umdrehungen pro Minute durch. Aufgabe 28 Seite 43 M Der mittlere Abstand der Erde von der Sonne heißt Astronomische Einheit und beträgt 1 AE = km. Berechnen Sie mit der Umlaufdauer T = 1 Jahr = d die Bahngeschwindigkeit der Erde um die Sonne in m/s und km/h. r = 1 AE = m T = d = s Bahngeschwindigkeit der Erde bei ihrer Reise um die Sonne: v = ωr v = 2π T r = {}}{ 2πr T v = 2π m s v = m/s v = 29.8 km/s v = km/h 2

3 Die Erde bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von über km/h auf ihrer Bahn um die Sonne. Der Ausdruck 2πr entspricht dem Umfang der (kreisförmigen) Bahn der Erde um die Sonne. Aufgabe 3 Seite 52 NR Die Schnittgeschwindigkeit einer Kreissäge soll zwischen v 1 = 50 m/s und v 2 = 65 m/s liegen. Die Drehfrequenz der Welle beträgt n = min 1. In welchem Größenbereich muss der Sägeblattdurchmesser liegen? v 1 = 50 m/s... v 2 = 65 m/s n = min 1, also: f = Hz Durchmesser d des Sägeblatts: ω = 2πf = v r v = }{{} 2 r v = dπf d = v πf = 50 m/s π Hz d = m (1) Für die beiden angegebenen Geschwindigkeiten ergeben sich Durchmesser von m und m. Aufgabe 7 Seite 52 NR Der Reifendurchmesser eines Kraftfahrzeuges beträgt 550 mm. a) Wie viele Umdrehungen je Minute macht das Rad bei einer Fahrgeschwindigkeit von 80 km/h? b) Wie viele Umdrehungen hat dieses Rad nach s = km Fahrstrecke ausgeführt? d = 550 mm a) Drehzahl des Rads: v = 80 km/h = m/s ω = 2πf = v r v = }{{} 2 r v = dπf f = v πd f = Hz = min Das Rad macht also etwa Umdrehungen pro Minute. b) Strecke einer Umdrehung: U = 2πr = πd = m Anzahl der Umdrehungen: s U = m m =

4 Aufgabe 8 Seite 52 NR Bei einem Unfall an einer Schleifscheibe löst sich ein Stück vom Umfang bei einer Drehfrequenz von n = 3000 min 1. Der Scheibendurchmesser beträgt d = 200 mm. Das abgesprengte Stück soll senkrecht nach oben fliegen. Welche Höhe würde es ohne Schutzmaßnahme erreichen? n = 3000 min 1, also: f = 50 Hz d = 200 mm Geschwindigkeit des Stücks: ω = 2πf/ = / v r v = }{{} 2r v = dπf v = m/s (= 113 km/h) Das Stück fliegt mit einer Anfangsgeschwindigkeit von v 0 = m/s senkrecht nach oben. Unter der Verwendung der Gleichungen der gleichförmig beschleunigten Bewegung (siehe Kapitel senkrechter Wurf ): y(t) = 1 2 at2 + v 0 t = 1 2 gt2 + v 0 t a = g = v t = v(t) v 0 t Ist die maximale Höhe erreicht, so gilt: y(t) = h Max und v(t) = 0. h Max = 1 2 g v2 0 g 2 + v 0 v 0 g h Max = v m/s = 2g m/s 2 h Max = 50.3 m Ohne Schutzvorrichtung (und ohne Luftwiderstand) könnte das Stück über 50 m hoch fliegen. 4

5 2 Zentripetalbeschleunigung - Zentripetalkraft Aufgabe 1 Seite 35 M Ein Körper (m = 0.4 kg) wird an einer Schnur (l = 0.8 m) 80-mal in der Minute auf einem Kreis, der in einer waagerechten Ebene liegt, herumgeschleudert. Berechne Sie a) die Zentripetalkraft; b) die Umdrehungszahl, bei der die Schnur reißt, wenn ihre Zuigfestigkeit mit 500 N angegeben ist. m = 0.4 kg l = 0.8 m f = 80 min 1 Frequenz: f = s 1 = 4 3 Hz a) Betrag der Zentripetalkraft: F Z = m ω 2 r wobei in dieser Aufgabe der Radius r der Länge l der Schnur entspricht und ω = 2πf ist. Also gilt: b) Bedingung: F Max = F Z = 500 N Berechnung der Frequenz: F Z = m (2πf) l = 0.4 kg (2π 4 3 Hz)2 0.8 m F Z = N F Z = m (2π f) 2 l f = f = FZ 4π 2 m l 500 N 4π kg 0.8 m f = 6.29 Hz = min 1 Aufgabe 2 Seite 35 M Ein Körper bewegt sich mit der Geschwindigkeit v auf einer Kreisbahn mit dem Radius r. Untersuchen Sie die Änderung der Zentripetalbeschleunigung, wenn die Geschwindigkeit bzw. der Radius verdoppelt wird. a) Die Geschwindigkeit v wird verdoppelt. Es gilt: a Z = v2 r also: a Z v 2 Wird die Geschwindigkeit v verdoppelt, vervierfacht sich die Zentripetalbeschleunigung a Z. b) Der Radius r wird verdoppelt. Es gilt: a Z = v2 r also: a Z 1 r Wird der Radius r verdoppelt, dann wird die Zentripetalbeschleunigung a Z halbiert. c) Werden sowohl Geschwindigkeit als auch Radius verdoppelt, so gilt: v = 2 v und r = 2 r 5

6 Zentripetalbeschleunigung: a Z = v 2 r a Z = 2 v2 r }{{} = (2v)2 2r = 4 v 2 r a Z = 2 a Z In diesem Fall wird die Zentripetalbeschleunigung a Z verdoppelt. Aufgabe 4 Seite 35 M Untersuchen Sie die Abhängigkeit der Zentripetalkraft aufgrund der täglichen Drehung der Erde um ihre Achse auf einen mit ihr fest verbundenen Körper (m = 70 kg) von der geographischen Breite. m = 70 kg Dauer eines Tages 1 : T = 23 h 56 min 04 s = s Mittlerer Radius R der Erde: R = 6370 km Zentripetalkraft am Äquator: F Z = m ω 2 r = m ( ) 2 2π R T Abbildung 1: Modell der Erde mit eingetragenen Radien und Zentralkräften am Äquator und am Breitengrad λ. Am Äquator kann der Radius der Bahnbewegung r dem Radius der Erde R gleichgesetzt werden, da der Zentrum der Kreisbewegung und der Zentrum der Erde identisch sind (siehe Abb. 1). Befindet man sich jedoch am Breitengrad λ, so ist das Zentrum der Kreisbewegung nicht mehr identisch mit dem Zentrum der Erde, also r λ R! Es gilt am Breitengrad λ: cos λ = r λ R r λ = R cos λ 1 Es muss zwischen synodischer und siderischer Tagesdauer unterschieden werden. Der synodische Tag beruht auf dem scheinbaren Lauf der Sonne und beträgt 24 h. Der siderische Tag beruht auf einer Umdrehung der Erde um ihre Achse von 360 und ist knapp 4 Minuten kürzer als der synodische Tag. 6

7 Zentripetalkraft F Z (λ) auf dem Breitengrad λ: F Z (λ) = m F Z (λ) = m ( ) 2 2π r λ T ( ) 2 2π R cos λ T Übernehmen wir die oben angegebenen Werte, so erhält man für die Zentripetalkraft (λ = 50 ): ( ) 2 2π F Z (λ) = 70 kg m cos s F Z (λ) = 1.52 N Die für die Kreisbewegung notwendige Zentripetalkraft ist wesentlich kleiner als die wirkende Gewichtskraft (von etwa 700 N). Es ist jedoch darauf zu achten, dass die Gewichtskraft Richtung Erdzentrum wirkt; die notwendige Zentripetalkraft jedoch zum Mittelpunkt der gerade beschriebenen Kreisbewegung wirkt. Aufgabe 5 Seite 35 M Ein Auto (m = 30 kg) fährt mit konstanter Geschwindigkeit v = 40 km/h über eine gewölbte Brücke. Der Radius des Brückenbogens beträgt R = 50 m. Bestimmen Sie die Normalkraft des Autos auf die Brückenmitte und die Geschwindigkeit, bei der der Wagen abheben würde. m = 1300 kg v = 40 km/h = m/s R = 50 m Gewichtskraft F G des Autos: F G = mg = 1300 kg 9.81 m/s 2 = N Zentripetalkraft F Z die notwendig ist, damit der Wagen bei v = 40 km/h die beschriebene Kreisbewegung durchführen kann: F Z = m v2 R = kg = N (11.11 m/s)2 50 m Es ist zu erkennen, dass die wirkende Gewichtskraft viel grösser als die notwendige Zentripetalkraft ist; der Wagen kann unter diesen Bedingungen nicht abheben. Wirkende Normalkraft in der Brückenmitte: F N = F G F Z = N Sobald die notwendige Zentripetalkraft größer wird als die vorhandene Gewichtskraft hebt der Wagen ab. Untersuchen wir den Grenzfall, in dem die Normalkraft F N = 0 wird: 7

8 F N = F G F Z = 0 F G = F N mg = m v2 Max R v Max = gr = 9.81 m/s 2 50 m v Max = m/s = 79.7 km/h Sobald der Wagen die Geschwindigkeit von v Max = 79.7 km/h überschreitet, ist die wirkende Gewichtskraft kleiner als die notwendige Zentripetalkraft. Der Wagen hebt ab. Aufgabe 29 Seite 43 M Berechnen Sie die Zentripetalbeschleunigung a) eine geostationären Satelliten, der auf einer Kreisbahn mit dem Radius km so schnell kreist, wie die Erde sich um ihre eigenen Achse dreht; b) eines Wettersatelliten, der die Erde in 102 min in einer Höhe von 850 km umkreist (Äquatorradius der Erde km. a) Angaben zum geostationären Satellit: T = 23 h 56 min 04 s = s r = km Gelegentlich hört man die Aussage, dass sich geostationäre Satelliten in einer Höhe von km aufhalten. Diese Höhe bezieht sich allerdings auf die Erdoberfläche; hierbei muss also der Erdradius addiert werden (siehe Abb. 2). Abbildung 2: Höhe eines geostationären Satelliten gegenüber dem Erdzentrum r bzw. der Erdoberfläche h. Zentripetalbeschleunigung a Z : ( ) 2 2π a Z = ω 2 r = r T ( ) 2 2π a Z = m s a Z = m/s 2 = g = 1 44 g Die Zentripetalbeschleunigung beträgt 1 44 der Fallbeschleunigung g. b) Angaben zum Wettersatellit: 8

9 T = 102 min = s r = 850 km km = km Zentripetalbeschleunigung a Z : a Z = a Z = ( ) 2 2π r T ( ) 2 2π m s a Z = m/s 2 = 0.78 g Die Zentripetalbeschleunigung in einer Höhe von 850 km über dem Erdboden ist nur 20% geringer als die Fallbeschleunigung g. Aufgabe 30 Seite 43 M Berechnen Sie, wie schnell sich die Erde drehen müsste, damit am Äquator Fallbeschleunigung und Zentripetalbeschleunigung gleich groß sind. Siderische Tagesdauer: T = s Grenzfall: F G = F Z R = 6378 km mg = m(ω) 2 r = m T = r 2π g T = s T = 1 h 24 min 23 s ( ) 2 2π r T Bei einer Tagesdauer von T = 1 h 24 min 23 s ist der Betrag der Zentripetalkraft gleich der Fallbeschleunigung g. Aufgabe 31 Seite 43 M Zur Vorbereitung auf Raumflüge trainieren Raumfahrer in großen Zentrifugen, in denen sie sehr schnell im Kreis herumgeschleudert werden. Sie sitzen etwa 9 m vom Drehpunkt der Zentrifuge entfernt in einer Kabine. Berechne Sie die Umdrehungszahl, mit der die Kabine rotieren muss, damit eine Beschleunigung von 8g (das Achtfache der Fallbeschleunigung auf der Erde) entsteht. r = 4.5 m a Z = 8 g Zentripetalbeschleunigung: Umdrehungszahl: f = a Z = ω 2 r = (2π f) 2 r az (2π) 2 r = m/s 2 (2π) m f = Hz = 39.9 min 1 9

10 Aufgabe 32 Seite 43 M Eine Spielzeugautobahn enthält ein Looping mit 50 cm Durchmesser. Ermitteln Sie die Geschwindigkeit, mit der ein Fahrzeug den höchsten Punkt durchfahren muss, um nicht herunterzufallen. r = 0.25 m Die Zentripetalkraft bewirkt, dass der Wagen eine kreisförmige Bewegung durchführt. Im Grenzfall ist die notwendige Zentripetalkraft gleich der wirkenden Gewichtskraft. m v2 F Z = F G r v 2 r = m g Soweit u.a. Reibungskräfte vernachlässigt werden können, ist die Bedingung unabhängig von der Masse m des Wagens. = g v = g r = 9.81 m/s m v = 1.57 m/s = 5.64 km/h Aufgabe 2 Seite 53 NR a) Unter welchem Winkel α zur Senkrechten muss sich der Fahrer bei der Geschwindigkeit v = 36 km/h nach innen legen, damit die Zentrifugalkraft aufgehoben wird? b) Wie groß muss dabei die Haftreibungszahl zwischen Radreifen und Straße mindestens sein, um ein Rutschen zu vermeiden? v = 36 km/h = 10 m/s r = 30 m a) Bezugssystem: Radfahrer Dieser befindet sich im Gleichgewicht unter den wirkenden Kräften F G (Gewichtskraft), F F (Fliehkraft) und F (Reaktion des Bodens auf das Fahrrad), also: Es gilt unter anderem: tan α = F F F G F + F F + F G = 0 = m v 2 r m g tan α = v2 (10 m/s)2 = r g m/s 2 α =

11 Abbildung 3: Links: Kräftegleichgewicht für den fahrenden Radfahrer. Rechts: Die Reibungskraft ist im Gleichgewicht mit der horizontalen Komponente der Kraft F x b) Das Fahrrad übt die Kraft F = F auf den Boden aus. Mit: cos α = F G F In horizontaler Richtung gilt außerdem: F = F G cos α sin α = F x F F x = F sin α F x = sin α F G cos α = F G tan α Gleichgewichtsbedingung zwischen der Reibungskraft F R und der horizontalen Komponente der Kraft F : F x = F R F G tan α = µf G µ = tan α = 0.34 Aufgabe 6 Seite 54 NR Bei einem Elektromotor liegt der Schwerpunkt des Rotors von der Masse m = 44 kg infolge schlechter Auswuchtung 1 mm außerhalb der Drehachse. Wie groß sind die Bahngeschwindigkeit im Massenschwerpunkt und die Zentrifugalkraft bei einer Drehfrequenz des Motors von n = 1450 min 1. m = 44 kg r = 10 3 m f = 1450 min 1 = Hz Bahngeschwindigkeit v: ω = 2 π f = v r v = 2 π r f = m/s 11

12 Zentrifugalkraft F Z : F = m v2 r F = N Aufgabe 7 Seite 54 NR Die Schienen der Bundesbahn haben eine Spurbreite von b = 1435 mm. In einer Kurve mit dem Radius r = 250 m ist die äußere Schiene um h = 125 mm überhöht. a) Bei welcher Bahngeschwindigkeit steht die Resultierende aus Gewichtskraft und Fliehkraft auf den Schienen senkrecht? b) Welche Überhöhung wäre bei doppelter Geschwindigkeit notwendig? b = m h = m r = 250 m a) Bezugssystem: fahrender Zug Dieser befindet sich im Gleichgewicht unter den wirkenden Kräften F G (Gewichtskraft), F F (Fliehkraft) und F (Reaktion der Schienen auf den Zug), also: F + F F + F G = 0 Abbildung 4: Links: Kräftegleichgewicht für den fahrenden Zug. Rechts: Geometrie der Schienen. Neigungswinkel der Schienen: sin α = h b α = 5 12

13 Es gilt unter anderem: tan α = F F F G tan α = v2 r g = m v 2 r m g v = tan α r g = tan m 9.81 m/s 2 v = m/s ( = 52.7 km/h) b) Bei doppelter Geschwindigkeit v = 2v wäre der notwendige Neigungswinkel α : tan α = v 2 r g α = 19.3 Überhöhung h der Spur: h = b sin α = m Aufgabe 8 Seite 54 NR Ein Auto von der Masse m = 1400 kg und der Spurbreite b = 1290 mm fährt eine Kurve von r = 60 m Krümmungsradius. Welche Geschwindigkeit darf das Fahrzeug höchstens haben, um in der Kurve nicht zu kippen? Der Wagenschwerpunkt liegt h = 700 mm über der Fahrbahn. m = 1400 kg b = 1290 mm r = 60 m h = 700 mm Nicht kippen bedeutet für den Wagen, dass dessen Schwerpunkt nicht jenseits der Basis liegen darf. Bezugssystem: fahrender Wagen Gleichgewichtsbedingung für den Wagen: Es gilt unter anderem: tan α = F F F G b 2h = v2 r g tan α = b/2 h α = F + F F + F G = 0 (2) = m v 2 r m g v = b r g 2 h v = m/s ( = 83.8 km/h) 13

14 3 Impuls - Impulserhaltung Aufgabe 3 Seite 55 NR Ein Fahrzeug der Masse m = 7.5 t soll innerhalb eines Zeitintervalls von 8 s seine Geschwindigkeit um 6 m/s erhöhen. Welche konstante antreibende Kraft F ist erforderlich? m = 7500 kg t = 8 s v = 6 m/s Notwendige Kraft: F = p 7500 kg 6 m/s = t 8 s F = 5625 N Aufgabe 6 Seite 55 NR Eine Person von der Masse m 1 = 75 kg springt mit der Geschwindigkeit u 1 = 4 m/s in einen ruhenden Kahn von der Masse m 2 = 100 kg. Mit welcher Geschwindigkeit v treibt nun der Kahn vom Ufer ab? m 1 = 75 kg u 1 = 6 m/s m 2 = 100 kg u 2 = 0 m/s Impulserhaltung: p V orher = p Nachher m 1 u 1 = (m 1 + m 2 ) v m 1 v = v = m 1 + m 2 v = 2.57 m/s 75 kg 75 kg kg 6 m/s Aufgabe 7 Seite 55 NR Bei einem Versuch zur Ermittlung der Geschossgeschwindigkeit dringt das Geschoss von der Masse m 1 = 10 g mit der Geschwindigkeit v 1 in den zunächst ruhenden Pendelkörper der Masse m 2 = 4 kg. Durch den vom Geschoss ausgeübten Kraftstoß werden Geschoss und Pendelkörper um die Höhe h = 200 mm gehoben. a) Geben Sie eine beschriftete Skizze an von der Situation vor- und nach dem Zusammenstoß. Stellen Sie die Impulsgleichung auf. b) Welche potentielle Energie haben Geschoss und Pendelkörper in der höchsten Lage erhalten? 14

15 c) Ermitteln Sie mit Hilfe der Energiegleichung die gemeinsame Geschwindigkeit v 2 und damit die Geschossgeschwindigkeit v 1. m 1 = kg m 2 = 4 kg h = m Vergleiche mit aus dem Unterricht. Aufgabe 8 Seite 55 NR Eine Rakete von der Gewichtskraft F G = N soll senkrecht gestartet werden. Die Ausströmgeschwindigkeit der Verbrennungsgase beträgt v = m/s. Welche Treibstoffmasse m muss beim Start in einer Sekunde ausströmen, damit Rakete vom Boden abhebt? F G = N v = kg Damit die Rakete abheben kann, muss die Kraft F, die die ausströmenden Gase auf die Rakete ausüben, mindestens so groß wie die Gewichtskraft F G der Rakete sein. Im Grenzfall gilt: F F G F G = F = m v t m = F t N 1 s = v 1500 m/s m = 53.3 kg Um die angegebenen Bedingungen zu erfüllen, müssen mindestens 53.3 kg Gase pro Sekunde ausgestoßen werden. Diese Masse entspricht einer Gewichtskraft von etwa 523 N. Das heißt also, dass die Rakete nach der ersten Sekunde Brenndauer um 523 N leichter ist - dies entspricht etwa 0.65% der Anfangsmasse. Nach einer Minute ist die Rakete bereits um 39% gegenüber der Anfangsmasse leichter. Aufgabe 4 Seite 56 NR Ein Güterwagen von m 1 = 20 t fährt mit der Geschwindigkeit u 1 = 36 km/h auf einen ruhenden Wagen der gleichen Masse. a) Es findet ein elastischer Stoß statt. Berechnen Sie die Geschwindigkeiten beider Wagen nach dem Zusammenstoß. b) Wie groß ist die Geschwindigkeit der Wagen, wenn der Stoß vollständig unelastisch ist? m 1 = 20 t u 1 = 10 m/s m 2 = m 1 = 20 t u 2 = 0 m/s Impulserhaltung (mit m 1 = m 2 ): p V orher = p Nachher m 1 u 1 = m 1 v 1 + m 2 v 2 : m 1 u 1 = v 1 + v 2 v 2 = u 1 + v 1 15

16 Erhaltung der kinetischen Energie: Erste Möglichkeit: dann gilt: E V orher = E Nachher 1 2 m 1u 2 1 = 1 2 m 1v m 2u 2 2 : ( 1 2 m) u 2 1 = v1 2 + v2 2 u 2 1 = v1 2 + (u 1 + v 1 ) 2 }{{} u 2 1 = v1 2 + u u 1 v 1 + v1 2 2u 1 v 1 + 2v 1 = 0 2v 1 (u 1 + v 1 ) = 0 v 1 = 0 v 2 = u 1 + v 1 = u 1 = 36 km/h Stoßen zwei Körper gleicher Masse elastisch und zentral aufeinander, so wird die Energie und der Impuls vom ersten Körper vollständig auf den Zweiten übertragen. Das heißt, nach dem Zusammenstoß bleibt der erste Körper in Ruhe, während der zweite Körper die gleiche Geschwindigkeit annimmt, als der erste Körper vor dem Stoß hatte. Zweite Möglichkeit: dann gilt: u 1 + v 1 = 0 v 1 = u 1 = 36 km/h v 2 = u 1 + v 1 = 36 km/ 36 km/h = 0 km/h In diesem Fall würde der zweite Wagen durch den Zusammenstoß nicht beeinflußt; der erste Wagen würde sich ungehindert durch den zweiten Wagen hindurchbewegen. Dies entspricht keiner physikalisch sinnvollen Beschreibung materieller Teilchen (Wagen). Aufgabe 4 Seite 56 NR Die Pendelkugel (1) von m 1 = 100 g wird in einer Höhe von h 1 = 10 cm losgelassen und trifft in A elastisch auf die ruhende Pendelkugel (2) von der Masse m 2 = 50 g. a) Bestimmen Sie die kinetische Energie und Geschwindigkeit der Kugel (1) in A. b) Welche Höhe h 2 erreicht die Kugel (2) nach dem Stoß? c) Welches Verhalten würden Kugel (1) und Kugel (2) bei gleicher Masse zeigen? m 1 = 100 g m 2 = 50 g h 1 = 10 cm 16

17 3.1 Aufgabe - Das Newton-Pendel Das Newton-Pendel besteht aus mehreren Kugeln gleicher Masse, die in einer Reihe und in gleicher Höhe aufgehängt sind. Wenn man eine Kugel angehebt und gegen die anderen schwingen lässt so stellt man fest, dass nur eine Kugel auf der gegenüberliegenden Seite abgestoßen wird. Prallen zwei Kugeln auf die Kugelreihe, so werden auf der gegenüberliegenden Seite ebenfalls zwei Kugeln abgestoßen. Beweise diese Beobachtung! Folgende Annahmen werden genommen: Eine Anzahl von a Kugeln (a N) treffen auf die Kugel-Reihe. Nach dem Zusammenstoß werden auf der gegenüberliegenden Seite die Anzahl b (b N) an Kugeln abgestoßen. Es gilt zu beweisen, dass a = b ist. Impulserhaltung: Energieerhaltung: p V orher = p Nachher (a m)u = (b m)v : m a u = b v Laut Impulserhaltung gilt: v = a b u E V orher = E Nachher 1 2 (a m)u2 = 1 2 (b m)v2 : ( 1 2 m) a u 2 = b v 2 a u 2 = b a2 b 2 1 = a b a = b Über die Impuls- und Energieerhaltung kann also bewiesen werden, dass die Anzahl der abgestoßenen Kugeln immer gleich der eintreffenden Kugeln ist. Für a = b, kann dann auch gleich bewiesen werden, dass: a u = b v u2 = a v : a u = v (3) Die Geschwindigkeit der abgestoßenen Kugeln v ist gleich der Geschwindigkeit der eintreffenden Kugeln u. 17

18 4 Die harmonische Schwingung Aufgabe 4 Seite 84 NR Bei einem Versuch wird eine Zugfeder in Schwingung versetzt. Für 8 Schwingungen aus der Nulllage misst man bei einer Amplitude von 3 cm eine Zeit von 5 Sekunden. a) Ermitteln Sie die Zeit T für eine Schwingung und die Frequenz f. b) Zeichnen Sie den Schwingungsvorgang. c) Welchen Abstand y aus der Nulllage hat die Feder nach t = 1 s? d) Nach welcher Zeit t ist die maximale Auslenkung y max = 3 cm erreicht? y max = 3 cm a) Schwingungsdauer: T = t n = 5 8 s = s Frequenz: f = 1 T = 8 5 Hz b) t y(t)-diagramm c) Es wird angenommen, dass die Anfangsphase φ 0 gleich Null ist. Gleichung der harmonische Schwingung: Falls t = 0 s: y(t) = y max sin(2πft) = 3 sin( 16 5 πt) y(1s) = 3 sin( 16 π) = 1.76 cm 5 d)bedingung: y = 3 cm = y max 3 sin( 16 5 πt) = 3 Für den ersten Durchgang (k = 0) gilt: sin( 16 5 πt) = πt = π 2 + k 2π t = k t = 5 32 s = s Aufgabe 5 Seite 84 NR Eine harmonische Schwingung hat die Frequenz f = 5 Hz und die Amplitude y max = 6 cm. a) Berechnen Sie die Periodendauer und die Kreisfrequenz. b) Wie lautet die Schwingungsgleichung? c) Nach welcher Zeit ist der Ausschlag y = 3 cm? f = 5 Hz y max = 6 cm a) Periodendauer: T = 1 f = 1 5 s Kreisfrequenz: ω = 2π T = 10π s 1 b) Harmonische Schwingungsgleichung (φ 0 = 0): y(t) = y max sin(ωt + φ 0 ) y(t) = 6 sin(10πt) 18

19 c) Gesuchter Zeitpunkt t: 6 sin(10πt) = 3 sin(10πt) = 0.5 { k 2π 10πt = π k 2π { t = 5 k k Frühester (positiver) Zeitpunkt (k = 0): t = s Aufgabe 6 Seite 84 NR Bei einer Blattfeder beobachtet man eine Periodendauer von 0.4 Sekunden. Die Geschwindigkeit der schwingenden Masse beim Durchgang durch die Nulllage beträgt v max = m/s. Welche Schwingungsweite (Amplitude) liegt vor? T = 0.4 s Es gilt: Somit gilt: v max = m/s y(t) = y max sin(ωt + φ 0 ) v(t) = y (t) = y max ω }{{} =v max cos(ωt + φ 0 ) v max = y max ω = y max 2π T y max = v max T 2π y max = 0.04 m Aufgabe 9 Seite 85 NR Eine belastete Schraubenfeder führt harmonische Schwingungen aus. Die Amplitude beträgt y max = 2.5 cm, die Geschwindigkeit v max = 0.5 m/s. Ermitteln Sie die Periodendauer T und die Frequenz f. y max = 2.5 cm v max = 0.5 m Herleitung der Gleichung: siehe vorhergehende Aufgabe. T = 2πy max v max = s 19

20 Aufgabe 5 Seite 87 NR Ein Fadenpendel von der Länge l = 2 m wird auf die Länge l = 1 m verkürzt. In welchem Verhältnis ändern sich die Schwingungszeiten? l = 2 m l = 1 m Schwingungsgleichung beider Pendel: l T = 2π g T l = 2π g Verhältnis der Schwingungsdauern: T T = 2π 2π = 2 l g l g l / = / l Somit gilt: T = 2 T ; die Schwingungszeiten ändern sich um den Faktor 2. Aufgabe 6 Seite 87 NR Man möchte ein Fadenpendel herstellen, das in einer Sekunde genau eine Halbschwingung ausführt (Sekundenpendel). Welche Länge l müsste das Pendel am Äquator (g = 9.78 m/s 2 ) und am Pol (g = 9.83 m/s 2 ) haben? g A = 9.78 m/s 2 g P = 9.83 m/s 2 Schwingungsgleichung beider Pendel: l T = 2π g also: l = T 2 4π 2 g Notwendige Pendellänge: am Äquator: l A = am Pol: l P = (2 s)2 4π 2 (2 s)2 4π m/s 2 = m 9.83m/s 2 = m Aus dieser Aufgabe ist ersichtlich, dass die Fallbeschleunigung an einem Ort über das Pendelgesetz bestimmt werden kann. Zusätzlich sieht man, dass die Pendellänge am Pol um etwa 5 mm länger sein muss, als am Äquator. Mit etwas Sorgfalt ist also der Unterschied in der Fallbeschleunigung an beider Orten auf der Erde durchaus messbar. Aufgabe 10 Seite 87 NR Ein Federpendel ist mit einer schwingenden Masse von m = 0.2 kg belastet. Die Federkonstante beträgt D = 2 N/m. a) Ermitteln Sie die Periodendauer T. b) Wie verändert sich die Periodendauer, wenn die schwingende Masse verdoppelt wird? m = 0.2 kg D = 2 N/m 20

21 a) Schwingungsdauer des Federpendels: m T = 2π D = 2π 0.2 kg 2 N/m = s b) Falls m = 2 m (D = D), dann gilt: m T 2m = 2π D = 2π D = 2T Wird die Masse am Federpendel verdoppelt, so vergrössert sich die Schwingungsdauer um den Faktor 2. Aufgabe 13 Seite 87 NR Bei einer Feder ist eine Arbeit von W = 0.2 Nm erforderlich, um eine Dehnung von y = 10 cm zu erreichen. Wie gross ist die Periodendauer des Federpendels, wenn eine Masse von m = 1000 g angehängt wird? W = 0.2 J y = 0.1 m m = 1 kg Spannarbeit an der Feder: W = 1 2 D y2 D = 2W y 2 D = 20.2 J (0.1 m) 2 = 40 N m Schwingungsdauer des Federpendels: m T = 2π D = 2π 1 kg 40 N/m = s 21

22 5 Die Wellengleichung Aufgabe 1 Seite 125 M old Während 12 Schwingungen innerhalb von 3 Sekunden ablaufen, breitet sich eine Störung um 3.6 m aus. Berechne Wellenlänge, Frequenz und Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle. t = 3 s n = 12 x = 3.6 m Schwingungsdauer T : Frequenz f: Wellenlänge λ: Ausbreitungsgeschwindigkeit c: T = t n = 3 s 12 = 1 4 s f = 1 T = 4 Hz λ = x n = 3.6 m 12 = 0.3 m c = f λ = 4 1 s 0.3 m = 1.2 m s Aufgabe 3 Seite 127 M old Eine Schwingung y(t) = ȳ sin ωt, mit ȳ = 10 cm, ω = π 2 s 1 breitet sich transversal von x = 0 längs der x-achse mit der Geschwindigkeit v P h = 7.5 mm/s aus. a) Stelle die Wellengleichung auf. b) Zeichne das Momentanbild der Störung nach t 1 = 4 s und nach t 2 = 6 s auf. c) Ermittle die Schwingungsgleichung für die Oszillatoren, die an den Orten x 1 = 5.25 cm bzw. x 2 = 7.5 cm von der Störung erfasst werden. ȳ = 10 cm = 100 mm ω = π 2 a) Frequenz f: 1 s f = ω 2π = 1 4 Hz c = 7.5 mm s Schwingungsdauer T : T = 1 f = 4 s Wellenlänge λ: λ = c f = 30 mm Wellengleichung (verwendete Einheiten: [t] = s und [x] = mm): ( t y(x, t) = ȳ sin 2π T x ) λ ( t y(x, t) = 100 sin 2π 4 x ) 30 ( t y(x, t) = 100 sin π 2 x ) 15 22

23 b) Wellengleichung zum Zeitpunkt t = 4 s: ( y(x, 4) = 100 sin π 4 2 π x ) 15 ( y(x, 4) = 100 sin 2π π x ) }{{ 15 } sin(2π α)=sin( α) ( y(x, 4) = 100 sin π x ) }{{ 15 } y(x, 4) = 100 sin sin( α)= sin(α) ( π x 15 ) c) Schwingungsgleichung am Ort x = 5.25 cm = 52.5 mm: ( t y(x, t) = ȳ sin 2π T x ) λ ( t y(52.5, t) = 100 sin 2π ) ( 2t = 100 sin π ) 30 ( πt = 100 sin 2 7π ) 2 ( πt = 100 sin 2 2π }{{} π π ) ( ) πt = 100 sin 2 2 }{{} π π 2 ( πt = 100 sin 2 π ) 2 y(52.5, t) = 100 cos πt 2 23

24 Aufgabe 14 Seite 92 NR Bei einer Welle mit ȳ = 0.2 m, T = 0.5 s und λ = 1.5 m ist die Elongation y im Abstand x = 1 m zur Zeit t = 2/3 s gesucht. ȳ = 0.2 m T = 2 10 s f = 1 T = 5 Hz Wellengleichung zum Zeitpunkt t = 2 3 s am Ort x = 1 m (verwendete Einheiten: [t] = s und [x] = m): ( t y(x, t) = ȳ sin 2π T x ) λ y(1, 2 ( 2 3 ) = 0.2 sin 2π ) ( 10 = 0.2 sin 2π ) 3 y(1, 2 ( ) ( 16 π 3 ) = 0.2 sin = 0.2 sin 4π + 4 π ) y(1, 2 3 ) = 0.2 sin ( 4π 3 3 ) ( π ) = 0.2 sin 3 3 y(1, 2 3 ) = = m Aufgabe 14 Seite 92 NR Die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle mit der Amplitude ȳ = 0.2 m und der Frequenz f = 0.2 Hz beträgt in einem Medium c = 20 m/s. a) Bestimme die Wellenlänge. b) Nach welcher Zeit beginnt ein Teilchen im Abstand x = 40 m vom Erregungsort zu schwingen? c) Wie gross ist die Auslenkung dieses Teilchens nach t = 5 s? ȳ = 0.2 m f = 1 T = 0.2 Hz T = 5 s c = 20 m s x = 40 m a) Wellenlänge λ: λ = c f = 100 m b) Zeitdauer um die Strecke x zurückzulegen: t = x c = 40 m 20 m/s = 2 s c) Wellengleichung (verwendete Einheiten: [t] = s und [x] = m): ( t y(x, t) = ȳ sin 2π T x ) λ ( t y(x, t) = 0.2 sin 2π 5 x ) 100 ( 2t y(x, t) = 0.2 sin π 5 x ) 50 24

25 Auslenkung zum Zeitpunkt t = 5 s am Ort x = 40 m: ( 2 5 y(40, 5) = 0.2 sin π ) 50 ( y(40, 5) = 0.2 sin π 1 40 ) 50 ( y(40, 5) = 0.2 sin π 4π ) 5 ( y(40, 5) = 0.2 sin 4π ) 5 ( ) 4π y(40, 5) = 0.2 sin 5 y(40, 5) = m (4) Aufgabe 1 Seite 127 M old Zeige an der Wellengleichung, dass sich für t und t+t beziehungsweise für x+λ gleiche Schwingungszustände ergeben. Wellengleichung zum Zeitpunkt t: ( t y(x, t) = ȳ sin 2π T x ) λ Wellengleichung zum Zeitpunkt t = t + T : ( t y(x, t ) = ȳ sin 2π T x ) λ ( t + T = ȳ sin 2π x ) T λ ( t = ȳ sin 2π T + 1 x ) λ [ ( t = ȳ sin 2π T x ) ] + 2π λ }{{} Gleiche Vorgehensweise für x = x + λ. = ȳ sin 2π y(x, t + T ) = y(x, t) sin(α+2π)=sin(α) ( t T x ) λ Aufgabe 2 Seite 127 M old Weise nach, dass sich aus der Wellengleichung die Phasengeschwindigkeit, mit der sich ein Schwingungszustand bewegt, zu v P h = λ T ergibt. 25

26 Aufgabe Drücken Sie die Bedingung der konstruktiven und destruktiven Interferenz mit Hilfe des Phasenunterschieds φ aus. Zusammenhang zwischen Phasenunterschied und Wegunterschied: Konstruktive Interferenz: φ = π x λ φ = π x λ φ = π kλ λ φ = 2kπ (5) Destruktive Interferenz: φ = π x λ φ = (2k + 1)λ π 2λ φ = (2k + 1)π Aufgabe 11 Seite 151 M old Zwei im Abstand von d = 2 m nebeneinanderstehende Lautsprecher senden phasengleich Frequenzen im Hörbereich aus, die von einem Mikrofon, das 3.75 m genau senkrecht vor dem ersten Lautsprecher steht, aufgenommen werden. Ermitteln Sie allgemein die Frequenzen und in Beträgen die drei kleinsten und die drei grössten im Bereich von 20 Hz bis 20 khz, die sich a) maximal verstärken, b) maximal abschwächen. (c = 340 m/s) d = 2.00 m Wegunterschied x: e 1 = 3.75 m Bedingung der konstruktiven Interferenz: x = e 2 e 1 = e d2 e 1 = (3.75 m) 2 + (2 m) m = 0.5 m x = kλ = k c f k f k = c x k f k = 680 Hz k k = 1 f 1 = 680 Hz k = 2 f 1 = 1360 Hz k = 28 f 28 = khz k = 29 f 29 = khz 26