8 Flächeninhalt berechnen

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1 8 Flächeninhalt berechnen Auftaktseiten Seiten 196, 197 Seite Das große Quadrat hat eine Seitenlänge von 1 cm. 2 Beim Zusammenlegen hilft das Material im Schnittpunkt-Code: Dort befinden sich die Teile in passender Abmessung. Seite 197 Das T und das Häuschen sind beide gleich groß. Das T und die Häuschen-Vorlage sind beide im Schnittpunkt-Code zu finden. 1 Flächeninhalt Seiten 198, 199 Seite 198 Einstieg -> Figuren 1; 2 und im Vergleich, beginnend mit der kleinsten Figur: Figur ; Figur 2; Figur1 A B Seite 199, links Figur A: 18 Kästchen Figur B: 18 Kästchen Figur C: 16 Kästchen Die Figuren A und C sind gleich groß. Das Quadrat hat einen Flächeninhalt von 0 Kästchen. blaues Rechteck: 7 * 6 = 2 grüner Rahmen: 11 * 8 7 * 6 = 6 Der grüne Rahmen ist größer als das blaue Rechteck. 6 Mögliche Lösung: Figuren ; und 6 im Vergleich, beginnend mit der kleinsten Figur: Figur 6; Figur ; Figur alle sechs Figuren im Vergleich, beginnend mit der kleinsten Figur: Figur 6; Figur ; Figur ; Figur 2; Figur ; Figur 1 b) 1 rote Figur: 8 Kästchen blaue Figur: Kästchen Die rote Figur ist größer. c) 2 Figur A: 18 Kästchen Figur B: 1 Kästchen Figur C: 18 Kästchen Die Figuren A und C haben den gleichen Flächeninhalt. 1 von 1

2 Seite 199, rechts Figur A: 2 Kästchen Figur B: 0 Kästchen Figur A ist größer. 6 : 2 =, also K b) 8 : 2 =, also K c) 20 : 2 = 10, also 10 K d) 20: 2 + = 1, also 1 K e) 0 : 2 = 20 also 20 K Spiel; individuelle Lösungen 2 6 m 2 = 600 dm 2 b) dm 2 = 00 cm 2 c) 90 dm 2 = 9000 cm 2 d) m 2 12 dm 2 = 12 dm 2 e) 00 dm 2 = m 2 f) 200 m 2 = 2 a g) 2 dm 2 = m 2 2 dm 2 h) 260 cm 2 = 2 dm 2 60 cm 2 A B 2 Flächenmaße Seiten 200, 201 Seite 200 Einstieg -> Seitenlänge Quadrate > In ein 1-dm-Quadrat passen einhundert 1-cm-Quadrate. Seite Wohnungsfläche: 1 a Fläche eines Punktes: 1 mm 2 Schultafel: 1 m 2 Fußballfeld: 1 ha Fläche einer Stadt: 1 km 2 Fläche einer Hand: 1 dm 2 Fläche einer Taste: 1 cm 2 Seite 201, links 700 dm 2 b) 900 cm 2 c) 800 mm 2 d) 1700 dm 2 e) 00 dm 2 f) 000 dm 2 g) 00 m 2 h) 000 m 2 62 dm 2 b) 21 dm 2 c) 127 dm 2 d) 60 dm 2 e) 72 cm 2 f) 72 cm 2 g) 21 cm 2 h) 218 cm 2 2 a 1m 2 b) 6 m 2 2 dm 2 c) 7 m 2 6 dm 2 d) 72 m 2 6 dm 2 e) 6 cm 2 28 mm 2 f) 67 cm 2 28 mm 2 g) 1 ha 20 a h) 2 ha 2 a 2 von 1

3 6 Wohnzimmer: m 2 Teppich: m 2 Briefmarke: mm 2 CD-Hülle: cm 2 Fußballfeld: a oder ha Großstadt: km 2 Heftseite: cm 2 Acker: a Papiertaschentuch: cm 2 Zahl 0 im Schulbuch: mm 2 Seite 201, rechts 68 dm 2 b) 2061 cm 2 c) 92 a d) 21 ha 612 dm 2 = 6,12 m 2 b) 9820 cm 2 = 98,20 dm 2 c) 197 mm 2 = 19,7 cm 2 d) 17 m 2 = 1,7 a e) 672 cm 2 = 6,72 dm 2 f) 7 a =,7 ha m 2 dm 2 = 0 dm 2 b) 60 dm 2 9 cm 2 = 6009 cm 2 c),70 m 2 = m 2 70 dm 2 d) 80 cm 2 0 mm 2 = 80,0 cm 2 6 Spiel; individuelle Lösungen 8 2 dm 2 b) 22 dm 2 c) 82 cm 2 d) 182 cm 2 e) 76 mm 2 f) 726 dm 2 9 cm 2 b) cm 2 c) 206 m 2 d) 179 mm 2 e) 110 dm 2 f) 100 m m 2 b) 216 cm 2 c) 198 ha d) 100 m 2 e) 1 mm 2 f) 8 a g) 1 cm 2 h) 16 dm dm 2 =,7 m 2 b) 62 dm 2 = 6,2 m 2 c) 28 dm 2 =,28 m 2 d) 260 cm 2 = 2,60 dm a 20 a = 120 a 120 a : 2 = 61 a Die beiden Grundstücke sind m 2 groß. Seite 202, links 7 2,7 dm 2 b), m 2 c) 12,78 dm 2 d) 2,8 m 2 e) 1,8 m 2 f) 18,2 m 2 g) 7,6 a h) 17,6 a 2 Flächenmaße Seite 202 Seite 202, rechts 7 2 dm 2 8 cm 2 b) m 2 70 dm 2 c) a 9 m 2 d) ha a e) 2 km 2 0 ha f) 0 ha 2 a g) 70 cm 2 70 mm 2 h) 99 cm 2 99 mm 2 von 1

4 8 9 m 2 70 dm 2 b) 1 a 0 m 2 c) 2 ha 2 a d) 10,1 cm 2 e),80 dm 2 f) 8, dm mal b) 20-mal c) 6-mal d) 10-mal e) 0-mal f) 12-mal dm 2 = 9,70 m 2 b) 1 dm 2 c) cm 2 = 16,80 dm 2 d) 61 m 2 e) 2 80 ha = 2,8 km 2 f) 1610 ha = 16,10 km 2 g) 909 dm 2 = 9,09 m 2 h) 7 m ,6 ha 1,70 ha = 0,9 ha = 9 a = 900 m : 00 1,7 Es können höchstens 1 Grundstücke eingerichtet werden. Seite 20 Einstieg Flächeninhalt und Umfang des Rechtecks Seite 20 -> Jonas und Eva zählen die 1-m-Quadrate entlang der Breite und entlang der Länge des Feldes. Dann multiplizieren sie diese Angaben: 9 * 18 = 162, also 162 m 2 Seite 20 1 Flächeninhalt: 9 * 6 =, also cm 2 Umfang: 2 * 9 cm + 2 * 6 cm = 0 cm 2 Flächeninhalt: 99 dm 2 Umfang: 0 dm b) Flächeninhalt: 8 m 2 Umfang: 2 m Flächeninhalt: 6 cm 2 Umfang: 2 cm A B Flächeninhalt und Umfang des Rechtecks Seiten 20, 20 Seite 20, links Flächeninhalt: 0 cm 2 Umfang: 26 cm b) Flächeninhalt: 6 cm 2 Umfang: 26 cm c) Flächeninhalt: cm 2 Umfang: 0 cm d) Flächeninhalt: 10 cm 2 Umfang: 22 cm von 1

5 1. Quadrat: Flächeninhalt: 1 cm 2 Umfang: 1 cm 2. Quadrat: Flächeninhalt: cm 2 Umfang: 8 cm. Quadrat: Flächeninhalt: 9 cm 2 Umfang: 12 cm. Quadrat: Flächeninhalt: 16 cm 2 Umfang: 16 cm b) Quadrat mit cm Seitenlänge: Flächeninhalt: 2 cm 2 Umfang: 20 cm Quadrat mit 6 cm Seitenlänge: Flächeninhalt: 6 cm 2 Umfang: 2 cm Quadrat mit 7 cm Seitenlänge: Flächeninhalt: 9 cm 2 Umfang: 28 cm 2 Quadrat mit 8 cm Seitenlänge: Flächeninhalt: 6 cm 2 Umfang: 2 cm Quadrat mit 9 cm Seitenlänge: Flächeninhalt: 81 cm 2 Umfang: 6 cm Quadrat mit 10 cm Seitenlänge: Flächeninhalt: 100 cm 2 Umfang: 0 cm Quadrat mit 11 cm Seitenlänge: Flächeninhalt: 121 cm 2 Umfang: cm Seite 20, rechts Flächeninhalt: 120 m 2 Umfang: 6 m b) Flächeninhalt: 12 m 2 Umfang: 6 m c) Flächeninhalt: 270 m 2 Umfang: 66 dm d) Flächeninhalt: 20 m 2 Umfang: 8 m 20 m b) 9 cm c) mm d) 11 m e) 1 dm f) 12 m 6 78 m 2 = a 78 m 2 b) 6 m 2 = a 6 m 2 c) 72 m 2 = 7 a 2 m 2 d) 76 m 2 = 7 a 6 m 2 7 zu A: Quadrat mit cm Seitenlänge (Flächeninhalt 16 cm 2 ) zu B: Quadrat mit 6 cm Seitenlänge (Flächeninhalt 6 cm 2 ) b) zu A: Quadrat mit 12 cm Seitenlänge: Flächeninhalt: 1 cm 2 Umfang: 8 cm 6 Breite: 6 cm b) Breite: 10 m c) Breite: 12 dm d) Breite: 20 m von 1

6 zu B: 9 Länge des Mathematikbuchs: 26, cm Breite des Mathematikbuchs: 20 cm Klassenzimmer individuell, Beispiel: Breite: m Länge: 10 m b) Flächeninhalt des Mathematikbuchs: 0 cm 2 =,0 dm 2 Flächeninhalt des Beispiel-Klassenzimmers: * 10 = 0, also 0 m 2 c) Für das angenommene Beispiel- Klassenzimmer braucht man 9 Bücher. c) zu A: Umfang Rechteck: 20 cm zu A: Umfang Quadrat: 16 cm zu B: Umfang Rechteck: 0 cm zu B: Umfang Quadrat: 2 cm Die Umfänge der Rechtecke sind jeweils größer als die Umfänge der Quadrate. 8 cm b) 9 cm c) 11cm Seite 20, links 7 Die Fläche des Gemäldes beträgt 900 m 2. 8 kleinstmögliches Spielfeld: 90 * = 00, also 00 m 2 größtmögliches Spielfeld: 120 * 90 = , also m 2 Spielfeldgröße für internationale Spiele: 10 * 68 = 710, also 710 m 2 Die Spielfeldgröße für internationale Spiele liegt ungefähr in der Mitte zwischen der Mindestgröße und der größtmöglichen Größe eines Fußballfeldes. Seite 20, rechts 9 Flächeninhalt: 00 dm 2 = m 2 Umfang: 116 dm = 11,6 m b) Flächeninhalt: 1800 cm 2 = 18 dm 2 Umfang: 2 cm = 2, dm c) Flächeninhalt: 000 dm 2 = 0 m 2 Umfang: 2 dm = 2, m d) Flächeninhalt: 990 dm 2 = 9,9 m 2 Umfang: 666 dm = 66,6 m e) Flächeninhalt: 20 mm 2 = 2, cm 2 Umfang: 110 mm = 11 cm f) Flächeninhalt: 2000 dm 2 = 20 m 2 Umfang: 810 dm = 81 m 10 Die Seiten sind cm und 1 cm lang. Der Flächeninhalt beträgt 7 cm beginnend mit dem kleinsten Flächeninhalt: Flächeninhalt Grundstück A: 00 m 2 ; Flächeninhalt Grundstück C: 20 m 2 ; Flächeninhalt Grundstück B: 0 m 2 b) Quadratmeterpreis Grundstück A: 10 /m 2 Quadratmeterpreis Grundstück B: 120 /m 2 Quadratmeterpreis Grundstück C: 12 /m 2 Das Grundstück B ist mit 120 /m 2 am günstigsten. 6 von 1

7 12 b) Vergrößert man die Seitenlänge eines Quadrats um 1, dann vergrößert sich der Flächeninhalt des neuen Quadrats nach folgender Regel: Anwachsen des Flächeninhaltes um 2-mal die Kantenlänge des vorherigen Quadrates plus 1. c) 2 * 2 =62 26 * 26 = = 1 2 * = 1 Zusammengesetzte Figuren Seiten 206, 207 Seite 206 Einstieg -> Berechnung der Wandfläche durch Zerlegung und Addition: 2 * (0, * ) + 2 * (1 * 1) + 1, * 1 + 1, * = 11, also 11 m 2 -> -> Berechnung der Wandfläche durch Ergänzung und Subtraktion: * 1, * 2 1 * 1 = 11, also 11 m 2 7 von 1

8 Seite Seite 207, rechts Flächeninhalt: 10 * 6 2 * (2 * ) 2 * 1 = 2, also 2 cm 2 Umfang: 6 cm + 10 cm + 6 cm + 2 cm + cm + 2 cm + cm + 2 cm + cm+ 2 cm + cm + 2 cm = 6 cm b) * 6 + * =, also cm 2 c) cm + 6 cm + cm + cm + 7 cm + 11 cm = 6 cm 2 Flächeninhalt U: 22 cm 2 Flächeninhalt O: 2 cm 2 b) Umfang U: 0 cm A B Flächeninhalt: * (6 * 1) + * (2 * 2) = 0, also 0 cm 2 Seite 207, links Figur A: * + * = 2, also 2 cm 2 Figur B: * * = 16, also 16 cm 2 Figur C: * 7 + * 2 = 27, also 27 cm 2 Figur D: 7 * * + 2 * 2 = 22, also 22 cm 2 b) Figur A: 6 * * 2 = 2, also 2 cm 2 Figur B: * * = 16, also 16 cm 2 Figur C : 7 * 6 * 2 * = 27, also 27 cm 2 Figur D : * * = 22, also 22 cm 2 c) individuell; meist wird das Ergänzen als einfacher empfunden Zusammengesetzte Figuren Seite 208 Seite 208, links Flächeninhalte, beim größten beginnend: A; B; C; D und E; F Umfänge: alle gleich b) Mögliche Lösung: 9 * 2 * 2,0 2 * 2 = 27, also 27 m 2 Es müssen 27 m 2 Wand gestrichen werden. 6 Spiel; individuelle Lösungen 8 von 1

9 7 Mögliche Lösung (es gibt noch viele weitere Beispiele): Seite 208, rechts - durch Zerlegung und Addition: 2 * (2 * 2) + 6 * 6 =, also cm 2 - durch Ergänzen und Subtraktion: 10 * 6 * (2 * 2) =, also cm 2 b) Umfang: 2 * 6 cm + 10 * 2 cm = 2 cm c) Marie hat recht: An den Ecken werden 2 Abschnitte der Länge 2 cm durch genau 2 Abschnitte der Länge 2 ersetzt. Daher ist der Umfang gleich. 6 9 * 6 2 * 1 * 1 1 * 1 1 * 2 2 * 2 2 * = - 18 = 6, also 6 cm 2 b) So kann man das Ergebnis schnell finden: Man legt das kleinstmögliche Rechteck um die Figur. Dann kann man den Flächeninhalt die nicht eingefärbten Rechtecke abziehen. 7 Umfang: 6 * cm + * 6 cm = 8 cm b) Umfang: 12 * 6 cm + 2 * cm = 80 cm 9 von 1

10 Seite 210 Basistraining Seite Figur A: 20 Kästchen Figur B: 16 Kästchen Figur C: 2 Kästchen Figur D: 20 Kästchen b) Die Figuren B und C haben mit jeweils 20 Kästchen den gleichen Flächeninhalt. c) Die Figur B hat mit 16 Kästchen den kleinsten, die Figur C mit 2 Kästchen den größten Flächeninhalt dm 2 b) 700 mm 2 c) 00 dm 2 d) 00 m 2 e) 2200 m 2 f) 200 dm 2 g) 2000 dm 2 h) 1000 cm 2 2 m 2 0 dm 2 b) m 2 dm 2 c) dm 2 60 cm 2 d) dm 2 66 cm 2 e) 7 ha 20 a f) 7 ha 2 a g) 6 a 78 m 2 h) 0 a 8 m 2 2 m 2 b) 0 dm 2 c) 110 m 2 d) 99 a e) 100 a f) 9 mm 2 Flächeninhalt: 21 cm 2 Umfang: 20 cm b) Flächeninhalt: 16 cm 2 Umfang: 20 cm c) Flächeninhalt: 16 dm 2 Umfang: 16 dm d) Flächeninhalt: m 2 Umfang: 8 m 6 Flächeninhalt: 20 cm 2 ; Umfang: 18 cm b) Flächeninhalt: 2 cm 2 ; Umfang: 22 cm c) Flächeninhalt: 10 m 2 ; Umfang: 0 m d) Flächeninhalt: 6 dm 2 ; Umfang: 2 dm e) Flächeninhalt: 21 km 2 ; Umfang: 10 km f) Flächeninhalt: 0 dm 2 ; Umfang: 90 dm g) Flächeninhalt: 200 m 2 ; Umfang: 200 m h) Flächeninhalt: 0 m 2 ; Umfang: 86 m 7 -mal b) 2-mal c) 8-mal d) 0-mal e) 20-mal f) 11-mal 8 m b) 6 cm c) 10 m d) 2 cm 9 grünes Rechteck: 8 * 1 = 112, also 112 K gelbes Rechteck: 6 * 10 = 60, also 60 K blaues Rechteck: * 6 = 2, also 2 K rotes Rechteck: 2 * 2 =, also K 10 * 10 2 * 7 = 6, also 6 cm 2 b) 10 * 6 * 2 2 * 6 = 8, also 8 cm 2 Anwenden. Nachdenken Seite 211 Seite Windrad: 28 Kästchen Diamant: 0 Kästchen Podest: 0 Kästchen Der Diamant und das Podest haben beide den größten Flächeninhalt. 12 Der Stern hat einen Flächeninhalt von 6 Kästchen. 1 Die Figur ABCDGHIJ hat den größeren Flächeninhalt. b) Die Differenz beträgt Kästchen. 10 von 1

11 1 10 dm 2 b) 100 dm 2 c) 2008 cm 2 d) 208 dm 2 e) 707 dm 2 f) 770 dm 2 g) 7070 dm 2 h) 7007 dm 2 1 2, m 2 = 2 m 2 0 dm 2 2,0 m 2 = 2 m 2 dm 2 b) 0,02 m 2 = 0 m 2 2 dm 2 0,20 m 2 = 0 m 2 20 dm 2 c) 60 m dm 2 = 60,06 m 2 60 m dm 2 = 66 m 2 d),80 a + 20 m 2 = a,80 m m 2 = 2,80 m 2 e) 10 cm 2 * 10 = 100 cm 2 1 dm 2 * 10 = 10 dm 2 f) 0 dm 2 * 0 = 1 m 2 m 2 * 0 = 10 m 2 g) 0 dm 2 : 2 = 2 dm 2 0 m 2 : 20 = 20 dm 2 16 b) c) d) 10 m 1 m m dm 1 m 10 m 2 m 200 dm e) f) g) h) 2 m 2 dm m cm m 00 dm 2, m cm 18 Mögliche Lösungen: 12 cm Breite, 12 cm Länge cm Breite, 8 cm Länge 6 cm Breite, 2 cm Länge cm Breite, 6 cm Länge 1 cm Breite, 1 cm Länge b) das Quadrat mit der Seitenlänge 12 cm; Umfang: * 12 cm = 8 cm c) ja, das Rechteck mit den Seitenlängen 1 cm und 1 cm; Umfang: 1 cm * cm * 2 = 290 cm Anwenden. Nachdenken Seiten 212, 21 Seite Ein Quadrat mit dem Flächeninhalt 1 m 2 hat die Seitenlänge 1 m. Bei 1000 Streifen hat ein Streifen die Breite von 1 mm. Ein Aneinanderlegen zu einem Streifen ergibt eine Länge von 1 km. 20 Flächeninhalt: 6 * = 18, also 18 cm 2 Umfang: 2 * 6 cm + 2 * cm = 18 cm Der Umfang und der Flächeninhalt haben den gleichen Wert (aber natürlich nicht die gleiche Einheit). b) das Quadrat mit der Seitenlänge cm; Flächeninhalt: * = 16, also 16 cm 2 ; Umfang: * cm = 16 cm 17 Flächeninhalte: 1. Partner 2. Partner A: 120 cm 2 B: 120 cm 2 C: 120 cm 2 D: 120 cm 2 E: 120 cm 2 E: 120 cm 2 b) Umfänge: 1. Partner 2. Partner A: 6 cm B: 8 cm C: 86 cm D: 2 cm E: 68 cm E: cm Je schmaler das Rechteck bei gleichem Flächeninhalt ist, umso größer ist der Umfang. Den kleinsten Umfang bei gleichem Flächeninhalt hat das Quadrat. 21 und b) erstes Quadrat: Seitenlänge 8 cm zweites Quadrat: Seitenlänge cm drittes Quadrat: Seitenlänge cm viertes Quadrat: Seitenlänge 2 cm 11 von 1

12 fünftes Quadrat: Seitenlänge 1 cm 22 Die Teile passen nur scheinbar zusammen. Beim genauen Hinschauen entdeckt man, dass die Karolinien leicht verschoben sind. Dies liegt an der Steigung der (scheinbar aneinander liegenden) Seiten: Bei den Dreiecken geht man Kästchen nach oben und 8 Kästchen zur Seite. Bei den beiden Vierecken kann man jeweils ein kleines (nur scheinbar passendes) Dreieck abtrennen: Hier geht man 2 Kästchen nach oben und Kästchen zur Seite. Dieses Verhältnis von 2 : passt aber nicht zum Verhältnis : * 1 = 16, also 16 cm Die gesamte Blattfläche ist cm 2 groß. b) Die gesamte Blattfläche ist 96 m 2 groß. c) 8 Jungbuchen könnten den alten Baum ersetzen. 29 Das Grundstück von Familie Busch hat 000 gekostet. b) Das Grundstück von Familie Korkut ist a 80 m 2 groß. c) Das Grundstück von Familie Santana kann höchstens 208 m 2 groß sein. d) Beispielaufgaben: - Familie Schmitt bezahlt 8 60 für ein Grundstück. Lösung: Das Grundstück ist 22 m 2 groß. - Familie Meyer hat ein a 20 m 2 großes Grundstück gekauft. Lösung: Es kostet Flächeninhalt: 10 * 9 * ( * 2) = 66, also 66 cm 2 Umfang: 8 cm b) Mögliche Lösung: b) Die Seiten sind 16 cm und 16, cm lang. Flächeninhalt: 16 * 16, = 26, also 26 cm 2 Seite 21 2 Die beiden Teile sind je 0 m 2 groß. Die beiden oberen Ecken wurden nach außen geklappt : Dabei bleibt der Umfang gleich. An den dazukommenden Kästchen erkennt man aber sofort, dass der Flächeninhalt größer wird Die gesamte Fläche ist 700 m 2 groß. b) Die Erneuerung der Böden kostet * 20 m m 2 = 1800 m m m 2 = 2200 m m m 2 = 0 m 2 Es ist noch Platz für die vier Gemüsebeete. b) * (2 * 6) = 8, also 8 cm 2 12 von 1

13 c) 8 * 8 * = 8, also 8 cm 2 2 Der Umfang der zusammengesetzten Figur kann sich (je nach Position des kleinen Quadrats) - vergrößern (linke Position), - verkleinern (mittlere Position) und - sogar gleich bleiben (rechte Position). b) Begründungen: - linke Position: Eine Seitenlänge des kleinen Quadrats wird durch drei Seitenlängen ersetzt, daher wird der Umfang größer. - mittlere Position: Drei Seitenlängen des kleinen Quadrats werden durch eine Seitenlänge ersetzt, daher wird der Umfang kleiner. - rechte Position: Zwei Seitenlängen des kleinen Quadrats werden durch zwei Seitenlänge ersetzt, daher bleibt der Umfang gleich. 1 von 1