Beispiel 1: Fakultät

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1 16. Rekursion

2 Beispiel 1: Fakultät Rekursive Definition der Fakultät (Mathematik) n! = 1 falls n=0 n*(n-1)! falls n>0 Programmierung mittels einer rekursiven Funktion in C++ double fakultaet(int n) if ( n==0 ) return 1; else return n*fakultaet(n-1); Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

3 Beispiel 1: Fakultät Alternative Alternative :Programmierung mittels einer Schleife (Iteration) in C++ double fakultaet(int n) int ergebnis=1; for ( int i=1;i<=n;i++) ergebnis*=i; return ergebnis; Dies geht nicht immer!!!!! Indiz : Rekursive Funktion wird nur 1 mal aufgerufen. Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

4 Beispiel 1: Fakultät / Aufrufbaum Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

5 Beispiel 2: Fibonaccizahlen F 0 = 0 F 1 = 1 F n = F n-1 + F n-2 für n> Lösung mittels Schleife? Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

6 Beispiel 2: Fibonaccizahlen / Schleife int fibonacci(int n) if ( n==0) return 0; if ( n==1) return 1; int a=0,b=1,c; for ( int i=2;i<=n;i++) c=b+a; //Addition a=b; b=c; Was ist besser: Schleife oder Rekursion? Anzahl der Additionen in Schleife: n-1 Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

7 #include <iostream> using namespace std; void main() Beispiel 2: Fibonaccizahlen / Rekursion int fibonacci(int n) int ergebnis; if ( n==0 ) ergebnis=0; else if ( n==1 ) ergebnis=1; else ergebnis=fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2); cout <<" Fibonacci("<<n<<") = "<<ergebnis<<endl; return ergebnis; int fibonacci(int); int n; cout<<" n eingeben "; cin >>n; while ( n>=0 ) cout << " Ergebnis = "<<fibonacci(n)<<endl; cout<<" weiteres n "; cin >>n; Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

8 Beispiel 2: Fibonaccizahlen / Ergebnis Berechnungen: Fibonacci(0): 5 Fibonacci(1): 8 Fibonacci(2): 5 Fibonacci(3): 3 Fibonacci(4): 2 Fibonacci(5): 1 Fibonacci(6): 1 Additionen 12 ( in Schleife 5) Funktionsaufrufe 25 ( in Schleife 1) Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

9 Beispiel 2: Fibonaccizahlen / Aufrufbaum Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

10 Beispiel 3: Ackermannfunktion A(0,n) = n+1 A(m+1,0) A(m+1,n+1) = A(m,1) = A(m,A(m+1,n) Die Ackermannfunktion ist berechenbar aber nicht primitiv rekursiv (damit gibt es keine Schleifenlösung) Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

11 Beispiel 3: Ackermannfunktion #include <iostream> using namespace std; void main() int ackermann(int,int); int m, n; cout<<" m,n eingeben "; cin >>m>>n; while ( m>=0 && n>=0 ) cout << " Ergebnis = "<<ackermann(m,n)<<endl; cout<<" weiteres m und n "; cin >>m>>n; int ackermann(int m,int n) int ergebnis; if ( m==0 ) ergebnis=n+1; else if ( n==0 ) ergebnis=ackermann(m-1,1); else ergebnis=ackermann(m-1,ackermann(m,n-1)); cout <<" Ackermann("<<m<<","<<n<<") = "<<ergebnis<<endl; return ergebnis; Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

12 Beispiel 3: Ackermannfunktion Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

13 Erste Erkenntnisse Rekursive Programme sind in der Regel kürzer/einfacher zu formulieren Iterationen sind in der Regel effizienter Häufig lassen sich Rekursionen durch Iterationen ersetzen. Faustformel für übliche Aufgaben: Jede Aufgabe lässt sich rekursiv lösen! Jede Rekursion lässt sich mittels Schleife realisieren! Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

14 Definition Interpretation: Rekursion (lat. recurrere) bedeutet Selbstbezüglichkeit d.h. etwas verweist auf sich selbst. Ein Problem P lässt sich zerlegen in ein einfach zu lösendes Teilproblem und ein weiteres Problem Q, welches vom selben Typ ist wie P (d.h. sich mit demselben Verfahren lösen lässt) aber geringere Komplexität bzw. geringeren Umfang hat. Für ganz einfache Fälle ist das Problem direkt lösbar. Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

15 Definition Was bedeutet geringere Komplexität / geringerer Umfang? Zahlen Daten Vektoren/Tabellen Ausdrücke kleinere Zahlen statt große Zahlen (vgl. Fakultät) wenige Daten statt viele Daten ( vgl. Suchen/Sortieren) wenige Elemente/Zeilen statt vieler Elemente/Zeilen einfache Ausdrücke statt geschachtelte ( i+1 <-> (((i+1)*f(2*x)+... ) Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

16 Problemstellungen Gegeben sei eine Aufgabe. Wie erkenne ich, ob die Aufgabe rekursiv ist? Was ist das Schema der Rekursion? Gibt es eine Lösung mittels Schleife? Was ist wichtiger: Einfachkeit des Programms (Lesbarkeit) <-> Effizienz? Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

17 Schema von Rekursionen: Suchen Suchen in einer Menge von Objekten (z.b. Vektor, Polygonzug aus Punkten, Schaltkreis aus Bauteilen,...) Suche ( Menge ) Falls Menge leer: nicht gefunden Wähle ein Objekt der Menge (üblich: erstes oder letztes ) Falls gesuchtes Objekt -> (in der Regel) fertig Falls nicht -> Suche(Restmenge) Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

18 Beispiel: Suchen int suche(int n, int vec[], int element) if ( n=0 ) return -1; else if ( vec[n-1]==element ) return n-1; else return suche(n-1,vec,element); Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

19 Beispiel: Maximumsuche (Stelle) int maximumsuche(int n, int vec[]) if ( n=0 ) return -1; elseif ( n==1) return 0; else int i=maximumsuche(n-1,vec); if ( vec[n-1]>vec[i]) return n-1; else return i; Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

20 Schema von Rekursionen: Sortieren Sortieren einer Menge von Objekten (z.b. Vektor, Datensätze,...) Sortiere ( Menge ) Falls Menge leer: fertig Bestimme erstes (oder letztes) Objekt Bringe Objekt an die richtige Position Sortiere (Restmenge) Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

21 Beispiel: Sortieren void sortiere(int n, int vec[]) int maximumsuche(int,int[]); if ( n=0 ) return; else int maxindex=maximumsuche(n,vec); int h=vec[n-1];//tauschen an letzte Stelle vec[n-1]=vec[maxindex]; vec[maxindex]=h; sortiere(n-1,vec); Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

22 Schema von Rekursionen: Anzeigen/Sonstige Aktion Aktion ( Menge ) Falls Menge leer: fertig Wähle ein Objekt der Menge (üblich: erstes oder letztes ) Aktion(Objekt) //(z.b. Anzeigen) Aktion(Restmenge) Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

23 Schema von Rekursionen: Anzeigen void display(punkt *ptr) if ( ptr==null ) return; else ptr->display(); display(ptr->getnext()); Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

24 Prinzipieller Aufrufbaum aller dieser Algorithmen n n-1 1 n-2 0 Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

25 Schema von Rekursionen: Didide et Impera (divide and conquer/teile und herrsche) Algorithmus(Problem) ganz einfache Probleme löse direkt Zerlege das Problem in mehrere (z.b. 2) einfachere Probleme des gleichen Typs. Wende Algorthmus(einfacheres Problem) für alle einfacheren Probleme an (eventuell parallel abarbeiten) Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

26 Divide et Impera: Sortieren (Quicksort) Sortiere ( Menge ) Falls Menge leer: fertig Wähle ein Objekt der Menge aus Bestimme die korrekte Position durch Bildung der Teilmengen LinkeMenge: alle kleineren Objekte (m Elemente) RechteMenge: alle größeren Objekte (n Elemente) Das ausgewählte Objekt ist dann an Position m+1 Sortiere (LinkeMenge) Sortiere (RechteMenge) Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

27 Divide et Impera: Quicksort Beispiel Sortiere ( ) Wähle erstes Element : Links Rechts Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

28 Prinzipieller Aufrufbaum 10 Elemente 4 Elemente 5 Elemente 1 Elemente 2 Elemente 1 Element 3 Elemente 2 Elemente 1 Element Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

29 Rekursion Weitere Beispiele -Ein Papier in Streifen zerteilen -Binäre Suche -Springerproblem (Schach) -Damenproblem(Schach) usw. Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

30 Indirekte Rekursion int a(int n) if ( n<=0 ) return 0; else return b(n-1)+1; int b(int n) if ( n<=0 ) return 0; else return a(n-1)-2; Indirekte Rekursion liegt beispielsweise vor, wenn eine Funktion eine weitere Funktion aufruft, die nun die erstgenannte wieder aufruft bzw. wenn dies über mehrere Stufen erfolgt. Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

31 Türme von Hanoi Start Hilfe Ziel n Scheiben Alle Scheiben müssen von Start nach Ziel unter Verwendung von Hilfe umgelegt werden, wobei immer nur eine Scheibe bewegt werden und eine größere Scheibe nie auf eine kleinere gelegt werden darf. Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

32 Türme von Hanoi Start Hilfe Ziel Mit Schleife??????????? n Scheiben Rekursives Schema für n Scheiben: Lege n-1 Scheiben von Start nach Hilfe unter Verwendung von Ziel Lege letzte Scheibe von Start nach Ziel Lege n-1 Scheiben von Hilfe nach Ziel unter Verwendung von Start Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

33 #include <iostream> using namespace std; void main() void tuerme(int,char,char,char); int n,ns,nh=0,nz=0; cout<<" n eingeben "; cin >>n; while ( n>=0 ) tuerme(n,'s','h','z'); cout<<" weiteres n "; cin >>n; Türme von Hanoi void tuerme(int n,char s,char h,char z) if ( n==1 ) cout<< " ---> lege von "<<s<<" nach "<<z<<endl; else tuerme(n-1,s,z,h); cout<< " ---> lege von "<<s<<" nach "<<z<<endl; tuerme(n-1,h,s,z); Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

34 Türme von Hanoi Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik

35 Pythagoräischer Baum Baum(Seite) falls Seite zu kurz -> Ende errichte über der Seite ein Quadrat zeichne über der gegenüberliegenden Seite ein Dreieck mit vorgegebenen Winkeln Baum(neue Dreieckseite1) Baum(neue Dreieckseite2) Dr. Norbert Spangler / Grundlagen der Informatik