C++ - Kontrollstrukturen Teil 2

Transkript

1 C++ - Kontrollstrukturen Teil 2 Reiner Nitsch 8417 r.nitsch@fbi.h-da.de

2 Schleife und Verzweigung kombiniert SV initialisieren while(b1) if(b2) w f V1 V2 SV Richtung Ziel verändern Wichtiger Baustein vieler Algorithmen! Beispiel: Ägyptische Multiplikation für natürliche Zahlen b 2ai falls b gerade 2 ab i = b 2ai + a falls b ungerade 2 Ganzzahldivision! Erklärung: a = 20, b = 23 a b = 2a b/2 + a = = = = Binärdarstellung von b = = 20 ( ) = = = = C++ Kontrollstrukturen - Teil 2 2

3 Ägyptische Multiplikation in C++ Produkt = 0 solange b > 0 b ungerade? ja Produkt um a erhöhen a verdoppeln b halbieren nein Alternative Realisierung mit Bitmanipulationen Test auf "b ungerade" durch Bittest b = testmuster = 1 10 b & testmuster int multiply( int a, int b ) { assert( a>0 && b>0 ); int product = 0; while ( b > 0 ) { if ( b%2 == 1 ) // ist b ungerade product += a; else ; a *= 2; b /= 2; // while (b>0) return product; Verdopplung: Halbierung: a = = b = = a = = b/2 = = C++ Kontrollstrukturen - Teil 2 3 0

4 Ägyptische Multiplikation in C++ int multiply( int a, int b ) { int product = 0; while ( b>0 ) { if ( b&1 ) // ist b ungerade product += a; else ; // while (b>0) return product; C++ Kontrollstrukturen - Teil 2 4

5 Rekursion Rekursive Funktionen rufen sich wiederholt selbst auf tun dies, um jeweils ein kleineres Problem zu lösen enden erst dann ohne erneuten Selbstaufruf, wenn das Problem so klein ist, dass es gelöst werden kann ( base case). Beispiel: Dreieckszahlen x d0 = 0 x x x d1 = 0+ 1 x x x x x x d2 = x x x x x x x x x x d3 = x x x x x x x x x x x x x x x n n( n+ 1) d 0 d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d n = k = k = 0 2 Iterative Lösung: int trianglenumber ( int n ) { assert(n>=0); int result = 0; assert(result == n*(n+1)/2 ); return result ; C++ Kontrollstrukturen - Teil 2 5

6 Rekursive Berechnung der Dreieckszahlen Rekursive Definition der Dreickzahlen: d n = n + Rest = n + d n-1 x x x x x x x x x x x x x x x 5 + d 4 Aufruf in main: cout << trianglenumber(3); n Rückgabewert 3+3 = = = d 5 = 5 + Rest 9 int trianglenumber( int n ) { assert( n>=0 ); Rekursion wird durch das Konzept der lokalen Objekte ermöglicht: Jeder Aufruf erzeugt einen neuen Satz aller lokalen Objekte auf dem Stack! Rücksprungadresse n = 3 Rückgabewert Rücksprungadresse n = 2 Rückgabewert Rücksprungadresse n = 1 Rückgabewert Rücksprungadresse n = 0 Rückgabewert Vorsicht bei globalen Variablen in rekursiven Funktionen! C++ Kontrollstrukturen - Teil 2 6

7 Rekursive Berechnung von n! Iterative Definition 1 für n = 0 n! = n für n>0 // Rekursive Lösung long factorial ( int n ) { assert ( n>=0 ); Rekursive Definition C++ Kontrollstrukturen - Teil 2 7

8 Noch ein Beispiel Invertieren einer beliebig langen Zeichenkette void reversestring () { char c; cin >> c; if ( c == '\n' ) return; else { reversestring (); cout << c; C++ Kontrollstrukturen - Teil 2 8

9 Rekursive Berechnung von Fibonacci-Zahlen Definition der Fibonacci Zahlen 1 für n = 0 F(n) = 1 für n = 1 F(n-1) + F(n-2) für n > 1 Rekursive Realisierung in C++ long Fibonacci( int n ) { assert (n>=0); Anwendung: Wachstumssimulation von Populationen Erklärung: Hasenpopulation h: Häschenpaar; 1 Monat Reifezeit H: Schwangere Häsin; 1 Monat Tragezeit) Monat Population 0 h 1 H 2 Hh F(n-2) 3 HHh F(n-1) 4 HHHhh F(n) = F(n-1) + F(n-2) 5 HHHHHhhh 6 HHHHHHhhhhh C++ Kontrollstrukturen - Teil 2 9 Iterative Realisierung in C++ long Fibonacci ( int n ) { assert (n>=0); long Fn, Fn_1(1), Fn_2(1); if (n<2) return 1; else while (n>1) { Fn = Fn_1 + Fn_2 Fn_2 = Fn_1; Fn_1 = Fn; n--; return 1;

10 Türme von Hanoi - Problembeschreibung Aufgabe: Turm aus 100 Scheiben umsetzen 2 Ablagestellen immer nur eine Scheibe transportieren Es darf keine größere auf einer kleineren Scheibe liegen Turm von A nach C unter Zuhilfenahme von B Algorithmischer Kern 1. Turm außer unterster Scheibe (Subturm) transportieren von A nach B (kleineres Problem) 2. unterste Scheibe transportieren von A nach B (base case) 3. Subturm von C nach B transportieren (kleineres Problem) Subturm A B C C++ Kontrollstrukturen - Teil 2 10

11 Türme von Hanoi - Implementation void move( int amount, char from, char to, char hilfe ) { static int width(-5); //statische Variable mit Gültigkeitsbereich Programm width += 5; cout << endl; cout << string( width, ' ' ) << "Mein Auftrag ist: " << amount << " Scheibe(n) " << "von " << from << " nach " << to << endl; if ( amount == 1 ) // Base Case (realer Transport) cout << string( width, ' ' ) << "Ächz Schwitz: " << " Scheibe Nr. " << amount << "von " << from << " nach " << to << endl; else { // Unteraufträge (virtueller Transport) // Subturm zur Hilfsposition move( amount-1, from, help, to ); //unterste Scheibe zur Zielposition 'nach' (realer Transport) cout << string( width,' ') << "Ächz Schwitz: " << Scheibe Nr. " << amount << " von " << from << " nach " << to << endl; // Subturm von Hilfsposition 'Hilfe' zur Zielposition 'nach' move( amount-1, help, to, from ); width -=5; //else //Anwendung void main(){ move( 3,'A','C','B' ); cout << endl; C++ Kontrollstrukturen - Teil 2 11

12 Türme von Hanoi - Ausgabe A B C Mein Auftrag ist: 3 Scheibe(n) von A nach C Mein Auftrag ist: 2 Scheibe(n) von A nach B Mein Auftrag ist: 1 Scheibe(n) von A nach C Ich transportiere: 1 Scheibe(n) von A nach C Ich transportiere: 1 Scheibe von A nach B Mein Auftrag ist: 1 Scheibe(n) von C nach B Ich transportiere: 1 Scheibe(n) von C nach B Ich transportiere: 1 Scheibe von A nach C Mein Auftrag ist: 2 Scheibe(n) von B nach C Mein Auftrag ist: 1 Scheibe(n) von B nach A Ich transportiere: 1 Scheibe(n) von B nach A Ich transportiere: 1 Scheibe von B nach C Mein Auftrag ist: 1 Scheibe(n) von A nach C Ich transportiere: 1 Scheibe(n) von A nach C Press any key to continue C++ Kontrollstrukturen - Teil 2 12

13 Türme von Hanoi - Komplexität Turm hat laut Überlieferung insgesamt n Scheiben 1. Mönch Scheibe n 1 mal transportieren 2. Mönch Scheibe n-1 2 mal transportieren 3. Mönch Scheibe n-2 4 mal transportieren 4. Mönch Scheibe n-3 8 mal transportieren i. Mönch Scheibe n+1-i 2 i-1 mal transportieren n. Mönch Scheibe 1 2 n-1 mal transportieren Summe: T n = = i = 1 i 1 n Weltuntergang, wenn alle 100 Scheiben transportiert sind? Annahme: Scheiben werden im Sekundentakt transportiert In wieviel Jahren ist dann der Weltuntergang? C++ Kontrollstrukturen - Teil 2 13