Analytisch ermittelte -I-Kennlinie von Geschalteten Reluktanzmaschinen im Vergleich zu FEM und Messung

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1 Analytisch ermittelte -I-Kennlinie von Geschalteten Reluktanzmaschinen im Vergleich zu FEM und Messung Berthold Schinnerl und Dieter Gerling, Institut für Elektrische Antriebstechnik und Aktorik, Universität der Bundeswehr, München, Deutschland Kurzfassung Die nichtlineare -I-Kennlinie ( - magnetische Flussverkettung, I - Strom) ist grundlegend für die Modellierung und den Neuentwurf von Geschalteten Reluktanzmaschinen (SRM Switched Reluctance Machine). In diesem Beitrag werden verschieden ermittelte -I-Kennlinien von zwei reell existierenden Geschalteten Reluktanzmaschinen verglichen. Die Ermittlung der -I-Kennlinien erfolgte durch analytische Berechnung, Messung und FEM-Berechnung. Bei diesem Vergleich soll eine Aussage über die Güte der analytischen Berechnung der -I-Kennlinie von Geschalteten Reluktanzmaschinen getroffen werden. 1 Einführung Im Entwurfsprozess und der Entwicklung von Geschalteten Reluktanzmaschinen stützt man sich weitgehend auf rechnergestützte FEM-Berechnungen der -I-Kennlinie. Diese haben den Ruf, dass sie sehr genaue Ergebnisse liefern. Der entscheidende Nachteil hierbei ist, dass die gesamte Berechnung, abhängig von den durchgeführten Berechnungpunkten, sehr zeitaufwändig ist. Weiterhin ist entscheidend, ob es sich bei der FEM-Software um eine 2D oder 3D- Software handelt. Letztere hat den Vorteil, die jeweilige Maschine dreidimensional zu betrachten und dementsprechenderweise aussagekräftigere Ergebnisse als die 2D-Berechnung zu liefern, die Anwendung ist allerdings mit einem höheren Zeitaufwand - im Vergleich zur 2D- Software verbunden, welcher in der höheren Rechenzeit, als auch in der komplexeren Bedienung begründet ist. Bei der 3D-FEM- Berechnung treten neben der langen Rechenzeit vor allem Probleme bei der Vernetzung der Maschinengeometrie auf. Bei der FEM-Berechnung in diesem Beitrag handelt es sich um 2D-FEM-Berechnungen. Der allgemeine Vorteil der analytischen Berechnung ist, dass man mit den geometrischen Maschinendaten als Grundlage die -I-Kennlinie einer Reluktanzmaschine ohne großen Zeitaufwand unter dreidimensionalen Gesichtspunkten berechnen kann. Die analytische Berechnung basiert auf dem Ersatzschaltbild der magnetischen Widerstände der Geschalteten Reluktanzmaschine und der B-H-Kennlinie des zu verwendenden Eisens. Als Schwachpunkt der Berechnung zeigt sich allgemein der Verlauf der magnetischen Feldlinien im Bereich der unaligned position (Querfeldstellung) der Maschine, da hierbei der größte Abschnitt der Feldlinien durch die Luft vollzogen wird und deren Weg, aufgrund des inhomogenen Luftspaltes in diesem Bereich, basierend jedoch auf physikalischen Grundsätzen, abgeschätzt wird. Letztlich wird die -I-Kennlinie treffend mit folgender Formel [1], [2] analytisch beschrieben: i Ai i I i Isat B i C 1 E e i I sat sat (1) I sat ist der Sättigungsstrom und A,B,C,E die Koeffizienten, die sich aus dem magnetischen Ersatzschaltbild und somit aus den Geometriedaten der Maschine ergeben. Der Sättigungsstrom und die Koeffizienten sind Variablen, die abhängig vom Rotorpositionswinkel der Maschine sind. Ausführlich ist die analytische Beschreibung der -I- Kennlinie in [1] und [2] dargestellt. 2 Berechnung der Maschinen Bei den zu berechnenden und zu untersuchenden Maschinen handelt es sich um zwei Geschaltete Reluktanzmaschinen verschiedener Größe in 12/8 Konfiguration (12 Statorzähne und 8 Rotorzähne). Die Maschinen werden mit SRM 1 und SRM 2 bezeichnet. Die -I-Kennlinie der jeweiligen Maschine wurde von der aligned position bis zur unaligned position in mechanischen 1 Rotorpositionswinkelschritten analytisch und mit 2D-FEM-Software berechnet, sowie gemessen. Die Maße der Maschinen lauten wie folgt: SRM 1: Statoraußendurchmesser - 333mm; Länge - 66mm, Windungszahl - 14 SRM 2: Statoraußendurchmesser - 210mm; Länge - 210mm, Windungszahl - 6. Bei der Länge handelt es sich um die axiale Länge von Rotor und Stator. Die erzielten Ergebnisse lassen

2 sich in Diagrammen abbilden, wobei die magnetische Flussverkettung als Funktion des Stromes I dargestellt ist. 2.1 SRM 1 In Tabelle 2 sind die Werte der unaligned position (Querfeldstellung) dargestellt. Außerdem sind erneut die prozentuale Abweichung F der Berechnungen von den Messwerten eingetragen Aligned Unaligned Position Das nachfolgende Diagramm Bild 1 zeigt die Ergebnisse von SRM 1 mit den Werten aus 2D-FEM- Berechnung, analytischer Berechnung und Messung. Tabelle 2 Messwerte, berechnete Werte und prozentuale Abweichung von den Messwerten (unaligned position) Bild 1 Grafischer Vergleich von FEM-Berechnung, analytischer Berechnung und Messung für die Maschine SRM 1 Dabei sind in Bild 1 schwarz die Messwerte eingezeichnet, die analytischen Berechnungswerte gestrichelt und die FEM-Berechnungswerte grau. Deutlich zu sehen ist in Bild 1, dass im Bereich aligned position sämtliche Werte annähernd deckungsgleich sind. In der unaligned position ist jedoch ein gravierendes Auseinanderklaffen von FEM-Werten gegenüber analytischer Berechnung und Messung erkennbar. In Tabelle 1 sind die Werte der aligned position (Längsfeldstellung) mit prozentualer Abweichung F dargestellt. In der letzten Zeile der Tabelle ist der arithmetische Mittelwert der Abweichung zu finden Beliebige Rotorposition Im nachfolgenden Bild 2 ist ein Vergleich der gemessenen Werte mit den analytisch berechneten Werten und den FEM-Werten dargestellt. Um Aussagen über die Genauigkeit der -I-Kennlinienberechnung treffen zu können, muss das Kennlinienfeld bei verschiedenen Rotorpositionswinkeln untersucht werden. Im Abschnitt wurde zunächst nur die aligned position das entspricht einem mechanischen Rotorpositionswinkel von 0 - und die unaligned position (mechanischer Rotorpositionswinkel von 22,5 ) untersucht. In diesem Abschnitt werden die beliebig gewählten Rotorpositionswinkel 4,10,14 und 20 untersucht. Tabelle 1 Messwerte, berechnete Werte und prozentuale Abweichung von den Messwerten (aligned position) Bild 2 Vergleich der Werte von FEM, Messung und analytischer Berechnung bei ausgewählten Rotorpositionen Betrachtet werden die -I-Werte bei verschiedenen Rotorwinkelpositionen. Dies beinhaltet FEM-Werte

3 und analytisch berechnete Werte. Verglichen werden diese mit den Messwerten. Der Vergleich wurde bei vier beliebig gewählten Rotorwinkelpositionen durchgeführt. In nachfolgender Tabelle 3 folgt nach dem vorangegangenen grafischen Vergleich die Auflistung der prozentualen Abweichung von den Messwerten. Die Ergebnisse der Tabelle 3 und Bild 2 zeigen, dass die FEM-Berechnung bei Winkeln unter 10 eine durchschnittlich geringere Abweichung von den Messwerten ergibt, als die analytische Berechnung. Bei einem Rotorpositionswinkel ab 10 ist allerdings die Abweichung der analytischen Berechnung von den Messwerten geringer als die Abweichung der FEM-Berechnungswerte von den Messwerten. 2.2 SRM Aligned Unaligned Position Im nachfolgenden Bild 3 sind die berechneten -I- Kennlinien, als auch die gemessenen der SRM 2 abgebildet. Bild 3 Grafischer Vergleich von FEM-Berechnung, analytischer Berechnung und Messung für die Maschine SRM 2 Anhand von Bild 3 und der folgenden Tabelle 4 kann man erneut den Unterschied der Berechnungsarten, analytische Berechnung und FEM-Berechnung, erkennen. In der aligned position der SRM 2 ist die Abweichung der analytischen Berechnung im Bereich der Ströme I=0..110A von den Messwerten deutlich geringer als die Abweichung der FEM-Berechnung von den Messwerten. Im Bereich von 110A bis 250A ist die Abweichung der FEM-Berechnung und der a- nalytischen Berechnung von den Messwerten ungefähr gleich groß. Tabelle 3 Relative Abweichung bei beliebigen Rotorpositionen Tabelle 4 Messwerte, berechnete und prozentuale Abweichung von den Messwerten (Aligned Position) In der unaligned position sieht man erneut, dass die analytischen Berechnungsergebnisse weniger Abweichung von den gemessenen Werten aufweisen, als die FEM-Berechnungen. Dies wird in Tabelle 5 deutlich.

4 Tabelle 5 Messwerte, berechnete und prozentuale Abweichung von den Messwerten (Unaligned Position) Beliebige Rotorposition Nach der Darstellung der Berechnungswerte gegenüber den Messwerten von Maschine SRM 2 in der a- ligned und unaligned position, folgt nun die Untersuchung bei beliebigen Rotorpositionswinkeln. Die magnetische Flussverkettung ist hierbei wieder in Abhängigkeit vom Strom I in Bild 4 aufgetragen. Bild 4 Beliebige Rotorposition SRM 2 Erneut ist in Bild 4 die analytische Berechnung gestrichelt, die FEM-Berechnung in grauer Farbe und die Messung in schwarz dargestellt. In Bild 4 ist ein Vergleich bei verschiedenen Rotorpositionen grafisch dargestellt. Es handelt sich dabei um die mechanischen Rotorpositionswinkel 5,10,15 und 20. Auch diese Winkel wurden beliebig gewählt. In der nachfolgenden Tabelle 6 sind die Abweichungen der FEM-Werte und der analytischen Berechnungswerte von den Messwerten prozentual dargestellt. Mit Ausnahme der Rotorwinkelposition 15 ist die Abweichung der analytischen Berechnung von den Messwerten deutlich geringer als die Abweichung der FEM-Werte von den Messwerten. Tabelle 6 Relative Abweichung bei beliebigen Rotorpositionen 3 Zusammenfassung und Bewertung Es wurde die -I-Kennlinie zweier Geschalteter Reluktanzmaschinen berechnet. Die Berechnung wurde analytisch und mit 2D-FEM-Software durchgeführt. Der analytischen Berechnung lag die Theorie der magnetischen Widerstände zu Grunde. Das Verfahren zur analytischen Berechnung basiert auf [1],[2],[3],[4] und [5]. Die aligned position wurde anhand magneti-

5 scher Widerstände, qualitativ dargestellt in Bild 5, berechnet. Der magnetische Kreis wurde mit Hilfe der B-H-Kennlinie des verwendeten Eisens berechnet. die gesamte -I-Kennlinie berechnet werden. Die Berechnungsergebnisse wurden bereits in Abschnitt 2.1 und 2.2 gezeigt. Beim Vergleich der Berechnungsarten wurde herausgefunden, dass die analytischen Berechnungsergebnisse größtenteils, gemäß Tabelle 7, geringere Abweichungen von den Messergebnissen aufweisen, als die mit 2D -FEM berechneten Ergebnisse. Die hohe Abweichung der FEM-Ergebnisse, besonders in der unaligned position, lässt sich dadurch erklären, dass hierbei die Induktivität der Stirnseiten der Maschinen vernachlässigt werden. Bei der analytischen Berechnung wurde diese berücksichtigt [6]. Tabelle 7 Vergleich FEM vs analytische Berechnung Bild 5 Qualitative Abbildung der magnetischen Widerstände in der aligned position Zur Berechnung der unaligned position wurden die Magnetfeldlinien mit dem Ersatzschaltbild in Bild 6 berechnet. Auch hier ist nur eine qualitative Darstellung des magnetischen Ersatzschaltbildes zu sehen. Der Schwerpunkt dieser Veröffentlichung ist vielmehr auf den Vergleich der Berechnungsergebnisse konzentriert, als auf die Beschreibung der analytischen Berechnung an sich. Tabelle 7 zeigt durch eine + Markierung auf, dass die jeweilige Berechnungsart der entsprechenden Maschine geringere Abweichungen von den Messwerten aufweist, als die mit - gekennzeichnete andere Berechnungsart. Im Falle einer = -Markierung weisen sowohl analytische Berechnung, als auch FEM- Berechnung gleich große Abweichungen von den Messwerten auf. Weiterhin bietet die analytische Berechnung der -I-Kennlinie den Vorteil, dass sie sehr schnell durchgeführt werden kann. Die Berechnung eines gesamten -I-Kennlinienfeldes per FEM- Simulation hingegen dauert nach heutigem Stand der Technik ungefähr 12 Stunden. Die analytische Berechnung ist nach Erstellung eines generischen Programmes, beispielsweise in MATLAB, sekundenschnell durchgeführt. Die -I-Kennlinie zu berechnen ist essentiell in der Entwicklungs- und Entwurfphase einer Geschalteten Reluktanzmaschine, da sich anhand ihrer das Drehmoment der Maschine bestimmen lässt. Mit der analytischen Berechnung hat man somit die Möglichkeit das Drehmoment sehr schnell zu berechnen und die Geometrie der Maschine hinsichtlich höheren Drehmomentes durch wiederholte Berechnungen zu optimieren. Bild 6 Qualitative Darstellung der magnetischen Widerstände in der unaligned position In den Bildern 5 und 6 werden die magnetischen Widerstände der Luft als ungefüllte Rechtecke dargestellt. Die ausgefüllten Rechtecke stellen den magnetischen Widerstand des jeweiligen Eisenabschnittes dar. Da es sich bei den Reluktanzmaschinen um dreisträngige 12/8- Konfigurationen handelt, muss der magnetische Kreis in Bild 5 und 6 freilich mit dem Faktor 4 multipliziert werden, da immer vier Statorzähne gleichzeitig bestromt werden. Anhand der zwei analytisch berechneten Winkelpositionen gemäß Bild 5 und 6 (aligned position, unaligned position), kann mit Hilfe der Berechnungsmethoden aus [1] und [2]

6 4 Literatur [1] Schinnerl, B.; Gerling, D.: Novel Analytical Calculation Method for the Non-Linear -I- Characteristic Of Switched Reluctance Machines in the Aligned Rotor Position. International Electric Machines and Drives Conference IEMDC, Antalya, Turkey, 2007 [2] Schinnerl, B.; Gerling, D.: Novel Analytical Calculation Method for the Non-Linear -I- Characteristic Of Switched Reluctance Machines in Arbitrary Rotor Positions. European Conference on Power Electronics And Applications EPE, Aalborg, Danmark, 2007 [3] Krishnan, R.: Switched Reluctance Motor Drives. Industrial Electronics Series, CRC Press, New York, 2001 [4] Rafajdus, P.; Zrak, I.; Hrabovcová, V.: Analysis Of The Switched Reluctance Motor (SRM) Parameters. Journal Of Electrical Engineering, Vol. 55, NO. 7-8, pp , 2004 [5] Deihimi, A.; Farhangh, S.; Henneberger, G.: A General Nonlinear Model of Switched Reluctance Motor with Mutual Coupling and Multiphase Excitation. Electrical Engineering 84 (2002), pp , Springer-Verlag, 2002 [6] Schramm, A.: Redundanzkonzepte für Geschaltete Reluktanzantriebe. Dissertation, Forschungsberichte Elektrische Antriebstechnik und Aktorik, Universität der Bundeswehr München, Shaker Verlag, 2006