MATERIE im. Kapitel 13

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1 5 1 Kapitel 13 MATERIE im MAGNETFELD = > Das Magnetfeld einer Stromschleife gleicht im Fernfeld dem Feld eines Permanentmagneten. Das magnetische Moment einer Stromschleife mit einer einzelnen Windung um die Fläche S = a b ist µ mag = I S ˆn (13.1) Der Normalenvektor ˆn auf die Fläche S bildet mit der Umlaufrichtung von I eine Rechtsschraube. Diese Anordnung bezeichnet man magnetischer Dipol. Das atomare magnetische Moment, das mit dem Drehimpuls L verbunden ist, beträgt µ bahn = e 2m L (13.2) Neben dem Bahndrehimpuls liefert auch der Eigendrehimpuls des Elektrons (Spin) einen Beitrag zum magnetischen Moment eines Atoms (siehe Seite 69). In einem homogenen äußerem Magnetfeld B erfährt jeder der Abschnitte a dieser Stromschleife die Kraft ( F mag = a I ê a B ) (13.3) Mit ê a und ê b bezeichnen wir die Einheitsvektoren in den Abschnitten a und b der Schleife. Ist die Stromschleife drehbar um die vertikale Achse (parallel zu 111

2 5 112 KAPITEL 13. MATERIE IM MAGNETFELD den Vektoren ê a ) entsteht das Drehmoment: D mag = 2 b ( ê b F 2 ) ( = a b I ê b ê a B ) ( = I S ˆn B ) = µ mag B (13.4) Die potentielle Energie des Dipols im homogenen Feld beträgt W mag = µ mag B (13.5) Im inhomogenen Feld erfährt der magnetische Dipol die Kraft (siehe Seite 67) F = µ B r (13.6) 13.1 Magnetisierung Das Magnetfeld einer Spule kann verstärkt werden, wenn man in die Spule ein geeignetes Material einbringt. Zum Beispiel steigt das Feld eines Elektromagneten mit Weicheisenkern um den Faktor Wir zeigen das an einem Induktionsexperiment. Zur Charakterisierung der Feldverstärkung führt man eine dimensionslose Größe ein, die relative Permeabilität µ = B mat B vac (13.7) Für die meisten Matrialien ist µ 1. In der Elektrostatik fanden wir, dass Dielektrika immer in ein inhomogenes Feld hineingezogen werden. Im Zusammenhang mit dem Magnetismus findet man Materialien, die in ein inhomogenes Feld hineingezogen werden (paramagnetische), und andere, die aus dem Feld herausgestoßen werden (diamagnetische). Dies zeigt ein Experiment mit Polschuhen, die einen starkem Feldgradienten erzeugen. Diamagnetisch sind zum Beispiel Wismut, H 2 O, Kupfer, Blei. In diesen Fällen liegt ohne externes Feld kein resultierendes permanentes magnetisches Dipolmoment vor. In diamagnetischen Materialien werden beim Einbringen der Substanz in das Magnetfeld atomare Ströme induziert. Nach der Lenz schen Regel ist die Stromwirkung der Zunahme des externen Feldes entgegengerichtet. Das induzierte magnetische Dipolmoment ist dem äußeren Feld entgegengerichtet. Diese Stoffe haben µ < 1. Der Diamagnetismus ist temperaturunabhängig. Paramagnetisch sind zum Beispiel Aluminium und (flüssiger) Sauerstoff. Atomare magnetische Momente sind permanent vorhanden. Diese atomaren Momente werden im Feld ausgerichtet und verstärken das externe Feld. Die Ausrichtung der atomaren Momente wird durch thermische Bewegung behindert. Diese Stoffe haben µ > 1. Ihre Permeabilität ist temperaturabhängig, µ 1/T.

3 MAGNETISIERUNG 113 Analog zur elektrischen Polarisation definiert man eine Magnetisierung. Die Magnetisierung ist die Vektorsumme über alle atomaren magnetischen Momente pro Volumeneinheit: M = 1 V µ mag (13.8) V Schematisch lässt sich für eine magnetisierte Substanz ein Oberflächenstrom (als Resultierende aller atomaren Kreisströme) einführen. Wenn wir das gesamte magnetische Moment eines Zylinders der Länge L und der Querschnittsfläche S mit M V = M L S einführen, dann können wir in Analogie mit dem magnetischen Moment der Stromschleife einen Magnetisierungsstrom pro Längeneinheit einführen als I M = M. Das folgt aus der Definition des magnetischen Momentes pro Längeneinheit als I M S und des gesamten magnetischen Momentes des Zylinders (Volumen V = L S), I M L S 1 Für das Magnetfeld einer Spule in Anwesenheit einer magnetisierten (oder magnetisierbaren) Substanz summieren wir das Feld der externen Stromschleife 1 und das Magnetisierungsfeld der Substanz: B = µ 0 (w I frei + I M ) = µ 0 (w I frei + M) (13.9) 1 B H A E oder B µ 0 M = w I frei (13.10) Für diesen Ausdruck führen wir ein neues Vektorfeld H ein, B µ 0 M = H (13.11) die magnetische Erregung. 2 Sie wird nur durch die freien Ströme erzeugt. Die Dimension von H ist A/m. Die Dimension von B ist V s/m 2 = T esla. Im Gegensatz dazu ist B, die magnetische Feldstärke, mit dem gesamten Strom verbunden (freie und atomare Ströme). Experimentell findet man M = χ H (13.12) wobei χ die magnetische Suszeptibilität genannt wird. Damit gilt in Anwesenheit von Materie: B = µ 0 (1 + χ) H = µ 0 µ H (13.13) 1 w gibt die Zahl der Windungen pro Meter an und I frei den freien Strom, der durch die Windungen fließt. 2 Häufig wird in der Literatur für H der Name magnetische Feldstärke und für B die Bezeichnung magnetische Flussdichte oder magnetische Induktion verwendet.

4 114 KAPITEL 13. MATERIE IM MAGNETFELD wobei µ = 1 + χ ist. Im Vakuum hingegen ist µ = 1 und es gilt B = µ 0 H. Amperesches Gesetz für Materie: H = j frei. Die freien Ströme erzeugen das äußere Magnetfeld B vac = µ 0 H, in dem die Materie gebadet wird. Im Inneren der Materie herrscht das Feld B mat = µ µ 0 H. Analogie: E steht für alle Ladungen, B steht für alle Ströme, D für die freien Ladungen. H für die freien Ströme Diamagnetismus Kennzeichen des Diamagnetismus sind: χ 10 6 µ < 1 B mat < Bvac (13.14) Diamagnetismus ist eine Induktionserscheinung, die bei allen Substanzen auftritt. Allerdings wird dieser Effekt überdeckt, wenn die Substanz paramagnetisch oder ferromagnetisch ist. Beobachtbar ist der Diamagnetismus nur bei Substanzen, die kein permanentes magnetisches Dipolmoment besitzen. Die induzierten Dipolmomente sind dem induzierenden Feld entgegengerichtet. Das Feld im Inneren der Probe ist kleiner. Die Suszeptibilität ist klein und negativ. Atomares Bild: Beim Einschalten des Magnetfeldes (beim Einbringen des Atoms in das Magnetfeld) entsteht über B/ t ein zirkulares E-Feld. Dieses induziert einen Strom in der Elektronendichteverteilung im Atom. Dieser Wahrscheinlichkeitsstrom ist rotationssymmetrisch zur Achse des magnetischen Feldes. Mit diesem Strom verbunden ist ein magnetisches Moment, das dem äußeren Feld entgegengerichtet ist. Ein klassisches Modell geht von einem Elektron der Masse m und Ladung e aus, das sich im Mittel im Abstand R vom Proton befindet. Ein externes Magnetfeld wird eingeschaltet, die Induktion erzeugt ein E-Feld. Aus der zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses E d s = d dt Φ m = πr 2 d dt B (13.15) erhalten wir E = R 2 d dt B (13.16) Das elektrische Feld bewirkt ein Drehmoment auf das Elektron D = e E R (13.17) Das entspricht einer zeitlichen Änderung des Drehimpulses dl dt = e R2 2 d dt B (13.18)

5 13.3. PARAMAGNETISMUS 115 Die Integration von t = 0 (kein B-Feld) bis zum Zeitpunkt t (Feld gleich B), ergibt die Änderung des Drehimpulses infolge der Induktion als L = e R2 2 B (13.19) Das magnetische Moment aus der Bahnbewegung war µ bahn = e 2m L. Damit liefert der Diamagnetismus immer folgendes zusätzliches Moment: µ dia = e2 R 2 4m B (13.20) Dieser Beitrag zum magnetischen Moment ist unabhängig vom Umlaufssinn und Vorzeichen der Ladung. Er hängt ab von der räumlichen Ausdehnung der Elektronendichte im Atom. Typisch liegt R für Atome im elektronischen Grundzustand 3 im Bereich von etwa einem Ångstrøm (1 Å m) Paramagnetismus Kennzeichen des Paramagnetismus sind: χ > 0 µ > 1 B mat > B vac (13.21) Paramagnetisch sind z.b. Atome und Moleküle mit einer ungeraden Anzahl von Elektronen. Dann besitzen sie nicht abgesättigte magnetische Momente. Der Paramagnetismus kann als Kopplungsenergie zwischen dem äußeren Magnetfeld und dem mit der Bahnbewegung (bzw. dem Spin) verbundenen magnetischen Moment angesehen werden. µ bahn = e 2m L = µ B h L, (13.22) wobei das Bohrsche Magneton definiert ist als µ B = e h = J/T (13.23) 2m Die potentielle Energie des magnetischen Dipols im äußeren Magnetfeld ist W = µ bahn B = µ B h L B. (13.24) Das magnetische Moment erfährt ein Drehmoment D = µ bahn B. Die Vektoren L und µ bahn präzidieren auf einem Kegelmantel um die z-achse. Gemäß der Quantentheorie bleiben ihre z-komponenten zeitlich konstant und nur solche z-komponenten sind erlaubt, für die sich die Komponente L z um einen Wert von h unterscheidet (siehe Seite 69): L z = m h mit l m l. (13.25) Für B = {0, 0, B}, erhalten wir als zusätzliche potentielle Energie eines wasserstoffartigen Zustandes (n, l, m) in einem Magnetfeld W pot = m µ B B (13.26) 3 Damit ist gemeint, dass die Elektron sich in dem tiefsten Energieniveaus befinden.

6 2 C KAPITEL 13. MATERIE IM MAGNETFELD wobei m die magnetische Quantenzahl ist. Dieses atomare magnetische Moment ist unabhängig von B, man nennt diesen Anteil paramagnetisch. 4 Die atomaren Momente zeigen ohne äußeres Magnetfeld in beliebige Raumrichtungen. Wenn ein Magnetfeld eingeschaltet wird, versucht es, die atomaren Magnete über das Drehmoment (10.3) auszurichten. Die thermische Bewegung verhindert die völlige Ausrichtung, sodass ein effektives magnetisches 6 Moment! M = N µ (13.27) entsteht, das von der Temperatur abhängt. N gibt die Dichte der paramagnetischen Atome an und µ die mittlere z-komponente der magnetischen Momente der Atome (das externe Magnetfeld ist entlang z angenommen). Bei hohem Feld, bzw. bei kleiner Temperatur tritt Sättigung durch die maximal erlaubte Ausrichtung ein. Adiabatische Entmagnetisierung Ein paramagnetisches Material befindet sich in einem starkem B-Feld bei sehr kleiner Temperatur. Die Magnetisierung ist nahezu gesättigt. Jetzt unterbricht man den Kontakt zum Kühlbad (die Probe befindet sich im Vakuum) und schaltet das Magnetfeld langsam aus. Die geringe, noch vorhandene thermische Energie wird jetzt verwendet, um die atomare Momente isotrop zu verteilen. Der damit verbundene Energieverbrauch (Entropiegewinn) erniedrigt die Temperatur der Probe. Spezielle Substanzen können mit adiabatischer Entmagnetisierung bis auf einige 10 6 K abgekühlt werden Ferromagnetismus Kennzeichen des Ferromagnetismus sind: χ 0 µ 1 B mat B vac (13.28) Die Magnetisierung kann um Größenordnungen über der bei paramagnetischen Stoffen liegen (z. B. hat Mumetall, eine Mischung von Ni, Cu, Co einen Wert von µ 10 5 ). Für ferromagnetische Stoffe ist M ist keine eindeutige Funktion des äußeren Magnetfeldes, sondern hängt von der magnetischen Vorgeschichte des Materials ab. Man unterscheidet magnetisch harte (große Remanenz) und magnetisch weiche Materialien (kleine Remanenz). Die Fläche Hystereseschleife ist ein Maß für die Remanenz. H 0 0 Bei ersten Anschalten einer magnetischen Erregung entwickelt sich das B-Feld 4 Unter Berücksichtigung des Spins gelten analoge Überlegungen für das magnetische Moment, das mit dem Gesamtdrehimpuls J = L + S verbunden ist. 2! 2 H

7 13.4. FERROMAGNETISMUS 117 von 0 nach P 1 entlang der sogenannten Neukurve. Nach Abschalten von H fällt das B-Feld nur langsam auf den Wert B r (das Remanenzfeld) ab. Auf Null kommt man erst durch Anlegen einer gegenpoligen Erregung H k, der sogenannten Koerzitivkraft. Bei Durchlaufen der Hysteresekurve wird Energie zum Ausrichten der Dipole verwendet und in Wärmeenergie der Probe umgewandelt. Für einen Dauermagneten fordert man große Remanenz, für den Eisenkern eines Transformators einen Werkstoff möglichst geringer Hysterese. In der Gasphase (einzelne Atome) ist jedes ferromagnetische Material paramagnetisch. In Festkörpern führt die Wechselwirkung zwischen Elektronenspins benachbarter Atome zu einer spontanten Magnetisierung, wobei eine Ausrichtung der Momente benachbarter Atome in kleinen Bereichen (Weiß sche Bezirke) erfolgt. Das Bild zeigt die mikroskopische Struktur eines Ferromagneten, die Weiß schen Bezirke. Ohne äußeres Feld sind einzelne Weiß sche Bezirke statistisch verteilt. Innerhalb des Bezirkes sind die Dipolmomente ausgerichtet. Bei Anlegen der äußeren Erregung richten sich ganze Bezirke aus. Für durchsichtige ferromagnetische Materialien (dünne Filme im Bereich von wenigen µm) können die Grenzen der Bezirke sichtbar gemacht werden, da an den Grenzen eine vom Bezirk unterschiedliche Polarisationsdrehung von polarisierten Licht stattfindet (Aufnahme über Mikroskop). Eine genaue Beobachtung der Hysteresekurve zeigt, dass diese keine glatte Kurve ist, sondern Barkhausen Sprünge aufweist. Das Umklappen ganzer Bezirke kann hörbar gemacht werden, wenn man die statistisch ansteigende Magnetisierung über eine Induktionsspule einem Verstärker und Lautsprecher zuführt. 0 Der Ferromagnetismus verschwindet oberhalb der Curie-Temperatur. Bei der Curietemperatur übersteigt die thermische Energie (kt ) die Wechselwirkungsenergie aus der geordneten Ausrichtung der magnetischen Dipolmomente. Ferromagentische Stoffe werden oberhalb der Curie-Temperatur paramagnetisch. Mit dem Einstein-de-Haas Experiment konnte man zeigen, daß der Ferromagnetismus seinen Ursprung im Spin der Elektronen hat.

8 118 KAPITEL 13. MATERIE IM MAGNETFELD 13.5 Felder an Grenzflächen Elektrostatik: An einer Oberfläche mit der Flächenladungsdichte σ macht (siehe Seite 16) die Normalkomponente von E einen Sprung von σ/ɛ 0. Wegen der Polarisationsladungen erniedrigt sich beim Übergang vom Vakuum in ein Medium mit der Dielektrizitätskonstante ɛ die Normalkomponente der elektrischen Feldstärke E vac = ɛ E diel (13.29) Mit dem Stokes schen Satz lässt sich aus E = 0 zeigen (siehe Seite 49): Die Tangentialkomponente von E geht stetig über. Im Spezialfall eines leitendes Mediums verschwindet in der Elektrostatik die Feldstärke im Inneren des Leiters. Die freien Ladungen sitzen an der Oberfläche. Auf einer Metalloberfläche gibt es nur eine Normalkomponente von E und diese ist durch die Flächenladungsdichte σ bestimmt. Eine Tangentialkomponente von E würde zu Strömen führen. Diese verschieben die Ladungen solange, bis diese Komponente Null ist. Magnetostatik: Wenn keine freien Ströme vorliegen ( H = j frei = 0 ) gilt analog: Die Tangentialkomponente von H geht stetig über. Daraus folgt, dass sich beim Übergang vom Vakuum in ein Material mit der Permeabilität µ die Tangentialkomponente der magnetischen Feldstärke erhöht B vac = 1 µ Bmat (13.30) und B vac = B mat (13.31) Die Normalkomponente von B geht stetig über. Diese Bedingungen führen zu einem Brechungsgesetz für die Komponenten der magnetischen Feldstärke, das die starken magnetischen Abschirmeigenschaften von Material mit hohem Wert von µ vorhersagt (µ-metall). L =? L =? L =? = J L =? K K = J = J

9 @ ELEKTROMAGNETE Elektromagnete Wir betrachten eine toroidale Spule (Radius R) mit N Windungen, durch die ein Strom I fließt. Die Spule ist mit einem geschlossenen Weicheisenkern gefüllt. Die große Permeabilität des Kerns (µ 10 4 ) erhöht die magnetische Feldstärke im Weicheisenring. Diese Überhöhung kann man in einen kleinen Luftspalt des Rings auskoppeln, das Konzept hinter magnetischen Polschuhen. Auf Grund von H = j frei gilt für den geschlossenen Integrationsweg H d s = 2Rπ H = N I (13.32) da der Strom I N-mal durch die Kreisfläche tritt. Die magnetische Erregung im Kern ist H = N I (13.33) 2πR Die magnetische Feldstärke im Kern ist um den Faktor der relativen Permeabilität gegenüber dem Vakuumwert überhöht: B = µ µ 0 N I 2πR (13.34) Verwendet man nun anstelle des geschlossenen Weicheisenkerns ein Joch mit einem kleinen Luftspalt der Dicke d, dann kann sich diese Feldüberhöhung bis zu einem gewissen Grad ins Vakuum auskoppeln. Damit teilt sich das Linienintegral (13.32) in einen Beitrag des Eisenjoches 1 B H A E und einen Beitrag des Luftspaltes: H d s = (2Rπ d) H F e + d H vac = N I (13.35) Indem wir B = µ µ 0 H setzen erhalten wir 1 (2Rπ d) B F e + d 1 B vac = N I (13.36) µ µ 0 µ 0 Das Magnetfeld steht senkrecht auf den Spaltflächen. Beim Übergang vom Eisenkern ins Vakuum ist die Normalkomponente von B stetig: B F e = B vac (13.37) Die magnetische Feldstärke im Luftspalt wird damit B vac = N I µ µ 0 µ d + 2Rπ d N I µ µ 0 µ d + 2Rπ wenn d R (13.38) Für das Verhältnis von B im Luftspalt mit und ohne Eisenkern ergibt sich B(mitKern) B(ohneKern) = µ µ d 2Rπ + 1 (13.39) Für kleine Werte von d ist die Überhöhung des Feldes gleich dem Betrag von µ. Für große Werte von d ist die Überhöhung nur gleich 2πR/d.

10 120 KAPITEL 13. MATERIE IM MAGNETFELD 13.7 Magnetfeld der Erde Das Erdmagnetfeld ist näherunsgweise gleich dem Feld eines magnetischen Dipols, dessen Achse gegenüber der Erdrotationsachse um etwa 11 o geneigt ist. Am Äquator liegen die magnetischen Feldlinen etwa parallel zur Erdoberfläche. In Freiburg ist die Inklination etwa 60 o. An der Erdoberfläche ist das Feld etwa 0.5 Gauss. Abweichungen vom Dipolfeld entstehen durch lokale Schwankungen des Anteils magnetischer Mineralien in der Erdkruste. Die Magnetpole fallen nicht mit den geographischen Polen zusammen (magnetische Deklination). Die wichtigsten Ursachen für das Dipolfeld sind elektrische Ströme im flüssigen Erdkern. Auf Grund des radialen Temperaturgradienten gibt es Konvektionsströme in radialer Richtung. Durch die Coriolis-Kräfte auf Grund der Erdrotation v ω werden diese tangential abgelenkt und bilden eine Art Kreisstrom um die Rotationsachse. Geladene Teilchen von der Sonne treffen in das inhomogene Erdmagnetfeld. Sie sind Ursache für Leuchterscheinungen wie die Aurora. Weit von der Erde entfernt wird das Dipolfeld durch die elektrischen Ströme des Sonnenwindes stark verändert (Magnetopause, siehe Seite 73). Der Van Allen Strahlungsgürtel in km Höhe stellt eine magnetische Flasche dar. Das Magnetfeld ist relativ schwach in der Äquatorgegend, aber steigt zu den Polen hin an. In dieser Höhe bewegen sich Ladungsträger frei und werden von der Lorentz-Kraft senkrecht zur Einschussbahn und zum Magnetfeld abgelenkt. 2 H J A - A - A J H A Je nach Einschussrichtung in das Feld beschreibt ein geladenes Teilchen eine Spiralbahn um eine Feldlinie und folgt dieser, wenn sich die Feldlinie krümmt. Im inhomogenen Feld bewegt sich das Teilchen in einen Trichter von Feldlinien, sodass rücktreibende Kräfte entstehen, die das Teilchen (bei benügend kleiner Energie und genügend großer Inhomogenität) zurückspiegeln. In der Folge beschleunigt die Inhomogenität das Teilchen zurück zum Äquator, von wo es gegen den gegenüberliegenden Pol anläuft und dort gespiegelt wird. Im inneren Van-Allen Gürtel finden sich Elektronen mit bis zu 0.78 MeV und Protonen mit Energien bis 150 MeV. Die scharfe Grenzenergie der Elektronen deutet auf einen Ursprung aus dem Zerfall eines Neutrons n p+e+ ν hin. Die hohe Konzentration schneller Protonen (sie durchdringen ohne weiteres mehrere mm Blei) macht den Strahlungsgürtel so gefährlich.