7 Üben X Wiederholung Klasse 6 101

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1 7 Üben X Wiederholung Klasse Berechne jeweils den Termwert: a) 0,7 2,56 b) 4 : 4 1 c) (- 6) : (- 0,25) d) 9 : ( 6) e) 0,75 : 0,3 f) 24 0, Lösung X Wiederholung Klasse a) 1,792 b) 16 c) 24 d) e) 2,5 f) 0,

2 7 Üben XXX Wiederholung Klasse Zeichne eine Zahlengerade mit Längeneinheit 2 cm und trage darauf die Markierungen für die Zahlen 2 3, 5 jeweils zwei Zahlen so aus, dass der Wert 1 1, 2 4 3, 2,5 und 0,6 ein. Wähle dann darunter a) ihrer Summe möglichst klein b) ihrer Summe möglichst groß b) ihrer Differenz möglichst klein d) ihrer Differenz möglichst groß e) ihres Produkts möglichst klein f) ihres Produkts möglichst groß g) ihres Quotienten möglichst klein h) ihres Quotienten möglichst groß wird. 7 Lösung XXX Wiederholung Klasse a) ( 2 ) + ( 1 ) = b) ,5 + = c) 2 5 2,5 = 5, 1 3 = 5 d) 2,5 ( 2 ) 5, e) ( 2 ) 2,5 = 5 2 f) ( 2 ) ( 1 ) = g) ( 2 ): 0,6 = 5 3 h) 2,5 : 0,6 = 4 1 6

3 7 Üben XX Wiederholung Klasse Übertrage die Angaben in dein Heft und ergänze dort die fehlenden Zahlen für die Leerstellen a) = 2 1 = 10 7 = 10 b) 65 = = 1 37 = 7 Lösung XX Wiederholung Klasse a) = = = b) = = = 3 74

4 7 Üben X Wiederholung Klasse Wie viele Prozent der folgenden Figuren sind jeweils in einer Farbe bzw. weiß dargestellt? (Schätze gegebenenfalls) 7 Lösung X Wiederholung Klasse a) rot: 25 %, weiß: 10 % blau: 65 % b) orange und violett: je 50 % c) grün: 37,5 % weiß: 12,5 % blau: 50 % d) violett: 25 % grün: 12,5 % gelb: 62,5 % e) blau: 75 % weiß: 25 %

5 7 Üben X Wiederholung Klasse Bei der Bürgermeisterwahl in Harberg wurden insgesamt 2150 gültige Stimmen abgegeben. Das Diagramm zeigt, wie viele Stimmen auf die vier Kandidaten Schrötter (S), Elfontaine (E), Murksel (M) und Frischer (F) entfielen. a) Wie viele Stimmen erhielt jeder der Kandidaten? b) Wie viele Prozent erhielten die beiden Kandidaten, die die meisten Stimmen vereinigen konnten, zusammen? E S M F 7 Lösung X Wiederholung Klasse a) Elfontaine. 10 %, 215 Stimmen Schrötter: 30 %, 645 Stimmen Murksel: 40 %, 860 Stimmen Frischer: 20 %, 430 Stimmen b) Schrötter und Murksel erhielten zusammen 70 % der Stimmen.

6 7 Üben EXP Wiederholung Klasse In der Klasse 7 a war in der letzten Lateinschulaufgabe der Notendurchschnitt 3,3. Dabei erhielten von 30 Schülern jeweils 10 % die Note 1 bzw. die Note 5. Ein Drittel aller Schüler schaffte mindestens eine 2, während die Hälfte aller Schüler schlechter als 3 war. a) Finde durch Überlegen und Probieren heraus, wie die Notenverteilung war und lege eine entsprechende Tabelle an. b) Stelle die Notenverteilung in einem Säulen- und in einem Kreisdiagramm dar und gib die Winkel im Kreisdiagramm an. 7 Lösung EXP Wiederholung Klasse a) Note Anzahl Winkel b)

7 7 Üben XX Wiederholung Klasse Bestimme jeweils den Grundwert, den Prozentwert und den Prozentsatz des farbig markierten Anteils: 2 l 1,4 m 24 % 95 7 Lösung XX Wiederholung Klasse a) 76 % = 95 b) 1 = 2 dm 3 c) 63 = 140 cm 1 % = 1,25 1 = 250 cm = 8 9 cm 100 % = = 750 cm =8 m 8 a) Grundwert: 125 Prozentwert: 30 Prozentsatz: 24 % b) Grundwert: 2 dm 3 Prozentwert: 750 cm 3 Prozentsatz: 37,5 % c) Grundwert: 8 m Prozentwert: 1,4 m Prozentsatz: 17,5 %

8 7 Üben X Wiederholung Klasse In Mittelstadt beträgt der Preis für einen 5,55 a großen Bauplatz a) Wie viel kostet ein 465 m 2 großer Bauplatz bei gleichem Quadratmeterpreis? b) In Vorstadt beträgt der Quadratmeterpreis nur Mittelstadt. Welche Fläche erhält man für ? 66 2 % des Preises von 3 7 Lösung X Wiederholung Klasse a) Quadratmeterpreis: : 555 = 270 Preis für 465 m 2 : b) Preis pro m 2 in Vorstadt: 2 3 von 270 = 180 Für erhält man : 180 = 672 m 2

9 7 Üben XX Wiederholung Klasse a) Gib die Abmessungen zweier verschiedener Parallelogramme an, die einen Flächeninhalt von 80 a besitzen! b) Beschreibe auch zwei verschiedene Trapeze, deren Flächeninhalt 42 cm 2 beträgt. 7 Lösung XX Wiederholung Klasse a) Die Parallelogramme könnten die Grundlinie 160 m und die Höhe 50 m besitzen oder die Grundlinie 80 m und die Höhe 100 m. (Beachte: 80 a = 8000 m 2 ) b) Die Trapeze könnten die Parallelseiten a = 8 m und c = 6 m sowie die Höhe h = 6 m besitzen oder auch a = 12 m, b = 9 m und h = 4 m.

10 7 Üben XX Achsensymmetrie 202 Hans sieht im Spiegel eine Uhr, die nur Markierungen, aber keine Ziffern auf ihrem Zifferblatt hat. Wie spät ist es in Wirklichkeit, wenn die Uhr im Spiegel a) 7:00 Uhr b) 13:45 Uhr c) 15:30 Uhr anzeigt? Berechne in den drei Fällen auch den kleineren der beiden Winkel, den großer und kleiner Zeiger miteinander einschließen 7 Lösung XX Achsensymmetrie 202 a) Es ist 5:00 Uhr oder 17:00 Uhr; der Winkel ist (360 : 12) 5 = 150 b) Es ist 10:15 Uhr oder 22:15 Uhr; der Winkel ist = 142,5 c) Es ist 8:30 Uhr oder 20:30 Uhr; der Winkel ist 30 2,5 = 75

11 7 Üben XX Achsensymmetrie 204 Fragen zur Achsenspiegelung: 1) Die Achse einer Achsenspiegelung heißt Fixpunktgerade, Lote zur Achse heißen dagegen Fixgeraden. Erkläre den Unterschied. 2) Die folgenden Aussagen sind falsch. Zeichne zu jeder Aussage ein Gegenbeispiel. a) Wenn sich zwei Geraden auf der Symmetrieachse schneiden, sind sie symmetrisch. b) Zwei Geraden, die zur Symmetrieachse parallel sind, sind symmetrisch. c) Zwei Kreise mit gleichem Radius, deren Mittelpunkte von der Symmetrieachse gleichen Abstand haben, sind symmetrisch. 3) Zwei Kreise k 1 (P;r 1 ) und k 2 (Q/r 2 ) sind zueinander symmetrisch bezüglich einer Symmetrieachse a. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? a) P = Q b) Q ist symmetrisch zu P. c) Die Kreise schneiden sich auf der Achse. 7 Lösung XX Achsensymmetrie 204 1) Jeder Punkt der Achse wird auf sich selbst abgebildet und ist daher Fixpunkt. Bei den Lotgeraden wird nicht jeder Punkt auf sich selbst abgebildet, aber die Geraden insgesamt auf sich selbst. 2) a) Zwei Geraden, bei denen die Achse nicht Winkelhalbierende ist, sind nicht symmetrisch, auch wenn sie sich auf der Achse schneiden. b) Parallelen zur Achse, die unterschiedlichen Abstand zu ihr haben, sind nicht symmetrisch. c) Die Mittelpunkte können so liegen, dass sie nicht zueinander symmetrisch sind. 3) a) und c) sind falsch, b) ist richtig.

12 7 Üben XX Achsensymmetrie 205 Gegeben sind die Punkte A(5/3), B(- 1/2) und C(3/- 2) sowie K(2/1). a) Zeichne das Dreieck ABC und spiegle es an der Parallelen a zur y-achse durch den Punkt K. Gib die Koordinaten der Spiegelpunkte A, B und C an und ermittle die Koordinaten der Fixpunkte der Strecken [AB] und [BC]. b) Die Punkte O(0/0), P(5/-1), Q(- 6/2), R(2/5) und S(- 1/- 4) sollen nun an der Achse aus a) gespiegelt werden. Gib die Koordinaten der Spiegelpunkte O, P, Q, R und S an ohne die Zeichnung durchzuführen. c) Nun soll das Dreieck ABC an der Parallelen b zur x-achse durch den Punkt K gespiegelt werden. Gib die Koordinaten der Spiegelpunkte A, B und C an und ermittle die Koordinaten der Fixpunkte der Strecken [AC] und [BC]. d) Gib wieder ohne Zeichnung die Koordinaten der Spiegelpunkte O, P, Q, R und S zu den Punkten aus b) an. B A' 7 Lösung XX Achsensymmetrie K A B' B" -1-1 A" -2-2 C C' a C -3 a) A (- -3 1/3), B (5/2), C (1/- 2) c) A (5/- 1), B (- 1/0), C Fixpunkte (2/2,5) bzw. (2/1) Fixpunkte: (4,2/1) bzw. (0/1) b) O (4/0), P (- 1/- 1), Q (10/2), d) O (0/2), P (5/3), Q (- 6/0) R (2/5), S (5/- 4) R (2/- 3), S (- 1/6) B K C" A b

13 7 Üben EXP Achsensymmetrie 207 Nach dem Reflexionsgesetz für Lichtstrahlen scheint ein Lichtstrahl, der P von einer Lichtquelle L kommt und an einem Spiegel reflektiert wird, geradlinig A vom Spiegelpunkt L der Lichtquelle zu verlaufen. Du befindest dich in einem Spiegelkabinett am Punkt A, dein Freund Wand am Punkt B. Über den Spiegel [PQ] könnt ihr euch direkt in die Augen sehen; d.h. dass ein Lichtstrahl von A über [PQ] nach B verläuft und umgekehrt. a) Ermittle mit Hilfe einer Zeichnung, auf welchen Punkt des Spiegels [PQ] du schauen musst, damit du deinen Freund siehst. Auf welchen Punkt B Q muss er schauen, damit er dich sieht. S b) Auf welchen Punkt des Spiegels [PQ] musst du schauen, damit du das Spiegelbild B deines Freundes im Spiegel [SQ] sehen kannst? Übertrage dazu die Zeichnung in dein Heft und konstruiere den Verlauf der Lichtstrahlen! 7 Lösung EXP Achsensymmetrie 207 P A A' Wand a B b Q S

14 7 Üben XX Konstrukt. zur Symmetrie 301 Gegeben sind die Punkte A(2/4), B(5/4), C(5/9), D(2/6) und D (10/2). a) Zeichne diese Punkte in ein Koordinatensystem ein. b) Welche Art von Viereck bilden die Punkte ABCD? c) Konstruiere das Bildviereck A B C D zum Viereck ABCD, so dass D auf D abgebildet wird. d) Berechne den Flächeninhalt des Vierecks ABCD und gib den Flächeninhalt des Vierecks A B C D an. 7 Lösung XX Konstrukt. zur Symmetrie 301 C b) Das Viereck ist ein Trapez. c) In der Zeichnung wurden die Konstruktionslinien der Punkte nicht mit eingezeich- D net. C' d) A = 2 1 (2+5) 3 = 10,5 (FE) Das Viereck A B C D hat A B B' den gleichen Flächeninhalt, da es deckungsgleich ist A' D'

15 7 Üben X Konstrukt. zur Symmetrie 302 Gegeben sind die Punkte P(2/3), Q(9/6) und P (8/2). Konstruiere (mit Zirkel und Lineal) die Strecke, die zur Strecke [PQ] achsensymmetrisch ist, wenn P und P zueinander symmetrisch sind. 7 Lösung X Konstrukt. zur Symmetrie 302 Zur Lösung musst Du mit der 1. Grundkonstruktion die Symmetrieachse zu P und P konstruieren und dann mit der 2. Grundkonstruktion den Bildpunkt von Q.

16 7 Üben X Konstrukt. zur Symmetrie 303 Die Punkte P(1/8) und Q(9/3) bestimmen die Symmetrieachse a. Konstruiere das Spiegelbild des Kreises k um M(5/3) mit Radius 3 cm und markiere in Deiner Zeichnung das Spiegelbild des Kreissegmentes, das von der Achse a vom Kreis abgeschnitten wird. 7 Lösung X Konstrukt. zur Symmetrie 303 P M' M a Q

17 7 Üben XX Konstrukt. zur Symmetrie 304 Gegeben sind die Punkte P(2/1), Q(8/8), R(3/7), S(7/6), T(5/1) und U(1/6). Es gelte: a = PQ, h = RS. a) Konstruiere die zu h symmetrische Gerade h, wobei a die Symmetrieachse ist. b) Konstruiere den zu T symmetrischen Punkt T bezüglich der Achse a. c) Konstruiere den zum Winkel URS symmetrischen Winkel bezüglich der Achse a. d) Konstruiere den zum Winkel URS symmetrischen Winkel bezüglich der Achse h. e) Konstruiere die zur Geraden a symmetrische Gerade a bezüglich der Achse h. f) Konstruiere den zum Kreis k(t/r = 2,5 cm) symmetrischen Kreis k. 7 Lösung XX Konstrukt. zur Symmetrie 304 h' a' Q U R S' S h T' R' a P T

18 7 Üben XXX Konstrukt. zur Symmetrie 305 Zeichne die Punkte P(4/0), Q(6/4) und S(1/4). a) Konstruiere den zu P symmetrischen Punkt R bezüglich der Achse a = QS und gib seine Koordinaten an. b) Zeichne das Viereck PQRS. Es enthält die beiden Dreiecke PQR und PRS. Welche Eigenschaft haben diese beiden Dreiecke? Berechne den Flächeninhalt des Vierecks PQRS. c) Die Strecken [PS] und [QS] sind gleich lang. Begründe mit einer Eigenschaft der Achsenspiegelung, dass die Symmetrieachse zu P und Q durch S gehen muss und bestätige dies durch eine Konstruktion. d) Warum muss die Symmetrieachse zu R und Q ebenfalls durch S gehen? e) Welche besondere Eigenschaft hat der Punkt S folglich? f) Zeichne einen Kreis k, auf dem die Punkte P, Q und R liegen. 7 Lösung XXX Konstrukt. zur Symmetrie 305 S R a Q a) R(4/8) b) PQ = QR und PS = RS. Man nennt diese Dreiecke daher gleichschenklig. Außerdem ist Dreieck PQS symmetrisch zum Dreieck PRS. Der Flächeninhalt der Dreiecke ist 10 FE, der des Vierecks ist 20 FE. c) Achsenpunkte sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Daher muss S auf der Achse liegen. P d) SR = SP = SQ, daher gleiche Begründung wie bei c). e) S ist von P, Q und R gleich weit entfernt und daher f) Mittelpunkt des Kreises ist S.

19 7 Üben X Konstrukt. zur Symmetrie 306 Das Apachenmädchen Schöne Augen wohnt im Dorf A(4/- 3), der Apachenjunge Winnetou im Dorf B(1/3). Sie haben sich am Fluss (y-achse) zum Angeln verabredet. Wo müssen sie sich treffen, damit für beide der Weg gleich lang ist? 7 Lösung X Konstrukt. zur Symmetrie B 2 Der Treffpunkt ist der Schnittpunkt der Symmetrieachse zu A und B mit der y-achse Treffpunkt A

20 7 Üben XX Konstrukt. zur Symmetrie 307 Zeichne eine Gerade g und einen Punkt P außerhalb von g. Konstruiere nur mit Zirkel und Lineal eine Parallele zu g durch P. Beschreibe deine Konstruktion. 7 Lösung XX Konstrukt. zur Symmetrie 307 P p g Zuerst konstruiert man das Lot von P auf g. Danach wird auf dem Lot in P ein Lot errichtet. Dieses ist dann die gesuchte Parallele zu g. 3 2 P' 1

21 7 Üben XX Konstrukt. zur Symmetrie 308 Gegeben sind die Punkte A(11/0) und B(0/8). a) Spiegle den Punkt P(6/7) an der Achse a = AB. b) Konstruiere das Lot l von Q(8/1) auf die Gerade PP. c) Begründe, dass die Achse a und das Lot l parallel sind. d) Konstruiere einen Kreis, der durch die Punkte P, P und Q verläuft. 7 Lösung XX Konstrukt. zur Symmetrie 308 B Die Zeichnung zeigt P zur Kontrolle die Lage der Punkte. Du musst die entsprechenden Grundkonstruktio- M nen verwenden. l ist P' l a Q A parallel zu a, da beide auf der Geraden PP senkrecht stehen.

22 7 Üben XX Konstrukt. zur Symmetrie 309 Die Punkte A(5/1), B(8/5) und C(2/7) bestimmen das Dreieck ABC. a) Konstruiere die Parallele p zu AB durch C und die Parallele q zu CB durch A und lies zur Kontrolle die Koordinaten des Schnittpunkts von p und q ab. b) Konstruiere die Mittelparallele zu CB und q. Ermittle die Schnittpunkte dieser Mittelparallelen mit den Seiten des Dreiecks. Welche Bedeutung haben diese Punkte für das Dreieck? 7 Lösung XX Konstrukt. zur Symmetrie C 6 5 B 4 P1 3 p S 2 m 1 A q P Die Konstruktion der Parallelen erfolgt wie in 307. Zur Konstruktion der Mittelparallelen wird in P 1 das Lot von A auf CB gefällt und die Symmetrieachse zu P 1 und dem Schnittpunkt P 2 des Lotes mit CB konstruiert. Die Mittelparallele schneidet die Dreiecksseiten in ihren Mittelpunkten

23 7 Üben X Konstrukt. zur Symmetrie 310 Zeichne einen Winkel ε = 103 und konstruiere dann nur mit Zirkel und Lineal folgende Winkel: 3 a) α = 4 ε b) ß ε c) γ = ε = Lösung X Konstrukt. zur Symmetrie 310 Da die Durchführung mit Dynageo sehr kompliziert aussieht, wird hier nur die Zeichnung für ß = 1,5ε gezeigt. Kontrolliere deine Ergebnisse durch Berechnen und Nachmessen der konstruierten Winkel.

24 7 Üben X Konstrukt. zur Symmetrie 311 Konstruiere folgende Winkel: a) 157,5 0 b) 67,5 0 Kontrolliere Deine Ergebnisse durch Nachmessen. 7 Lösung X Konstrukt. zur Symmetrie 311 Lösungsmöglichkeiten: a) 157,5 0 = ,5 0 Den Winkel von 22,5 0 erhält man, indem man einen rechten Winkel zweimal halbiert. b) 67,5 0 = ,5 0 oder 67,5 0 = ,5 0

25 7 Üben XX Konstrukt. zur Symmetrie 312 Konstruiere ein Quadrat, bei dem bekannt ist, dass die Diagonale [BD] eine Länge von 7 cm hat. Beschreibe deine Konstruktion. 7 Lösung XX Konstrukt. zur Symmetrie 312 D C B Da die Diagonalen im Quadrat auch Symmetrieachsen sind, konstruieren wir zuerst die Symmetrieachse zu B und D. Auf dieser liegen die Ecken A und C. Die Diagonalen eines Quadrats sind gleich lang und halbieren sich, daher liegen die Ecken A und C auch auf einem Kreis um den Mittelpunkt von [BD] durch B und D. A

26 7 Üben XX Konstrukt. zur Symmetrie 313 Zeichne mit dem Geodreieck einen Winkel von 30. Von einem Rechteck ABCD sind die Ecken B(10/3) und D(1/9) bekannt sowie der Winkel DBA = 30. Konstruiere das Rechteck nur mit Zirkel und Lineal. Der 30 - Winkel soll mit Zirkel und Lineal übertragen werden. Beschreibe deine Konstruktionsschritte. 7 Lösung XX Konstrukt. zur Symmetrie D A 2 1 B C Der Punkt A liegt auf dem freien Schenkel von DBA = 30 und dem Lot von D auf diesen freien Schenkel. Zur Konstruktion von C muss man z.b. das Lot auf DA in D und das Lot auf AB in B errichten. (Die Konstruktionslinien dazu wurden in der Zeichnung nicht eingetragen.)

27 7 Üben XX Konstrukt. zur Symmetrie 314 Gegeben sind die Punkte M(3/2), A(8/1), B(5/7) und C(3/5) und der Kreis k(m;r = 3 cm). a) Konstruiere eine Gerade a derart, dass der Kreis und die Gerade AB bezüglich der Achse a zu sich selbst symmetrisch sind. b) Die Gerade h = BC schneidet den Kreis in einem weiteren Punkt D. Konstruiere zunächst möglichst einfach die zur Geraden h bezüglich der Achse a symmetrische Gerade h und markiere dann die zu C und D symmetrischen Punkte C und D. 7 Lösung XX Konstrukt. zur Symmetrie 314 D D' C M B C' A B' a) Die Achse a ist die Lotgerade von M auf h (rot; die Konstruktionslinien fehlen in der Zeichnung). b) Die Gerade h verläuft durch den Spiegelpunkt B von B und den Schnittpunkt von h mit a. Die Punkte C und D sind die Schnittpunkte von h mit dem Kreis.

28 7 Üben XXX Konstrukt. zur Symmetrie 315 Gegeben sind die Punkte P(1/1), Q(3/5), sowie die Gerade h = AB mit A(0/0) und B(8/3). Die Strecke PQ soll mit einer Achsenspiegelung so abgebildet werden, dass die Bildstrecke auf der Geraden h liegt. Hierfür gibt es zwei Möglichkeiten. a) Konstruiere die beiden möglichen Symmetrieachsen und die Bildstrecken. b) An der Zeichnung erkennst Du eine Möglichkeit, die Bildstrecken auch ohne Konstruktion der Achsen zu finden. Beschreibe diese Möglichkeit. 7 Lösung XXX Konstrukt. zur Symmetrie 315 w2 P" A P P' Q w1 Q' h B Die Endpunkte der Bildstrecken liegen auf Kreisen um den Schnittpunkt der Geraden h und der Geraden PQ durch P bzw. Q. Q"

29 7 Üben XX Konstrukt. zur Symmetrie 316 a) Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt O(0/0) durch P(4/3). b) Konstruiere die Tangente durch p an die Kreislinie. c) Spiegle die Tangente an der y-achse und begründe, dass auch die Bildgerade Tangente an die Kreislinie ist. 7 Lösung XX Konstrukt. zur Symmetrie P' 3 P Da der Kreis auch symmetrisch zur y-achse ist, sind alle Schnittpunkte des Kreises mit der Tangente t symmetrisch zu den Schnittpunkten des Kreises mit der gespiegelten Tangente t. Daher hat t nur einen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis und ist folglich ebenfalls eine Kreistangente im Spiegelpunkt P von P. -4-5

30 7 Üben EXP Konstrukt. zur Symmetrie 317 Gegeben sind drei Geraden r, s und t, von denen keine zwei parallel sind. Konstruiere ein Dreieck ABC, das drei Symmetrieachsen besitzt, von denen eine die Gerade t ist, so dass die Punkte A auf r, B auf s und C auf t liegen. 7 Lösung EXP Konstrukt. zur Symmetrie 317 A s r r' C B A und B liegen symmetrisch bezüglich der Achse t. Daher liegt B auch auf der Bildgeraden r zu r und A liegt auch auf der Bildgeraden s zu s. Da die Seiten des Dreiecks gleich lang sind, ist C der Schnittpunkt des Kreises um B durch A mit t. t s'

31 7 Üben EXP Konstrukt. zur Symmetrie 318 Zeichne die Punkt P(6/2), Q(1/7) und M(5/- 2,5) in ein Koordinatensystem ein. Konstruiere ein Quadrat ABCD so, dass A und C auf OP, D auf OQ und B auf dem Kreis um M mit Radius 2,5 cm liegen. 7 Lösung EXP Konstrukt. zur Symmetrie D1 7 Q D 3 C1 2 P C A -1 A1-2 Wegen der Symmetrie des Quadrats zur Diagonalen AC = OP liegt D auf dem zum Kreis um M symmetrischen Kreis. Daher ist D der Schnittpunkt von OQ mit dem Bildkreis. A und C findet man dann, indem man einen Kreis um den Schnittpunkt der Diagonalen BD mit der Geraden OP durch B und D zeichnet. Es gibt zwei Lösungen B B1 M

32 7 Üben X Punktspiegelung 401 Gegeben sind die Punkte P(2/3), Q(6/4) und R(4/7). Bilde das Dreieck durch eine Punktspiegelung ab, wenn a) das Zentrum Z = A ist; b) das Zentrum Z der Mittelpunkt von [BC] ist. 7 Lösung X Punktspiegelung 401 C M=Z B B' A=Z C'

33 7 Üben X Punktspiegelung 402 Gegeben ist das Dreieck A(1/1), B(6/0) und C(3,5/4). Konstruiere das Bilddreieck bei einer Punktspiegelung am Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten. 7 Lösung X Punktspiegelung 402 C B' A Z A' B C'

34 7 Üben XX Punktspiegelung 403 Fragen zur Punktspiegelung: a) Hat eine Punktspiegelung Fixpunkte, Fixgeraden bzw. Fixpunktgeraden. Falls ja, welche sind das? b) Entscheide, ob folgende Aussagen über die Punktspiegelung wahr oder falsch sind: 1) Gerade und Bildgerade sind bei einer Punktspiegelung parallel. 2) Zu je zwei parallelen Geraden gibt es eine Punktspiegelung, die sie aufeinander abbildet. 3) Bei einer Punktspiegelung an einem festen Zentrum Z gilt für je zwei parallele Geraden, dass sie aufeinander abgebildet werden. 7 Lösung XX Punktspiegelung 403 a) Einziger Fixpunkt ist das Zentrum, es gibt keine Fixpunktgerade, aber alle Geraden durch Z sind Fixgeraden. b) 1) wahr; 2) wahr; das Zentrum liegt auf der Mittelparallelen; 3) falsch.

35 7 Üben XX Punktspiegelung 404 Entscheide bei folgenden Aussagen jeweils, ob sie wahr oder falsch sind: a) Zwei parallele Geraden sind immer punktsymmetrisch. b) Zwei parallele Geraden besitzen immer genau eine Symmetrieachse. c) Zwei sich schneidende Geraden sind immer achsensymmetrisch. d) Zwei sich schneidende Geraden sind immer punktsymmetrisch. e) Zwei Kreise mit gleichem Radius bilden immer eine achsensymmetrische Figur. f) Zwei Kreise mit gleichem Radius bilden immer eine punktsymmetrische Figur. Überlege dir bei den richtigen Aussagen auch, wie die Achse verläuft bzw. wo das Symmetriezentrum liegt. 7 Lösung XX Punktspiegelung 404 Alle Aussagen mit Ausnahme von b sind richtig. a) Jeder beliebige Punkt auf der Mittelparallelen ist Zentrum. c) Die Winkelhalbierenden sind die Symmetrieachsen. d) Der Schnittpunkt der Geraden ist Symmetriezentrum. e) Die Mittelsenkrechte der Verbindungsstrecke der Mittelpunkte ist Achse. f) Der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke der Kreismittelpunkte ist Zentrum.

36 7 Üben X Punktspiegelung 405 Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(4/- 3), B(2/2) und C(-3/0). Konstruiere das dazu punktsymmetrische Dreieck A B C, wenn der Punkt A die Koordinaten (-2/2) hat. Gib die Koordinaten der zu konstruierenden Punkte an. 7 Lösung X Punktspiegelung 405 A' B C -1 Z C' -2-3 B' -4 A

37 7 Üben XXX Punktspiegelung 406 Zeichne die Punkte R(3/1), A(5/2), P(3/3), I(2/5), D(1/3) und P (1/1) in ein Koordinatensystem ein. Dabei ist P der Spiegelpunkt von P bei einer Punktspiegelung am Zentrum Z. a) Konstruiere Z und die Spiegelpunkte R, A, I und D. b) Zeichne das Achteck RAPIDA P I und markiere darin mit Farbe zwei zueinander punktsymmetrische Strecken und zwei zueinander punktsymmetrische überstumpfe Winkel. c) Ermittle den Flächeninhalt des Achtecks RAPIDA P I. 7 Lösung XXX Punktspiegelung 406 A' D R' P' I Z P R A b) Die Winkel ARI und A R I sind z.b. punktsymmetrisch und überstumpf. c) Das Viereck lässt sich aus dem Quadrat P RPR und vier Dreiecken, die so groß sind wie das Dreieck PRA zusammensetzen. Also hat es den Flächeninhalt A = = 12 FE I'

38 7 Üben XXX Punktspiegelung 407 1) Wo liegen die Zentren einer Punktspiegelung, die einen Kreis so abbildet, dass der Bildkreis den ursprünglichen Kreis berührt? 2) Gegeben ist nun der Kreis k um M(4/3) mit Radius r = 2 cm. Konstruiere die beiden Zentren Z 1 und Z 2 so, dass der Bildkreis bei einer Punktspiegelung an Z 1 bzw. Z 2 sowohl den Kreis k wie auch die RW-Achse berührt. Zeichne auch die Bildkreise ein. 7 Lösung XXX Punktspiegelung 407 1) Mögliche Zentren sind alle Punkte der Kreislinie. M2 Z2 M Z1 M1 2) Zuerst sind die Mittelpunkte der beiden Kreise zu konstruieren. Sie liegen auf einem Kreis um M mit Radius 4 cm und auf einer Parallelen zur RW-Achse im Abstand 2 cm. Die Zentren sind die Schnittpunkte der Verbindungen der Mittelpunkte mit der Kreislinie k.

39 7 Üben EXP Punktspiegelung 408 Zeichne die Strecken [AB] und [A B ] mit A(-4/3), B(- 4/- 1), A (4/- 3) und B (4/1) in ein Koordinatensystem ein. Sie sind punktsymmetrisch bezüglich des Zentrums Z(0/0). a) Wie ändert sich die Lage der Strecke [A B ], wenn man die Strecke [AB] fest lässt und das Zentrum Z um 1 LE, 2 LE, in x-richtung verschiebt? b) Wie ändert sich die Lage der Strecke [A B ], wenn man die Strecke [AB] fest lässt und das Zentrum Z um 1 LE, 2 LE, in y-richtung verschiebt? Begründe deine Überlegungen! 7 Lösung EXP Punktspiegelung 408 a) Mit jeder Längeneinheit, um die das Zentrum nach rechts verschoben wird, verschiebt sich die Strecke [A B ] um 2 LE nach rechts, denn das Zentrum liegt immer in der Mitte der Strecke [AA ], und wenn sich die Mitte um eine LE verschiebt, muss sich das Ende der Strecke um 2 LE verschieben. b) Dabei verschiebt sich die Strecke [A B ] um doppelt so viele Längeneinheiten nach oben wie das Zentrum nach oben verschoben wird.

40 7 Üben WH (Punktspiegelung) Teilbarkeit: Welche der Zahlen 325, 954, 1005, 452, bzw sind durch 3 bzw. durch 6 bzw. durch 9 teilbar? 2. Primzahlen und Quadratzahlen: Welche der Zahlen 1, 53, 169, 101, 64, 27, 289 bzw. 79 sind Quadratzahlen, welche sind Primzahlen? 7 Lösung WH (Punktspiegelung) Regeln für die Teilbarkeit: Eine Zahl ist durch 3 bzw. 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 bzw. 9 teilbar ist. Sie ist durch 6 teilbar, wenn sie gerade ist und durch 3 teilbar ist. Durch 3 teilbar sind: 954, 1005, , ; durch 9 teilbar ist: 954 durch 6 teilbar sind 954 und Primzahlen sind: 53, 101, 79 Quadratzahlen sind: 1, 169, 64 und 289

41 7 Üben WH (Punktspiegelung) Wie viele verschiedene sechsstellige ungerade natürliche Zahlen besitzen den Quersummenwert 3? 2. Wie viele verschiedene sechsstellige natürliche Zahlen besitzen den Quersummenwert 53? Gib alle an! 3. Wie viele verschiedene vierstellige ganze Zahlen kannst du aus den Ziffern 0, 1, 2 und 3 bilden, wobei die Ziffern beliebig oft vorkommen dürfen? 7 Lösung WH (Punktspiegelung) In der Zahl dürfen entweder 3 Ziffern 1 oder eine Ziffer 1 und eine Ziffer 2 vorkommen. Alle anderen Ziffern müssen 0 sein, die weder vorne noch hinten stehen dürfen. Die Zahlen haben entweder das Aussehen 1XXXX1 oder , wobei eines der X durch 1 zu ersetzen ist. Es gibt also 5 Zahlen, die die Bedingung erfüllen. 2. Um bei 6 Ziffern auf eine Quersumme von 53 zu kommen, müssen 5 Ziffern 9 sein und eine 8 vorkommen. Daher gibt es 6 verschiedene Zahlen, die die Bedingung erfüllen. 3. Es gibt für die Tausenderstelle 3 Möglichkeiten (1 oder 2 oder 3), für jede andere Stelle 4 Möglichkeiten, also gibt es = 192 verschiedene Zahlen. (Zählprinzip)

42 7 Üben X Symmetrische Vierecke 501 Gib zu jeder Teilaufgabe alle Vierecke an, die die genannten Eigenschaften besitzen: a) Alle Seiten sind gleich lang. b) Je zwei Gegenseiten sind gleich lang. c) Zwei Gegenseiten sind gleich lang. d) Je zwei aneinander stoßende Seiten sind gleich lang. e) Alle Winkel sind gleich groß. f) Je zwei Gegenwinkel sind gleich groß. g) Zwei Gegenwinkel sind gleich groß. h) Je zwei benachbarte Winkel sind gleich groß. 7 Lösung X Symmetrische Vierecke 501 a) Raute, Quadrat b) Parallelogramm, Raute, Quadrat, Rechteck c) Gleichschenkliges Trapez, Parallelogramm, Raute, Quadrat, Rechteck d) Drachenviereck, Quadrat e) Quadrat, Rechteck f) Parallelogramm, Raute, Quadrat, Rechteck g) Drachenviereck, Parallelogramm, Raute h) Gleichschenkliges Trapez, Quadrat, Rechteck

43 7 Üben X Symmetrische Vierecke 502 Gib zu jeder Teilaufgabe alle Vierecke an, die die genannten Eigenschaften besitzen: a) Das Viereck ist achsensymmetrisch. b) Das Viereck ist punktsymmetrisch. c) Das Viereck besitzt genau eine Symmetrieachse. d) Das Viereck besitzt genau zwei Symmetrieachsen. e) Genau eine Diagonale des Vierecks ist Symmetrieachse. f) Die Diagonalen halbieren sich. g) Die Diagonalen stehen aufeinander senkrecht. 7 Lösung X Symmetrische Vierecke 502 a) Quadrat, Rechteck, Raute, Drachenviereck, gleichschenkliges Trapez b) Parallelogramm, Quadrat, Raute, Rechteck c) Drachenviereck, gleichschenkliges Trapez d) Rechteck, Raute e) Drachenviereck f) Parallelogramm, Quadrat, Rechteck, Raute g) Quadrat, Raute, Drachenviereck

44 7 Üben XX Symmetrische Vierecke 503 Steckbrief: Welches Viereck wird jeweils gesucht? a) Ein Viereck, bei dem nur zwei Gegenseiten parallel und die beiden anderen Seiten gleich lang sind. b) Ein Viereck, das zugleich Rechteck und Raute ist. c) Ein Viereck, das punktsymmetrisch bezüglich seines Diagonalenschnittpunkts ist. d) Ein Viereck, dessen Diagonalen sich gegenseitig halbieren und gleich lang sind. e) Ein Viereck, dessen Diagonalen sich gegenseitig halbieren und aufeinander senkrecht stehen. 7 Lösung XX Symmetrische Vierecke 503 a) gleichschenkliges Trapez b) Quadrat c) Parallelogramm, Quadrat, Rechteck d) Quadrat, Rechteck e) Quadrat, Raute

45 7 Üben XX Symmetrische Vierecke 504 Gib zu jeder der Aussagen an, ob sie wahr oder falsch ist. Zeichne zu jeder falschen Aussage ein Gegenbeispiel: a) Ein Trapez, in dem sich die Diagonalen gegenseitig halbieren, ist ein Rechteck. b) Ein Trapez, bei dem alle Seiten gleich lang sind, ist eine Raute. c) Jedes Parallelogramm ist punktsymmetrisch. d) Jedes punktsymmetrische Viereck ist ein Parallelogramm. e) Jedes Rechteck besitzt zwei gleich lange Diagonalen. f) Jedes Viereck, das zwei gleich lange Diagonalen besitzt, ist ein Rechteck. g) Bei einem Drachenviereck halbieren die Diagonalen die Winkel. 7 Lösung XX Symmetrische Vierecke 504 a) Richtig b) Richtig c) Richtig d) Richtig e) Richtig f) Falsch; Gegenbeispiel: gleichschenkliges Trapez g) Falsch; Gegenbeispiel: ein Drachenviereck, bei dem die Diagonalen nicht gleich lang sind.

46 7 Üben X Symmetrische Vierecke 505 Die Punkte A(1/- 1), B(4/0) und D(0/2) sind Eckpunkte einer Raute ABCD. Konstruiere die Ecke C und gib ihre Koordinaten sowie die Koordinaten des Diagonalenschnittpunkts M an. 7 Lösung X Symmetrische Vierecke C C(3/3), M(2/1) D B -1 A

47 7 Üben XXX Symmetrische Vierecke 506 Die Punkte P(1/1) und Q(3/- 1) sind die Mittelpunkte der Seiten [AB] und [BC] des Quadrates ABCD. Konstruiere die vier Eckpunkte und gib an, wie viel Prozent der Fläche des Quadrats im IV. Quadranten liegen. Fertige eine Planfigur und beschreibe deine Konstruktion! 7 Lösung XXX Symmetrische Vierecke A D B -2 M N C Man erhält B, indem man z.b. an die Strecke [MN] in M und N jeweils einen 45 -Winkel anträgt. Die freien Schenkel schneiden sich im Punkt B. A liegt auf der Halbgeraden [BM und Kreis um M durch B; C erhält man entsprechend. D ist z.b. der Schnittpunkt der Lote auf AB in A und BC in C. 25 % der Fläche des Quadrats liegen im IV. Quadranten.

48 7 Üben XX Symmetrische Vierecke 507 Konstruiere das Drachenviereck ABCD mit A(2/5), C(- 1,5/1,5) und D(?/- 1), wenn gilt: BD = 8 cm. Die Symmetrieachse des Drachenvierecks ist BD. Beschreibe deine Konstruktion. 7 Lösung XX Symmetrische Vierecke 507 C B A D liegt auf der Symmetrieachse zu [AC] und auf der Parallelen zur x- Achse durch den Punkt (0/-1). B liegt auf der Symmetrieachse zu [AC] und dem Kreis um D mit Radius D -2

49 7 Üben EXP Symmetrische Vierecke 508 Zeichne das Schrägbild eines Würfels ABCDEFGH der Kantenlänge a = 4 cm. Dabei sollen die nach hinten verlaufenden Würfelkanten in halber Länge schräg unter einem Winkel von 45 angetragen werden. Um welche Art von Viereck handelt es sich beim Viereck ABGH? Zeichne das Viereck in wahrer Größe. Um wie viel Prozent ist der Flächeninhalt des Vierecks ABGH ungefähr größer als der des Quadrates ABCD? 7 Lösung EXP Symmetrische Vierecke 508 E A H D F B G C Das Viereck ABGH erscheint in der Zeichnung verzerrt. In Wirklichkeit ist es ein Recheck, wobei [BG] bzw. [AH] ebenso lang sind wie die Strecke [AF] in der Zeichnung, also ungefähr 5,6 cm. (Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras kann man diese Streckenlänge auch berechnen.) Die Flächeninhalte betragen: A ABCD = 16 cm 2, A ABGH 22,4 cm 2 Das Viereck ABGH ist damit um ungefähr 40 % größer als das Viereck ABCD.

50 7 Üben WH (Symmetrische Vierecke) 509 Bruchrechnen: Berechne: a) 3 b) ,25 : c) : 0, d) , 2 e) 4 : 16 f) 7 18 : Lösung WH (Symmetrische Vierecke) 509 a) 5 6 b) d) 9 1 = 0, 9 e) = 1 c) = f) 8

51 7 Üben WH (Symmetrische Vierecke) 510 Bruchrechnen: Berechne: a) b) 2 + 6, , c) 6 : d) 5 1 : ( 1,5 ) + ( 4, 5 ) ( 2) Lösung WH (Symmetrische Vierecke) 510 a) = - 4,4 + 6,1 7,75 = 6,1 12,15 = - 6,05 = b) = c) = = = = = 3 11 = d) = ( ) + ( ) ( ) = + =

52 7 Üben WH (Symmetrische Vierecke) 511 Bruchrechnen: 1. Welche Zahl muss für das Kästchen eingesetzt werden, damit die Gleichung richtig ist? ( 1 1 ) = Wähle aus der Menge der Zahlen { 6; 1,5; ; 1 ;18} dass ihr Quotient a) den kleinstmöglichen Wert b) den größtmöglichen Wert annimmt! zwei Zahlen so aus, Lösung WH (Symmetrische Vierecke) Der Hauptnenner aller Brüche ist 30: = ( ) = = = a) Der kleinstmögliche Wert ist negativ. Dafür müssen Divisor und Dividend verschiedene Vorzeichen haben, und der Betrag des Dividenden möglichst groß und der des Divisors möglichst klein sein: 3 18 : = ( ) b) Der größtmögliche Wert ist positiv. Dafür müssen beide Zahlen gleiches Vorzeichen besitzen, und der Betrag des Dividenden muss möglichst groß und der des Divisors möglichst klein sein. 18 : 1 3 = 54

53 7 Üben X Wiederholung: Winkel 601 Ein Gemeindegebiet hat eine Fläche von 480 ha. In der Zeichnung ist dabei der Anteil des Waldes dunkelgrün, der der Wiesen hellgrün, der der Häuser rot, der des Ackerlandes blau und sonstige Flächen gelb dargestellt. Miss die Winkel und gib die Größe der jeweiligen Fläche an. 7 Lösung X Wiederholung: Winkel Wald: entspricht Wiese: 60 0 entspricht = der Gesamtfläche = 180 ha 8 der Gesamtfläche = 80 ha Ackerland: 90 0 entspricht 1 4 der Gesamtfläche = 120 ha Häuser: 45 0 entspricht 1 8 der Gesamtfläche = 60 ha Sonstiges: 30 0 entspricht 1 12 der Gesamtfläche = 40 ha

54 7 Üben X Wiederholung: Winkel 602 Zeichne die Winkel α = 48 0 und ß = 35 0 mit dem Winkelmesser. Konstruiere durch Winkelübertragung mit Zirkel und Lineal folgende Winkel: a) 2α b) 3ß c) 3ß - α d) 3ß + 2α Miss zur Kontrolle die von Dir konstruierten Winkel nach! 7 Lösung X Wiederholung: Winkel 602 rechnerische Lösungen: a) 96 0 b) c) 57 0 d) (Abweichungen um bis zu 3 0 in Deiner Zeichnung sind vertretbar.)

55 7 Üben X Wiederholung: Winkel 603 Die Winkel α = und ß = sind gegeben. Berechne a) α + ß b) α - ß c) α d) ß 7 Lösung X Wiederholung: Winkel 603 a) α + ß = b) α - ß = c) α = d) 90 - ß =

56 7 Üben XXX Wiederholung: Winkel Rechne folgende Winkel um in eine Angabe aus Grad, Minuten und Sekunden: a) 53,43 0 b) 78, Ermittle die dezimale Schreibweise folgender Winkel: a) b) Lösung XXX Wiederholung: Winkel ,1 0 = ' = 6' 0,010 = a) 53, = ' " = ' + 108" = 53 25' 48" b) 78, = ' " = ' + 288" = 78 46' 48" 2. a) = 72 b) = 24 = = 72 + = 72, = 24, " = 36 " = = 24 + =

57 7 Üben X Wiederholung: Winkel Gib in Grad, Winkelminuten und Winkelsekunden an (Beispiel: 75 = 1 15 ): a) 90 b) 120 c) 400 d) e) Schreibe in der kleineren Einheit (Beispiel: 1 12 = 72 ): a) 3 30 b) c) 6 7 d) e) f) Lösung X Wiederholung: Winkel a) 1 30 b) 2 c) 6 40 d) = 7 20 e) 60 = 1 2. a) 210 b) = 700 c) 367 d) = = 7730 oder = = 7730 e) = = = f) = =

58 7 Üben X Wiederholung: Winkel Gib in Grad, Winkelminuten und Winkelsekunden an (Beispiel: 75 = 1 15 ): a) b) c) d) e) Schreibe in der kleineren Einheit (Beispiel: 1 12 = 72 ): a) 3 30 b) c) 60 7 d) Lösung X Wiederholung: Winkel a) b) c) d) 24 e) a) = b) c) 3607 d)

59 7 Üben XXX Wiederholung: Winkel 607 Berechne die Winkel, den der Stunden- und der Minutenzeiger einer Uhr einschließen, wenn es a) Uhr b) Uhr c) 9.30 Uhr d) 8.45 Uhr e) Uhr f) Uhr ist 7 Lösung XXX Wiederholung: Winkel 607 Hinweis: Wenn der Stundenzeiger um 1 Stunde weiterwandert, entspricht das 30. Der Minutenzeiger wandert in 1 Minute um 6. a) Der Minutenzeiger zeigt auf 12, der Stundenzeiger steht auf 1. Der Winkel ist also 30. b) Der Minutenzeiger zeigt auf 12, der Stundenzeiger zeigt auf 7. Der Winkel ist also 5 30 = 150. c) Der Minutenzeiger zeigt auf 6, der Stundenzeiger steht in der Mitte zwischen 9 und 10. Der Winkel ist also = d) Der Minutenzeiger steht 9, der Stundenzeiger ist um = von 30 von der 9 entfernt Der Winkel ist also 4 1 von 30 = 7,5. e) Der Minutenzeiger steht auf der 2. Der Stundenzeiger steht zwischen 4 und 5 und ist um 10 1 = von 30 von der 4 weitergerückt. Der Winkel ist also = f) Der Minutenzeiger steht 1 6 nach der 2, der Stundenzeiger ist von der 11 um 11 0,5 weitergerückt. Der Winkel ist also ,5 = 90,5.

60 7 Üben XXX Wiederholung: Winkel 608 Berechne die Winkel, den der Stunden- und der Minutenzeiger einer Uhr einschließen, wenn es a) Uhr b) Uhr c) Uhr d) 7.23 Uhr ist. 7 Lösung XXX Wiederholung: Winkel 608 a) Der Minutenzeiger zeigt auf 6, der Stundenzeiger steht in der Mitte zwischen und 3. Der Winkel ist also = b) Der Minutenzeiger zeigt auf 3, der Stundenzeiger ist um weitergerückt. Der Winkel ist also , 5 = 112, = von 30 0 von 11 4 c) Der Minutenzeiger zeigt auf 8, der Stundenzeiger steht zwischen 4 und 5 und ist um 40 2 = von von 4 weitergerückt. Der Winkel ist also = d) Der Minutenzeiger steht vor der 6, der Stundenzeiger ist von 7 um 23 0, 5 0 weitergerückt. Der Winkel ist also ,5 0 = 83,5 0

61 7 Üben X Wiederholung: Winkel Übertrage die Figur in dein Heft und trage mit farbigen Kreisbögen folgende Winkel ein: < (g,h), < (h,k), < (k,l), < (l,h), < (h,g), < (k,h). h k g l 2. Übertrage die Figur in dein Heft und trage mit farbigen Kreisbögen folgende Winkel ein: < ABC, < BCD, < CDE, F < EDF, <EDC, <ABD D C E A B 7 Lösung X Wiederholung: Winkel 609 h F k < (h,g) < (h,k) < (k,l) < (k,h) < (g,h) < (l,h) g < CDE D < EDF < EDC E < BCD C l A B < ABC < ABD

62 7 Üben X Wiederholung: Winkel Notiere die in der Abbildung eingezeichneten Winkel mit Hilfe der angegebenen Punkte oder Schenkel: D E C A B 2. Notiere die in der Abbildung eingezeichneten Winkel mit Hilfe der angegebenen Punkte oder Schenkel: m k A l g h 7 Lösung X Wiederholung: Winkel rot: < BEC blau: < ECB grün: < BAD violett: < CBE 2. rot: < (m,k) blau: < (l,k) gelb: < (g,l) grün: < (k,g) violett: < (h,m)

63 7 Üben XX Wiederholung: Winkel Gegeben ist der Winkel a = 70 und eine Halbgerade [SX. Übertrage a so, dass S der Scheitel und [SX a) der erste Schenkel b) der zweite Schenkel ist. a A S X 2. Zeichne mit dem Geodreieck einen Winkel von a) 135 b) 220. Übertrage die Winkel in ein Koordinatensystem so, dass der erste Schenkel mit [ST zusammenfällt, wenn S (1 1) und T(5 2) ist. 7 Lösung XX Wiederholung: Winkel 611 a A a1 X P S a T S

64 7 Üben XX Wiederholung: Winkel Zeichne ein beliebiges Dreieck mit 3 spitzen Winkeln ( spitzwinkliges Dreieck ). Addiere zeichnerisch die 3 Innenwinkel dieses Dreiecks und notiere die Größe die entstandenen Winkels. 2. Zeichne ein beliebiges Dreieck mit 1 stumpfen Winkel ( stumpfwinkliges Dreieck ). Addiere zeichnerisch die 3 Innenwinkel dieses Dreiecks und notiere die Größe die entstandenen Winkels. Was fällt auf, wenn du die Ergebnisse aus 1. und 2. vergleichst? 7 Lösung XX Wiederholung: Winkel und 2.: Größe des neuen Winkels jeweils 180. (Ungenauigkeiten bis 3 erlaubt!) Hinweis: Die Winkelsumme im Dreieck beträgt stets 180!

65 7 Üben X Winkel an Geradenkreuzungen 701 In nebenstehender Skizze ist α = a) Gib α in dezimaler Schreibweise an. b) Berechne die Winkel ß, γ und δ. γ ß δ α 7 Lösung X Winkel an Geradenkreuzungen 701 a) 0 27 α = 38 + = o 0 = 38, b) ß = ,45 0 = 51,55 0 γ = α (Scheitelwinkel) δ = γ = 141,55 0

66 7 Üben XXX Winkel an Geradenkreuzungen 702 In der Skizze (nicht maßstabsgetreu) sind die Winkel α 1 + ß 1 = 88 und α 2 + γ 2 = 134. Berechne alle Winkel! γ 1 α 2 ß 1 ß 2 α 1 γ 2 7 Lösung XXX Winkel an Geradenkreuzungen 702 Es ist: α 1 + ß 1 + γ 1 = 180. Außerdem ist α 1 + ß 1 + α 2 + γ 2 = = 222 und γ 2 = γ 1.(Scheitelwinkel) Daher muss α 2 = 42 sein. α 1 = 42, da Scheitelwinkel zu α 2. ß 1 = 46 = ß 2 und γ 1 = γ 2 = 92

67 7 Üben XX Winkel an Geradenkreuzungen 703 Gegeben ist die skizzierte Geradenkreuzung der vier Geraden g, h, s und t. Dabei sind die Geraden g und h parallel. a) Gib alle Winkel an, die so groß sind wie α 1. (Gib als Begründung das verwendete Winkelgesetz in einem Stichwort an.) b) Nun ist weiter bekannt, dass α 2 dreimal so groß ist wie α 1. Außerdem ist γ 3 = Berechne die Winkel α 1, α 2, α 6 und β 3. ß 4 ß 3 ß 1 ß 2 γ 3 γ 4 γ 1 γ 2 h α 1 α 2 α 6 t α 5 α 3 α 4 s g 7 Lösung XX Winkel an Geradenkreuzungen 703 a) α 4 (Scheitelwinkel), ß 2 (Wechselwinkel) und ß 4 (Stufenwinkel) b) α 1 + α 2 = = (Nachbarwinkel zu γ 3 ) α 2 = 3α 1 α 1 = : 4 = 27 0 α 2 = 81 0 α 6 = γ 3 = 72 0 (Stufenwinkel) ß 3 = α 1 = (Nachbarwinkel)

68 7 Üben XX Winkel an Geradenkreuzungen 704 In der Figur gilt: g // h, α = 53,5 0, δ = 112,1 0. Berechne ß. ß δ h α 53.5 g 7 Lösung XX Winkel an Geradenkreuzungen 704 ß = δ α = 112,1 0-53,5 0 = 58,6 0 (ß ist Scheitelwinkel zu δ - α 1, α 1 ist Stufenwinkel zu α)

69 7 Üben XX Winkel an Geradenkreuzungen 705 In der Zeichnung sind die Halbgeraden g und h parallel. Berechne die Winkel α und ß! 52 α 69 g ß h 7 Lösung XX Winkel an Geradenkreuzungen 705 Man zeichnet als Hilfslinie in der Mitte noch eine Parallele zu g und h. α 1 ist Z-Winkel zu 52, α 2 ist α 1 α 2 g h Z-Winkel zu 69. Daher ist α = = 121 und ß = = 239

70 7 Üben X Winkel an Geradenkreuzungen 706 Zeichne ein Trapez ABCD mit [AB] [CD] und α = 50 und ß = 80. Berechne die anderen Innenwinkel γ und δ. Formuliere einen Satz für die Innenwinkel eines Trapezes. 7 Lösung X Winkel an Geradenkreuzungen 706 γ = ß = 100 (Nachbarwinkel zu ß) δ = α = 130 (Nachbarwinkel zu α) Aussage: Je zwei Winkel, die an einem Schenkel des Trapezes anliegen ergänzen sich zu 180. Es gilt aber auch folgende Aussage: Die Summe der Innenwinkel eines Trapezes ist 360.

71 7 Üben XX Winkel an Geradenkreuzungen 707 Berechne alle im Inneren des Buchstaben liegende Winkel und gib sie mit Hilfe der gegebenen Punkte an! (Vgl. Cornelsen: Fokus Mathematik 7 / S. 40/ Nr. 27) 7 Lösung XX Winkel an Geradenkreuzungen 707 CBA = 120 (Nachbarwinkel zu BAH) DCB = = 240 ( BCD = CBA, da Wechselwinkel) MKI = IKM = = 300 ( IKM = DCK = BCD = 60 ) AHG = = 120 (Nachbarwinkel zu BAH) LMK = KML = (180 - IKM) = 240 Die Winkel der rechten Hälfte der Figur entsprechen den berechneten Winkeln, da sie symmetrisch sind.

72 7 Üben XXX Winkel an Geradenkreuzungen 708 Begründe zunächst, dass die beiden Geraden g und h nicht parallel sind. Ändere ß 36 nun die Größe des Winkels h a) α b) ß γ 81 c) γ so ab, dass g und h zueinander parallel sind. Bei jeder Teilaufgabe sollen die beiden g anderen Winkel unverändert bleiben. α 61 7 Lösung XXX Winkel an Geradenkreuzungen 708 Der Stufenwinkel zu α ist (ß + γ) = ( ) = 63 α Daher sind g und h nicht parallel. (ß ist der Scheitelwinkel von ß.) a) α = 63 (durch Drehung von g) b) ß = 38 ( durch Drehung der aller Geraden außer g)) c) γ = 83 (durch Drehung von h)

73 7 Üben WH (Winkel an Gib in der in Klammern angegebenen Einheit an: a) 0,65 m 3 ( dm 3 ) b) 0,05 ha ( m 2 ) 3 c) l (mm 3 ) d) 8 4 km 2 ( a ) e) 65 cm ( km ) f) m ( km) 2. Sortiere folgende Längenangaben nach ihrer Größe. Beginne mit der kleinsten! 69 cm; 0,7 dm; 688 mm; 0,067 m; 6,85 dm; 3 2 m 7 Lösung WH (Winkel an a) 650 dm 3 b) m 2 c) 375 mm 3 d) 800 a e) 0,00065 km f) 0,07076 km 2. 0,7 dm < 3 2 m < 6,85 dm < 688 mm < 69 cm

74 7 Üben WH (Winkel an 710 Die Spielerinnen einer Handballmannschaft haben folgende Körpergrößen: 1,62 m; 1,75 m; 1,78 m; 1,63 m; 1,88 m;1,69 m. Berechne den arithmetischen Mittelwert ihrer Körpergrößen! 7 Lösung WH (Winkel an 710 Der Durchschnitt ihrer Körpergrößen ist: 1,62 + 1,75 + 1,78 + 1,63 + 1,88 + 1,69 10,35 m = m = 1,725m 6 6

75 7 Üben XX Winkelsumme im Dreieck 801 1) In einem rechtwinkligen Dreieck ist α = 90 0 und γ = Wie groß ist ß? 2) Wie groß sind die Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn γ = 90 0 ist und a) α dreimal so groß ist wie ß. b) α um 24 0 größer als ß ist? 3) In einem Dreieck ist α = ß. Der Winkel γ ist a) um 33 0 kleiner als ß b) viermal so groß wie ß. Berechne die Winkel. 7 Lösung XX Winkelsumme im Dreieck 801 1) ß = ) a) β = 22,5 0, α = 67,5 0 b) α = 57 0, β = ) a) β + β + (β 33 0 ) = β = 71 0 = α, γ = 38 0 b) β + β + 4β = β = 30 0 = α, γ = 120 0

76 7 Üben XX Winkelsumme im Dreieck 802 1) In einem Dreieck ist γ halb so groß wie ß und α ist ein Drittel von γ. Berechne alle drei Winkelgrößen. 2) In der Skizze gilt: AC AB, AD BC, w ist Winkelhalbierende von γ. Berechne σ. C γ S A D σ w E 32 0 B 7 Lösung XX Winkelsumme im Dreieck 802 1) α + β + γ = γ = ß α = 1 1 γ = ß ß = 180 ß = ß +ß β = 108 0, γ = 54 0, α = ) γ = = 58 0 (Winkelsumme im ABC) ACE = 29 0 DAC = = 32 0 (Winkelsumme im ADC) α = DAC - ACE = = (Winkelsumme im Dreieck ASC und Scheitelwinkel)

77 7 Üben XX Winkelsumme im Dreieck 803 In der Skizze gilt: g // h. Berechne aus den angegebenen Winkelgrößen die Winkel α, ß, γ, δ δ und ε mit Hilfe der Winkelgesetze. Gib zu jedem Winkel den verwendeten Sachverhalt in Stichworten an. γ 42.0 ß α ε h g 7 Lösung XX Winkelsumme im Dreieck 803 α = = 70 0 (Nachbarwinkel zu bzw. Scheitelwinkel) ε = (Scheitelwinkel zu ) ß = = 68 0 (Winkelsumme) γ = = (Nebenwinkel zu 42 0 ) δ = γ = = 42 0 (Nachbarwinkel zu γ und Scheitelwinkel)

78 7 Üben XX Winkelsumme im Dreieck 804 In der Skizze gilt: g // h. Berechne aus den 90.0 angegebenen δ Winkelgrößen die Winkel α, ß, γ, δ und ε mit Hilfe der Winkelgesetze ß h g γ α ε 90.0 Gib zu jeder Berechnung eine kurze Begründung an. 7 Lösung XX Winkelsumme im Dreieck 804 β = = 40 0 (Nebenwinkel) δ = β = 40 0 (Stufenwinkel zu ß) γ = = 50 0 (Winkelsumme im Dreieck) γ = = (Nebenwinkel zu γ ) α = γ = 50 0 (Nachbarwinkel zu γ) ε = α = 40 0

79 7 Üben XX Winkelsumme im Dreieck 805 a) Welche Voraussetzung muss erfüllt sein, dass man zur Berechnung von Winkeln in der Figur die Gleichheit h 126,2 0 g von Stufenwinkeln verwenden kann? b) Ermittle die Größe des Winkels α. 93,5 0 Begründe Deine Rechenschritte. α 7 Lösung XX Winkelsumme im Dreieck 805 a) g muss parallel zu h sein. b) ß = ,2 0 = 53,8 0 (Nebenwinkel zu 126,2 0 ) α = 53, ,5 0 = 147,3 0 (der Außenwinkel ist so groß wie die Summe der nicht anliegenden Innenwinkel im Dreieck)

80 7 Üben XX Winkelsumme im Dreieck 806 In der Skizze gilt: CF // AB, AD // BF a) Bestimme die Winkel α und φ. D 74.9 F 46.1 b) Welche Bedeutung hat der Winkel ß für das Dreieck EFB? c) Berechne ß und gib an, wo er C ß φ B E nochmals in der Skizze auftritt. α A 7 Lösung XX Winkelsumme im Dreieck 806 a) φ = 74,9 0 (Stufenwinkel) α = ,1 0-74,9 0 = 59 0 (Winkelsumme im AED) b) ß ist ein Außenwinkel des Dreiecks BEF c) ß = 74, ,1 0 = Er tritt nochmals als Stufenwinkel bei A bzw. bei C auf.

81 7 Üben XXX Winkelsumme im Dreieck 807 In der Zeichnung gilt: g // h und p // q. Außerdem sind die markierten Winkel gegeben. E D 43.1 C h Berechne die Größe von DAE und CBD A B g p q 7 Lösung XXX Winkelsumme im Dreieck 807 CBA = ,9 0 = 60,1 0 (Nebenwinkel) DAE = 86,3 0-60,1 0 = 26,2 0 (Hinweis: Stufenwinkel zu CBA) BAD = ,3 0 = 93,7 0 (Nebenwinkel) DBA = ,1 0-93,7 0 = 43,2 0 (Winkelsumme im ABD) CBD = ,9 0-43,2 0 = 16,9 0

82 7 Üben XX Winkelsumme im Dreieck 808 Berechne α, γ und δ in der Zeichnung. Die beiden mit α bzw. mit γ bezeichneten Winkel sind gleich groß. γ α α 46.0 γ δ 7 Lösung XX Winkelsumme im Dreieck 808 γ = ( ) : 2 = 67 0 α = ( ) : 2 = 56,5 0 δ = (180 0 α) 46 0 = 10,5 0

83 7 Üben XXX Winkelsumme im Dreieck 809 In einem Dreieck ist der Winkel ß = 72. Berechne die anderen Winkel, wenn bekannt ist, dass: a) α 60 % von ß ist; b) α 60 % von γ ist. 7 Lösung XXX Winkelsumme im Dreieck a) α = ß = 72 = 43,2 γ = 180 ( ,2 ) = 64, 8 b) α + γ = = 108 α = 6 10 γ α = 40, γ = 108 γ = 67, 5

84 7 Üben XXX Winkelsumme im Dreieck 812 Zeichne die Drachenfliegerfigur mit den gegebenen Abmessungen in dein Heft. Berechne zuerst die Winkel, die du für eine Konstruktion brauchst. (Vgl. Cornelsen Fokus Mathematik 7 S. 45/ Nr. 23) 7 Lösung XXX Winkelsumme im Dreieck 812 Du musst die Winkel der beiden Dreiecke jeder Seite berechnen. Das Dreieck, das direkt an der Achse anliegt, besitzt die Winkel 110, 45 und 25, das außen gelegene Dreieck besitzt die Winkel 135, 15 und 30. Nun kannst du zuerst das außen liegende Dreieck, dann das an die Achse grenzende Dreieck und dann durch Achsenspiegelung den gesamten Drachen konstruieren.

85 7 Üben WH Winkelsumme im Dreieck 813 Der rechteckige Grundriss eines Raumes hat die angegebenen Maße. In der Ecke E steht ein Scheinwerfer, der den gelb markierten Teil des Raumes E 8m D 3m mit seinem Lichtkegel beleuchtet. C Ermittle den Flächeninhalt der beleuchteten Bodenfläche. Wie viel 10m Prozent der gesamten Bodenfläche sind beleuchtet? A B 7 Lösung WH Winkelsumme im Dreieck 813 A Rechteck = 80 m 2 A gelbes Dreiieck = m 8 m = 28 m 2. Anteil der beleuchteten Fläche = = = = 35 %

86 7 Üben WH Winkelsumme im Dreieck 814 Ein Walmdach fällt nach allen Seiten schräg ab. Das abgebildete Walmdach soll neu eingedeckt werden. Gegenüberliegende Dachflächen haben die gleichen Abmessungen. Berechne die einzudeckende Dachfläche. (Vgl. Cornelsen Fokus Mathematik 7 S. 38/ Nr. 3) 7 Lösung WH Winkelsumme im Dreieck Trapez = 2 Vorne: A ( ) 6,4 67, 2 Seitlich: A = 8 5,2 20, 8 = (in m 2 ) 1 2 = Insgesamt: 67,2 m ,8 m 2 2 = 134,4 m ,6 m 2 = 176 m 2

87 7 Üben EXP Winkelsumme im Dreieck 815 DAGOBERT besteht aus zwei gleichseitigen Dreiecken DRT und GOB und zwei Quadraten DAER und AGBE. Berechne die Winkel TEO und ATE. 7 Lösung EXP Winkelsumme im Dreieck 815 TRE = = 150 Das Dreieck TER ist gleichschenklig mit Basis [TE]. ETR = ( ):2 = 15 Genauso findet man den Winkel DTA = 15. Daher ist ATE = = 30. RET = ETR = 15 TEO = = 150.

88 7 Üben EXP Winkelsumme im Dreieck 816 Drei Strecken schneiden sich in einem Punkt und sind paarweise miteinander verbunden wie es in der Zeichnung dargestellt ist. Wie groß ist die Summe der markierten Winkel? 7 Lösung EXP Winkelsumme im Dreieck 816 Die Summe der Innenwinkel in den drei Dreiecken beträgt = 540. Von den sechs Winkeln, die im Schnittpunkt der Geraden in der Mitte der Figur entstehen, sind jeweils zwei gleich groß, da es Scheitelwinkel sind. Daher ist die Summe der drei in den Dreiecken gelegenen Winkel 360 : 2 = 180. Somit ergibt sich als Summe der markierten Winkel = 360

89 7 Üben XX Winkelsumme im Viereck 901 1) Berechne die Größe des vierten Innenwinkels eines Vierecks, wenn die drei anderen gegeben sind: a) α = 77 0, ß = 58 0, γ = 80 0 b) α = γ = 25 0, δ = ) Ein Viereck, in dem zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind, heißt Trapez. a) Berechne im Trapez ABCD, in dem AB // CD ist und α = 43 0, γ = 78 0 sind, die Winkel ß und δ. (Fertige eine Skizze!) b) In einem weiteren Trapez ABCD ist AB // CD, AD BC und α = Berechne ß, γ und δ. (Fertige eine Skizze!) 7 Lösung XX Winkelsumme im Viereck 901 1) a) δ = b) ß = ) a) δ = α = (Nachbarwinkel zu α) ß = γ = (Nachbarwinkel zu γ) E b) β = α 90 0 = 57 0 (Winkelsumme im ABE) δ = α = γ = β = D C A B

90 7 Üben XX Winkelsumme im Viereck 902 In der gezeichneten Figur ist δ = 79,6 0, ε = 54,7 0, σ = 110,2 0. Berechne α, ß, γ und τ α τ ß δ γ 79.6 ε σ 7 Lösung XX Winkelsumme im Viereck 902 β = δ = 100,4 0 (Nebenwinkel) γ = ε = 54,7 0 (Scheitelwinkel) α = β γ = 24,9 0 (Winkelsumme im Dreieck) τ = σ ε = 105,1 0 (Winkelsumme im Viereck)

91 7 Üben XXX Winkelsumme im Viereck 903 Berechne σ, τ und γ, wenn gegeben ist: α = 45,6 0, β = 25,6 0, ε = 36,6 0, δ = 124,6 0. ß σ δ 45.6 α ε τ γ Lösung XXX Winkelsumme im Viereck 903 β 1 = δ ε = 18,8 0 (Winkelsumme im Dreieck) σ = β + β 1 = 44,4 0 γ = α σ = 90 0 (Winkelsumme im Dreieck) τ = σ δ γ = = 101 (Winkelsumme im Viereck)

92 7 Üben XX Winkelsumme im Viereck 904 In Vierecken sind die Winkel entsprechend der zugehörigen Ecken benannt; d.h. zu A gehört α, zu B ß usw. Berechne alle anderen Winkel des jeweiligen Vierecks ABCD, wenn folgendes bekannt ist: a) Das Viereck ist ein Parallelogramm und α = 65. b) Das Viereck ist ein Drachenviereck mit α = 70 und ß = 80 und Symmetrieachse BC. c) Das Viereck ist ein Trapez mit BC AD und ß = 72 und γ = 67. d) Das Viereck ist eine Raute mit δ = 73 7 Lösung XX Winkelsumme im Viereck 904 a) γ = α = 65, ß = δ = ( ) : 2 = 115 b) γ = α = 40 ; δ = ( ) = 140 c) α = ß = 108 ; δ = γ = 113 d) ß = δ = 73 ; α = γ = ( ) : 2 = 214 : 2 = 107

93 7 Üben WH (Winkelsumme im Viereck) 905 Berechne: a) 0,91 m 38 cm 2,5 dm b) 5,9 a 53 m 2 + 0,16 ha c) 3 2 t 750 kg d) 4,2 h 1 h 45 min 3 e) 17 min 25 s + 3,8 min f) 4,5 m 80 cm g) 3,2 km 2 : 800 m h) 15 ha : 75 a i) 45 l : 50 cm 2 j) 1,5 m 8 dm 2 7 Lösung WH (Winkelsumme im Viereck) 905 a) = 91 cm (38 cm + 25 cm) = 28 cm b) = 590 m m 2 53 m 2 = 2137 m ,37 a = c) = 3 t t = 3 t t 2 t d) = 4 h 12 min 1 h 45 min = 2 h 27 min e) = 17 min 25 s + 3 min 48 s = 21 min 13 s f) = 45 dm 8 dm = 360 dm 2 = 3,6 m 2 g) = 3,2 km 2 : 0,8 km = 4 km h) = 1500 a : 75 a = 20 i) = cm 3 : 50 cm 2 = 900 cm = 9 m j) = 15 dm 8 dm 2 = 120 dm 3 = 120 l = 0,12 m 3

94 7 Üben WH (Winkelsumme im Viereck) 906 Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne die fehlenden Größen der Rechtecke: Länge Breite Flächeninhalt Umfang 5,2 cm 2,7 cm 3,9 m 19,1 m 0,75 km 17,1 ha 36 a 300 m 7 Lösung WH (Winkelsumme im Viereck) 906 Länge Breite Flächeninhalt Umfang 5,2 cm 2,7 cm 14,04 cm 2 15,8 cm 5,65 m 3,9 m 22,035 m 2 19,1 m 0,75 km 228 m 17,1 ha 1956 m 120 m 30 m 36 a 300 m (letzte Zeile durch Probieren!)

95 7 Üben WH (Winkelsumme im Viereck) 907 a) Der Oberflächeninhalt eines Würfels beträgt 13,5 m 2. Wie lang sind seine Kanten und wie groß ist sein Volumen? b) Ein Würfel hat einen Rauminhalt von 729 l. Wie groß ist sein Oberflächeninhalt? 7 Lösung WH (Winkelsumme im Viereck) 907 a) Der Oberflächeninhalt eines Würfels der Kantenlänge a ist 6 a 2. a 2 = 1350 dm 2 : 6 = 225 dm 2. Also ist a = 15 dm. Das Volumen des Würfels ist a 3. Also ist es 3375 l. b) V = 729 dm 3. Durch Probieren findet man a = 9 dm. Der Oberflächeninhalt ist dann 6 9 dm 2 = 486 dm 2

96 7 Üben EXP Winkelsumme im Vieleck 908 Die Zeichnung zeigt ein gleichseitiges Dreieck und ein regelmäßiges Fünfeck. Wie groß ist der Winkel x? 7 Lösung EXP Winkelsumme im Vieleck 908 Die Innenwinkel des Dreiecks betragen 60, die des Fünfecks 540 : 5 = 108. Dann sind die Innenwinkel des unten links gelegenen Dreiecks 60, 72 und 48. Der Winkel x ist Nebenwinkel zum 48 -Winkel, also x = = 132.

97 7 Üben X Berechnen von Termen 1001 Lasse bei folgenden Termen zur Vereinfachung der Schreibweise überflüssige Klammern und Malpunkte weg: a) 5 + ( 2 x y) b) 6 : ( k n) c) 10 5 ( x + y) d) 10 x ( x + 1) e) ( x 3) ( x + 3) 10 5 x 1 g) : ( 3 ) 2 2 f) 3 [ x + ( 2 : x y )] h) [ x : ( y : z) ] x i) x : ( x x) 7 Lösung X Berechnen von Termen 1001 a) 5 + 2xy b) 6 : kn c) 10 5( x + y) d) 10x(x + 1) e) (x 3)(x + 1) f) 3 [ x + 2 : xy] 10 5x 1 g) : ( 3 ) 2 2 [ ]x h) x : ( y : z) i) x : ( x + 3 7x)

98 7 Üben XX Berechnen von Termen 1002 Schreibe zu folgenden Beschreibungen die jeweiligen Terme auf: a) Bilde die Summe aus dem Doppelten einer Zahl und 17. b) Addiere 17 zu einer Zahl und multipliziere das Ergebnis mit 2. c) Dividiere eine Zahl durch die um 2 verkleinerte Zahl. d) Multipliziere eine Zahl mit ihrem Vorgänger. e) Addiere die Hälfte einer Zahl zum Dreifachen der um 5 vergrößerten Zahl. f) Addiere zum Quadrat einer Zahl die 3. Potenz dieser Zahl und dividiere das Ergebnis durch 10. g) Der Term ist das Produkt aus der Summe zweier Zahlen und der Differenz dieser Zahlen. 7 Lösung XX Berechnen von Termen 1002 a) 2x + 17 b) 2(x + 17) c) x : ( x - 2) d) x(x 1) 1 e) ( x + 5) + x 3 2 f) (x 2 + x 3 ) : 10 g) (x + y)(x y)

99 7 Üben XX Berechnen von Termen 1003 Gib zu jedem der Terme eine Rechenanweisung an: 1 a) T ( x) = x + b) T( a) x 2 2 c) T( a;b) = 4a b d) T( x; y) a + 3 = a 3 xy = x + y e) T ( a;b;c ) = abc( a + b + c) f) T( k) = 2 g) T( n) ( 1)( n 2) n n =, wobei n eine natürliche Zahl größer 2 ist. 6 1 k k 1 7 Lösung XX Berechnen von Termen 1003 a) Addiere zu einer Zahl ihren Kehrwert. b) Dividiere die Summe von a und 3 durch die Differenz von a und 3. c) Subtrahiere vom vierfachen Quadrat der ersten Zahl das Quadrat der zweiten Zahl. d) Dividiere das Produkt zweier Zahlen durch die Summe der beiden Zahlen. e) Multipliziere das Produkt dreier Zahlen mit der Summe der drei Zahlen. f) Subtrahiere vom Kehrwert der Zahl den Kehrwert des Quadrats der Zahl. g) Bilde das Produkt dreier aufeinander folgender Zahlen und dividiere es durch die Zahl 6.

100 7 Üben XX Berechnen von Termen 1004 Ermittle die Definitionsmenge der folgenden Terme in der Grundmenge G = Q: 1 2+ a) T ( x) = b) T ( a) = 3 x a c) T( v) = d) T( s) v v 2 4 n e) ( ) ( n 1) T n = f) T( z) 2 a 2 3 = 3 s 2 + s = z 3 ( z 1) 7 Lösung XX Berechnen von Termen 1004 a) D = Q \ {0} b) D = Q \ {0} c) D = Q \ {- 2; 2} d) D = Q \ {- 2; 3} e) D = Q f) D = Q \ {0 ; 1}

101 7 Üben XX Berechnen von Termen 1005 Schreibe die Tabelle ab und ergänze sie für die jeweiligen Terme: x - 3, , T(x) a) T(x) = 2x 2 4x + 5 b) T(x) = (x + 1) T x 2 x + 1 c) ( ) = x 7 Lösung XX Berechnen von Termen 1005 a) x - 3, , T(x) 43,5 21 6, b) x - 3, , T(x) , c) x - 3, , T(x) 2, ,

102 7 Üben XX Berechnen von Termen 1006 Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze sie: x ,5-0,9 y ,5 0,9 T(x;y) a) T(x;y) = 2x 2 3xy + y 2 b) T( x; y) = x x + y y 7 Lösung XX Berechnen von Termen 1006 a) x ,5-0,9 y ,5 0,9 T(x;y) ,86 b) x ,5-0,9 y ,5 0,9 T(x;y) 0, Geht nicht 0

103 7 Üben XX Berechnen von Termen 1007 Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze sie. Was fällt dir dabei auf? z T 1 (z) = (z+1)(z-3) T 2 (z) = z 2 2z - 1 T 3 (z) = (z + 1) 2-1,5 0,4 2,5 4 7 Lösung XX Berechnen von Termen 1007 z T 1 (z) = (z+1)(z-3) T 2 (z) = z 2 2z - 1 T 3 (z) = (z - 1) 2-1,5 2,25 4,25 6,25 0,4-3,64-1,64 0,36 2,5-1,75 0,25 2, Die Werte der Terme sind jeweils um 2 größer als die der vorherigen Terme.

104 7 Üben XX Berechnen von Termen 1008 Finde die Zahl(en), für die der jeweilige Term den Wert 0 annimmt: a) T(x) = 4x 8 b) T(x) = 3x 1 b) T(x) = x(2x + 3) c) T(x) = x 2 9 d) T(x) = (5x + 2)(4x 3) e) T(x) = 2x 3x Lösung XX Berechnen von Termen 1008 a) x = 2 b) x = 3 1 c) x = 0 bzw. x = - 1,5 d) x = 3 bzw. x = - 3 e) x = - 0,4 bzw. x = 0,75 f) x = - 0,5

105 7 Üben XX Berechnen von Termen 1009 Finde heraus, für welche Werte der Variablen y der Term T(y) = y den jeweils angegebenen Termwert annimmt: a) T(y) = 13 b) T(y) = 4 c) T(y) = 125 d) T(y) = e) T(y) = 4 f) T(y) = Lösung XX Berechnen von Termen 1009 a) y = 3 bzw. Y = - 3 b) y = 0 c) y = 11 bzw. y = - 11 d) y = 19 bzw. y = e) y = 3 bzw. y = f) geht nicht 3

106 7 Üben X Berechnen von Termen 1010 Gib zu jedem der folgenden Terme die Art des Terms an: a) T(a) = 3(a 1) : a b) T(b) = (b + 3)(2b 3) c) T(c) = 2c c:2 d) T(d) = 2(d d : 2) e) T(e) = (e + 3) : e 5 f) T(f) = f + 3. (f 5) g) T(g) = (g + 3) : (g 5) h) T(h) = 2,5h +h(h + 1) 7 Lösung XX Berechnen von Termen 1010 a) Summe b) Produkt c) Differenz d) Produkt e) Differenz f) Summe g) Quotient h) Summe

107 7 Üben XX Berechnen von Termen 1011 Mit folgenden Termen sollen Flächen berechnet werden. Die Variable x ist dabei die Länge einer Strecke. Gib die Intervalle für x an, für die eine Einsetzung sinnvoll sein kann. a) A(x) = (x + 4)(15 x) b) A(x) = x(7 + x) c) A(x) = (x 3)(11 x) d) A(x) = (4 x) 2 e) Gib selbst einen Term A(x) an, bei dem nur Einsetzungen zwischen 5 und 9 für x sinnvoll sind. 7 Lösung XX Berechnen von Termen 1011 a) D = ]0;15[ b) D = Q 0 + c) D = ]3;11[ d) D = ]0;4[ e) A(x) = (x 5)(9 x)

108 7 Üben XXX Aufstellen von Termen 1012 Ein Rechteck ABCD besitzt die Länge 15 cm und die Breite 10 cm. a) Bestimme die Fläche und den Umfang des Rechtecks. b) Nun wird die Breite um 10cm x cm verkleinert und dafür die Länge auf beiden Seiten um x cm vergrößert (siehe Skizze). Bestimme zunächst Fläche und A' x A 15cm B Umfang des neuen Rechtecks für x = 2 bzw. x = 3.Gib nun Terme A(x) und u(x) für die Berechnung des Umfangs des neuen Rechtecks A B C D an. c) Welche Einsetzungen für x sind sinnvoll? D' D d) Was passiert, wenn x immer näher an die obere Grenze des in c) angegebenen Intervalls wächst? C C' B' 7 Lösung XXX Aufstellen von Termen 1012 a) A = = 150 u = 2 ( ) = 50 b) x = 2: A = ( ) (10 2) = 152 u = 2 [( ) + (10 2)] = 54 x = 3: A = ( ) (10 3) =147 u = 2 [( ) + (10 3)] = 56 allgemein: A(x) = ( x) (10 x) u(x) = 2 [( x) + (10 x)] c) D = ]0;10[ d) Der Flächeninhalt wird immer kleiner (wandert gegen 0) und der Umfang nähert sich immer mehr 70 an.

109 7 Üben XXX Aufstellen von Termen 1013 a) Der Winkel γ ist viermal so groß wie ß. Berechne die A Winkel α, ß und γ. α b) Gib einen Term an, der die Größe der drei Winkel beschreibt, wenn γ n-mal so ß g groß wie ß ist. Dabei soll B 90 n N \ {1} sein. c) Für welche Werte von n {2,3, 9} nehmen die γ C 90 h Winkel ß und γ ganzzahlige Werte an? 7 Lösung XXX Aufstellen von Termen 1013 a) γ und ß ergänzen sich zu 180, da der Nebenwinkel von γ Stufenwinkel zu ß ist. Daher ist ß = 180 : 5 = 36 und γ = 144 ; α = (90 + ß) = b) ß = 180 : ( n + 1) = 0 n α = 90 ß = 90 n + 1 γ = n ß = n 180 n c) ß und γ sind ganzzahlig, wenn n + 1 ein Teiler von 180 ist; d.h. wenn n+1 {3,4,5,6,9,10} ist, also, wenn n {2,3,4,5,8,9} ist.

110 7 Üben XX Aufstellen von Termen 1014 Gib einen Term für den Flächeninhalt des rot gefärbten Fünfecks an. Bestimme seinen Wert für g = 6 cm, a = 4 cm und x = 2a und y = 1,5a. y x a g 7 Lösung XX Aufstellen von Termen 1014 A(a,g,x,y) = 1 1 ( x + a) + 1 g( y + a) ga g A(4;6;8;6) = = =

111 7 Üben XX Aufstellen von Termen 1015 Die Internetprovider Surfnet und Websurfer bieten ihren Kunden folgende Tarife an: Surfnet: monatliche Grundgebühr: 6,50 ; Preis pro Stunde: 0,80 Websurfer: keine Grundgebühr; Preis pro Stunde 1,20. a) Lege für beide Tarife eine Wertetabelle an. b) Gib zwei Terme an, mit denen sich die Kosten für das Surfen im Internet in Abhängigkeit von der Stundenzahl berechnen lässt. c) Zeichne die zu den Zuordnungen Stundenzahl Kosten gehörenden Graphen und entscheide, welcher Tarif für welche Stundenzahl günstiger ist. 7 Lösung XX Aufstellen von Termen 1015 Zahl der T1(x) T2(x) Stunden 0 6, ,3 1,2 2 8,1 2,4 3 8,9 3,6 4 9,7 4,8 5 10, ,3 7,2 7 12,1 8,4 8 12,9 9,6 9 13,7 10, , ,3 13, ,1 14, ,9 15, ,7 16, , ,3 19,2