Diplomarbeit Ermittlung von Tragreserven eines Antennenträgers

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1 Diplomarbeit Ermittlung von Tragreserven eines Antennenträgers Stefan Zeising Matr.-Nr Sem.-Gr. 00MI

2 Es ist wichtiger, Fragen stellen zu können, als auf alles eine Antwort zu wissen. James Thurber

3 Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig (FH) Fachbereich Maschinen- und Energietechnik Studiengang Maschinenbau Studienrichtung Maschinenbau-Informatik Ermittlung von Tragreserven eines Antennenträgers Diplomarbeit Nr. 1/04 von Stefan Zeising geb. am in Leipzig Matr.-Nr Verantwortlicher Hochschullehrer: Prof. Dr.-Ing. Carsten Klöhn Leipzig, Mai - August 006

4 Erklärung Ich versichere wahrheitsgemäß, die Diplomarbeit selbständig angefertigt, alle benutzten Hilfsmittel vollständig und genau angegeben und alles kenntlich gemacht zu haben, was aus Arbeiten anderer unverändert oder mit Abänderungen entnommen wurde. Leipzig, den

5 Danksagung Ich danke Herrn Prof. Dr.-Ing. Carsten Klöhn für die Betreuung meiner Diplomarbeit an der Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig. Der Firma IMC Planungsgesellschaft mbh Leipzig und ihren Geschäftsführern Herrn Wyrembeck und Herrn Dr. Wagner danke ich für die Möglichkeit, meine Diplomarbeit in ihrem Hause schreiben zu dürfen. Ich habe meine Arbeit in einem angenehmen und motivierenden Arbeitsklima durchführen können. In diesem Zusammenhang möchte ich auch Herrn Heinrich für die Idee zum Diplom-Thema danken. Mein besonderer Dank gilt meinem betrieblichen Betreuer Herrn Dipl.-Ing. (FH) André Blüthner für seine immerwährende Unterstützung und Motivation, für sein Wohlwollen und seine Hilfestellung auch in schwierigen Momenten. Jede meiner Fragen fand bei ihm eine Antwort. Den Mitarbeitern der Hotline der Firma Dlubal GmbH danke ich für die Beantwortung meiner Fragen und für ihre Ideen zum Thema FEM. Ich möchte nicht zuletzt auch meiner Familie danken, die mich auf dem Wege des Studiums begleitet hat und stets für mich da war. Meiner Claudia sage ich herzlich Dank für ihre konstruktive Hilfe bei meiner Arbeit, das unermüdliche Korrekturlesen bis fast zur letzten Minute und ihre ständige Motivation bis zum In-den-Hintern-treten. Ich danke ihr aber auch für ihre Geduld mit mir und ihre Fähigkeit, mich von den großen und kleinen Sorgen abzulenken......und für ihre Liebe.

6 Stefan Zeising Inhalt 0. Inhalt 0. Inhalt Einleitung Motivation Aufgabenstellung Aufbau der Arbeit...9. Kontrolle der Bausubstanz Festgestellte Mängel Antennenträger Fundament Antennenanlagen Schweißverbindungen Schraubverbindungen und Verankerung Technische Anlagen Umbauung Ergebnis Einwirkungen auf Antennenträger Ständige Einwirkungen Eigenlast Vorspannkraft Veränderliche Einwirkungen Windlast Windlast nach DIN 4131 (11.91) Windlast nach DIN (03.05) Windbelastung quer zur Windrichtung Vergleich DIN 4131 (11.91) DIN (03.05) Verkehrslast Eislast Wärmeeinwirkung Lasten aus Bauzuständen Außergewöhliche Einwirkungen...4

7 Stefan Zeising Inhalt 4. Nachweise für Antennenträger Tragsicherheit Schnittgrößenermittlung Spannungsnachweise Normalspannung Schubspannung Vergleichsspannung Betriebsfestigkeit Gebrauchstauglichkeit Berechnung Flansch +10,08 m Berechnung nach Petersen Theoretische Grundlagen Praktische Berechnung Berechnung mit FEM FEM-Modell Praktische Berechnung Zusammenfassung Quellen Literatur Normen Software Verzeichnisse Abbildungsverzeichnis Tabellenverzeichnis Anhang Statik nach DIN 4131 (11.91) Statik nach DIN (03.05)...84

8 Stefan Zeising Einleitung 1. Einleitung 1.1 Motivation In Deutschland gibt es inzwischen über 50 Millionen Mobiltelefone, kurz Handys genannt. Die mobile Kommunikation wird von verschiedenen Mobilfunkbetreibern sichergestellt. Der Versorgungsbereich der einzelnen Mobilfunknetze ist in eine Vielzahl von nebeneinander liegenden Funkzellen aufgeteilt. Je höher die Anzahl der Funkzellen ist, desto größer ist die Gesamtzahl der gleichzeitig möglichen Nutzer, da die begrenzte Anzahl gleicher Sendefrequenzen in einem gewissen Abstand wieder verwendet werden kann. Außerdem ist aufgrund der kurzen Distanz zur Basisstation eine geringere Sendeleistung des mobilen Telefons ausreichend. Die Basisstation bildet das Zentrum einer jeden Funkzelle. Sie ist über Erdkabel oder Richtfunk mit der zentralen Vermittlungsstelle und somit mit dem normalen Telefonnetz verbunden. Diese Einrichtung erkennt durch ein permanent gesendetes Signal, das von einem Mobilfunktelefon beantwortet wird, den Standort eines jeden Mobilfunkteilnehmers und übermittelt diese Information an das Mobilfunknetz. Bei Gesprächsbeginn eines Mobilfunknutzers kontaktiert dessen Mobiltelefon seine Basisstation, die den Nutzer über die Vermittlungsstelle mit dessen gewünschtem Gesprächspartner verbindet. Der Kontakt zwischen Basisstation und Mobilfunktelefon wird über Sektorantennen hergestellt. Aus diesem Grund ist dieser Antennentyp in Deutschland an fast jedem Antennenträger zu finden. In städtischen Gebieten ist es völlig ausreichend, Antennenträger auf Wohn- oder Geschäftshäusern mit einer maximalen Höhe von fünf bis zehn Metern über der Oberkante des Gebäudes in einem Abstand von 500 Metern zu realisieren. In ländlichen Gegenden jedoch, wo die Zahl der Mobilfunknutzer pro Quadratkilometer bei weitem nicht so hoch ist wie in Städten, werden größere Zellen angestrebt. Im Allgemeinen wird von den Mobilfunkbetreibern dann aufgrund der größeren Reichweite auf bereits vorhandene höhere Bauwerke zurückgegriffen. Das können Schornsteine,

9 Stefan Zeising Einleitung Windanlagen, Überlandleitungen oder Aussichtstürme sein. Wo dies nicht möglich ist, muss ein neuer Mast errichtet werden. Durch die Firma IMC Planungsgesellschaft mbh wurde für den Mobilfunkbetreiber E-Plus im Jahr 1993 eine Typenreihe von konischen Stahlrohrmasten in den Ausbauhöhen über der Oberkante des Fundaments von 30, 40 und 50 Metern entwickelt. Diese Träger für Mobilfunkantennen wurden zwischen 1993 und 1996 in einem Umfang von ca. 60 Stück in Mitteldeutschland errichtet. Die vorliegende Arbeit befasst sich mit einem 1994 am Standort Wiedemar bei Leipzig gebauten Standardstahlrohrmast mit einer Gesamthöhe von 50 Metern. Durch die Umrüstung auf neue Funktechnik und die Gestattung der Mitnutzung des Antennenträgers durch einen weiteren Netzbetreiber ergeben sich neue Belastungen mit einer höheren Auslastung des mit Stabstatik berechneten Antennenmastes. Zur Gewährleistung der Standsicherheit, Gebrauchstauglichkeit und Dauerfestigkeit ist deshalb eine neue Bewertung der Tragreserven vonnöten. Besondere Beachtung verdient dabei eine im Jahr 1998 vorgenommene Verstärkung des Antennenträgers mit innenliegenden Stahlbauprofilen HEB Aufgabenstellung Ziel der vorliegenden Arbeit ist die Anfertigung einer prüffähigen Statik des 50 Meter-Mastes von E-Plus am Standort Wiedemar bei Leipzig im Hinblick auf die geplante Nachrüstung durch den Mobilfunkbetreiber Vodafone D unter Berücksichtigung möglicherweise vorhandener Tragreserven. Sie ist nach den derzeit gültigen Normen mit den Windlastannahmen nach DIN 4131 (11.91): "Lastannahmen für Bauten: Verkehrslasten, Windlasten bei nicht schwingungsanfälligen Bauwerken" zu erstellen. Dies beinhaltet eine Begehung des Standortes mit der

10 Stefan Zeising Einleitung Einschätzung der prinzipiellen Möglichkeit weiterer Nachrüstungen und eine Aufnahme eventuell vorhandener Schäden vor Ort. Zur Vorbereitung der Anwendung der voraussichtlich ab dem gültigen Neufassung der DIN (03.05): "Einwirkungen auf Tragwerke - Windlasten" und den damit verbundenen Änderungen wird die gleiche Statik mit den neuen Windlastannahmen ausgeführt. Es ist zu ermitteln, ob sich aus der Neufassung der DIN wesentliche Änderungen ergeben, die für weitere Bemessungen der Typenreihe von Standardrohrmasten von grundlegender Bedeutung sein können. Weiterhin soll in dieser Arbeit eine FEM-Berechnung eines Maststoßes im Vergleich zur konventionellen Berechnung erstellt werden, um genauere Aussagen über dessen Auslastung geben zu können. 1.3 Aufbau der Arbeit Im ersten Kapitel der vorliegenden Arbeit erfolgt eine Einleitung in das Thema Mobilfunk und ein Übersicht über die Aufgabenstellung dieser Arbeit. Das zweite Kapitel umfasst die visuelle Überprüfung des Antennenträgers auf Schäden und beschäftigt sich mit der Erfassung der Gesamtsituation am Standort vor der Nachrüstung. Das folgende Kapitel 3 beschreibt die zu treffenden Lastannahmen nach der bisher gültigen DIN 4131 (11.91) und die zum Teil stark geänderten Annahmen nach der neuen DIN (03.05). Die sich ergebenden Differenzen werden diskutiert. Im vierten Kapitel werden die Nachweise zur Tragfähigkeit, Betriebsfestigkeit und Gebrauchstauglichkeit vorgestellt.

11 Stefan Zeising Einleitung Die FEM-Berechnung am Beispiel des Flansches am Stoß +10,08 m im Vergleich zur konventionellen Berechnung bildet das fünfte Kapitel. Das letzte Kapitel enthält die Diskussion der vorgestellten Ergebnisse und eine Zusammenfassung der in dieser Arbeit gewonnenen Erkenntnisse. Im Anhang finden sich die beiden nach DIN 4131 (11.91) und (03.05) erstellten, prüffähigen Statiken.

12 Stefan Zeising Bausubstanz. Kontrolle der Bausubstanz Die Überprüfung der Bausubstanz vor Ort fand am statt. Überprüft auf augenscheinliche Fehler wurden: - der Antennenträger mit Kopfbühne und Steigweg - das Fundament - die Antennenanlagen - die Schweißverbindungen - die Schraubverbindungen - die technischen Anlagen - die Umbauung.1 Festgestellte Mängel Dieses Kapitel basiert auf dem Protokoll der Begehung des E-Plus- Standorts Wiedemar bei Leipzig (Zeppelinstraße), zum Zwecke der Überprüfung der Möglichkeiten zur Mitnutzung durch den Mobilfunkbetreiber Vodafone D. Die einzelnen, nach Planungs- und Realisierungshandbuch /7/ zu kontrollierenden Punkte sind getrennt nach Art aufgeführt; Mängel und deren mögliche Ursachen sowie die zu erfolgenden Maßnahmen sind vermerkt..1.1 Antennenträger Beschreibung: Konischer 50 Meter-Stahlrohrmast mit Korrosionsschutz (verzinkt) und Duplexanstrich; Kopfbühne, Wartungspodest, Kabel- und Steigweg. Steigweg ist gesichert mit Steigschutz Fa. Söll; Blitzschutz über Ringerder.

13 Stefan Zeising Bausubstanz Abbildung.01: Antennenträger - Mangel 1: Flansch + 0,08 m Mangel 1: Ursache: Maßnahme: An den Flanschen +10,08 m und +0,08 m ist der Anstrich abgeplatzt. Montage Der Korrosionsschutz ist nachzubessern. Abbildung.0: Antennenträger - Mangel

14 Stefan Zeising Bausubstanz Mangel : Ursache: Maßnahme: Im Bereich der inneren Verstärkung sind Unrundheiten und Dellen am Mantel festzustellen. Fehler bei Montage der inneren Verstärkung. Keine, da keine Gefährdung für die Standsicherheit und Gebrauchstauglichkeit vorliegt. Abbildung.03: Antennenträger - Mangel 3: Fußflansch Mangel 3: Rostansatz im Bereich des Fußflansches. Ursache: Mangelhafter Korrosionsschutz, kein Wasserablauf, möglicherweise mechanische Einwirkung. Maßnahme: Bereich beschleifen und Korrosionsschutz nachbessern. Abbildung.04: Theodolit NESTLE Te-1

15 Stefan Zeising Bausubstanz Mangel 4: Ursache: Maßnahme: Schrägstand, Abweichung von der Mittelachse um 0,5 in Richtung Westen; Messung erfolgte mit Theodolit NESTLE Te-1 (siehe Abbildung.04). Schrägstellung Oberkante Fundament; Montage Keine, da keine Gefährdung für die Standsicherheit und Gebrauchstauglichkeit vorliegt. sonstige Bemerkungen: keine.1. Fundament Beschreibung: Das Fundament unter dem Antennenträger ist 6,50 m 6,50 m 1,50 m; zusätzliches Aufsatzfundament,70 m,70 m 0,80 m; B5, BSt 500/550; Verguss 80 mm. Abbildung.05: Fundament Mängel: keine sonstige Bemerkungen: keine.1.3 Antennenanlagen Beschreibung: Folgende Antennen sind installiert: E-Plus: 6x K (GSM) 3x K74 1 (UMTS)

16 Stefan Zeising Bausubstanz 1x RiFu 1, m 1x RiFu 0,6 m Folgende Antennen sind geplant: E-Plus: 1x RiFu 1, m 1x RiFu 0,6 m Vodafone D: 3x K74 64 (GSM + UMTS) x RiFu 0,3 m Abbildung.06: Antennenbelegung Kopfpodest Mängel: keine sonstige Bemerkungen: keine.1.4 Schweißverbindungen Beschreibung: Schweißnähte sind im Rohr, an den Rippen des Fußflansches sowie im Bereich der Tür vorhanden.

17 Stefan Zeising Bausubstanz Mängel: keine sonstige Bemerkungen: keine.1.5 Schraubverbindungen und Verankerung Beschreibung: Flansche: HV-Schrauben M Fuß: Anker M Mängel: keine sonstige Bemerkungen: keine.1.6 Technische Anlagen Beschreibung: Systemtechnik von E-Plus vorhanden: BTS (Base Transceiver Section; Basisstation) und Elt-UV (Elektro-Unterverteilung) auf einem Fundament 4,75 m 0,80 m; Nokia OCO AC (UMTS) auf einem Fundament 1,50 m 0,80 m. Systemtechnik von Vodafone D geplant: RBS 106 und NB 441 auf Rahmen auf Betonplatte 3,80 m 1,00 m. Abbildung.07: Systemtechnik E-Plus

18 Stefan Zeising Bausubstanz Mängel: keine sonstige Bemerkungen: keine.1.7 Umbauung Beschreibung: Zaun mit Stacheldraht, Schloss für Systemschlüssel E-Plus. Abbildung.08: Umbauung Mängel: keine sonstige Bemerkungen: keine. Ergebnis Bei der Begutachtung des Standortes Wiedemar, Stationsnummer E-Plus: , wurden am keine Mängel festgestellt, die die Tragsicherheit, Betriebsfestigkeit oder Gebrauchstauglichkeit des Antennenträgers gefährden. Gegen eine Nachrüstung bestehen aus bautechnischer Sicht keine Einwände. Die Maßnahmen zur Beseitigung der aufgezeigten, geringfügigen Mängel sollen in Absprache mit E-Plus im Zuge der Nachrüstung erfolgen.

19 Stefan Zeising Einwirkungen 3. Einwirkungen auf Antennenträger Für die Berechnung von Antennenträgern aus Stahl sind ständige, veränderliche und gegebenenfalls außergewöhnliche Einwirkungen zu berücksichtigen. Nachfolgend werden die einzelnen Einwirkungsarten am Beispiel des zu untersuchenden Antennenträgers vorgestellt. Für die praktische Anwendung der hier vorgestellten Berechnungsverfahren sei auf die im Anhang befindlichen Statiken nach DIN 4131 (11.91) und nach DIN (03.05) verwiesen. 3.1 Ständige Einwirkungen Zu den ständigen Einwirkungen gehören Eigenlast und Vorspannkraft Eigenlast Die Eigenlast des Antennenträgers setzt sich zusammen aus dem Eigengewicht der Stahlkonstruktion und dem Gewicht der Anbauteile wie Steigleiter, Kabelweg, Antennen und Vorsatzrohre, Kopfbühne und Hilfspodest Vorspannkraft Der zu untersuchende Mast besitzt keine Abspannungen und dementsprechend auch keine aufgebrachte Vorspannkraft. Dieser Lastfall ist nicht relevant.

20 Stefan Zeising Einwirkungen 3. Veränderliche Einwirkungen Veränderliche Einwirkungen sind Windlast, Verkehrs- und Schneelast, Eislast, Wärmeeinwirkung und Lasten aus Bauzuständen. Die Einwirkungen aus Antennenzügen, Energieleitungen und Gegengewichtssystemen sowie Einwirkungen aus wahrscheinlichen Änderungen der Stützbedingungen haben für den vorliegenden Fall keine Bedeutung Windlast Windlasten sind zeitlich veränderliche Lasten, die das Bauwerk aufgrund natürlich vorkommender Luftturbulenzen zu Schwingungen anregen. Die durch die Schwingungen hervorgerufenen Auslenkungen des Mastkopfes bewegen sich auf einer nahezu elliptischen Bahn. Dabei kann die Amplitude der Auslenkung sowohl in Windrichtung, als auch senkrecht dazu liegen. Windlasten werden deshalb entsprechend ihrer Richtung unterteilt in Windbelastung in Windrichtung sowie Windbelastung quer zur Windrichtung. Die zu treffenden Annahmen zur Windbelastung sind in der DIN geregelt. Die aktuell gültige DIN (08.86) wird voraussichtlich ab dem von der DIN (03.05) abgelöst. Alle zur Prüfung vorgelegten Statiken von Bauwerken, deren Bauanträge nach diesem Datum gestellt werden, müssen verbindlich nach der neuen Norm berechnet werden. In dieser Arbeit sollen die teilweise erheblichen Änderungen durch die Neufassung der DIN vorgestellt werden. Die beiden nachfolgenden Abschnitte und befassen sich getrennt nach DIN-Norm mit der Windbelastung in Windrichtung. Der fast unveränderte Ablauf zur Berechnung der Windbelastung quer zur Windrichtung wird einheitlich in Kapitel vorgestellt. Geringfügige Abweichungen werden dort gesondert angegeben.

21 Stefan Zeising Einwirkungen Die grundlegenden Unterschiede der Windlastansätze nach alter und neuer DIN werden im Kapitel abgehandelt Windlast nach DIN 4131 (11.91) Die zur Zeit gültige Norm für Windlasten DIN (08.86) ist auf nicht schwingungsanfällige Bauwerke beschränkt. Antennentragwerke aus Stahl zählen jedoch in der Regel zu den schwingungsanfälligen Konstruktionen. Für diese Fälle wird in der Norm auf die DIN 4131 (11.91) verwiesen. Innerhalb dieser DIN sind im Anhang A Regelungen zu den Windlasten getroffen. Die dort vorgenommenen Vereinfachungen gelten nur für die in der DIN 4131 (11.91) behandelten Bauformen. Die Windlast ist von der zeitlich und räumlich veränderlichen Windgeschwindigkeit abhängig. Daraus resultiert eine dynamische Wirkung der Windlast. Statt eine dynamische Berechung durchzuführen, wird in der Norm eine statische Ersatzlast eingeführt, die durch Multiplikation mit einem den dynamischen Einfluss berücksichtigenden Faktor (Böenreaktionsfaktor ϕ B ) gleich große Werte für die Beanspruchungen erzeugt. Die statische Ersatzlast wird als eine statisch über einen bestimmten Zeitraum gemittelte Windlast definiert. Nach DIN 4131 (11.91) bezieht sich die Windlastermittlung auf das 5-Sekunden-Mittel der maximalen Windbeanspruchung. Die ermittelte Windlast für die Bemessung des Tragwerks muss horizontal und in der für das Tragwerk am ungünstigsten wirkenden Windrichtung angesetzt werden. Die Gleichung für die Ermittlung der resultierenden Windlast W i für einen Tragwerksabschnitt i lautet: W i = c fi q i A i (3.01) c fi der auf den Abschnitt i bezogene aerodynamische Kraftbeiwert;

22 Stefan Zeising Einwirkungen q i der Staudruck in Höhe z i ; A i die Bezugsfläche im Abschnitt i. Vereinfachend sind Mittelungen über in der Höhe ausreichend unterteilte Abschnitte möglich. Bei kreisförmigen Querschnitten darf die resultierende Windlast in Windrichtung im Allgemeinen im Schwerpunkt des Querschnitts angesetzt werden. Der aerodynamische Kraftbeiwert c f für einen Abschnitt i beschreibt die Beziehung zwischen dem Staudruck q und der Windlast W. Er wird wie folgt berechnet: ψ c fi = ψ c f 0, i (3.0) der Abminderungsfaktor in Abhängigkeit von der Streckung λ und dem Völligkeitsgrad ϕ ; c f 0, i der Grundkraftbeiwert für die Querschnittsform des Abschnitts i. Bei Bauwerken mit niedriger Streckung bzw. Schlankheit λ strömt ein großer Teil der Luft zusätzlich über die Bauwerksspitze. Hier stellt sich ein dreidimensionaler Strömungszustand ein, der die Windkräfte reduziert. Für Bauwerke mit großer Schlankheit ergibt sich ψ = 1. Der Grundkraftbeiwert c f 0 ist von der Bauwerksform abhängig. Für kreiszylindrische Baukörper wird in der DIN 4131 (11.91) zur Bestimmung von c f 0 in Abhängigkeit von der Reynoldszahl Re und der Rauigkeitstiefe der Oberfläche k (Ersatzrauigkeit) ein Diagramm zur Verfügung gestellt, in dem der Wert abgelesen werden kann. Die Ersatzrauigkeit berücksichtigt eine übliche Oberflächenbeschaffenheit einschließlich Schraubenköpfen und ähnlichem. Unter der Annahme k = 0,001 m lässt sich c f 0 alternativ auch nach folgender Gleichung berechnen: = 0,91-0,065 log d m f d0 c 0 (3.03)

23 Stefan Zeising - - Einwirkungen d m der maßgebende Außendurchmesser in m; d 0 der 1 m-bezugswert. Für Zwischenwerte von d m ist c f 0 linear zu interpolieren. Sind an einem kreiszylindrischen Schaft Außenanbauten, wie zum Beispiel einzelne Kabel, Kabelbahnen oder Antennen sowie deren Befestigungen vorhanden, so ist der Grundkraftbeiwert als Mittelwert für die Anbauten mit c f 0 = 1, und für den Steigweg mit c f 0 = 1,3 anzunehmen. Für die Mobilfunkantennen stellt der Antennenhersteller die notwendigen Angaben für die Windbelastung zur Verfügung. Die für den Schaft und die Außenanbauten getrennt zu ermittelnden Windlasten sind zu addieren. Die maximale Böengeschwindigkeit und der dazugehörige Staudruck q, welche in jeder Höhe des Antennentragwerks wirken, bilden eine Einhüllende, die als Staudruckprofil bezeichnet wird. Der Staudruck entsteht während eines Sturms zeitlich und räumlich regellos am Bauwerk. Obwohl dem Staudruck ein Potenzgesetz zugrunde liegt, wird in der DIN 4131 (11.91) eine Vereinfachung in Form einer linearen Höhenabhängigkeit getroffen. Für Bauwerkshöhen bis einschließlich 50 m ergibt sich: h q = 0,75 (1 + ) q 0 (3.04) 100 h die Bauwerkshöhe über Gelände; q 0 der Rechenwert des Staudrucks in Geländehöhe. Der Basiswert q 0 ist abhängig von der Windlastzone des Gebietes (DIN 4131 (11.91), Bild A.1), in dem sich das Bauwerk befindet. Für die Norddeutsche Tiefebene gilt die Windlastzone II; damit gilt folgender Rechenwert für den Staudruck am Standort Wiedemar:

24 Stefan Zeising Einwirkungen kn q 0 = 1,05 m Dieser Wert beruht auf dem 5-Sekunden-Mittel der Windgeschwindigkeit, die statistisch innerhalb von 50 Jahren nur einmal erreicht oder überschritten wird. Für den Montagezustand, der maximal Jahre anhält, darf laut DIN eine Abminderung des Staudrucks mit dem Faktor 0,7 vorgenommen werden. Die Bezugsfläche A i für den Teilbereich i ergibt sich wie folgt: A i = h i d i (3.05) Um die tatsächliche dynamische Belastung durch den Wind, folglich die Schwingungswirkung in Windrichtung, zu erhalten, ist die Windlast W mit dem Böenreaktionsfaktor Ersatzlast ers W i : ϕ B zu multiplizieren. Es ergibt sich die ers W i = ϕ B c fi q i A i (3.06) Für freistehende Kragsysteme kann folgende Formel verwendet werden: ϕ B = B0 ϕ η (3.07) ϕ B0 der Grundwert des Böenreaktionsfaktors; η der Größenfaktor. Es gilt: η = 1 für h 50 m (3.08) ϕ = 1 + (0,04 T - 0,0019 T ) δ (3.09) B0 0,63 B T die Schwingungsdauer der Bauwerksgrundschwingung in s;

25 Stefan Zeising Einwirkungen δ B der Rechenwert des logarithmischen Dämpfungsdekrements bei Böenbelastung, er kann mit δ B = 0,1 angenommen werden. Die Schwingungsdauer der Grundschwingung von freistehenden Kragsystemen wird wie folgt ermittelt: T = π i g (G i i (G y i i ) y i ) (3.10) Dabei sind G i die in den Punkten i zusammengefassten, ständigen Lasten des Systems; y i die horizontalen Auslenkungen des Systems in den Punkten i infolge der horizontal wirkend angenommenen Lasten G i. g ist die Fallbeschleunigung. Bei starr eingespannten Kragträgern mit annähernd konstanten Querschnitten kann die Schwingungsdauer T der Grundschwingung auch nach folgender Gleichung abgeschätzt werden: T = F h G (3.11) 1000b G i h F die Höhe des Bauwerks über der Einspannstelle; b G G i die Bauwerksbreite; die Eigenlast des schwingenden Bauwerks einschließlich aller Anbauten; die Eigenlast der tragenden Konstruktion.

26 Stefan Zeising Einwirkungen Windlast nach DIN (03.05) Die in diesem Kapitel vorgestellte, neue DIN (03.05) enthält die komplette Berechnung der Windbelastung in Windrichtung. Sie enthält keinen Verweis mehr auf die DIN Die Gesamtwindkraft F w, die auf ein Bauwerk oder Bauteil einwirkt, wird wie folgt berechnet: F w = c f q(z e ) A ref (3.1) c f der aerodynamische Kraftbeiwert; q(z e ) der Geschwindigkeitsdruck in der Bezugshöhe z ; e A ref die Bezugsfläche für den Kraftbeiwert. Für Baukörper, welche die Bedingung (3.13) erfüllen, kann die Windkraft vereinfachend abschnittsweise nach Gleichung (3.14) ermittelt werden. Auf den Körperabschnitt j wirkt dabei die Windkraft F wj. l > b (3.13) l die Bauwerkshöhe; b die Bauwerksbreite quer zur Windrichtung. F wj = c fj q(z ej ) A j (3.14) c fj der aerodynamische Kraftbeiwert im Teilabschnitt j; q(z ej ) der Geschwindigkeitsdruck in der Höhe der Oberkante des Abschnitts j über Grund; A j die Bezugsfläche, auf die der Kraftbeiwert bezogen ist.

27 Stefan Zeising Einwirkungen Die Ermittlung des Kraftbeiwertes c f nach DIN (03.05) erfolgt identisch zu DIN 4131 (11.91) wie in Kapitel beschrieben. Hier sei auf die Gleichungen (3.0) und (3.03) verwiesen. Den Regelungen für den Geschwindigkeitsdruck liegt eine Böengeschwindigkeit zu Grunde, die über eine Böendauer von bis 4 s gemittelt wurde. Im Gegensatz zur DIN 4131 (11.91) berücksichtigt die Berechnung des Böengeschwindigkeitsdrucks nach DIN (03.05) neben der Höhenabhängigkeit auch den Einfluss der Geländerauigkeit und der Topografie der Umgebung. Nach Anhang B der DIN (03.05) werden dabei folgende Geländekategorien unterschieden: Geländekategorie I Offene See; Seen mit mindestens 5 km freier Fläche in Windrichtung; glattes, flaches Land ohne Hindernisse Geländekategorie II Gelände mit Hecken, einzelnen Gehöften, Häusern oder Bäumen, zum Beispiel landwirtschaftliches Gebiet Geländekategorie III Vorstädte, Industrie- oder Gewerbegebiete; Wälder Geländekategorie IV Stadtgebiete, bei denen mindestens 15% der Fläche mit Gebäuden bebaut sind, deren mittlere Höhe 15 m überschreitet In der Übergangszone zwischen zwei Geländerauigkeiten nimmt das Windprofil allmählich die Form an, die der neuen Rauigkeit entspricht. Da in Deutschland selten große Gebiete mit gleicher Bodenrauigkeit vorkommen, treten hier überwiegend Mischprofile auf. Als Regelfall sind in der DIN (03.05) drei Profile des Böengeschwindigkeitsdrucks angegeben. Das erste gilt für das Binnenland, das zweite für einen 5 km

28 Stefan Zeising Einwirkungen breiten Streifen entlang der Küste und den Inseln der Ostsee, das dritte auf den Inseln der Nordsee. Für das Binnenland, einem Mischprofil aus Geländekategorie II und III gelten folgende Vereinbarungen für den Geschwindigkeitsdruck q abhängig von der Höhe z: q(z) = 1,5 q ref für z 7m (3.15) q(z) = 1,7 q ref z 10 0,37 für 7 m < z 50 m (3.16) q(z) =,1 q ref z 10 0,4 für 50 m < z 300 m (3.17) z die Bauwerkshöhe q ref der Geschwindigkeitsdruck der mittleren Referenzgeschwindigkeit Der Geschwindigkeitsdruck q ref der mittleren Referenzgeschwindigkeit v ref ist in der Windzonenkarte der DIN (Anhang A, Bild A.1) angegeben. Für den vorliegenden Fall handelt es sich um die Windzone, die die Norddeutsche Tiefebene umfasst. Folgende Werte können für den Standort Wiedemar angenommen werden: kn q ref = 0,39 m v ref = 5,0 s m Die Bezugsfläche für den Kraftbeiwert ergibt sich wie folgt: A ref = l b (3.18) l die Länge des betrachteten Bauwerkabschnitts; b der Durchmesser.

29 Stefan Zeising Einwirkungen Die statische Ersatzlast F w für die Gesamtwindkraft, die die tatsächliche dynamische Belastung durch den Wind enthält, also die Schwingungswirkung in Windrichtung, wird wie folgt ermittelt: F w = G c f q m (z e ) A ref (3.19) G der Böenreaktionsfaktor; c f der aerodynamische Kraftbeiwert; q m (z e ) der mittlere Geschwindigkeitsdruck in Höhe z e über Gelände; z e A ref die effektive Höhe; die Bezugsfläche für den Kraftbeiwert. Der mittlere Geschwindigkeitsdruck q m für die Bestimmung der statischen Ersatzlast F w wird nach Gleichung (3.0) berechnet: q m = 1 ρ v m (3.0) kg ρ die Luftdichte, ρ = 1,5 3 ; m die mittlere Windgeschwindigkeit. v m Die mittlere Windgeschwindigkeit v m ergibt sich nach DIN (03.05), Tabelle B.3, aus der Verhältnisgleichung (3.1): v v m ref = 0,86 z 10 0,5 (3.1) v m die mittlere Windgeschwindigkeit für z = z e ; v ref die mittlere Referenzgeschwindigkeit nach DIN (Anhang A, Bild A.1).

30 Stefan Zeising Einwirkungen Die effektive Höhe z e ist nach DIN (03.05), Bild C.1: z e = 0,6 h z e z min (3.) z min die Mindesthöhe nach DIN (03.05), Tabelle B.3; z min = 7 m. Die Ermittlung des Böenreaktionsfaktors G ist nach DIN (03.05) wesentlich aufwendiger als nach DIN 4131 (11.91): G = 1 + g I v (z e ) 0 R x Q + (3.3) g der Spitzenfaktor; I v (z e ) die Turbulenzintensität in der effektiven Höhe; Q 0 R x der quasi-statische Anteil (Böengrundanteil) der Böenreaktion; der Resonanzanteil der Antwort infolge der Böenreaktion. Der Spitzenfaktor g ist wie folgt definiert: g = ln(ve t) + 0,6 (3.4) ln(v t) E v E der Erwartungswert der Frequenz der Böenreaktion nach Gleichung (3.5); t der Mittelungszeitraum (t = 600 s) für die Bezugsgeschwindigkeit v ref. v E,0 Q0 + n1,x v E = Q + R 0 x R x (3.5)

31 Stefan Zeising Einwirkungen v E, 0 der Erwartungswert der Frequenz der Böenreaktion des Tragwerks bei Annahme quasi-statischen Tragverhaltens nach Gleichung (3.6); n 1, x die erste Eigenfrequenz der Bauwerksschwingung in Windrichtung. v E, 0 = v L m i ( z e ) ( z ) e 1 0,615 1, 11 S (3.6) v m (z e ) die mittlere Windgeschwindigkeit für z = z e nach Gleichung (3.1); L i (z e ) das Integrallängenmaß der Längskomponente der Turbulenz in Richtung des mittleren Windes für z = z e ; S der Faktor nach Gleichung (3.7). S = 0,46 b + h + L i ( z e ) 1,58 b h L i ( z e ) (3.7) h die Bauwerkshöhe. Die Grundbiegeeigenfrequenz kann abgeschätzt werden nach: 46 n 1, x = h (3.8) Das Integrallängenmaß der Turbulenz ist wie folgt definiert: L i (z) = 300 z 300 ε für z min z 300 m (3.9) ε der Exponent nach DIN (03.05), Tabelle C.1.

32 Stefan Zeising Einwirkungen Für das Mischprofil Binnenland gilt: ε = z 0,10 (3.30) Der quadrierte Böengrundanteil Q 0 wird mit nachstehender Gleichung ermittelt: Q 0 = 1 b + h 1+ 0,9 L i ( z e ) 0,63 (3.31) Der quadrierte Resonanz-Antwortanteil R x ist wie folgt definiert: R x = π R N R h R b (3.3) δ δ das logarithmische Dämpfungsdekrement für Schwingungen in Windrichtung nach DIN (03.05), Anhang F; R N die dimensionslose spektrale Dichtefunktion der Windgeschwindigkeit an der Resonanzstelle n = n 1, x. R, h R b sind die aerodynamischen Übertragungsfunktionen. R N = n ( ) 1, x Sv n1,x σ v = 6,8 N 1,x 5 ( , N ) 3 1,x (3.33) N 1, x = n L 1,x v m i ( z e ) ( z ) e (3.34) Die aerodynamischen Übertragungsfunktionen R h und R b werden für die Grundschwingungsform mit gleichsinnigem Vorzeichen (gleichgerichtete Verformung) angegeben. Sie werden ausgehend von R l wie folgt berechnet:

33 Stefan Zeising Einwirkungen 1 1 R l = - η η -η ( - e ) 1 für η > 0 R l = 1 für η = 0 (3.35) Es ist R h = R l mit η = 4,6 N h L i 1,x ( z ) e (3.36) R b = R l mit η = 4,6 N b L i 1,x ( z ) e (3.37) Die so ermittelte statische Ersatzlast für die Gesamtwindkraft F w, welche die tatsächliche dynamische Belastung durch den Wind enthält, wird über die Wirklänge L j angesetzt Windbelastung quer zur Windrichtung Wirbelerregte Schwingungen senkrecht zur Windrichtung treten insbesondere bei Baukörpern mit kreisförmigem Querschnitt auf. Für die Bemessung ist der Resonanzfall maßgebend, bei dem die Wirbelablösefrequenz mit der Eigenfrequenz übereinstimmt. Im Anhang A der DIN 4131 (11.91) wird zur dynamischen Berechnung folgende Gleichung für die Erregerkraft p lat angegeben: p lat = c lat ρ v crit d sin( π f t) (3.38) c lat der aerodynamische Erregerbeiwert; ρ v crit d f die Luftdichte; die kritische Windgeschwindigkeit; der Außendurchmesser des Kreiszylinders im Bereich der Wirbelerregung; die Eigenfrequenz des Bauwerks.

34 Stefan Zeising Einwirkungen Die Luftdichte ist von der Temperatur und dem Luftdruck abhängig, sie darf vereinfacht mit ρ = 1,5 kg/m 3 angenommen werden. Der Außendurchmesser ist bei konischen Bauwerken mit einer Mantelneigung,5 % in 5/6 der Bauwerkshöhe zu ermitteln. Die kritische Windgeschwindigkeit v crit, bei der der Resonanzfall eintritt, kann wie folgt ermittelt werden: v crit = d f S (3.39) Die gleiche Berechnung, allerdings mit den Formelzeichen nach DIN (03.05), lautet: v crit = b n St i, y (3.39a) d, b der Außendurchmesser des Kreiszylinders im Bereich der Wirbelerregung; f, n i, y die Eigenfrequenz des Bauwerks; S, St die Strouhalzahl. Für jede Durchmesserabstufung ist eine eigene kritische Windgeschwindigkeit zu berechnen. Dies ist nicht der Fall, wenn die Änderung der Durchmesser benachbarter Schüsse kleiner als 0 % ist und die Länge eines Schusses größer ist als der vierfache Durchmesser. Der Außendurchmesser darf dann mit dem Durchmesser in 5/6 der Bauwerkshöhe angenommen werden. Die zu untersuchende Eigenfrequenz des Bauwerks ist abhängig von der Schlankheit λ des Systems. Für Kragsysteme, deren Schlankheit die Bedingung nach Gleichung (3.40) erfüllt, ist nur die erste Eigenfrequenz zu prüfen.

35 Stefan Zeising Einwirkungen h 60 mit d m = d m d i h h i i (3.40) h die Höhe des Bauwerks; d m der mittlere Durchmesser des Bauwerks; d i der Durchmesser im Abschnitt i; h i die Höhe des Abschnitts i. Die Strouhalzahl wird nach DIN 4131 (11.91) für Kreiszylinder mit S 0, angenommen, nach DIN (03.05) mit St = 0,18. Für bestimmte kritische Windgeschwindigkeiten kann der Nachweis der Querschwingung entfallen. Dies gilt für folgende Werte: Windzone I, II Windzone III, IV v crit 30 m/s v crit 40 m/s Der Grundwert c lat, 0 für den aerodynamischen Erregerbeiwert ist abhängig von der Reynoldszahl Re und lässt sich aus dem Bild A.10 (DIN 4131 (11.91)) bzw. dem Bild D. (DIN (03.05)) ablesen. Für einen Wertebereich von Re ergibt sich c lat, 0 = 0,7. Die Reynoldszahl Re ist bei der kritischen Windgeschwindigkeit zu berechnen: Re (v crit ) = b v ν crit (3.41) ν die kinematische Zähigkeit der Luft, ν = 1, m s 1. Der aerodynamische Erregerbeiwert c lat lässt sich mit Hilfe folgender Beziehungen ermitteln:

36 Stefan Zeising Einwirkungen v v crit m,lj 0,83 c lat = c lat, 0 0,83 v v crit m,lj 1,5 c lat = v crit 3,4 c lat, 0 v m,lj 1,5 v v crit m,lj c lat = 0 (3.4) v m, Lj die mittlere Windgeschwindigkeit nach Gleichung (3.1), in der Mitte der Wirklänge L j, die je Jahr mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,0 überschritten wird. Der Nachweis der Querschwingung entfällt für v crit 1,5 v für c lat der Wert 0 resultiert. m, Lj, da hierbei Die Beanspruchungen infolge wirbelerregter Querschwingungen resultieren aus den Massenträgheitskräften des in Resonanz erregten Systems. Im Punkt j errechnen sich die Massenträgheitskräfte F i senkrecht zur Windrichtung nach folgender Gleichung: F i (s j ) = M j ( π n i, y ) Φ i, y (s j ) max y F (3.43) M j die schwingende Masse im Punkt s = s j ; Φ n i, y die Eigenfrequenz der i-ten Schwingungsform quer zur Windrichtung; i, y (s j ) die normierte Schwingungsform i quer zur Windrichtung als Verhältnis der Schwingwegamplitude y im Punkt s = s j zur größten Schwingwegamplitude max y F ; max y F die größte Schwingwegamplitude;

37 Stefan Zeising Einwirkungen s die Laufkoordinate über die Struktur; für sich vorwiegend vertikal erstreckende Bauwerke gilt s z. Die Schwingwegamplitude y und die größte Schwingwegamplitude max y F dürfen näherungsweise als Auslenkung des Systems unter der Last der Trägheitskräfte ermittelt werden. Bei der kritischen Windgeschwindigkeit v crit tritt die maximale Schwingwegamplitude max y F auf: max y F 1 1 = K W K c lat b St Sc (3.44) b die maßgebende Breite des Querschnitts im Bereich der Wirbelerregung; K W K Sc der Wirklängenfaktor; der Beiwert der Schwingungsform; die Scrutonzahl. Die Scrutonzahl ist ein Massendämpfungsparameter und berechnet sich wie folgt: mi,y δ Sc = ρ b (3.45) m i, y die äquivalente Masse je Längeneinheit; δ das logarithmische Dämpfungsdekrement. Für das logarithmische Dämpfungsdekrement eines geschweißten oder mit GV-Verbindung geschraubten Rohres ergibt sich nach DIN ein Wert von δ = 0,015.

38 Stefan Zeising Einwirkungen Die reduzierte Masse je Längeneinheit m i, y wird mit folgender Gleichung berechnet: m i, y = L 0 m Φ L 0 Φ i i ( s) ( s) ds ds i = i m i h i ϕ ϕ i i (3.46) Φ i, ϕ i die bezogene Schwingwegamplitude in der Mitte des Abschnitts i; m i die schwingende Masse des Abschnitts i; h i die Länge des Abschnitts i. Der Wirklängenfaktor K W wird über die Gleichung (3.47) ermittelt: K W = n j= 1 L l j Φ Φ i,y i,y ( s) ( s) ds ds (3.47) n die Anzahl der Bereiche, in denen Wirbelablösung gleichzeitig auftritt; L j die Wirklänge; Φ i,y die normierte Schwingungsform; l die gesamte abgewickelte Stablänge; für kragarmartige Bauwerke ist l gleich der Bauwerkshöhe. Sofern bei Bauwerken nur die Grundschwingungsform (1. Eigenschwingung) berücksichtigt werden muss, kann der Wirklängenfaktor K W näherungsweise wie folgt bestimmt werden: K W = 3 L j b λ L j b 1 L j b λ (3.48) 3 λ

39 Stefan Zeising Einwirkungen λ die Schlankheit des Bauwerks; λ = l/b. Die Wirklänge L j wird auf den Durchmesser bezogen und ist abhängig von der größten in ihrem Bereich auftretenden Schwingwegamplitude max y F : L j = 6 für b max y F 0,1 b L j b = 4,8 + 1 max y F max y für 0,1 < F < 0,6 b b L j = 1 für b max y F 0,6 (3.49) b Für einseitig eingespannte Kragsysteme mit n = 1 ist der Ort der anzusetzenden Wirklänge am oberen Ende des Systems. Für die Berechnung des Beiwertes der Schwingungsform K gilt folgende Gleichung: K = l 4π Φ l i,y Φ ( s) i,y ( s) ds ds (3.50) Für einfache Strukturen, die in der Grundschwingungsform schwingen, kann nach DIN der Beiwert mit K = 0,13 angenommen werden. Die Berechnungen für die Wirklänge, den Wirklängenfaktor K W und die maximale Auslenkung max y F müssen iterativ vorgenommen werden Vergleich DIN 4131 (11.91) DIN (03.05) Die Windbelastung quer zur Windrichtung wird bis auf die abgeänderten Formelzeichen in der alten und neuen DIN identisch ermittelt.

40 Stefan Zeising Einwirkungen Die wesentlichen Unterschiede in den Annahmen für die Windlasten nach DIN 4131 (11.91) und DIN (03.05) liegen in der Berechnung des Böenreaktionsfaktors ϕ B bzw. G und der Beachtung des Einflusses der Geländerauigkeit und der Topografie der Umgebung nach DIN (03.05). Der Böenreaktionsfaktor ϕ B nach DIN 4131 (11.91) erfasst lediglich die Schwingungsdauer der Grundschwingung des Bauwerks. Diese berechnet sich aus den ständigen Lasten des Systems und dessen Auslenkungen infolge der horizontal wirkend angenommenen ständigen Lasten. Die Frequenz und damit die Schwingungsdauer der Grundschwingung nach DIN (03.05) wird nach einer einfachen Formel abgeschätzt, die nur auf die Höhe des Bauwerks Bezug nimmt. Der Böenreaktionsfaktor erfasst jedoch diverse weitere Einflüsse, so unter anderem die Turbulenzintensität, die mittlere Windgeschwindigkeit sowie den Erwartungswert der Frequenz der Böenreaktion, daneben einige weitere einheitenlose Faktoren wie den Böengrundanteil und den Resonanz- Antwortanteil. Die Berechnung wird damit erheblich aufwendiger; für eine weitere Anwendung lässt sich dieser Rechenweg mit Hilfe des Programms Excel von Microsoft vereinfachen. Im Gegensatz zur DIN 4131 (11.91) wird die um den Böenreaktionsfaktor erhöhte Windkraft nicht am gesamten Mast als Faktor angesetzt, sondern nur als Ersatzlast über eine bestimmte Wirklänge, ähnlich der Vorgehensweise zur Windbelastung quer zur Windrichtung (Querschwingung). Durch die Erfassung der Bodenrauigkeit nach DIN (03.05) wird ein zusätzlicher Faktor berücksichtigt. Desweiteren darf der Staudruck nicht mehr linear über die Höhe wachsend angenommen werden, sondern wird für jeden Abschnitt einzeln berechnet. Auch hier kann das Programm Microsoft Excel zur Anwendung kommen. In der Summe der einzelnen Faktoren Staudruck, aerodynamischer Kraftbeiwert und Querschnittsfläche ergibt sich eine über die Höhe verhältnismäßig ungleichförmige

41 Stefan Zeising Einwirkungen Belastung im Vergleich zur trapezförmigen Last nach DIN 4131 (11.91), welche konstant mit der Höhe abnimmt. Trotz der unterschiedlichen Ansätze zur Berechnung der Windlasten ergeben sich im Ergebnis für die DIN 4131 (11.91) und die DIN (03.05) fast identische Lasten und damit annähernd gleiche Werte für die Auslastung des Mastes. So ist zwar die Windlast nach der neuen DIN (03.05) insgesamt um etwa ein Fünftel geringer, sie wird jedoch im Vergleich deutlich höher am Mast angesetzt und hat somit einen verhältnismäßig größeren Einfluss auf das Bauwerk. Im Ergebnis sind beide Windlastansätze nahezu identisch. 3.. Verkehrslast Zur Wartung der Antennen und Anlagen ist eine begehbare Kopfbühne und ein Wartungspodest am Mast vorhanden. Für die Bemessung von Bühnen und Podesten ist eine gleichmäßig verteilte Verkehrslast von kn/m anzunehmen, welche die Schnee- und Eislast einschließt. Alternativ kann an ungünstiger Stelle eine Einzellast von 3 kn angesetzt werden, wenn diese ungünstiger wirkt als die vorgenannte Flächenlast. Für den Nachweis eines Tragwerks mit mehr als zwei Anbauteilen (Bühnen, Podeste) braucht jedes Außenpodest nur mit 1 kn/m belastet zu werden. Zur Bemessung eines Geländers wird eine Linienlast von 0,5 kn/m angenommen, die horizontal nach außen oder innen wirkend am Geländerholm angreift. Die Tragfähigkeit von Leitern ist durch die Annahme einer Vertikallast an ungünstiger Stelle von 1,5 kn nachzuweisen Eislast Die Eislast wird nach DIN (07.05) bestimmt. Ähnlich wie in der DIN (03.05) ist Deutschland hierfür in verschiedene Zonen

42 Stefan Zeising Einwirkungen eingeteilt, in denen unterschiedlich große Eisansätze zu bemessen sind; die Norddeutsche Tiefebene gehört zur Zone. Für die Art der Vereisung sind zwei Klassen definiert. Die Vereisungsklasse G geht von einer allseitigen Ummantelung mit Klareis (gefrierende Nebellagen) oder Glatteis (gefrierender Regen) aus, die durch die Dicke t der Eisschicht charakterisiert ist. Die Vereisungsklasse G1 hat einen allseitigen Eisansatz von t = 1 cm und G entsprechend t = cm. In der Vereisungsklasse R führt die vorherrschende Windrichtung während der Vereisung des Bauwerks zum Aufbau einer einseitigen, gegen den Wind anwachsenden, kompakten Raueisfahne. Diese ist durch das Gewicht des an einem dünnen Stab angelagerten Eises definiert. Für Stäbe mit einem Querschnitt größer als 300 mm wird zur Berechnung ein Querschnitt von 300 mm angenommen. In der Vereisungsklasse R1 wird mit einem Eisgewicht von 0,005 kn/m gerechnet, in der Klasse R mit einem Gewicht von 0,009 kn/m. Gemäß DIN (03.05) kann in der Lastkombination der Wind bei Vereisung auf 75% abgemindert werden. Die Eislast ist bei einem Mast jedoch nicht ausreichend, um diese Abminderung aufzuwiegen. Daher ist die Eislast im Allgemeinen für Antennenträger nicht relevant Wärmeeinwirkung Als gleichmäßige Temperaturänderung sind Schwankungen von ± 35 K gegenüber einer Aufstelltemperatur von +10 C anzunehmen. Sofern seitens des Auftraggebers keine anderen Angaben gemacht werden, kann ein linear veränderlicher Temperaturunterschied von 15 K über den Tragwerksquerschnitt angenommen werden. Es ist dann ein Staudruck von q = 0,3 kn/m als gleichmäßig verteilte, statische Last anzusetzen.

43 Stefan Zeising Einwirkungen 3..5 Lasten aus Bauzuständen Lasten aus Bauzuständen, zum Beispiel aus Montageabspannungen oder Hebezeugen sind im Allgemeinen zu berücksichtigen, für den vorliegenden Fall jedoch nicht von Bedeutung. 3.3 Außergewöhliche Einwirkungen Als außergewöhnliche Einwirkungen gelten Ersatzlasten für Erdbeben oder Absturzlasten. Die Ersatzlasten für Erdbebeneinwirkungen werden nach DIN 4149 bestimmt. Bedingt durch den Aufbau der Erdkruste aus kontinentalen Platten treten auf der Erdoberfläche an verschiedenen Orten unterschiedliche Erdbebenzonen auf. Charakteristische Größe für eine Erdbebenzone ist der Regelwert a 0, welcher der zu erwartenden Beschleunigung entspricht. Weiterhin ist die Bauwerksklasse für die Ermittlung der Erdbebenersatzlast von Bedeutung. Aufgrund der langgestreckten und schmalen Struktur des zu bemessenden Antennenträgers ist dieser Lastfall nicht relevant, da die Schwingungseinwirkung durch Wind deutlich größer ist als die zu erwartende Schwingung durch Erdbeben. Für Antennenträger muss grundsätzlich eine Absturzlast berücksichtigt werden. Es ist eine Vertikallast von V = 7,5 kn an den Steigleitern der Tragkonstruktion anzusetzen, die für die Montage und Wartung vorgesehen sind. Da die Konstruktion aber vorrangig auf Biegung beansprucht wird, kann die Absturzlast im Allgemeinen problemlos aufgenommen werden und ein gesonderter Nachweis somit entfallen. In den Planungshandbüchern der Mobilfunkbetreiber können besondere Festlegungen getroffen werden, was die Größe und Neigung sowie den Ort dieser außergewöhnlichen Einwirkung betrifft.

44 Stefan Zeising Nachweise 4. Nachweise für Antennenträger Für den zu bemessenden Rohrmast sind Nachweise für folgende Punkte von Bedeutung: - Tragsicherheit - Betriebsfestigkeit - Gebrauchstauglichkeit Der Nachweis des Biegeknickens nach DIN (11.90) ist für den vorliegenden Fall nicht relevant. 4.1 Tragsicherheit Schnittgrößenermittlung Der Nachweis der Tragsicherheit ist nach DIN 4131 (11.91) und DIN (11.90) zu führen. Aus den in Kapitel 3 ermittelten Belastungen sind die Schnittgrößen zu bestimmen. Nach DIN (11.90) ergeben sich folgende Einwirkungskombinationen: - Grundkombination - außergewöhnliche Kombination Es wird von der nachfolgend beschriebenen Grundkombination ausgegangen: Die ständige Einwirkung des Eigengewichts wird mit dem Teilsicherheitsbeiwert γ F = 1,35 vervielfacht, die veränderlichen Einwirkungen mit γ F = 1,5. Veränderliche Einwrkungen sind nach Kapitel 3, soweit vorhanden, Wind-, Verkehrs- und Eislasten, Lasten aus Wärmeeinwirkung und Bauzuständen. In die außergewöhnliche Lastkombination können alle Belastungen einschließlich der außergewöhnlichen Einwirkungen wie Absturzlasten

45 Stefan Zeising Nachweise und Lasten aus Erdbeben mit dem Faktor γ F = 1,0 eingehen. Im vorliegenden Fall ist diese Kombination nicht relevant, da keine wesentlichen, außergewöhnlichen Einwirkungen vorliegen. Die Schnittgrößen werden im Allgemeinen nach der Elastizitätstheorie II. Ordnung berechnet, also am verformten Tragwerk. Da der Nachweis der Tragsicherheit nach dem Verfahren Elastisch- Plastisch für Antennentragwerke nicht zulässig ist, dürfen die Grenzschnittgrößen bei Antennentragwerken mit Rohrquerschnitten um 10 % erhöht werden. So wird für die Tragfähigkeit die Ausnutzung der Plastifizierung berücksichtigt. Der Nachweis der Tragsicherheit wird immer nach dem Verfahren Elastisch-Elastisch nach DIN (11.90) geführt. Bei diesem Verfahren ist nachzuweisen, dass sich das System in einem stabilen Gleichgewichtszustand befindet und die Beanspruchungen den Bemessungswert der Streckgrenze in keinem Querschnitt überschreiten. Desweiteren sind die Grenzwerte für das Verhältnis von Durchmesser d zu Materialstärke t (grenz d/t nach DIN (11.90), Tabelle 14) zu belegen und eine ausreichende Beulsicherheit nach DIN bzw. DIN zu gewährleisten. Der Nachweis der Tragsicherheit wird von dem Programm STAHL, einem Teilprogramm von RSTAB, geführt. Die dafür verwendeten theoretischen Grundlagen werden in den folgenden Kapiteln vorgestellt Spannungsnachweise Die Nachweisführung umfasst folgende Punkte: - Nachweis der Normalspannung - Nachweis der Schubspannung - Vergleichsspannungsnachweis

46 Stefan Zeising Nachweise Normalspannung Die Berechnung der Normalspannung erfolgt auf Grundlage des Linearitätsgesetzes. Es ergibt sich für die Normalspannung σ eines dünnwandigen Kreisquerschnitts folgende Formel: σ = N My Mz + z y (4.01) A I I N A I M y, M z die Normalkraft; die Querschnittsfläche; das Flächenmoment. Ordnung. sind die Biegemomente um die y- bzw. die z-achse. Dabei hat ein Kreisquerschnitt folgende Fläche A: π A = ( D d ) 4 (4.0) und das Flächenmoment I: π 4 4 I = ( D d ) 64 (4.03) D der Außendurchmesser; d der Innendurchmesser. Die Grenznormalspannung σ R, d, die zum Führen des Normalspannungsnachweises notwendig ist, berechnet sich nach der Gleichung: σ R,d = f y, d = f y,k γ M (4.04) f y, d der Bemessungswert für die Streckgrenze; f y, k die Streckgrenze;

47 Stefan Zeising Nachweise γ M der Teilsicherheitsbeiwert; nach DIN ist γ M = 1,1. Der Nachweis der Normalspannung ist mit folgender Bedingung zu führen: σ σ R,d 1 (4.05) Schubspannung Bei einem dünnwandigen Querschnitt wirken die Schubspannungen in Umfangrichtung, da aufgrund der geringen Plattensteifigkeit radial keine Spannungen übertragen werden können. Zur Berechnung der Schubspannung τ eines Kreisquerschnitts gilt folgende Gleichung: τ = M W x T V V z y y z + - (4.06) A r A r v v W T das elastische Widerstandsmoment nach Gleichung (4.07); A v die Querschnittsfläche nach Gleichung (4.08); r V y, V z der Radius des Kreisringquerschnitts. sind die Querkräfte in y- bzw. in z-richtung. W T = A t = t π r (4.07) t die Wanddicke. A v = t π r (4.08) Aus Symmetriegründen ist die Schubspannung in der z-achse gleich Null und in der y-achse maximal.

48 Stefan Zeising Nachweise Die für den Nachweis der Schubspannung τ R, d benötigte Grenzschubspannung wird nach Gleichung (4.09) berechnet: τ R,d = f y, d 3 (4.09) Der Nachweis der Schubspannung ist mit folgender Bedingung zu führen: τ τ R,d 1 (4.10) Vergleichsspannung In den Festigkeitsnachweisen treten kombinierte Spannungszustände auf. Im Stahlbau kommen zwar im Allgemeinen nur dünnwandige Profile zum Einsatz, wodurch meist ein ebener Spannungszustand vorliegt; allerdings tritt bei Beanspruchung quer zur Blechdicke ein räumlicher Spannungszustand auf. Deshalb ist es nötig, einen Vergleichsspannungsnachweis zu führen. Die Formel zur Berechnung der Vergleichsspannung Kreisquerschnitte lautet wie folgt: σ w, v für σ w,v = σ + 3τ (4.11) Der Nachweis der Vergleichsspannung ist mit der nachfolgenden Bedingung zu führen: σ σ v R,d 1 (4.1) In Ausnahmefällen darf die Vergleichsspannung die Grenzspannung um 10 % übersteigen. Dafür müssen folgende Bedingungen erfüllt sein: N M + y z 0,8 σ R, d (4.13) A I y N M + z y 0,8 σ R, d (4.14) A I z

49 Stefan Zeising Nachweise 4. Betriebsfestigkeit Für den Nachweis der Betriebsfestigkeit ist die Anzahl der Spannungswechsel, die durch die wirbelerregte Querschwingung hervorgerufen werden, für die jeweils kritische Windgeschwindigkeit zu ermitteln. Die Anzahl der Spannungswechsel N ist proportional zur Lebensdauer des Bauwerks. Nach DIN 4131 (11.91) wird generell von einer Lebensdauer von 50 Jahren ausgegangen; es gilt folgende Gleichung: N = 10 9 f v v crit 0 e vcrit v0 (4.15) f die Eigenfrequenz des Bauwerks; v crit v 0 die kritische Windgeschwindigkeit; der Bezugswert der Windgeschwindigkeit; vereinfachend gilt für die Windzone II v 0 = 5 m/s. Für die Berechnung der Spannungsschwingspiele nach DIN (03.05) kann eine spezielle Lebensdauer eingesetzt werden. Dazu wird folgende Gleichung verwendet: N = 6, T n i, y ε 0 v v crit,i 0 e vcrit,i v0 (4.16) T die Entwurfslebensdauer in Jahren; n i, y die Eigenfrequenz des Bauwerks; ε 0 v crit der Bandbreitenfaktor der Wirbelresonanz; er kann nach DIN zu ε 0 = 0,3 angesetzt werden; die kritische Windgeschwindigkeit der i-ten Querschwingungsform; v 0 siehe Gleichung (4.17).

50 Stefan Zeising Nachweise Der Wert v 0 kann näherungsweise berechnet werden mit: v 0 = v m, Lj (4.17) 5 v m, Lj die mittlere Windgeschwindigkeit nach DIN (03.05), Tabelle B.3, am Ort der Mitte der Wirklänge. Für den Nachweis der Betriebsfestigkeit wird auf DIN 413 (0.81) und DIN 4133 (11.91) verwiesen. Die Bedingung des Nachweises lautet: σ σ R 1 (4.18) σ die einwirkende Spannungsschwingbreite; σ R die Betriebsfestigkeit. Nach DIN 4133 (11.91) gelten folgende Gleichungen zur Berechnung der Spannungsschwingbreite σ : σ = min σ + max σ (4.19) min σ /max σ = A N ± W M (4.0) N die Normalkraft; A die Querschnittsfläche; M das Biegemoment; W das elastische Widerstandsmoment. Für N gilt: σ R = σ A N A N 1 m (4.1)

51 Stefan Zeising Nachweise σ A die Bezugsgröße der Betriebsfestigkeit entsprechend der Kerbfallklasse; N A N m die Anzahl der Spannungswechsel für die Bezugsgröße der Betriebsfestigkeit σ A ; nach DIN wird N A = 10 6 angesetzt; Anzahl der Spannungsschwingspiele; der Neigungsfaktor der σ -N-Linie: m = 3. Für N > gilt: σ R = σ A (4.) Die Bezugsgröße der Betriebsfestigkeit σ A wird anhand von Konstruktionsdetails nach dem Kerbfallkatalog in der DIN 413 (0.81) bestimmt. Für das vorliegende System ist der Kerbfall K von Bedeutung. Weitere Kerbfälle können auftreten, diese liegen aber nicht im Bereich der maximalen Beanspruchung durch Schwingungen und können vernachlässigt werden. Die Einhaltung der Kriterien für die Betriebsfestigkeit ist im Allgemeinen für Antennenträger unproblematisch. 4.3 Gebrauchstauglichkeit Für die Bemessung von Antennenträgern ist meist die Gebrauchstauglichkeit das maßgebende Kriterium, da die Mobilfunkanbieter hier sehr hohe Anforderungen stellen. Zur Aufrechterhaltung des Funkbetriebes gelten vor allem für Richtfunkantennen sehr enge Begrenzungen für die Verdrehungen. Dies ist jedoch auch stark vom jeweiligen Standort abhängig. So können unterschiedliche Vorgaben von Bedeutung sein. Prinzipiell gilt: Je näher die von den Richtfunkantennen zu erreichende Gegenstelle liegt, um so größer sind die zulässigen Verdrehungen. Genaue

52 Stefan Zeising Nachweise Werte lassen sich aber oft nur in Abstimmung mit dem Richtfunkplaner des jeweiligen Anbieters finden. In den Planungshandbüchern der Mobilfunkbetreiber /7, 8/ sind folgende Werte für die maximalen Verdrehungen angegeben: Tabelle 4.01: Zulässige Verdrehungen für Antennenträger, allgemeingültig Anbieter zulässige Verdrehungen der Antennenträger für Sektorantennen Richtfunkantennen E-Plus ±,0 Vodafone D ±,0 alle Durchmesser ± 1,0 Ø 0,3 m: ± 1,5 Ø = 0,6 m: ± 0,80 Ø > 0,6 m: ± 0,50 Folgende Werte für die maximalen Verdrehungen wurden von den Richtfunkplanern von E-Plus und Vodafone D für den Standort Wiedemar vorgegeben: Tabelle 4.0: Zulässige Verdrehungen für Antennenträger, Standort Wiedemar Anbieter zulässige Verdrehungen der Antennenträger für Sektorantennen Richtfunkantennen E-Plus ± 1, Ø 0,6 m: ± 0,8 Ø 1, m: ± 1,0 Vodafone D ± 1, Ø 0,6 m: ± 0,43 Zur Berechnung der maximalen Verdrehungen wird der Lastfall Wind 1,0-fach herangezogen. Durch die unterschiedlichen Windlastansätze nach DIN 4131 (11.91) und DIN (03.05) ergeben sich nach der ab dem gültigen Norm für den Antennenträger am Standort Wiedemar größere Ver-

53 Stefan Zeising Nachweise drehungen. Dadurch wird die Einhaltung der in Tabelle 4.0 genannten Werte für die maximal zulässigen Verdrehungen erschwert. Weitere Lasterhöhungen können damit nicht mehr abgefangen werden; das bedeutet, dass für zusätzliche Nachrüstungen nach den bereits geplanten die Einhaltung der Gebrauchstauglichkeit nicht mehr gewährleistet ist.

54 Stefan Zeising Berechnung Flansch 5. Berechnung Flansch +10,08 m Der 50 Meter-Rohrmast am Standort Wiedemar ist für die Einhaltung einer maximalen Länge für den Transport in insgesamt vier Schüsse unterteilt. Die einzelnen Schüsse werden bei der Montage über außenliegende Ringflansche mit vorgespannten, hochfesten Schrauben verbunden. Die Ringflansche werden in der Werkstatt an den Mantel angeschweißt, dadurch erhält das Rohr bereits hier die gewünschte Formstabilität für den Transport und die Montage. Für den Nachweis der Schrauben und des Flansches an sich gibt es in der Literatur verschiedene Modelle. Exemplarisch soll hier die Vorgehensweise nach Petersen /1/ und eine Berechnung mit Hilfe der Finiten Elemente Methode (FEM) vorgestellt werden. Als Beispiel wurde der Flansch +10,08 m gewählt, da dieser die größte Auslastung vermuten lässt. Abbildung 5.01: Flansch +10,08 m

55 Stefan Zeising Berechnung Flansch 5.1 Berechnung nach Petersen In diesem Kapitel soll die elasto-statische Theorie des L-Modells nach Petersen (siehe Abbildung 5.0) vorgestellt und angewendet werden. Abbildung 5.0: L-Modell nach Petersen Die Ringflasche der Dicke t sind mit dem Rohr der Dicke s über Kehlnähte verschweißt. Die beiden Flansche werden über vorgespannte Schrauben verbunden. Dadurch ensteht ein Druckkörper, der in der Abbildung 5.0 angedeutet ist. Die Spannung im Rohr wird durch die Kraft Z dargestellt Theoretische Grundlagen Die Belastung der Schrauben des Flansches resultiert aus der Spannung, die im Rohr anliegt. die Zugkraft F in der Schraube zu ermitteln, die nicht größer sein darf als die maximal zulässige Grenzzugkraft N Im Ausgangszustand ist die Schraube mit der Vorspannkraft F V vorgespannt. Abbildung 5.03 zeigt die modellmäßige Idealisierung des Flansches. R, d.

56 Stefan Zeising Berechnung Flansch Abbildung 5.03: Flansch-Idealisierung nach Petersen Die Anbindung des Stirnblechs (Flansch mit der Dicke t) an das Zugblech (Rohrmantel mit der Dicke s) wird durch eine Drehfeder mit der Federkonstante K und die Klemmwirkung der Schraube durch eine Verschiebungsfeder mit der Federkonstante C ersetzt. Letztere setzt sich in Form einer Parallelschaltung aus der Feder der Schraube (C S ) und der Feder des unter Druck stehenden Klemmkörpers (C D ) zusammen: C = C S + C D (5.01) Es wird unterstellt, dass sich die Bleche gegenseitig am Rand abstützen; hierbei tritt die Randkraft R auf. Die Kraft F in der Feder bewirkt eine Erhöhung der Schraubenkraft F VS gegenüber der Vorspannkraft F V und eine Reduzierung der Klemmkraft F VD in der Kontaktfuge: F' VS = F V + pf (5.0) F' VD = F V - qf (5.03) Dabei berechnen sich die Verteilungszahlen p und q wie folgt: p = C S (5.04) C

57 Stefan Zeising Berechnung Flansch q = C C D (5.05) 5.1. Praktische Berechnung Folgende Werte werden für die Berechnung verwendet: Abbildung 5.04: Flansch mit Parametern Schrauben: M ,0 F V s = 8 mm r i = 865 mm r K = 911 mm d L = 6 mm A S = 45 mm Dicke des Rohres mittlerer Radius des Rohres (Mantelmittellinie) Radius des Schraubenkranzes Lochdurchmesser Querschnitt Schraube F V = 0 kn Vorspannkraft nach DIN

58 Stefan Zeising Berechnung Flansch n = 7 Anzahl der Schrauben t = 40 mm Dicke des Flansches a = 35 mm Abstand Außenkante Flansch Schraubenmitte b = 46 mm Abstand Schraubenmitte Mantelmittellinie E = kn/cm Elastizitätsmodul Stahl σ d = 9,41 kn/cm maximale Zugspannung im Rohr Der Abstand der Schrauben im Flansch berechnet sich nach folgender Gleichung: c = c = π rk n π 911 mm 7 (5.06) c = 79,5 mm Die in der Mantelmittellinie gedachte Kraft pro Schraube Z S ergibt sich nach Gleichung (5.07) aus der Umrechnung der maximalen Zugspannung im Rohr auf einen Sektor des Flansches: Z S = σ d c s (5.07) kn Z S = 9,41 cm 7,95 cm 0,8 cm Z S = 59,85 kn Durch die Umrechnung auf den Schraubenkranz ergibt sich die Kraft Z pro Schraube: Z = Z S r r i K (5.08) Z = 59,85 kn 865 mm 911 mm

59 Stefan Zeising Berechnung Flansch Z = 56,83 kn Für den Flansch erhält man das Produkt aus Elastizitätsmodul E und Flächenmoment. Grades I durch nachstehende Formel: EI = E h b 1 3 = E c t 1 3 (5.09) kn 7,95 cm (4,0 cm) EI = cm 1 3 EI = 8, kncm Die Drehfederkonstante K berechnet sich über folgende Gleichung: K = E c s 8,50 r s i 3 (5.10) K = kn cm 8,50 7,95 cm (0,8 cm) 86,5 cm 0,8 cm 3 K = 109 kncm Als Druckfeder wird der Flansch mit Unterlegscheiben (Ø 44) angesehen: D = 44 mm d = 5 mm s S = 4 mm Außendurchmesser Scheibe Innendurchmesser Scheibe Dicke Scheibe l = 80 mm Klemmlänge ohne Scheiben; l = t l S = 88 mm Klemmlänge mit Scheiben; l S = (t + s S ) π EA D 1 = E 4 l D + d (5.11) 10 kn EA D 1 = cm 4 π 8,0 cm 4,4 cm + 10 (,5 cm) EA D 1 = 3, kn

60 Stefan Zeising Berechnung Flansch EA D = E 4π ( d ) EA D = cm D (5.1) [ ] kn π ( 4,4 cm) (,5 cm) 4 EA D =, kn Mit EA D 1 und EA D ergeben sich die Teilfederkonstanten C D 1 und C D wie folgt: C D 1 = EA D 1 (5.13) l C D 1 = 5 3,43 10 kn 8,0 cm C D 1 = 4, kn cm C D = EA s D S (5.14) C D = 5,16 10 kn 0,4 cm C D 1 = 5, kn cm Damit ist die Gesamtfederkonstante C D für die Druckfeder: C D = 1 C D C D (5.15) C D = 1 4, kn cm 1 + 5, kn cm C D = 3, kn cm

61 Stefan Zeising Berechnung Flansch Die Federkonstante C S für die Zugfeder (Schraube) berechnet sich nach: C S = EA l S S (5.16) C S = kn ,5 cm cm 8,8 cm C S = 1, kn cm Die Federkonstante C ermittelt sich nach Gleichung (5.01) aus der Summe der beiden Einzel-Federkonstanten für die Druck- und die Zugfeder: C = C S + C D C = 1, kn + 3, cm kn cm C = 4, kn cm Die Verteilungszahlen p und q berechnen sich nach den Gleichungen (5.04) und (5.05): p = p = C S C 1, , kn cm kn cm p = 0,6 q = C D C

62 Stefan Zeising Berechnung Flansch q = 3, , kn cm kn cm q = 0,774 Für die Berechnung der Kraft F sind die einheitenlosen Parameter α, β, γ, δ und ε zu bestimmen: γ = b a (5.17) γ = 35 mm 46 mm γ = 0,761 δ = δ = C ab EI 4 kn 4, ,5 cm cm 5 8,90 10 kncm ( 4,6 cm) (5.18) δ = 7,96 ε = K b EI (5.19) 109 kncm 4,6 cm ε = 8, kncm ε = 6, β = Z b EI b = Z (5.0) EI β = ( 4,6 cm) 8, kncm Z

63 Stefan Zeising Berechnung Flansch β =, kn 1 Z α = γ γ δ ε ε 3 1 γ γ δ ε 3 β (5.1) 1 γ 1 mit = 1 + ε 3-3 6, ,761 3 = 161,3 α = ,3 0,761 7,96-3 6, ,3 0,761 7,96, kn -1 Z α = 5, kn 1 Z Damit ist die Kraft F in der Schraube: EI F = α b (5.) F = 5, kn 1 Z 8, kncm ( 4,6 cm) F =,309 Z Über das Hebelgesetz nach den Abbildung 5.03 und 5.04 ergibt sich für F in einer einfachen Abschätzung: Z (a + b) - F a = 0 (5.3) F = a + b a Z F = 35 mm + 46 mm 35 mm Z F =,314 Z

64 Stefan Zeising Berechnung Flansch Der Unterschied des abgeschätzten Wertes gegenüber dem die Biegesteifigkeit des Mantels erfassenden Wert ist sehr gering. Mit dem vereinfachten Ansatz über das Hebelgesetz nach Gleichung (5.3) ergibt sich eine nur minimal größere Belastung für die Schrauben; dieser Ansatz ist somit gut geeignet, die Berechnung zu verkürzen. Für Z = 56,83 kn werden die Kräfte in der Zugfeder (Schraube) und Druckfeder (Flansch) berechnet: für Z = 0: F VS = F VD = F V = 0 kn für Z = 56,83 kn: F =,31 Z F =,31 56,83 kn F = 131,3 kn Im Vergleich zu der Grenzzugkraft von N R, d = 56,7 kn ergibt sich der Nachweis für die Beanspruchbarkeit der Schraubenverbindung auf Zug nach Gleichung (5.4): F N R,d 1 (5.4) F N R,d = 131,3 kn 56,7 kn = 0,51 < 1 Damit ist der Nachweis für die verwendeten Schrauben erbracht. Nach Gleichung (5.0) ergibt sich für die erhöhte Schraubenkraft F' VS : F' VS = F V + pf F' VS = 0 kn + 0,6 131,3 kn F' VS = 49,7 kn Wenn die reduzierte Klemmkraft F' VD nach Gleichung (5.04) größer als 0 ist, so kann eine klaffende Fuge ausgeschlossen werden:

65 Stefan Zeising Berechnung Flansch F' VD = F V - qf F' VD = 0 kn - 0, ,3 kn F' VD = 118,4 kn > 0 Die kritische Zugkraft F krit in der Schraube, unter der die Verbindung klafft, ergibt sich mit dem folgenden Ansatz: F' VD = 0 Nach Gleichung (5.03) folgt: F V - qf = 0 Damit ist F krit = q F V 0 kn F krit = 0,774 F krit = 84, kn Die kritische Zugkraft im Rohr Z krit berechnet sich aus dem Verhältnis von F zu Z nach Gleichung (5.): Z krit = Z krit = F krit,309 84, kn,309 Z krit = 13,1 kn Gegenüber dieser Kraft wird (im Gebrauchszustand) eine Sicherheit von 13,1 kn / 58,63 kn =,10 eingehalten.

66 Stefan Zeising Berechnung Flansch Für den Nachweis des Flansches wird die maximale Spannung σ d im Flansch als Quotient aus dem Biegemoment M F und dem Widerstandsmoment W F berechnet: EI b M F = ( α - β) γ (5.5) 5 8,90 10 kncm -3-3 M F = ( 3,1 10-1,35 10 ) 4,6 cm 0,761 M F = 60,6 kncm W F = b h 6 = ( c - d ) L 6 t (5.6) W F = ( 7,95 cm -,6 cm ) ( 4 cm ) 6 W F = 14,7 cm 3 σ d = M W F F (5.7) 60,6 kncm σ d = 3 14,7cm kn σ d = 18,6 cm Mit einer für Stahl zulässigen Spannung von sich das Nachweiskriterium für den Flansch: σ R, d = 1,8 kn/cm ergibt σ σ d R,d 1 (5.8) σ σ d R,d = kn 18,6 cm kn 1,8 cm = 0,84 < 1

67 Stefan Zeising Berechnung Flansch Der Nachweis für die Beanspruchbarkeit des Flansches ist damit erfolgt. 5. Berechnung mit FEM Die theoretischen Grundlagen für die Finite Elemente Methode (FEM) wurden bereits in den 1940er Jahren geschaffen. Die FEM ist eine sehr rechenintensive Methode der Schnittgrößenermittlung. Lange Zeit waren dazu spezielle Hochleistungsrechner notwendig, die nur in großen Firmen zu finden waren. Die rasante Entwicklung der Computertechnik in den letzen 0 Jahren ermöglicht jetzt auch den Einsatz der FEM im Ingenieurbüro. Bei der FEM wird ein Bauteil in kleine Teilsysteme (finite Elemente) zerlegt. Für jedes Element werden Gleichgewichtsbeziehungen aufgestellt. Es ergibt sich ein lineares Gleichungssystem mit sehr vielen Unbekannten, dessen Lösung nur durch die moderne Rechentechnik erreicht werden kann. Je feiner die Maschenweite des FE-Netzes, desto genauer werden die Ergebnisse. Jedoch steigen die damit erforderliche Rechenzeit und die zu bewältigende Datenmenge enorm an. Für jeden weiteren Knoten des Modells sind zusätzliche Gleichungen zu lösen. Trotz des aufwändigen Berechnungsverfahrens handelt es sich bei der FEM um ein Näherungsverfahren, dessen Ergebnisse immer kritisch auf Plausibilität überprüft werden müssen FEM-Modell Zur Berechnung des Flansches +10,08 m nach der FEM wird mit Hilfe des Programms RFEM.0 ein Modell erstellt, welches die Strukturdaten der Wirklichkeit idealisiert abbildet. Aus dem Rohr wird jenes Stück herausgeschnitten, welches den zu betrachtenden Flansch enthält. Dieser Teil des Antennenträgers, bestehend aus dem oberem und dem unteren Flansch sowie den beiden jeweils anschließenden Teilen des Rohres, wird nun zur Modellierung in kleine Volumenelemente unterteilt. Die beiden Flansche bestehen dabei

68 Stefan Zeising Berechnung Flansch aus jeweils 7 identischen Abschnitten, die an den Bohrungen für die Schrauben getrennt sind. An diese Einzelteile wird innen, in Richtung der gedachten Rohrmittellinie, das Rohr anmodelliert, aus berechnungstechnischen Gründen jeweils ein Teilstück bis zur Ober- bzw. Unterkante des Flansches und ein zweiter Teil, der sich über den Flansch hinaus anschließt. Die Länge des Rohres wurde mit insgesamt 100 mm sehr kurz gewählt, um die Rechenzeit für das Modell zu verringern. Die Kontaktfläche zwischen den beiden Flanschen wird über ein zusätzliches Volumenelement realisiert, welches parallel zu den Flanschen je eine Fläche besitzt. Beide Flächen werden über die Kontaktoption bei der Erstellung des Volumens mit dem Programm RFEM verbunden. Diese Verbindung fällt bei Zugbelastung aus. Die Abbildung 5.05 zeigt das erstellte Grundelement aus insgesamt 7 Volumenelementen. Abbildung 5.05: FEM-Modell Grundelement

69 Stefan Zeising Berechnung Flansch Zur Abbildung der Schrauben M4 wird entlang der Mittellinie der Bohrung (Ø 6 mm) auf einer Seite des Grundelements ein Stab eingeführt. Dieser hat die Eigenschaft eines Rundstahls mit einem Durchmesser von 4 mm. So wird ein Randabstand zum Flansch von 1 mm eingehalten. Zur Herstellung des Kontakts wird jeweils über und unter den Stab eine Fläche modelliert, welche die Öffnung der Bohrung abdeckt. Durch Rotation des Grundelements um die Z-Achse erhält man das komplette Anschlussdetail, wie in Abbildung 5.06 dargestellt. Abbildung 5.06: FEM-Modell Flansch Das erstellte Modell hat folgende Strukturdaten: Tabelle 5.01: Strukturdaten Modell Flansch Objekte Anzahl Knoten Linien Flächen.900 Volumina 504 Stäbe 7

70 Stefan Zeising Berechnung Flansch Als letzten Schritt der Struktureingabe wurden die Kräfte auf das Modell aufgebracht. Dazu wurde die Berechnung der maßgebenden Schnittkräfte mit dem Programm STAHL nach DIN 4131 (11.91) herangezogen. Aus den maximalen Spannungen im Querschnitt DUENQ 1740 (siehe Statik nach DIN 4131 (11.91) im Anhang 1) konnten die aufzubringenden Linienlasten ermittelt werden. Aus den maximalen Spannungen von -9,41 kn/cm (Druck) und +8,77 kn/cm (Zug) ergibt sich auf den Rohrquerschnitt gesehen eine Linienlast mit den Maxima von 756,3 kn/m entgegen der Z- Achse an der Stelle y = 0 bzw. 704,9 kn/m in Richtung der Z-Achse an der Stelle y = Die Zwischenwerte für die einzelnen Elemente wurden aus den berechneten Werten für y von 0, 45 und 90 interpoliert. 5.. Praktische Berechnung Für die Berechnung nach der FEM müssen im Modell die finiten Elemente erstellt werden. Durch die Generierung des FE-Netzes mit einer angestrebten Länge der finiten Elemente von 10 mm ergibt sich das in Abbildung 5.07 gezeigte Bild. Abbildung 5.07: FEM-Modell: Finite Elemente, Flansch Eine detailiertere Darstellung enthält die Abbildung 5.08.

71 Stefan Zeising Berechnung Flansch Abbildung 5.08: FEM-Modell: Finite Elemente, Grundelement Die Strukturdaten des FE-Netzes für das komplette Modell sind in der Tabelle 5.0 zusammengestellt. Bei den 1D-Objekten handelt es sich um die modellierten Schrauben in Form von Stabelementen. Tabelle 5.0: Strukturdaten FE-Netz Objekte Anzahl Knoten D-Objekte 7 D-Objekte D-Objekte Gleichungen Eine durchaus genauere Untersuchung kann durch eine Unterteilung in finite Elemente mit der angestrebten Länge von 5 mm ermöglicht werden, wobei das Rohr dabei in Querrichtung, also entlang der gedachten Mantelmittellinie, in zwei Elemente unterteilt wird. Jedoch ergeben sich hier-

72 Stefan Zeising Berechnung Flansch durch etwa,6 Millionen zu berechnende Gleichungen, für die die momentan vorhandene Rechenkapazität noch nicht ausreichend ist. Zum Nachweis der Beanspruchbarkeit der Schrauben in der Verbindung der Flansche wird die vom Programm RFEM berechnete Normalspannung in den modellierten Rundstäben untersucht (siehe Abbildung 5.09). Abbildung 5.09: Maximale Normalspannung in den Stäben Das Verhältnis der ermittelten maximalen Normalspannung N = 10,6 kn zur zulässigen Grenzzugkraft N R, d = 56,7 kn nach Gleichung (5.4) ist: N 10,6 kn = 56,7 kn N R,d = 0,47 < 1 Die Beanspruchbarkeit der Schraubenverbindung ist damit gewährleistet. Im Vergleich zur Berechnung nach Petersen (N = 131,3 kn; siehe Abschnitt 5.1.) ist die berechnete maximale Normalkraft um etwa 8 % geringer. Beide Werte liegen im sicheren Bereich. Für den Nachweis der Beanspruchbarkeit der Flansche sind die berechneten Spannungen σ x, σ y und σ z sowie die Vergleichsspannung σ V von

73 Stefan Zeising Berechnung Flansch Bedeutung; die maximalen Spannungen wurden vom Programm RFEM ermittelt und sind in den Abbildungen 5.10 bis 5.13 dargestellt. Abbildung 5.10: Spannung in x-richtung Abbildung 5.11: Spannung in y-richtung

74 Stefan Zeising Berechnung Flansch Abbildung 5.1: Spannung in z-richtung Abbildung 5.13: Vergleichsspannung Ein genaueres Bild lässt sich durch die Darstellung eines Grundelements finden, welches in den Abbildungen 5.14 und 5.15 zu sehen ist.

75 Stefan Zeising Berechnung Flansch Das gewählte Element ist das am stärksten beanspruchte Grundelement im Flansch an der Stelle y = 0 unter der maximalen Druckbelastung. Abbildung 5.14: Spannung in z-richtung im Grundelement Abbildung 5.15: Vergleichsspannung im Grundelement Aufgrund der Einleitung der Lasten direkt am Rohr liegen im oberen bzw. unteren Teilbereich die maximalen Spannungen. Weitere Spannungsspitzen ergeben sich durch die Modellierung der Kontaktflächen für die Rundstäbe als Schraubenersatz. Diese leiten die Kraft direkt an die Begrenzungslinie in den Flansch. Realistisch wird die Kraft jedoch über den Schraubenkopf bzw. die Mutter über eine größere Fläche verteilt. Die für den Flansch maßgebenden Spannungen lassen sich über eine Flächenbetrachtung mit RFEM abschätzen. Die maximalen Spannungen im bereinigten Volumenelement ergeben sich so mit Der Vergleich zur zulässigen Spannung σ d = 17,45 kn/cm. σ R, d erfolgt nach Gleichung (5.8):

76 Stefan Zeising Berechnung Flansch σ σ d R,d = kn 17,45 cm kn 1,8 cm = 0,80 < 1 Der Nachweis für die Beanspruchbarkeit des Flansches infolge der maximalen Normalpannungen ist damit erbracht. Der Wert für die maximale Spannung aus der FEM-Berechnung ist etwa 4 % geringer als der Wert aus der Berechnung nach Petersen ( σ d = 18,6 kn/cm ; siehe Abschnitt 5.1.). Die Schubspannungen τ xy, τ xz und τ yz wurden ermittelt und in den folgenden Abbildungen 5.16 bis 5.18 dargestellt. Abbildung 5.16: Schubspannung in der xy-ebene