Fallstudie: Schadenshäufigkeiten bei Kfz-Versicherungen

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Fallstudie: Schadenshäufigkeiten bei Kfz-Versicherungen"

Wilhelmine Hanna Sachs
vor 8 Jahren
Abrufe

1 Fallstudie: Schadenshäufigkeiten bei Kfz-Versicherungen Stefan Lang 12 Oktober 2005 WS 05/06

2 Datensatzbeschreibung (1) Daten Versicherungsdaten für Belgien ca Beobachtungen Ziel Analyse der Risikostruktur mit Regressionsmodellen für Schadenshäufigkeiten und Schadenshöhen Fallbeispiel: Schadenshäufigkeiten bei Kfz-Versicherung 1

Risikostruktur mit Regressionsmodellen für

3 Datensatzbeschreibung (2) Variable AlterKfz AlterV Ps BM Region Geschl Beschreibung Alter des Kfz Alter des Versicherungsnehmers Motorleistung Bonus-Malus Score Kreiskennziffer 1 = männlich, 0=weiblich Fallbeispiel: Schadenshäufigkeiten bei Kfz-Versicherung 2

Motorleistung Bonus-Malus Score Kreiskennziffer 1 = männlich,

4 Deskriptive Analyse (1) Kerndichteschätzer: Alter Versicherungsnehmer durchschnittliche Schadenshäufigkeiten vs Alter Versicherungsnehmer log durchschnittliche Schadenshäufigkeiten vs Alter Versicherungsnehmer Abbildung 1: Deskriptive Analyse: Alter des Versicherungsnehmers Fallbeispiel: Schadenshäufigkeiten bei Kfz-Versicherung 3

durchschnittliche Schadenshäufigkeiten vs Alter Versicherungsnehmer 4 3 2 1 Abbildung 1:

5 Deskriptive Analyse (2) Kerndichteschätzer: Alter Kfz durchschnittliche Schadenshäufigkeiten vs Alter Kfz Alter des Kfz log durchschnittliche Schadenshäufigkeiten vs Alter Kfz Abbildung 2: Deskriptive Analyse: Alter des Kfz Fallbeispiel: Schadenshäufigkeiten bei Kfz-Versicherung 4

4 35 3 25 2 15 log durchschnittliche Schadenshäufigkeiten vs Alter Kfz 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 Deskriptive Analyse (3) Kerndichteschätzer: Ps Zahl durchschnittliche Schadenshäufigkeiten vs Ps Zahl Ps Zahl Ps Zahl log durchschnittliche Schadenshäufigkeiten vs Ps Ps Zahl Abbildung 3: Deskriptive Analyse: Ps Zahl Fallbeispiel: Schadenshäufigkeiten bei Kfz-Versicherung 5

170 190 210 230 Ps Zahl log durchschnittliche Schadenshäufigkeiten vs Ps 3 2 1 0 1 10 30 50 70 90 110 130 150

7 Deskriptive Analyse (4) Kerndichteschätzer: Bonus Malus Score durchschnittliche Schadenshäufigkeiten vs BM Score Bonus Malus Score Bonus Malus Score log durchschnittliche Schadenshäufigkeiten vs BM Score Bonus Malus Score Abbildung 4: Deskriptive Analyse: BM Score Fallbeispiel: Schadenshäufigkeiten bei Kfz-Versicherung 6

Score log durchschnittliche Schadenshäufigkeiten vs BM Score 25 2 15 1 0 3 6 9 12 15 18 21 Bonus Malus

8 Modellierung: Alter des Versicherungsnehmers (1) Modell 1: H i P o(λ i ) λ i = exp(β 0 + β 1 AlterV c i ) AlterV c i = AlterV i AlterV, AlterV = Datenmatrix zu Modell 1 H AlterV AlterV c Fallbeispiel: Schadenshäufigkeiten bei Kfz-Versicherung 7

Datenmatrix zu Modell 1 H AlterV AlterV c 1 50 299 0 64 1699 0 60 1299 0 77 2999

9 Modellierung: Alter des Versicherungsnehmers (2) Schätzergebnisse H Coef Std Err z P> z [95% Conf Interval] AlterVc _cons Effekt des Alters des Versicherungsnehmers exp(effekt des Alters des Versicherungsnehmers) geschätzter Effekt mittlere part Residuen Abbildung 5: Modell 1: Effekt des Alters des Versicherungsnehmers inklusive mittlere partielle Residuen Fallbeispiel: Schadenshäufigkeiten bei Kfz-Versicherung 8

------------------------------------------------------------------------------ Effekt des Alters des Versicherungsnehmers exp(effekt des Alters des Versicherungsnehmers) 2 1 0 1 geschätzter

10 Modellierung: Alter des Versicherungsnehmers (3) Modell 2: H i P o(λ i ) λ i = exp(β 0 + β 1 AlterV c i + β 2 AlterV 2c i + β 3 AlterV 3c i ) mit AlterV c i = AlterV i AlterV AlterV = AlterV 2c i = AlterVi 2 AlterV 2 AlterV 2 = AlterV 3c i = AlterVi 3 AlterV 3 AlterV 3 = und AlterV 2 = 1 n n i=1 AlterV 2 i AlterV 3 = 1 n n i=1 AlterV 3 i Fallbeispiel: Schadenshäufigkeiten bei Kfz-Versicherung 9

AlterVi 2 AlterV 2 AlterV 2 = 24296052 AlterV 3c i = AlterVi 3 AlterV 3 AlterV 3 = 1359881 und AlterV 2 =

11 Modellierung: Alter des Versicherungsnehmers (4) Effekt des Alters des Versicherungsnehmers wird also durch ein (um Null zentriertes) Polynom 3 Grades modelliert, dh λ i = exp(β 0 + f(alterv )) f(alterv ) = β 1 AlterV c i + β 2 AlterV 2c i + β 3 AlterV 3c i Datenmatrix zu Modell 2 H AlterV AlterV c AlterV 2c AlterV 3c Fallbeispiel: Schadenshäufigkeiten bei Kfz-Versicherung 10

zu Modell 2 H AlterV AlterV c AlterV 2c AlterV 3c 1 50 299 7039 1098813 0 64 1699 166639 1261559 0 60 1299 117039 8001188 0 77 2999

12 Modellierung: Alter des Versicherungsnehmers (5) Schätzergebnisse H Coef Std Err z P> z [95% Conf Interval] AlterVc AlterV2c AlterV3c -798e e e-06 _cons Effekt des Alters des Versicherungsnehmers exp(effekt des Alters des Versicherungsnehmers) geschätzter Effekt mittlere part Residuen Abbildung 6: Modell 2: Effekt des Alters des Versicherungsnehmers inklusive mittlere partielle Residuen Fallbeispiel: Schadenshäufigkeiten bei Kfz-Versicherung 11

181e-06-441 0000-0000115 -443e-06 _cons -2110685 0072005-29313 0000-2124798 -2096572 ------------------------------------------------------------------------------ Effekt des Alters des

13 Modellierung: Alter des Versicherungsnehmers (6) Modell 3: H i P o(λ i ) λ i = exp(η i ) η i = β 0 + β 1 AlterV c i + β 2 AlterV 2c i + β 3 AlterV 3c i + β 4 AlterV 3 k43c i + β 5 AlterV 3 k69c i mit AlterV 3 k43 i = { (AlterV 43) 3 AlterV > 43 0 sonst AlterV 3 k43c i = AlterV 3 k43 i AlterV 3 k43 = AlterV 3 k43 i Fallbeispiel: Schadenshäufigkeiten bei Kfz-Versicherung 12

k69c i mit AlterV 3 k43 i = { (AlterV 43) 3 AlterV > 43 0 sonst AlterV 3 k43c i = AlterV 3 k43

14 Modellierung: Alter des Versicherungsnehmers (7) und AlterV 3 k69 i = { (AlterV 69) 3 AlterV > 69 0 sonst AlterV 3 k69c i = AlterV 3 k69 i AlterV 3 k69 = AlterV 3 k69 i Effekt des Alters des Versicherungsnehmers ist also ein (um Null zentrierter) kubischer Spline mit 2 inneren Knoten bei AlterV = 43 und AlterV = 69 dh λ i = exp(β 0 + f(alterv )) f(alterv ) = β 1 AlterV c + β 2 AlterV 2c + β 3 AlterV 3c +β 4 AlterV 3 k43c + β 5 AlterV 3 k69c Fallbeispiel: Schadenshäufigkeiten bei Kfz-Versicherung 13

zentrierter) kubischer Spline mit 2 inneren Knoten bei AlterV = 43 und AlterV = 69 dh λ i = exp(β 0 + f(alterv )) f(alterv ) =

15 Modellierung: Alter des Versicherungsnehmers (8) Datenmatrix zu Modell 3 H AlterV AlterV 3 k43 AlterV 3 k43c AlterV 3 k69 AlterV 3 k69c Fallbeispiel: Schadenshäufigkeiten bei Kfz-Versicherung 14

0 77 39304 3463512 512 463217 1 28 0 4668882 0 4878295 0 26 0 4668882 0 4878295 1 26 0 4668882 0 4878295 0 58

16 Modellierung: Alter des Versicherungsnehmers (9) Schätzergebnisse H Coef Std Err z P> z [95% Conf Interval] AlterVc AlterV2c AlterV3c AlterV3_k43c AlterV3_k69c _cons Effekt des Alters des Versicherungsnehmers exp(effekt des Alters des Versicherungsnehmers) geschätzter Effekt mittlere part Residuen Abbildung 7: Modell 3: Effekt des Alters des Versicherungsnehmers inklusive mittlere partielle Residuen Fallbeispiel: Schadenshäufigkeiten bei Kfz-Versicherung 15

0000106-742 0000-0000995 -0000579 AlterV3_k43c 0000953 0000153 622 0000 0000653 0001254 AlterV3_k69c -0000163 0000366-044 0656-000088 0000554 _cons -2111502 0072044-29308 0000-2125622 -2097382

17 Gesamtmodell (1) Modell 4: H i P o(λ i ) λ i = exp(η i ) η i = β 0 + β 1 AlterV c i + β 2 AlterV 2c i + β 3 AlterV 3c i + β 4 AlterV 3 k43c i + β 5 AlterV 3 k69c i + β 6 AlterKfzc i + β 7 BMc i + β 8 P sc i + β 9 geschl Effekte der restlichen Kovariablen werden linear modelliert Fallbeispiel: Schadenshäufigkeiten bei Kfz-Versicherung 16

6 AlterKfzc i + β 7 BMc i + β 8 P sc i + β 9 geschl Effekte der restlichen

18 Gesamtmodell (2) Schätzergebnisse H Coef Std Err z P> z [95% Conf Interval] AlterVc AlterV2c AlterV3c AlterV3_k43c AlterV3_k69c AlterKfzc BMc Psc geschl _cons Fallbeispiel: Schadenshäufigkeiten bei Kfz-Versicherung 17

0000107-567 0000-0000818 -0000398 AlterV3_k43c 0000843 0000155 545 0000 000054 0001147 AlterV3_k69c -0000478 0000373-128 0200-0001209 0000252 AlterKfzc -0013015 001757-074 0459-0047452 0021421 BMc

19 Gesamtmodell (3) Effekt des Alters des Versicherungsnehmers exp(effekt des Alters des Versicherungsnehmers) geschätzter Effekt mittlere part Residuen Effekt des Alters des Kfz geschätzter Effekt mittlere part Residuen exp(effekt des Alters des Kfz) Abbildung 8: Modell 4: Effekt des Alters des Versicherungsnehmers und des Kfz inklusive mittlere partielle Residuen Fallbeispiel: Schadenshäufigkeiten bei Kfz-Versicherung 18

mittlere part Residuen 97 98 99 1 101 exp(effekt des Alters des Kfz) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 Abbildung 8: Modell 4: Effekt des

20 Gesamtmodell (4) Effekt des Bonus Malus Score exp(effekt des Bonus Malus Score) Bonus Malus Score geschätzter Effekt mittlere part Residuen Bonus Malus Score Ps Zahl geschätzter Effekt Effekt der Ps Zahl mittlere part Residuen exp(effekt der Ps Zahl) Ps Zahl Abbildung 9: Modell 4: Effekt des Bonus Malus Score und der Ps Zahl inklusive mittlere partielle Residuen Fallbeispiel: Schadenshäufigkeiten bei Kfz-Versicherung 19

Effekt Effekt der Ps Zahl mittlere part Residuen 8 1 12 14 16 18 exp(effekt der Ps Zahl) 10 30 50 70 90 110 130 150 170 190 210 230 Ps Zahl

21 Gesamtmodell (5) Modell 5: Ersetze die lineare Modellierung des Effekts von AlterKfz aus Modell 4 durch einen Spline mit 2 inneren Knoten bei AlterKfz=10 und AlterKfz=20 H i P o(λ i ) λ i = exp(η i ) η i = β 0 + β 1 AlterV c i + β 2 AlterV 2c i + β 3 AlterV 3c i + β 4 AlterV 3 k43c i + β 5 AlterV 3 k69c i + β 6 AlterKfzc i + β 7 AlterKfz2c i + β 8 AlterKfz3c i + β 9 AlterKfz3 k10c i + β 10 AlterKfz3 k20c i β 11 BMc i + β 12 P sc i + β 13 geschl Fallbeispiel: Schadenshäufigkeiten bei Kfz-Versicherung 20

22 Gesamtmodell (6) Schätzergebnisse H Coef Std Err z P> z [95% Conf Interval] AlterVc AlterV2c AlterV3c AlterV3_k43c AlterV3_k69c AlterKfzc AlterKfz2c AlterKfz3c AlterKfz~10c AlterKfz~20c BMc Psc geschl _cons Fallbeispiel: Schadenshäufigkeiten bei Kfz-Versicherung 21

23 Gesamtmodell (7) Modell 5 Effekt des Alters des Versicherungsnehmers Modell 5 exp(effekt des Alters des Versicherungsnehmers) geschätzter Effekt mittlere part Residuen Effekt des Alters des Kfz exp(effekt des Alters des Kfz) geschätzter Effekt mittlere part Residuen Abbildung 10: Modell 5: Effekt des Alters des Versicherungsnehmers und des Kfz inklusive mittlere partielle Residuen Fallbeispiel: Schadenshäufigkeiten bei Kfz-Versicherung 22

24 Gesamtmodell (8) Effekt des Bonus Malus Score exp(effekt des Bonus Malus Score) Bonus Malus Score geschätzter Effekt mittlere part Residuen Bonus Malus Score Ps Zahl geschätzter Effekt Effekt der Ps Zahl mittlere part Residuen exp(effekt der Ps Zahl) Ps Zahl Abbildung 11: Modell 5: Effekt des Bonus Malus Score und der Ps Zahl inklusive mittlere partielle Residuen Fallbeispiel: Schadenshäufigkeiten bei Kfz-Versicherung 23

Ähnliche Dokumente

Fallbeispiel: Kreditscoring

Fallbeispiel: Kreditscoring Stefan Lang 14. Juni 2005 SS 2005 Datensatzbeschreibung (1) Ziel Untersuchung der Bonität eines Kunden in Abhängigkeit von erklärenden Variablen Zielvariable Bonität des Kunden: