Master Seminar I Erzeugung von kurzwelliger Strahlung

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1 Master Seminar I Erzeugung von kurzwelliger Strahlung Thomas Jennewein Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 1 2 Röntgenröhre Charakteristische Röntgenstrahlung Bremsstrahlung Gesamtspektrum Brillanz 3 4 Synchrotronstrahlung Beschleunigte Ladungen Strahlung in Synchrotrons Abstrahlwinkel Spektrum Undulator/Wiggler Abstrahlwinkel Spektrum Vergleich und Fazit 10 A Quellen 11

2 2 Röntgenröhre 1 Motivation Kurzwellige Strahlung findet Anwendung, in einer Vielzahl von Bereichen im Alltag oder der Forschung. Man denke z.b. an die Strahlentherapie oder Röntgenaufnahmen in der Medizin. Aber von welchen Wellenlängen ist hier die Rede? Abbildung 1: Spektrum von Lichtwellen In Abbildung?? sehen wir das Spektrum von Licht. Der Wellenlängen Bereich, der hier weiter von Belang ist, ist der Bereich zwischen 10 8 und m. Das ist Licht Mit einer Energie von etwa 0, 1 bis 120 kev. Wie man leicht über die Formel: E = h c λ berechnen kann. Wobei h das plancksche Wirkungsquantum ist, c die Lichtgeschwindigkeit und λ die Wellenlänge. (1) 2 Röntgenröhre Wie, die in der Motivation erwähnten, Röntgenaufnahmen schon andeuten, kann diese Strahlung mit Röntgenröhren erzeugt werden. Sie wurden es auch bis vor wenigen Jahrzehnten. Warum das nichtmehr so ist, wird im nächsten Abschnitt geklärt. Abbildung 2: Schemazeichnung wassergekühlte Röntgenröhre 1

3 2 Röntgenröhre Im oberen Bild sieht man wie eine solche Röhre funktioniert. Elektronen werden aus der negativ geladenen Kathode ausgeheizt und über die angelegte Spannung zur Anode beschleunigt. In der Anode wechselwirken sie mit dem Material, es entsteht Röntgenstrahlung. Präziser gesagt es entstehen zwei Arten der Röntgenstrahlung. 2.1 Charakteristische Röntgenstrahlung Die erste Art entsteht, wenn die freien Elektronen andere Elektronen aus der Atomhülle ausschlagen. Um in den energetisch günstigsten Zustand zu erreichen, fällt ein Elektron von einer höheren Schale auf den freien Platz zurück. Der Energieunterschied wird als Photon frei. Die Wellenlänge hängt hier also nur vom Anoden Material ab, und dessen Übergänge. Also liegt kein kontinuierliches Spektrum vor, sondern nur scharfe Peaks, bei den entsprechenden Wellenlängen. Die Energie solcher Übergänge liegt üblicherweise im Bereich von kev. Also genau der Wellenlängen Bereich der uns interessiert. 2.2 Bremsstrahlung Die zweite Art der Strahlung entsteht durch die Wechselwirkung der freien Elektronen mit dem Atomkern. Dieser ist positiv geladen, und lenkt deshalb die Elektronen ab. Da dies eine Beschleunigung darstellt, strahlen die Elektronen je nachdem wir stark sie abgelenkt werden Energie in Form von Photonen ab. Die dabei Maximal mögliche Energie, ergibt sich daher, das die komplette kinetische Energie des Elektrons an das Photon abgegeben wird. Über die Formeln: E kin = E P hoton e U = h c λ hierbei ist e die Elektronen Ladung und U die Beschleunigunsspannung. Man sieht schon, dass alles bis auf λ und U konstanten sind, deshalb hängt die Wellenlänger nur von der Spannung ab. Also kann man jede Wellenlänge erreichen, indem man eine hohe Beschleunigungsspannung anlegt. 2.3 Gesamtspektrum Im unten stehenden Bild sehen wir nun das gesamte Spektrum einer Röntgenröhre: (2) 2

4 3 Brillanz Abbildung 3: Spektrum einer Röntgenröhre mit Rhodium Anode bei 60 kv Hier sieht man sehr gut, das kontinuierliche Spektrum mit 2 scharfen Röntgenpeaks. Man sieht auch, dass die Wellenlänge geringer sein kann als 100 pm, was einer Energie von 10 kev entsprechen würde. Warum also erzeugt man mittlerweile kurzwellige Strahlung auf anderem Wege, das Stichwort heißt: Brillanz. 3 Brillanz Die Brillanz gibt Auskunft über die Güte meines Strahls und ist definiert über: Brillanz = N t Ω A E E (3) Hier ist N t die Teilchenzahl pro Zeiteinheit, Ω der Raumwinkel in den gestrahlt wird, A die Fläche die strahlt und E E ist die Energiebreite der Strahlung. Für eine hohe Brillanz muss meine Strahlung also in einem möglichst kleinen Raumwinkel aus einer möglichst kleinen Fläche eine Vielzahl von Photonen der gleichen Energie abstrahlen. Schaut man sich die Röntgenröhre unter diesem Aspekt an, wird man feststellen, das sowohl der Raumwinkel als auch die Energiebreite nicht optimiert werden können und außerdem nicht gut sind, wie man an dem kontinuierlichen Spektrum sieht, und wäre der Raumwinkel in dem abgestrahlt wäre klein, so müsste man beim Arzt keine Bleiweste anziehen, obwohl nur der Kiefer geröntgt werden soll. Man kann zwar die Teilchenanzahl durch einen höheren Strom erhöhen und auch die Anode verkleinern, um die Strahlende Fläche zu verbessern, aber dem sind auch Grenzen gesetzt, da die Anode dann immer heißer wird, sich irgendwann nichtmehr kühlen lässt um schlimmstenfalls schmilzt. Aus diesem Grund hat man sich etwas neues überlegt, Strahlung aus Beschleunigern. 3

5 4 Synchrotronstrahlung 4 Synchrotronstrahlung 4.1 Beschleunigte Ladungen In Beschleunigern werden hochenergetische geladene Teilchen immer wieder abgelenkt (außer bei Linearbeschleunigern). Da das einer Beschleunigung entspricht, strahlen diese dabei Energie in Form von Photonen ab. Betrachtet man diesen Vorgang im Ruhesystem der Teilchen, so sieht man, dass das Teilchen nur in eine Richtung beschleunigt wird. Die Abstrahlcharakteristik einer solchen Bewegung wird durch den Hertzschen Dipol beschrieben. Im unteren Bild sieht man einen solchen. Es wird also überall hin abgestrahlt, außer in Richtung der Beschleunigung. Abbildung 4: Abstrahlcharakteristik Hertzscher Dipol 4.2 Strahlung in Synchrotrons Der Name Synchrotronstrahlung stammt daher, dass man diese Art der Strahlung zuerst in Synchrotrons genutzt hat, sie entsteht natürlich aber auch bei jeder anderen Beschleuniger Art, bei der geladene Teilchen abgelenkt werden. Dabei geht hervor, dass die Abgestrahlte Energie proportional zur Masse und der Energie der Teilchen in der 4ten Potenz ist, also: E E4 m 4 R Da möglichste viele Photonen abgestrahlt werden sollen, sind nur leichte Teilchen von Bedeutung, sprich: Elektronen. Nun schaut man sich wieder die Brillanz an, um eine Aussage über die Güte zu machen. Die Strahlende Fläche, ist der Strahldurchmesser, dieser kann durch Optimierung verbessert werden. Die Teilchenanzahl kann über den Strahl geregelt werden, was fehlt ist das Spektrum und der Abstrahlwinkel. (4) 4

6 4 Synchrotronstrahlung Abstrahlwinkel Wie schon vorher erwähnt, sieht die Abstrahlcharakteristik an jedem Punkt auf der Kreisbahn des Elektrons aus wie ein Hertzscher Dipol, im Ruhesystem des Elektrons. Um nun ins Laborsystem zu kommen, muss man diese Charakteristik Lorentz-Boosten. Wie in der Abbildung unten zu sehen, hat sich die vorher fast in 4π verteilte Strahlung, zu einem engen Kegel mit Öffnungswinkel Θ = 1 γ verformt. Da γ sich leicht über E = γm 0c 2 berechnen lässt, sieht man, dass dieser Wert schon für 1 GeV bei 2000 liegt, somit ist Θ nur ein halbes mrad. Der Abstrahlwinkel ist also sehr klein. (a) Im Ruhesystem (b) Im Laborsystem Abbildung 5: Abstrahlcharakteristik Spektrum Um das Spektrum qualitativ zu betrachten, reich eine deutliche vereinfachte Darstellung. Wir stellen uns vor das Experiment steht an einem Ort Tangential zur Kreisbahn. Sobald uns der Lichtkegel den das Elektron abstrahlt trifft, sieht unser Experiment Licht. Das dauert solange, bis der andere Rand des Kegels über unseren Beobachter streicht. Man sieht es in der unteren Abbildung, dass diese Zeitspanne nur aus dem Wegunterschied des Elektrons und des Photons resultiert. 5

7 4 Synchrotronstrahlung Abbildung 6: Zeitspanne des Lichteinfalls Da sich beide Teilchen praktisch mit c bewegen teilt man den Wegunterschied durch c und erhält so die Zeitspanne. In Formeln ausgedrückt ist das: t = t e t γ = 2RΘ c 2Rsin(Θ) c 4R 3cγ 3 (5) Wie wir vorher schon erwähnt haben, ist γ 10 3 und c ist bekanntlich 10 8 sodass man auch für große Radien immer auf sehr kurze Lichtimpulse kommt. Durch die Fouriertransformation kommt man vom Orts- in den Frequenzraum und dabei gilt, je kürzer ein Signal im Ortsraum, desto breiter ist die Verteilung im Frequenzraum. Das findet man nun auch wenn man ein tatsächliches Spektrum misst wie in der unteren Abbildung zu sehen. Abbildung 7: Synchrotronstrahlungs Spektrum (doppelt logarithmisch) 6

8 4 Synchrotronstrahlung Was heißt das nun für unsere Brillanz: Strahlende Fläche über Strahldurchmesser regelbar Teilchenanzahl über Strahlstrom regelbar Abstrahlwinkel 1 γ kann sehr klein sein für hohe Strahlenergie Spektrum sehr breit, dass kann man nur schwer ändern Eine Größe kann also nur sehr schwer geändert werden, indem man astronomisch hohe Radien benutzen würde, was mit unserem Stand der Technik auf jeden fall unmöglich ist. Es gibt aber noch weitere Probleme als eine kleine Brillanz, überlegt man sich mal den Strahlengang, so fällt einem auf, dass an einem Ablenkungsmagnet überall hin gestrahlt wird, nicht nur auf einen Punkt, sondern einen breiten Fächer. Dadurch wirft man sehr viel Strahl weg, und somit auch Energie die dann wieder zuführen muss. Man braucht wieder eine neue Idee: Elektron dauerhaft auf Kreisbahn, aber Nettobewegung auf der Strahlachse. 4.3 Undulator/Wiggler Diese Bewegung des Elektrons erreicht man über so genannte Wiggler oder Undulatoren, der Unterschied ist für uns nicht weiter von Belang, da die Funktionsweise die Gleiche ist(fortan ist hier fast nur noch von Undulator die Rede). Der Undulator besteht aus Abwechselnden Nord-Süd und Süd-Nord Magneten. Dadurch erreicht man eine Zitterbewegung des Elektrons. Abbildung 8: Undulator/Wiggler In Abbildung?? sieht man sun einen solchen Undulator, und die Elektronenbewegung. Betrachten wir nun wieder die Brillanz. Strahlende Fläche und Teilchenzahl sind wie bei der normalen Synchrotronstrahlung einstellbar. Wichtig ist also wieder Abstrahlwinkel und Spektrum Abstrahlwinkel Diesen bekommt man hier einfach aus den Bewegungsgleichungen. Diese findet man, indem man das Potential als periodisch aufstellt, daraus das B-Feld ableitet, und dann Die DGL ma = qv B löst. Hat man nun die Bewegungsgleichung, so kann man sich überlegen, das das Elektron den 7

9 4 Synchrotronstrahlung größten Winkel in seiner Bewegung bezüglich der Strahlachse dann hat, wenn die Ableitung meiner Bewegung Maximal ist (Ableitung am größten = größte Steigung). Dieser Winkel entspricht dann gerade dem maximalen Abstrahlwinkel, man findet: Θ = λ ueb 2πm e c 1 γ = K λ, K = λ ueb 2πm e c (6) Dabei ist m e die Elektronenmasse, B das Magnetfeld und λ u die Undulatorperiode. Diese ist als der Abstand zwischen zwei Nord Süd Magneten gegeben, wie in der Abbildung?? mit λ 0 gekennzeichnet. Das K nennt man nun Undulatorparameter. Mithilfe dieses Parameters unterscheidet man nun auch zwischen Undulator und Wiggler, Undulatoren haben K 1 und Wiggler K > 1. Man sieht auch, dass der Abstrahlwinkel sich damit sehr ähnlich zu dem des Synchrotrons verhält Spektrum Das Spektrum kann man vereinfacht so betrachten: Man bewegt sich gleichförmig mit dem Undulator mit und sieht, dass das Elektron praktisch nur noch auf und abschwingt. Dieses Verhalten kann man nun wieder durch den Hertzschen Dipol mit fester Frequenz beschreiben. Diese Frequenz wird durch den Lorentzboost und den relativistischen Dopplereffekt vergrößert, und man findet als Kohärenzbedingung für die Wellenlänge: λ W = λ ) u (1 2γ 2 + K2 2 + γ2 Θ 0 (7) Die führende Ordnung des Terms ist tatsächlich die Normale Frequenz wenn das Elektron nur auf und ab schwingen würde. Dadurch, dass der Impulsbetrag des Elektrons jedoch immerwährend gleich bleibt(die Richtung sich aber ändert), bewegt sich das Elektron mal langsamer mal schneller in Richtung der Strahlachse. Das führt im Bezugsystem gleichförmige Bewegung auf der Strahlachse zu einer Zitterbewegung des Elektrons auf der Strahlachse. Diese Zitterbewegung ist größer, je größer der Undulator Parameter ist. Also stellt der Term K2 2 einen Korrekturterm dar. Genauso ist der letzte Term eine Korrektur des relativistischen Doppler Effektes, wenn man sich von der Strahlachse entfernt. Dann kommt das Elektron nichtmehr genau auf den Beobachter zu, und der Effekt wird abgeschwächt, wodurch sich eine größere Wellenlänge ergibt. Wäre der Undulator unendlich lang, würde sich also diese eine Wellenlänge ergeben. Da ein echter Undulator natürlich nicht unendlich lang ist, muss man zur Berechnung ein Wellenpaket mit einer festen Frequenz betrachten. 8

10 4 Synchrotronstrahlung (a) Spektrum für Perfekte Sinusschwingung (b) Reales Spektrum (gerechnet) Abbildung 9: Spektrum eines Undulators Wird dieses nun wieder Fourier transformiert, so ergibt sich die bekannte sinx x wie in Abbildung?? zu sehen mit der Hauptfrequenz f W = c λ W. Das gilt für ein Wellenpaket mit perfekter Sinusschwingung. Da in einem realen Undulator auch das nicht ganz erfüllt ist, ergeben sich hier noch die höheren harmonischen Oberschwingungen wie man in Abbildung?? sieht. Bei dem Spektrum handelt es sich um ein gerechnetes Spektrum, allerdings mit realen Parametern. Die X-Achse wurde auf die Hauptfrequenz normiert. Zusammenfassend bedeutet dass: Strahlende Fläche und Teilchenzahl wie bei normaler Synchrotronstrahlung Abstrahlwinkel K γ, also annähernd wie bei der Synchrotronstrahlung Spektrum besteht aus einzelnen scharfen Peaks. Also steht einer hohen Brillanz nichts im Wege. 9

11 5 Vergleich und Fazit 5 Vergleich und Fazit Um nun ein Gefühl zu bekommen, wie viel besser diese Art der Strahlung ist, ist in der Abbildung die Brillanz aufgetragen. Abbildung 10: Brillanz Auf der Y-Achse sieht man die Brillanz, auf der X-Achse die Energie. Ganz unten rechts ist nun die Brillanz der röntgenröhren Bremsstrahlung aufgetragen. Darüber sieht man noch die Charakteristische Röntgenstrahlung. Damit kommt man auf Brillanzen von Vergleicht man das nun mit den vielen Undulatoren und Wigglern darüber, so wird einem schnell klar, dass dort um einiges höhere Brillanzen erreichbar sind. Zum Vergleich der beste Undulator auf diesem Plot liegt bei 10 23, das sind 13 Größenordnungen über der Röntgenröhre. Also kommt als brillante Strahlungsquelle heutzutage nur noch Undulatorstrahlung in Frage. 10

12 Literatur A Quellen Literatur [1] Klaus Wille Physik der Teilchenbeschleuniger und Synchrotronstrahlungsquellen, Eine Einführung [2] Anreas Gaup und Ernst-Eckard Koch Wiggler und Undulatoren [3] Diplomarbeit Sören Dambach Ehemaliger Student an der JGU [4] Desy Website http : // orschung/anlagen/f lash/index_ger.html http : // orschung/anlagen/petra_iii/index_ger.html [5] Wikipedia http : //en.wikipedia.org/wiki/synchrotron http : //en.wikipedia.org/wiki/dipole_antenna [6] Wikimedia Bildquellen http : //commons.wikimedia.org/wiki/m ain_p age 11