Kybernetik Systemidentifikation

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1 Kberneti Sstemidentifiation Mohamed Oubbati Institut für euroinformati Tel.: / [email protected]

2 Was ist Sstemidentifiation? Der Begriff Sstemidentifiation beschreibt Methoden und Algorithmen, die aus gemessenen Ein-/Ausgangsdaten vom Sstem, ein empirisches Modell des Sstems erzeugen. u? Input/output un /n data Sstemidentifiation empirisches Modell

3 Etappen der Sstemidentifiation

4 Etappen der Sstemidentifiation Etappen der Sstemidentifiation. Ein-/Ausgangsdaten vom Sstem messen. 2. Modellstrutur auswählen AR, ARMA,. 3. Parameter des Modells anpassen. 4. Das gefundene Modell validieren prüfen.

5 Etappen der Sstemidentifiation. Ein-/Ausgangsdaten vom Sstem messen environment agent action feedbac action Sstem feedbac Ein-/Ausgangsdaten

6 Etappen der Sstemidentifiation. Ein-/Ausgangsdaten vom Sstem messen Anregungssignal Sstem feedbac Anregungssignale, mit denen das Sstem agentenvironment angeregt wird, spielen eine große Rolle bei dem Identifiationsverfahren. Es ist dabei wichtig ein möglichst breites Frequenzspetrum abzudecen.

7 Etappen der Sstemidentifiation. Ein-/Ausgangsdaten vom Sstem messen Anregungssignale zur Sstemidentifiation Dies ann mithilfe verschiedener Eingangssignale produziert: Impuls: eher für die theoretische Analse hilfreich. Sinus-Sweep: Sinusschwingung mit ständig ansteigender Frequenz. Rauschen: önnen als regelmäßige Sprünge verschiedener Amplitude erstellt werden. PRBSPseudo Random Binar Signal: önnen als eine Folge von Rechtecimpulsen unterschiedlicher Länge erstellt werden.

8 Etappen der Sstemidentifiation 2. Eine Modellstrutur auswählen environment agent action feedbac action Sstem feedbac Model estimated feedbac

9 Etappen der Sstemidentifiation 2. Eine Modellstrutur auswählen u Model AR-Modell Bei AR-Modellen benutzt man eine spezielle Regressionsgleichung die Autoregressionsgleichung urz: AR. = a + a2 2 + K+ an n MA-Modell Das MA-Modell Moving-Average urz: MA beschreibt die Abhängigeitsbeziehungen der Inputs wie folgt: = u + bu + K bmu m

10 Model u ARMA-Modell AR-Modelle und MA-Modelle vernüpft ergeben eine sehr nützliche Klasse von Zeitreihenmodellen, die ARMA-Modelle: 2. Eine Modellstrutur auswählen Etappen der Sstemidentifiation 2 2 m u b b u u n a a a m n = K K

11 Etappen der Sstemidentifiation 2. Eine Modellstrutur auswählen Series-Parallel model: needs actual input and past output of the sstem as input to the model. u Sstem delas delas in the past Model ŷ ˆ 2 = a + a 2 + K + an n + u

12 Etappen der Sstemidentifiation 2. Eine Modellstrutur auswählen Parallel-Parallel model: needs actual input and its own past outputs as the inputs. u Sstem delas in the past ŷ delas Model ŷ ˆ = a ˆ + a2 ˆ 2 + K + an ˆ n + u

13 Etappen der Sstemidentifiation 3. Parameter des Modells anpassen Ist eine Modellstrutur gefunden, so muss noch eine Parameteranpassung vorgenommen werden. Dies wird erreicht, sodass die Differenz zwischen dem realen Sstem und dem ausgewählten Modell so lein wie möglich sein soll. u Sstem Model ŷ

14 Etappen der Sstemidentifiation 3. Parameter des Modells anpassen u Sstem Model ai, b i ŷ + - a i, b i? sodass ˆ Methoden zur Parameteranpassung - Least Squares LS - Recursive Least Squares RLS - Prediction Error Method PEM - Recursive Prediction Error Method RPE - Artificial eural etwors - Parameteranpassung Methode

15 3. Parameter des Modells anpassen Methode der leinsten Quadrate Least Squares Method

16 3. Parameter des Modells anpassen Methode der leinsten Quadrate Die Modellstrutur des Sstems wird als ARMA-Modell in Serie-Parallel Form ausgewählt. u Sstem delas in the past delas delas in the past Model a i, b i ŷ ˆ = + u a + + a b u + 2 K 2 + K b m u m + a n n

17 3. Parameter des Modells anpassen Methode der leinsten Quadrate Messdaten U T Y T u, u 2,, u m, 2,, n = K = K Parameter ϕ Y = U =, 2, K, a, a 2, K a n b b, b T a =, T b =, 2 K, m a θ = b Unbeannt! Die Vorhersage des Modells im Zeitpunt ˆ = T ϕ θ =, 2, K,

18 3. Parameter des Modells anpassen Methode der leinsten Quadrate Die Differenz zwischen den gemessenen Ausgangswerten und den Ausgangswerten des Modells ist ˆ T ξ, θ = ˆ = ϕ θ Die Aufgabe der sstemidentifiation ist es, der Vetor eine Approximation von zu finden, sodass θ θˆ T ξ, ˆ θ = ˆ ϕ ˆ θ 0

19 Das Least-Square Algorithm versucht eine Approximation zu finden, durch die Minimierung der Funtion θˆ V θ Methode der leinsten Quadrate 3. Parameter des Modells anpassen = = = T ˆ ϕ ϕ ϕ θ = = V 2, 2 θ ξ θ min arg θˆ θ θ V =

20 Etappen der Sstemidentifiation u 4. Das gefundene Modell validieren prüfen. Sstem + ξ = ˆ - Model ŷ Following statistics are often used for model validation mean error: variance: m Var = mean square error: = K = ξ 2 ξ m = MSE = K = ξ 2