Modul : Geometrische Grundbegriffe

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1 Modul : Geometrische Grundbegriffe 5.1. Punkt Gerade Ebene 1. Lesen Sie bitte den Text und unterstreichen Sie die Hauptinformationen. Punkt, Gerade und Ebene sind geometrische Grundelemente. Jeder hat recht zutreffende Vorstellungen darüber, was Punkte, Geraden und Ebenen bedeuten, und dennoch ist es nicht leicht diese Vorstellungen in klare Worte zu fassen. Ganz ähnlich verhält es sich natürlich auch in anderen Bereichen. So mag manch einem die Frage: Was sind Zahlen? geradezu als absurd erscheinen. Die Mathematik behandelt und beantwortet solche Fragen auf die ihr eigene Weise. Entscheidend ist nicht, was beispielsweise Zahlen, Punkte, Geraden oder Ebenen an sich sind; entscheidend ist vielmehr, welche Beziehungen zwischen ihnen bestehen und wie mit ihnen operiert werden darf ganz nach dem Motto: Sage mir, wie du dich verhältst, und ich sage dir, wer du bist. Grundbegriffe Körper, wie beispielsweise Würfel, veranschaulichen die geometrischen Grundbegriffe Punkt, Gerade, Ebene. Punkte An den Ecken erkennt man sie besonders deutlich (s. Bild 1). Der Würfel hat acht Eckpunkte. Sie werden mit Großbuchstaben bezeichnet: A, B, C, D, E, F, G, H. Bild 1 Geraden An den Kanten werden Stücke von ihnen sichtbar (s. Bild 2). Die Würfelkanten in beide Richtungen verlängert veranschaulichen zwölf Geraden; jede ist durch zwei Eckpunkte bestimmt. Geraden werden daher oft durch Punktepaare oder durch Kleinbuchstaben bezeichnet: A AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, AE = e, BF =f, CG =g, Bild 2 DH= h, EF = i, FG =k, GH= l, HE =m. Gerade Linien, die auf beiden Seiten unbegrenzt sind, heißen Geraden. Das sind die Geraden g 1 und g 2 (s. Bild 3). Man liest: g eins und g zwei. Sie schneiden sich im Punkt A. A ist der Schnittpunkt der beiden Geraden. Bild 3 B Ebenen An den Außenwänden erkennt man Ebenenstücke (s. Bild l). Der Würfel wird durch sechs Ebenen begrenzt; jede ist durch drei Eckpunkte bestimmt. Ebenen werden daher oft durch drei ihrer Punkte bezeichnet: ABC = E 1, ABF = E 2, BCG = E 3, CDH = E 4, DAE = E 5, EFG = E 6. Punkt und Gerade Ein einziger Punkt A bestimmt ein ganzes Geradenbüschel. Durch einen Punkt A gehen unendlich viele Geraden (s. Bild 4). Zwei Punkte A und B bestimmen eine einzige Gerade. Es gibt nur eine einzige Gerade, die sowohl durch A als auch durch B geht (s. Bild 5). Drei (oder mehr) Punkte bestimmen im Allgemeinen keine Gerade. Bei drei (oder mehr) Punkten gibt es im Allgemeinen keine Gerade, die durch alle Punkte geht (s. Bild 6). Ist B ein Punkt, der nicht auf der Geraden g liegt, so A A Bild 4 Bild 5 B C Bild 6 B

2 gibt es durch B genau eine Gerade h, die mit g keinen gemeinsamen Punkt hat; sie ist die Parallele zu g durch B (s. Bild 7). Dieses so genannte Parallelenaxiom gehört zum Kern jener Sätze, auf denen die euklidische Geometrie aufgebaut ist. Bild 7 Ebene Ebenen lassen sich auf unterschiedliche Weise durch Punkte und Geraden festlegen: Zwei Punkte oder eine einzige Gerade genügen nicht, eine Ebene festzulegen; sie bestimmen vielmehr ein ganzes Ebenenbüschel. Bild 8 zeigt das Büschel, das durch die Punkte A und D bzw. die Gerade AD bestimmt wird. Bild 8 Eine Ebene ist festgelegt durch l. drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen; 2. einen Punkt und eine Gerade, die diesen Punkt nicht enthält; 3. zwei sich schneidende Geraden; 4. zwei parallele Geraden. So erkennt man beispielsweise am Würfel (s. Bild 9): l. Die drei Punkte C, D, H bestimmen die hintere Begrenzungsebene CDH des Würfels. 2. Punkt G und Gerade BC bestimmen die rechte Begrenzungsebene BCG des Würfels. 3. Die Geraden EF und FG bestimmen die Deckfläche EFG des Würfels. 4. Die Geraden AE und DH bestimmen die linke Begrenzungsfläche ADH des Würfels. h g Bild 9 2. Steht das im Text? Ja Nein 1. Zu den geometrischen Grundbegriffen gehören Punkt, Ebene und Volumen. 2. Die Punkte werden mit Großbuchstaben bezeichnet. 3. Eine gerade Linie, die auf beiden Seiten unbegrenzt ist, heißt Gerade. 4. Zwei Geraden können sich nicht schneiden. 5. Zwei Geraden können parallel sein. 6. Durch einen Punkt gehen nur zwei Gerade. 7. Man kann eine Ebene durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, festlegen. 3. Tragen Sie bitte in die Tabelle die Grundbegriffe und stichwortartig ihre Definitionen ein. Grundbegriffe Punkt Gerade Ebene Definitionen Eine zu beiden Seiten unbegrenzte Linie 4. Die folgenden Sätze lassen sich auch mit anderen Worten sagen. 1. Rechenzeichen und Vorzeichen lassen sich vertauschen. Man kann Rechenzeichen und Vorzeichen vertauschen. oder: Rechenzeichen und Vorzeichen können vertauscht werden. oder: Rechenzeichen und Vorzeichen sind zu vertauschen. 2. Ebenen lassen sich auf unterschiedliche Weise durch Punkte und Geraden festlegen. 3. Eine Ebene lässt sich durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, festlegen. 4. Eine Ebene lässt sich durch einen Punkt und eine Gerade, die diesen Punkt nicht enthält, festlegen. 5. Eine Ebene lässt sich durch zwei sich schneidende Geraden festlegen. 6. Eine Ebene lässt sich durch zwei parallele Geraden festlegen. 5. Häufig kommen im Deutschen auch Komposita vor, die zwei, drei oder mehr verschiedene oder gleiche Komponenten kombinieren.

3 Beispiel:: Substantiv + Substantiv = Kompositum der Bogen + das Stück = das Bogenstück Geben Sie bei den folgenden Komposita den richtigen Artikel und die einzelnen Komponenten ( ) an. Übersetzen Sie dann diese Wörter. Artikel Kompositum Entsprechung in der Muttersprache die Deck fläche Begrenzungsebene Ebenenbüschel Parallelenaxiom Würfelkante Geradenbüschel Eckpunkt Punktepaar Kleinbuchstabe Außenwand Ebenenstück Grundbegriff Grundelement Großbuchstabe 6. Ermitteln Sie die Verben oder Adjektive, von denen folgende Substanti-ve abgeleitet sind. Substantiv Verb Adjektiv die Sprache sprechen der Begriff die Gerade die Ebene der Würfel die Begrenzungsfläche die Vorstellung die Richtung der Schnitt der Satz 5.2. Entstehung, Bezeichnung und Messung von Winkeln. Winkelsorten 1. Welche Assoziationen verbinden Sie mit dem Stichwort Winkel? stumpf Winkelgrad (m) WINKEL (m) 2. Lesen Sie bitte den Text und unterstreichen Sie die Hauptinformationen. Entstehung, Bezeichnung und Messung von Winkeln. Winkelsorten Entstehung, Bezeichnung und Messung von Winkeln Dreht man einen Strahl um seinen Ausgangspunkt, so entsteht ein Winkel:

4 Ist die Drehung des Strahls klein, so ist auch der Winkel klein. Ist die Drehung groß, so ist auch der Winkel groß. Je größer die Drehung ist, um so größer ist auch der Winkel. Auf dem Strahl liegen unendlich viele Punkte. Dreht man den Strahl um 360, so beschreibt jeder dieser Punkte einen Kreis: Dreht man den Strahl z. B. um 60, so beschreibt jeder der Punkte keinen Kreis, sondern nur den Teil eines Kreises, einen Kreisbogen. Dreht man den Strahl z. B. um 150, so beschreibt jeder dieser Punkte einen Kreisbogen. Je größer also die Drehung, um so größer ist auch der Kreisbogen. A ist der Scheitelpunkt des Winkels α. A ist auch der Mittelpunkt des Kreises. α beträgt 45 Winkelgrad (45 ). Sein Kreisbogen beträgt 45 Bogengrad. Ein Vollwinkel beträgt 360 Winkelgrad. Ein Kreis beträgt also 360 Bogengrad. Man teilt also einen Kreis in 360 gleiche Teile. Man erhält dann 360 gleiche Stücke des Kreisbogens. Man erhält also 360 gleiche Bogenstücke. Jedes Bogenstück hat die Größe von einem Bogengrad. Ein Winkel von einem Winkelgrad entsteht, wenn man die Endpunkte eines Bogenstückes von 1 Bogengrad mit dem Mittelpunkt A des Kreises verbindet. Die Endpunkte dieses Bogenstückes liegen auf dem Kreisbogen nebeneinander. Man sagt auch: Sie sind benachbart. Man erhält also einen Winkel von einem Winkelgrad (1 ), wenn man zwei benachbarte Punkte auf einem Kreisbogen mit dem Mittelpunkt des Kreises verbindet. Will man wissen, wie groß ein Winkel ist, so muss man ihn messen. Man misst einen Winkel in Grad. Ein Grad ist also eine Einheit zum Messen von Winkeln. Niedere Einheiten sind: 1 Grad = 60 Minuten oder: 1 = 60 ; 1 Minute = 60 Sekunden oder: 1 = 60. In der Praxis misst man die Winkel mit Winkelmessern. Misst man eine Strecke in Grad? Ja oder nein? Man misst eine Strecke nicht in Grad. Ein Grad ist also keine Einheit zum Messen von Strecken. Man kann Strecken in Zentimetern (cm) messen. Ein Zentimeter (cm) ist also eine Einheit zum Messen von Strecken. Man kann Strecken auch in Millimetern (mm) messen. Ein Millimeter (mm) ist also auch eine Einheit zur Messung von Strecken. Auch ein Meter (m) ist eine Einheit zur Messung von Strecken. Winkelsorten α = 45. α ist ein spitzer Winkel. α < 90 Man liest: Alpha ist kleiner als 90 Grad Ein Winkel, der kleiner als 90 ist, ist also ein spitzer Winkel. α = 90. α beträgt 90. α ist ein rechter Winkel. α = 135 ; 90 < α < 180 Man liest: α ist größer als 90 und kleiner als 180. α ist ein stumpfer Winkel. α = 180. α beträgt 180. α ist ein gestreckter Winkel. α = 225, 180 < α < 360. Man liest: α ist größer als 180 und kleiner als 360.

5 α ist ein überstumpfer Winkel. α = 360 α ist ein Vollwinkel. Vollwinkel betragen also 360. α und β haben einen gemeinsamen Scheitelpunkt, aber ihre Schenkel liegen nicht auf einer Geraden. Sie haben nur einen gemeinsamen Schenkel. Sie sind nicht gleich groß. Alpha und Beta sind Nebenwinkel. Zwei Nebenwinkel bilden zusammen einen Winkel von 180 : α + β = 180 Die Winkel α und γ haben den Scheitelpunkt A gemeinsam. Alpha und Gamma sind Scheitelwinkel. Scheitelwinkel sind gleich groß α = γ. Ihre Schenkel liegen auf zwei Geraden. Werden Parallelen von einer Geraden geschnitten, so entstehen acht Winkel. α und α 1 sind Stufenwinkel. δ und δ 1 und sind Stufenwinkel. Man liest: Alpha und Alpha eins sind also Stufenwinkel. Delta und Delta eins sind auch Stufenwinkel. Stufenwinkel an parallelen Geraden sind gleich groß. α und γ 1 sind Wechselwinkel. β und δ 1, sind auch Wechselwinkel. Wechselwinkel sind gleich. α und δ 1 sind entgegengesetzte Winkel. β und γ 1 sind auch entgegengesetzte Winkel. Entgegengesetzte Winkel sind nicht gleich. Entgegengesetzte Winkel betragen zusammen Steht diese Aussage im Text? Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180 : α + β + γ = 180. Ein Außenwinkel am Dreieck ist so groß wie die beiden nicht anliegenden Innenwinkel zusammen: α + β = δ. Ja Nein 1. Wenn man einen Strahl um seinen Ausgangspunkt dreht, so entsteht ein Winkel. 2. Auf dem Strahl liegen nur drei Punkte. 3. Die Strahlen des Winkels heißen Schenkel. 4. Man bezeichnet die Winkel mit griechischen Buchstaben. 5. Ist die Drehung des Strahls klein, so ist der Winkel groß. 6. Man misst eine Strecke in Grad. 7. Man misst einen Winkel in Grad. 8. Werden Parallelen von einer Geraden geschnitten, so entstehen acht Winkel. α und α 1 sind Stufenwinkel. 4. Finden Sie bitte Informationen im Text zu den folgenden Fragen. 1. Wie entsteht ein Winkel? 2. Was versteht man unter den Schenkeln eines Winkels? 3. Wie misst man Winkel? 4. Welche Winkel unterscheidet man auf der Ebene? 5. Ergänzen Sie Adjektive groß und klein im Komparativ, sowie auch andere fehlende Elemente. a) 1. Je größer die Drehung eines Strahles um seinen Ausgangspunkt ist, um so größer ist der Winkel. 2. Je kleiner die Drehung eines Strahles um seinen Ausgangspunkt ist, um so ist der Winkel. 3. Je größer die Drehung des Strahles, ist der Winkel. 4. Die Nebenwinkel α und β ergänzen sich zu 180. Je größer α, um so β. Je kleiner α, β.

6 5. Die entgegengesetzten Winkel β und δ 1 ergänzen sich zu 180. größer β, kleiner δ kleiner β, δ Für die Funktion y = 2x gilt: größer x, größer y. kleiner y, x. b) 1. Je größer die Drehung eines Strahles um seinen Ausgangspunkt ist, desto größer ist der Winkel. 2. Je kleiner die Drehung eines Strahles um seinen Ausgangspunkt ist, desto ist der Winkel. 3. Je größer die Drehung des Strahles, ist der Winkel. 4. Die Nebenwinkel γ und δ ergänzen sich zu 180. Je größer γ, δ. 5. Je kleiner γ, δ. 6. Die entgegengesetzten Winkel α 1 und δ ergänzen sich zu 180. größer α 1, kleiner δ. kleiner α 1, δ. 7. Für die Funktion y = 2x gilt: größer x, y. kleiner x, y. 6. Ergänzen Sie bitte die Sätze. spitzer stumpfe Winkelhalbierende rechter Winkel Grad Minuten Sekunden Scheitelwinkel 1. Man gibt die Größe eines Winkels in, und an. 2. Ein Winkel, der weniger als 90 beträgt, ist ein Winkel. 3. Der Winkel α beträgt 90. α ist ein. 4. Winkel, die mehr als 90 und weniger als 180 betragen, sind Winkel. 5. Winkel, die den Scheitelpunkt gemeinsam haben und deren Schenkel auf zwei Geraden liegen, sind. 6. Eine Gerade, die einen Winkel halbiert, heißt. 7. Ergänzen Sie bitte den Lückentext, verwenden Sie dabei die Wörter aus dem Schüttelkasten. Wenn sich zwei Geraden, so entstehen vier Winkel. Die aller Winkel beträgt 360. Man bezeichnet oft mit kleinen griechischen Buchstaben. In der obenstehenden Zeichnung sind α und β. Sie haben den und einen gemeinsam. Ihre anderen Schenkel auf einer Geraden. Die Winkel α und β ergänzen sich zu, das heißt, größer α, desto β. Auch β und δ sind, die sich zu ergänzen: kleiner also β ist, größer ist δ. Dasselbe gilt für γ und δ: γ, desto größer δ. Ist γ beispielsweise ein spitzer Winkel, so ist δ ein. α und γ in der obigen Zeichnung sind. Sie haben einen Scheitelpunkt. Ihre Schenkel liegen auf zwei sich schneidenden. Scheitelwinkel sind. stumpfer Winkel gemeinsamen gleich Scheitelpunkt Schenkel schneiden Geraden liegen je kleiner Nebenwinkel Summe Winkel kleiner 180 je desto /um so Scheitelwinkel 8. Hören Sie sich den Text an und vergleichen Sie Ihre Resultate. 9. Lesen Sie den folgenden Text und lösen Sie die Aufgaben 1 5. Kreuzen Sie die richtige Antwort A, B, C oder D an. 1. Ein Winkel entsteht, wenn man um einen A eine Gerade B eine Strecke festen Punkt dreht. C einen Strahl D einen Punkt 2. Die Strahlen heißen, ihr Ausgangspunkt A Schenkel B Kreis heißt Scheitel. C Quader D Dreieck 3. Man bezeichnet die Winkel mit A russischen B spanischen Buchstaben. C englischen D griechischen 4. Jeder Punkt des bewegten Schenkels A größer B kleiner

7 beschreibt bei der Drehung einen Kreisbogen. Je größer die Drehung, um so ist der Kreisbogen, der zum Vollkreis wird, wenn der Schenkel eine volle Drehung bis in die Ausgangslage zurück ausgeführt hat. 5. Um die Winkel zu, teilt man den Kreisbogen in 360 gleiche Teile ein. Verbindet man zwei benachbarte Teilpunkte mit dem Mittelpunkt, so entsteht ein Bogenstück von einem Bogengrad. Der zu diesem Bogengrad gehörende Winkel mit dem Scheitel im Mittelpunkt ist ein Winkelgrad (1 ). C breiter A malen C zeichnen D enger B messen D bilden 10. Übersetzen Sie den obigen Text in Ihre Muttersprache Dreieck. Dreieckssorten 1. Lesen Sie den Text und unterstreichen Sie die Hauptinformationen. Set-zen Sie bitte die fehlenden Komponenten in die Zeichnungen (Bilder 2 7) ein. Dreiecke Dreiecke sind die einfachsten geometrischen Figuren. Geraden begrenzen sie einfacher geht's nicht! Drei Geraden genügen mit weniger geht's nicht! Dreiecke sind grundlegende geometrische Figuren. Jedes Vieleck ausnahmslos jedes ist aus Dreiecken zusammengesetzt. Sie sind der Stoff, aus denen Vielecke bestehen. Dreiecke sind stabile Figuren. Ihre drei Seiten legen sie fest starr und unverrückbar. Kein anderes Vieleck ist durch seine Seiten allein festgelegt! Dreiecke sind von großer praktischer Bedeutung. Konstrukteure nutzen sie; Landvermesser pflegen sie; Astronomen schätzen sie... Bild 1 Dreiecke sie enthalten mehr als nur drei Ecken! Ein Dreieck ist bestimmt durch drei Punkte A, B und C, die nicht auf einer Geraden liegen. Sie heißen Eckpunkte: man bezeichnet sie mit Großbuchstaben A, B, C ( s. Bild l). Die Seiten werden durch je zwei Eckpunkte bestimmt. Sie werden mit jenem Kleinbuchstaben bezeichnet, den der gegenüberliegende Eckpunkt trägt, d.h. a, b, c. (s. Bild l). Bild 2 Bild 3 Bild 4 Bild 5 Die Innenwinkel liegen im Innern des Dreiecks und werden von je zwei Seiten eingeschlossen. Man bezeichnet sie mit α, β, γ (Bild 2). Die Außenwinkel liegen außerhalb des Dreiecks und werden von einer Seite und der Verlängerung einer anderen eingeschlossen. Man bezeichnet sie mit α 1, α 2, β 1, β 2,γ 1, γ 2 (Bild 2). Die Höhen eines Dreiecks sind die Senkrechten oder Lote von einem Eckpunkt auf die gegenüberliegende Seite. Man bezeichnet sie mit h a, h b, h c (Bild 3). Die Mittellote oder Mittelsenkrechten sind die Senkrechten auf den Seitenmitten. Man bezeichnet sie mit m a, m b, m c. Ihr Schnittpunkt ist der Umkreismittelpunkt M (Bilder 4 und 7). Die Seitenhalbierenden sind Geraden, die jeweils durch eine Seitenmitte und den gegenüberliegenden Eckpunkt verlaufen. Man bezeichnet sie mit s a, s b, s c. Ihr Schnittpunkt ist der Schwerpunkt S (Bild 5). Die Winkelhalbierenden sind Geraden; sie halbieren jeweils einen der Innenwinkel. Man bezeichnet sie mit w α, w β, w γ (Bild 6). Ihr Schnittpunkt ist der Inkreismittelpunkt W (Bilder 6 und

8 Bild 6 7). Der Inkreis ist jener Kreis, der alle Dreiecksseiten berührt (Bild 7). Der Umkreis ist jener Kreis, der durch die drei Bild 7 Eckpunkte des Dreiecks verläuft ( Bild 7). 2. Steht das im Text? Ja Nein 1. Ein Dreieck ist durch vier Punkte A, B, C und D bestimmt. 2. Ein Dreieck ist durch seine Seiten festgelegt. 3. Die Seiten eines Dreiecks werden durch je zwei Eckpunkte bestimmt. 4. Die Außenwinkel liegen im Innern des Dreiecks und werden von je zwei Seiten eingeschlossen. 5. Die Mittellote sind die Senkrechten auf den Seitenmitten. 6. Der In- und Umkreis sind jene Kreise, die alle Dreiecksseiten berühren. 3. Bilden Sie bitte zusammengesetzte Substantive. A Eck 1 Winkel der Innenwinkel B Drei 2 Senkrechte C Mittel 3 Punkt D Außen 4 Seite E Innen 5 Lot F Seiten 6 Kreis G In 7 Mittelpunkt H Schnitt 8 Halbierende I Umkreis 9 Eck 4. Finden Sie im Text Partizipien I und II, ermitteln Sie die Verben, von denen sie abgeleitet sind. Beispiel: zusammengesetzt (Partizip II) zusammensetzen 5. Verwandeln Sie bitte die Partizipialkonstruktionen in Relativsätze. Was ist ein von einem Punkt ausgehender Strahl? Ein Strahl, der von einem Punkt ausgeht. 2. ein im ersten Quadranten liegender Punkt? Ein Punkt,. 3. eine durch einen Punkt gehende Gerade? Eine Gerade,. 4. die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite? Die Seite,. 5. die dem Punkt C gegenüberliegende Seite? Die Seite,. 6. eine einen Winkel halbierende Gerade? Eine Gerade,. 7. ein von einer Ecke eines Dreiecks ausgehender Strahl? Ein Strahl,. Was sind zwei senkrecht aufeinander stehende Geraden? Zwei Geraden,. 9. die den rechten Winkel bildenden Seiten? Die Seiten,. 10. zwei von einem Punkt ausgehende Strahlen? Zwei Strahlen,. 6. Lesen Sie bitte die Satzteile links und ordnen Sie sie denen rechts zu. Dreieckssorten

9 Man unterscheidet verschiedene Dreieckstypen auf Grund charakteristischer Eigenschaften. Charakteristische Dreieckseigenschaften sie äußern sich vor allem hinsichtlich der Seiten, der Winkel, der Symmetrien! A Gleichseitige Dreiecke 1 Zwei Seiten sind gleich, sie heißen Schenkel. Zwei Winkel sind gleich groß. B Gleichschenklige Dreiecke 2 Sie können drei oder nur eine Symmetrieachse haben. Solche Dreiecke sind gleichseitig oder gleichschenklig. C Beliebige Dreiecke 3 Sie haben drei spitze Winkel. Jeder Innenwinkel ist kleiner als 90. D Spitzwinklige Dreiecke 4 Sie haben einen stumpfen Winkel. Ein Innenwinkel ist größer als 90. E Rechtwinklige Dreiecke 5 Sie haben keine Symmetrieachse. F Stumpfwinklige Dreiecke 6 Sie haben einen rechten Winkel. G Symmetrische Dreiecke 7 Alle Seiten sind gleich lang. Alle Winkel sind gleich groß. H Unsymmetrische Dreiecke 8 Sowohl Seiten als auch Winkel sind unterschiedlich. 7. Ergänzen Sie bitte die Sätze mit den aufgeführten Wörtern. Höhe Seiten zwei Katheten Außenwinkel Mitte liegt gegenüber Hypotenuse Innenwinkel 1. Sind bei zwei Dreiecken zwei Seiten gleich, so sind auch ihre dritten gleich. 2. In jedem Dreieck die größte Seite dem größten Winkel. 3. Im gleichschenkligen Dreieck sind Seiten gleich. 4. Im rechtwinkligen Dreieck heißt die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt,. 5. Im rechtwinkligen Dreieck heißen die Schenkel, die den rechten Winkel bilden,. 6. Ein Dreieck ist stumpfwinklig, wenn es einen Winkel hat, der größer als und kleiner als ist. 7. Die Summe der im Dreieck beträgt Im Dreieck sind Innenwinkel und je ein zugehöriger Nebenwinkel. 9. Beim gleichseitigen Dreieck geht die Höhe durch die der gegenüberliegenden Seite. 10. Die ist das Lot, das von einem Eckpunkt eines Dreiecks auf die gegenüberliegende Seite gefällt ist. 8. Wortbildung: Derivation. Leiten Sie von den Adjektiven Substantive auf heit, -igkeit oder -e ab. Adjektiv Substantiv gleich Gleichheit hoch tief groß flach breit lang schmal gemäß weit leicht 9. Lesen Sie bitte den Lückentext und ergänzen Sie die Wörter aus dem Schüttelkasten. Dreieck A 1 B 1 C 1 stumpfwinkliges ABC Höhen Punkt Scheitelpunkt A 1 B 1 C 1 spitzwinklig Ecken

10 Fällt man von den eines Dreiecks die Lote auf die Gegenseiten, oder anders gesagt, errichtet man die, so schneiden sich diese in einem. Dieser Punkt H ist der Höhenschnittpunkt. Beweis: Die Parallelen zu den Gegenseiten durch die Ecken bilden das. In diesem Dreieck sind die Seiten des Dreiecks ABC die Mittelparallelen. Die Punkte,, liegen deshalb in der Mitte der Seiten des Dreiecks. Die Höhen des Dreiecks sind in dem Dreieck die Mittelsenkrechten, und daher schneiden sie sich in einem Punkt. Liegt der Höhenschnittpunkt innerhalb des Dreiecks, so ist das Dreieck. Liegt der Höhenschnittpunkt außerhalb des Dreiecks, so handelt es sich um ein Dreieck. Liegt der Höhenschnittpunkt im des rechten Winkels, so handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck. 10. Hören Sie sich den Text an und vergleichen Sie Ihre Resultate. 11. Und nun, nachdem Sie alle Übungen durcharbeitet haben, könnten Sie eine kurze mündliche Zusammenfassung der zwei Texte Dreiecke und Dreieckssorten geben. Auf Seite 42 finden Sie entsprechende hilfsreiche Redemittel Lehrsatz des Pythagoras 1. Lesen Sie bitte den Titel des folgenden Textes. Wovon handelt der Text? Könnten Sie schon den Lehrsatz des Pythagoras in der mathematischen Sprache aufschreiben? 2. Lesen Sie dann den folgenden Text und markieren Sie alle Wörter, die zentrale Aussagen enthalten. Lehrsatz des Pythagoras Zeichnen Sie ein rechtwinkliges Dreieck ABC aus a = 4 cm und b =3 cm. Errichten Sie auf den Seiten die Quadrate und teilen Sie sie durch parallele Linien in cm 2 ein. Vergleichen Sie die Quadrate der Katheten mit den Hypotenusenquadraten. Vergleicht man die Katheten- und Hypotenusenquadrate, so sieht man: a 2 + b 2 = c 2. Anders gesagt: Vergleicht man die Kathetenund Hypotenusenquadrate, so kommt man zu der Erkenntnis: a 2 + b 2 = c 2. Übersetzt man diese Gleichung in Worte, so erhält man den Satz: Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat. Dieser Satz gilt für alle rechtwinkligen Dreiecke.

11 Man nennt einen Satz, der allgemein gilt, einen Lehrsatz. Ein Lehrsatz beschreibt eine Erkenntnis. Der Beweis zeigt, ob die Erkenntnis richtig ist. 3. Ermitteln Sie die Verben, von denen folgende Substantive abgeleitet sind. Substantiv die Erkenntnis der Beweis die Gleichung der Lehrsatz die Summe Verb 4. Was passt zusammen? Entscheiden Sie! Sie haben 5 Minuten Zeit. A der Satz B den Lehrsatz C die Quadrate D die Katheten- und Hypotenusenquadrate E zur Erkenntnis F ein rechtwinkliges Dreieck G der Beweis H die Erkenntnis 1 errichten 2 zeichnen 3 einteilen 4 erhalten 5 gilt 6 zeigt 7 vergleichen 8 kommen 9 beschreiben 10 ist richtig 5. Finden Sie das Gegenteil zu den folgenden Wörtern: erhalten errichten einteilen richtig allgemein gleich parallel rechtwinklige Dreiecke falsch 6. Stellen Sie sich bitte vor, dass Sie jetzt der Mathematiklehrer sind. Wie würden Sie den Schülern den Lehrsatz des Pythagoras erklären? Benutzen Sie bei Ihrer Darstellung folgende Wörter: zuerst, dann, danach, später, zum Schluss Vierecke. Vielecke. 1. Welche Assoziationen verbinden Sie mit dem Stichwort Viereck? konvex Trapez (n) VIERECK (n) 2. Lesen Sie bitte den Text und unterstreichen Sie die Hauptinformationen. Setzen Sie die fehlenden Symmetrien in die Zeichnung (Bild 3) ein. Vierecke begegnen uns überall: beim Buch, das wir lesen, beim Blatt, das wir beschreiben, beim Fenster, aus dem wir schauen, bei der Tür, durch die wir gehen, bei Möbeln, die wir nutzen, im Raum, in dem wir wohnen... Vierecke

12 Vielecke findet man seltener. Grundstücke, Häuserblocks, öffentliche Plätze sie haben gelegentlich die Form von Vielecken. In ihren regelmäßigen Ausformungen hingegen erfahren sie mannigfache Verwendung: in Pflasterungen und Parketten, in Fliesenmustern und Mosaiken. In konvexen Figuren kann man sich unkompliziert bewegen: Von jeder Stelle erreicht man jede andere Stelle ohne Umwege und ohne die Figur zu verlassen. Bei konkaven Figuren ist das schwieriger. Hier verläuft der direkte Weg zwischen zwei Orten nicht immer ganz im Innern der Figur. Konvexe Figuren sind z. B. Dreiecke, Quadrate, Rechtecke, Kreise. Nicht konvexe Figuren sind z. B. Sternfiguren, Kreisringe, sichelförmige Figuren, Figuren mit Löchern oder Einbuchtungen. Bild 1 Bild 2 Eine Figur ist konvex, wenn sie mit je zwei Punkten A und B auch die Verbindungsstrecke AB enthält (s. Bild l). Sie ist nicht konvex (oder konkav), wenn sie Punkte enthält, deren Verbindungsstrecke nicht vollständig zur Figur gehört (s. Bild 2). Zu den Vierecken gehören Quadrat, Rechteck, Raute, Parallelogramm, Drachen, Trapez usw. Quadrate haben 8 Symmetrien, denn sie werden durch 8 Abbildungen auf sich überführt (s. Bild 3): > l. Spiegelung s a am vertikalen Mittellot, > 2. Spiegelung s b am horizontalen Mittellot, > 3. Spiegelung s c an einer Diagonale, > 4. Spiegelung s d an einer anderen Diagonale, > 5. Drehung d 0 um 0, > 6. Drehung d 90 um 90, > 7. Drehung d 180 um 180, Bild 3 > 8. Drehung d 270 um 270. Bild 4 Quadrate zeichnen sich durch ihren hohen Symmetriegrad aus. Quadrate haben den Symmetriegrad 8. Sie besitzen vier Achsensymmetrien s a, s b, s c, s d, sowie vier Drehsymmetrien d 0, d 90, d 180, d 270 (s. Bild 4). Diese Symmetrien bedeuten (s. Bild 4): 1. Je zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel. 2. Je zwei gegenüberliegende Seiten sind gleich lang. 3. Je zwei benachbarte Seiten sind gleich lang. 4. Je zwei gegenüberliegende Winkel sind gleich groß. 5. Je zwei benachbarte Winkel sind gleich groß. 6. Die Diagonalen sind gleich lang. 7. Die Diagonalen halbieren sich. Bild 5 Rechtecke haben den Symmetriegrad 4. Sie besitzen zwei Achsensymmetrien s a, s b, sowie zwei Drehsymmetrien d 0, d 180 (s. Bild 5). Diese Symmetrien bedeuten (s. Bild 5): 1. Je zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel. 2. Je zwei gegenüberliegende Seiten sind gleich lang. 3. Je zwei gegenüberliegende Winkel sind gleich groß. 4. Je zwei benachbarte Winkel sind gleich groß. 5. Die Diagonalen sind gleich lang. 6. Die Diagonalen halbieren sich.

13 8. Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander. Unsymmetrische Vierecke Unsymmetrische Vierecke, man nennt sie auch beliebige Vierecke, haben den geringsten Symmetriegrad. Beliebige Vierecke haben den Symmetriegrad l. Sie besitzen nur die allen Figuren zukommende Drehsymmetrie d 0 ; d. h. sie werden nur durch eine Drehung um 0 bzw. um 360 in sich selbst überführt (s. Bild 6). Vorsicht: Obwohl nicht symmetrisch, müssen die Seiten nicht alle verschieden lang, die Winkel nicht verschieden groß und die Diagonalen nicht unterschiedlich lang oder schiefwinklig sein die Bilder (s. Bilder 7, 8, 9) zeigen es! Bild 6 Bild 7 Bild 8 Bild 9 Vielecke Vielecke sind ebene, geschlossene, geradlinig begrenzte Figuren. Sie lassen sich nach unterschiedlichen Merkmalen in Vieleckssorten gruppieren. Kennzeichnende Merkmale für Vielecke sind Ecken- bzw. Seitenzahl, Symmetrie, Konvexität. 1. Unterscheidung nach Ecken- bzw. Seitenzahl 3-Ecke: Sie haben 3 Ecken und 3 Seiten. 4-Ecke: Sie haben 4 Ecken und 4 Seiten. 5-Ecke: Sie haben 5 Ecken und 5 Seiten. 17-Ecke: Sie haben 17 Ecken und 17 Seiten. n-ecke: Sie haben n Ecken und n Seiten. 2. Unterscheidung nach Symmetrie Vielecke können, ähnlich wie Vierecke, unterschiedlichen Symmetriegrad haben. Anders als dort unterscheidet man hier nicht nach allen verschiedenen Symmetriegraden. Vielecke mit dem höchstmöglichen Symmetriegrad sind die regelmäßigen Vielecke, alle anderen sind die nicht regelmäßigen Vielecke. 3. Antworten Sie auf die Fragen zum Text: 1. Was versteht man unter dem Begriff konvexe Figuren? 2. Welche Figuren gehören zu den nicht konvexen? 3. Worin besteht der Unterschied zwischen einem Quadrat und einem Rechteck? 4. Welche Vierecke kennen Sie? 5. Welchen Symmetriegrad haben unsymmetrische Vierecke? 6. Können die Seiten der beliebigen Vierecke eine gleiche Länge haben? 7. Welche kennzeichnenden Merkmale sind für Vielecke typisch? 4. Bilden Sie zusammengesetzte Substantive. A Stern B Viel C Verbindung-s 1 Strecke D Recht 2 Stück das Grundstück E Fliesen 3 Eck F Grund 4 Grad G Vier 5 Ring H Häuser 6 Block I Symmetrie 7 Figur J Achsen 8 Muster K Kreis 9 Symmetrie L Dreh 5. Ergänzen Sie die Sätze mit den aufgeführten Wörtern. 1. Im beträgt die Winkelsumme Eine zerlegt ein Viereck in zwei Dreiecke. 3. Die Mittellinie eines Trapezes halbiert seine beiden. 4. Sind bei einem Viereck die Seiten parallel, so handelt es sich um ein. 5. Ein Viereck mit rechten Winkeln heißt. 6. Ein Rhombus ist ein Viereck, das gleiche Seiten hat. 7. Ein Viereck mit und Seiten ist ein Quadrat.

14 8. Sind in einem Viereck die Winkel gleich, so handelt es sich um ein oder um ein. 9. Ein Vieleck heißt, wenn seine Seiten und Winkel gleich sind. 10. Ein Trapez ist ein Viereck. regelmäßig Viereck Schenkel unregelmäßiges Parallelogramm Rechteck vier Diagonale rechten Winkeln gleichen Quadrat Rechteck 6. Verwenden Sie bitte in der Antwort die Vorsilbe un. 1. Ist die Zahl 3 eine gerade Zahl? Nein, sie ist ungerade. 2. Sind die Grundseiten eines Trapezes gleich? Nein, sie sind. 3. Ist der Wert eines Bruches nach dem Erweitern verändert? Nein, er ist. 4. Ist in der Gleichung 4a + 2x = 5b x bekannt? Nein, x ist. 5. Schneiden sich Parallelen im Endlichen? Nein, sie schneiden sich im. 6. Ist ein Trapez ein regelmäßiges Viereck? Nein, es ist ein Viereck. 7. Ist ein rechtwinkliges Dreieck ein gleichseitiges Dreieck? Nein, ein. 8. Ist ein Strahl auf beiden Seiten begrenzt? Nein, er ist auf einer Seite. 9. Ist in der Funktion y = x 2 x die abhängig Veränderliche? Nein, x ist die Veränderliche. 7. Ergänzen Sie die Sätze mit den Relativpronomen: a) das, dessen, die, dem 1. Ein Viereck, dessen vier Seiten gleich sind, wird als Rhombus bezeichnet. 2. Eine Raute ist ein Viereck, Seiten gleich sind. 3. Ein Quadrat ist ein Viereck, vier rechte Winkel hat und Seiten gleich sind. 4. Ein Viereck, vier gleiche Winkel und vier gleiche Seiten hat, ist ein Quadrat. 5. Ein Viereck mit rechten Winkeln, bei je zwei Gegenseiten gleich sind, ist ein Rechteck. 6. Eine Figur, viele Ecken hat, heißt Vieleck. b) der, dessen 1. Was ist ein rechter Winkel? Ein Winkel, der 90 beträgt. Oder: Ein Winkel, dessen Schenkel senkrecht aufeinander stehen. 2. Was ist ein stumpfer Winkel? Ein Winkel, größer als 90 ist. 3. Was ist der Umkreis eines Dreiecks? Ein Kreis, durch die Ecken des Dreiecks geht. 4. Was ist ein gestreckter Winkel? Ein Winkel, Schenkel auf einer Geraden liegen. 5. Was ist ein Mittelpunktswinkel? Ein Winkel im Kreis, Scheitelpunkt im Mittelpunkt liegt und Schenkel Radien sind. 6. Was ist ein gestreckter Winkel? Ein Winkel, Schenkel auf einer Geraden liegen und 180 beträgt. c) die, deren 1. Was ist der Radius eines Kreises? Eine Strecke, einen Punkt auf dem Kreisumfang mit dem Mittelpunkt des Kreises verbindet. Oder: Eine Strecke, Endpunkte der Mittelpunkt des Kreises und ein Punkt auf dem Kreisumfang sind. 2. Was ist eine Gerade? Eine gerade Linie, unbegrenzt ist. 3. Was ist ein Strahl? Eine gerade Linie, auf einer Seite begrenzt ist. 4. Was ist eine Sehne? Eine Strecke, Endpunkte auf dem Kreisbogen liegen. 5. Was ist der Radius eines Kreises? Eine Strecke, Endpunkte der Mittelpunkt des Kreises und ein Punkt auf dem Kreisumfang sind. 6. Was ist der Durchmesser eines Kreises? Eine Strecke, durch den Mittelpunkt geht und Endpunkte auf dem Kreisumfang liegen. 7. Was ist die Mittellinie eines Trapezes? Eine Strecke, die Höhe halbiert und Endpunkte auf den Schenkeln liegen. d) das, dessen 1. Was ist ein Rechteck? Ein Viereck, vier rechte Winkel hat. Oder: Ein Viereck, Winkel alle 90 betragen. 2. Was ist ein rechtwinkliges Dreieck? Ein Dreieck, einen rechten Winkel hat. 3. Was ist ein Rechteck? Ein Viereck, vier rechte Winkel hat. 4. Was ist ein regelmäßiges n-eck? Ein n-eck, Winkel und Seiten gleich sind. 5. Was ist ein Quadrat? Ein Viereck, Winkel und Seiten gleich sind. 6. Was ist ein Tangentenviereck? Ein Viereck, einen Kreis in vier Punkten berührt und Seiten Tangenten an den Kreis sind. 7. Was ist ein Quadrat? Ein Viereck, Seiten senkrecht aufeinander stehen und durch eine Diagonale in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegt wird. e) die, deren

15 1. Was sind ungleichnamige Brüche? Brüche, ungleiche Nenner haben. Brüche, Nenner ungleich sind. 2. Was sind gleichnamige Brüche? Brüche, gleiche Nenner haben. 3. Was sind Tangenten? Geraden, einen Kreis in einem Punkt berühren. 4. Was sind ungleichnamige Brüche? Brüche, Nenner ungleich sind. 5. Was sind Scheitelwinkel? Winkel, Schenkel auf zwei sich schneidenden Geraden liegen. 6. Was sind Nebenwinkel? Winkel, einen Schenkel und einen Scheitelpunkt gemeinsam haben und andere Schenkel auf einer Geraden liegen. 7. Was sind entgegengesetzte Winkel? Winkel, Schenkel auf geschnittenen Parallelen liegen 8. Was passt zusammen? A Vieleck B konvex C symmetrisch D Rhombus E Innenwinkel F Seite G verschieden H regelmäßig I spitz J Inkreis 1 Raute 2 Außenwinkel 3 gleich 4 unregelmäßig 5 Polygon 6 konkav 7 unsymmetrisch 8 stumpf 9 Umkreis 10 Gegenseite 9. Ergänzen Sie bitte den Lückentext mit den Wörtern aus dem Schüttelkasten. Höhe Diagonalen Ecken regelmäßig Trapez Endpunkte unregelmäßiges parallel ungleich Seiten gleich Schenkel Seiten gleichschenklig Mittellinie Summe Ein ebenes n-eck wird gebildet durch n in einer Ebene liegende Punkte, die des n-ecks. Ihre Verbindungsstrecken heißen. n-ecke sind, wenn ihre Seiten und Winkel gleich sind. Das ist ein Viereck. Zwei Gegenseiten sind und. Die beiden anderen sind nicht und nicht parallel. Es handelt sich also um ein. Die nichtparallelen Seiten sind die. Ein Trapez ist, wenn seine Schenkel gleich sind. Die Schenkel werden von der halbiert, denn jede Mittelparallele halbiert die Strecken, deren auf den Parallelen liegen. Deshalb halbiert die Mittellinie auch die und die im Trapez. Für die Länge der Mittellinie gilt, dass sie gleich der halben beider Grundseiten ist. 10. Hören Sie sich den Text an und vergleichen Sie Ihre Resultate. 11. Express-Strategie Lesen Sie bitte den Text. Was haben Sie sich gemerkt? Worum geht es? DAS VIERECK Ein Viereck entsteht, wenn wir vier Punkte einer Ebene, von denen nicht drei auf einer Geraden liegen, durch Strecken miteinander verbinden. Die Verbindungslinie zweier gegenüberliegenden Ecken eines Vierecks heißt Diagonale. Sind in einem Viereck zwei Gegenseiten parallel, so nennt man es Trapez. Das Trapez heißt gleichschenklig, wenn die nicht parallelen Seiten gleich lang sind. Die beiden parallelen Seiten sind die Grundlinien, der Abstand der beiden Parallelen ist die Höhe, die Verbindungslinie der Mitten der beiden nichtparallelen Seiten heißt Mittellinie.

16 Sind in einem Viereck je zwei gegenüberliegende Seiten parallel, so heißt es Parallelogramm oder Rhomboid. Sind in einem Viereck sämtliche Seiten gleich lang, so heißt es Rhombus oder Raute. Sind in einem Parallelogramm die vier Winkel Rechte, so handelt es sich um ein Rechteck. Sind in einem Rhombus die vier Winkel Rechte, so heißt es Quadrat. Die Summe der Außenwinkel eines Vierecks beträgt vier Rechte. Die Diagonale eines Rechtecks sind einander gleich. Die Diagonalen eines Rhombus sowie eines Quadrats stehen aufeinander senkrecht und sind Winkelhalbierenden. Ein beliebiges Viereck ist durch fünf, ein Parallelogramm durch drei, ein Rechteck und ein Rhombus durch zwei Stücke und ein Quadrat durch ein Stück bestimmt. Ein Parallelogramm nach gegebenen Stücken konstruiert man in der Regel, indem man eines seiner Teildreiecke, das durch eine Diagonale oder beide gebildet wird, zeichnet und dieses dann zum Parallelogramm ergänzt. Die Mittelparallele zweier Parallelen halbiert jede von ihnen begrenzte Strecke. Die Verbindungsstrecke der Mitten zweier Dreieckseiten ist zu dritten Dreieckseite parallel und halb so lang wie diese. Die Strecke, die, die Mittelpunkte der Schenkel eines Trapezes verbindet, ist den Grundlinien parallel und halb so lang wie deren Summe. Die Diagonalen teilen ein Trapez in zwei nicht kongruente Dreiecke, die beiden Winkel an einem Schenkel des Trapezes sind Supplementwinkel. Beim gleichschenkligen Trapez sind die Diagonalen einander gleich, die Winkel an einer Grundlinie ebenfalls. Der Vollständigkeit wegen sei noch das Drachenviereck erwähnt. Bei ihm sind die Summen je zwei gegenüberliegenden Seiten gleich, d.h., je zwei anliegende Seiten sind gleich. Die Diagonalen stehen aufeinander senkrecht, die eine der Diagonalen ist zugleich Symmetrieachse der Figur und halbiert die andere Diagonale, die das Drachenviereck in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegt. 12. Lesen Sie bitte den Text genau und unterstreichen Sie die Arten des Vierecks. 13. Wie heißen die Artikel dieser Nomen? Viereck, Trapez, Parallelogramm, Verbindungsstrecke, Rechteck, Seite, Verbindungslinie, Rhombus, Raute, Mittelpunkt 14. Antworten Sie auf die Fragen zum Text. 1. Wie entsteht ein Viereck? 2. Was ist eine Diagonale? 3. Definieren Sie bitte den Begriff Trapez. 4. Was ist ein Parallelogramm? 5. Was versteht man unter dem Drachenviereck? 6. Wie konstruiert man ein Parallelogramm? 15. Wie heißen die folgenden Figuren? Was könnten Sie über sie erzählen? Benutzen Sie folgende Wörter und Aisdrücke: sich in den Ecken schneiden Diagonale (f) die Gegenecken verbinden in Dreiecke zerlegen Schenkel (Pl.) Höhe (f) gleich parallel Kreis (m) Gegenseiten (Pl.) Trapez (n) Parallelogramm (n) Rechteck (n) Rhombus (m) Quadrat (n) Pyramide (f) Sechseck (n) eine ebene Figur regelmäßig / unregelmäßig vier Winkel rechte Winkel gleichschenklig

17 Bild 1 Bild 2 Bild 3 Bild 4 Bild 5 Bild 6 Bild 7 Bild Spitze Körper 1. Lesen Sie bitte zunächst nur die Überschrift des folgenden Textes. Wovon handelt der Text? Was sind spitze Körper? 2. Lesen Sie jetzt den Text und unterstreichen Sie Stichworte. Spitze Körper Wichtig für die Körperberechnung ist der Satz von Cavalieri (italienischer Mathematiker ( ). Haben zwei Körper die gleiche Grundfläche und in gleicher Höhe gleiche Parallelquerschnitte zur Grundfläche, so sind ihre Rauminhalte gleich. Folgerung: Spitze Körper mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe haben den gleichen Rauminhalt. Beweis: Man kann jeden Körper in ganz flache Scheiben zerschneiden. Durch Verschieben der Scheiben entstehen die einzelnen Formen. Der Rauminhalt ändert sich dabei nicht. Alle spitzen Körper werden mit Hilfe folgender Grundformeln berechnet: Grundfl.(A) x Höhe (h) Rauminhalt (V) = 3 Oberfläche (O) = Mantel(M) + Grundfl.(A) Beweis für V: Einen geraden Körper, z. B. einen Würfel, kann man in drei gleiche Pyramiden zerlegen. (Die Pyramiden haben gleiche Grundflächen [a 2 ] und gleiche Höhen [a]). Der Rauminhalt eines spitzen Körpers ist also 1/3 vom Rauminhalt eines geraden Körpers mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe. Dieser Satz gilt auch für den Kegel, den man als Pyramide mit unendlich vielen Ecken auffassen kann.

18 Körperarten Körpermaße Ein Körper ist ein allseitig von Flächen begrenzter Teil des Raumes. Nachstehend betrachten wir eine Reihe spezieller Körper, unter denen wir je nach Aussehen folgende wichtigste Grundkörperarten unterscheiden: Gerade Körper Bei geraden Körpern sind alle Querschnitte parallel zur Grundfläche gleich, und die Mantellinien stehen senkrecht auf der Grundfläche. Die Grund- und die Deckflächen sind also auch gleich und können eine beliebige Gestalt haben. Besondere Formen haben bestimmte Namen. Spitze Körper Bei spitzen Körpern läuft die Grundfläche geradlinig in einer Spitze aus. Körper mit eckiger Grundfläche nennt man Pyramiden, Körper mit runder Grundfläche Kegel. Stumpfe Körper Stumpfe Körper entstehen, wenn man bei spitzen Körpern durch einen parallelen Schnitt zur Grundfläche die Spitze abtrennt. Grund- und Deckfläche sind also ähnlich. Kugel Eine Kugel entsteht durch Drehung eines Kreises um seinen Durchmesser. Sie ist eine geschlossene Fläche mit konstanter Krümmung. Drehkörper Drehkörper entstehen durch Rotation (Drehung) einer beliebigen Fläche um eine feste Achse (Drehachse x x). 3. Antworten Sie auf die Fragen zum Text. 1. Welche Körperarten kennen Sie? 2. Nennen Sie und zeigen Sie die Körper auf der Abbildung. 3. Welche Figuren bilden die Grundfläche der spitzen Körper? 4. Woraus besteht die Oberfläche eines spitzen Körpers? 5. Wie entstehen Drehkörper? 4. Bilden Sie zusammengesetzte Substantive. A Parallel 1 Zylinder B Körper 2 Platte C Mantel 3 Stumpf D Deck 4 Fläche die Grundfläche E Dreh 5 Inhalt F Grund 6 Berechnung G Hohl 7 Art H Raum 8 Achse I Loch 9 Maße J Form 10 Querschnitt K Pyramiden 11 Linie L Kegel 12 Körper 13 Stahl 5. Ergänzen Sie die Sätze mit den Wörtern aus dem Schüttelkasten. 1. Figuren sind, wenn sie in der Form ihrer Flächen übereinstimmen. 2. Figuren sind, wenn sie in der Größe ihrer Flächen übereinstimmen. 3. Figuren sind, wenn sie in Form und Größe ihrer Flächen übereinstimmen. 4. Ein Körper ist ein begrenzter Teil des. 5. Ein Würfel hat Kanten. 6. Ein Quader hat ein als Grundfläche.

19 7. Die Oberfläche eines Zylinders besteht aus zwei Kreisflächen und der. 8. Spitze Körper mit einem Kreis als Grundfläche sind. 9. Die Höhe in geraden Kegeln ist das Lot von der des Kegels auf den Mittelpunkt der Grundfläche. 10. Eine Kugel ist eine Fläche, deren Punkte von einem gegebenen Punkt, dem Mittelpunkt der Kugel, den gleichen Abstand haben. zwölf Mantelfläche ähnlich Kegel gekrümmte Spitze Raumes flächengleich Rechteck kongruent 6. Hören Sie sich den Text an und vergleichen Sie Ihre Resultate. 7. Geben Sie nun bitte eine kurze mündliche Zusammenfassung des Textes Spitze Körper (s. Seite 42 mit den Redemitteln) Reflexion und Überprüfung: Testkontrollfragen. Kreuzworträtsel 1. a) Übertragen Sie die Tabelle in Ihr Heft. Kreuzen Sie an, welche Eigenschaften die verschiedenen Viereckstypen (Trapez T, gleichschenkliges Trapez gt, Drachen D, Parallelogramm P, Raute Ra, Rechteck Re, Quadrat Q) haben. (mindestens) zwei Seiten gleich lang die Gegenseiten jeweils gleich lang zwei Paare gleich langer Nachbarseiten alle Seiten gleich lang (mindestens) zwei Winkel gleich groß die Gegenwinkel jeweils gleich groß zwei Paare gleich großer Nachbarwinkel alle Winkel gleich groß die Diagonalen aufeinander senkrecht die Diagonalen halbieren sich die Diagonalen gleich lang T gt D P Ra Re Q b) Warum stehen alle Kreuze, die beim Parallelogramm stehen, auch beim Rechteck? Stehen auch noch bei anderen Vierecken alle Kreuze, die beim Parallelogramm stehen? c) Bei welchen Vierecken stehen alle Kreuze, die beim Drachen stehen? Was ist der Grund dafür? 2. Bei speziellen Vierecken braucht man weniger als 5 Maßangaben für die Konstruktion. Wie viele Angaben sind nötig: beim Quadrat, beim Rechteck, bei der Raute, beim Parallelogramm? 3. Zeichnen Sie ein Trapez, in dem die Seiten a und c parallel sind, mit folgenden Maßen: a = 4cm, c = 7 cm, ß = 100, b = 3,5 cm. 4. In jeder der folgenden Zeilen sind 18 Wörter ans dem Bereich Der Kreis versteckt, allerdings von rechts nach links geschrieben. a s u i d a r n j l k o p e ä m b v j k n m x e ö ü n e g o b s i e r k h u o e s i e r k d s a m n c r p e l e k n i w s t k n u p l e t t i m e q n e d i e n h c s a o k l d g f ü h j l ö a b x n m e t n a k e s a b k s i e r k m u d a w r t u i o ü d r e z t k n u p l e t t i m o p ü f t t i n h c s b a s i e r k e a d s i e r k n i t g f d v i a o p u r

20 e t z h e k c e m i o p ü ä k m n ä r g b e w a b g n a f m u n i o p ä b n m n e r h ü r e b k l ö ä a o u e t n e g n a t g h n u j i k l a e m j k e n h e s z u o q w b n y s ä u o p f b a r e s s e m h c r u d ü t k n u p h u o p m k ö e a v c x y h j l u z r e b o a i h c i e l g z 1 Radius Ecke Und nun, nachdem Sie alle Übungen durchgearbeitet haben, können Sie eine kurze mündliche Zusammenfassung aller Texte über die Kreise geben. Auf Seite 42 finden Sie entsprechende Redemittel