Was Sie schon immer über funktionale Programmierung wissen wollten, aber bisher nicht zu fragen wagten

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1 Programmieren in PPL Was Sie schon immer über funktionale Programmierung wissen wollten, aber bisher nicht zu fragen wagten

2 PPL at a glance KIV ist im wesentlichen in PPL programmiert PPL (proof programming language) ist eine ML artige funktionale Sprache PPL entstand zur Zeit von ML, Ende der 1980er PPL setzt die damals neuesten Konzepte um, beispielsweise eine virtuelle Maschine (SECD Maschine) und Bytecode, Polymorphie, Typisierung PPL Syntax ist ähnlich zu LISP (viele Klammern!) PPL ist statisch typisiert, Typen werden inferiert Beweisbar korrekte Software Sommersemester

3 Typinferenz PPL 1> (+ 3 ab ) Error: types of arguments INT x STRING do not match type of built in function (INT x INT -> INT) in (+ 3 ab) PPL 1> (list 2 ab ) Error: Expressions (2 n) must be of same type, but their types INT x STRING are not unifiable Beweisbar korrekte Software Sommersemester

4 Typinferenz PPL 1>(ppltype (list a b )) The type of (LIST a b) is (LIST (STRING)) The computed substitution is ((239428) (STRING)) [a, b] Beweisbar korrekte Software Sommersemester

5 PPL at a glance KIV hat kein Pattern matching fun and(true,true) t = true and(_,_) = false Modulkonzept für Code Automatisches Currying (+ 2) : nat nat Lazy evaluation Beweisbar korrekte Software Sommersemester

6 Ausdrücke inppl Ausdrücke werden interpretiert Konstante PPL 1> 3 3 PPL 1> Beweisbar korrekte Software Sommersemester

7 Ausdrücke inppl Ausdrücke werden interpretiert Konstante PPL 1> 3 3 PPL 1> Variable PPL 1> x Error: The identifier X has no definition PPL 1> (def (x 1)) PPL 1> x 1 Wert von x Fehlermeldung PPL 1> Beweisbar korrekte Software Sommersemester

8 Ausdrücke inppl Befehl oder Funktion (f param1 param2 paramn) param1 paramn sind wieder Ausdrücke Beweisbar korrekte Software Sommersemester

9 Funktionen KIV kennt 3 Arten von Funktionen Vordefinierte Funktionen, z.b. +, equal, emptyp Selbst definierte Funktionen Lambda Ausdrücke Wichtigstes Syntaxkonstrukt in KIV: Funktionsanwendung (fun param1 paramn) Funktionsname Ausdruck für Argument Beweisbar korrekte Software Sommersemester

10 Funktionen KIV kennt 3 Arten von Funktionen Vordefinierte Funktionen, z.b. +, equal, emptyp Selbst definierte Funktionen Lambda Ausdrücke Wichtigstes Syntaxkonstrukt in KIV: Funktionsanwendung (fun param1 paramn) Ausdruck für Argument Beispiel: PPL 1> (+ 3 4) Beweisbar korrekte Software Sommersemester

11 Funktionen Funktionsanwendungen können geschachtelt sein. Ein Argument kann eine Funktionsapplikation sein: PPL 1> (- 7 (+ 2 3)) Beweisbar korrekte Software Sommersemester

12 Funktionen Funktionsanwendungen können geschachtelt sein. Ein Argument kann eine Funktionsapplikation sein: PPL 1> (- 7 (+ 2 3)) Funktionen werden mit lambda definiert: (lambda (var1 varn) expr) Formaler Parameter Funktionsrumpf Beweisbar korrekte Software Sommersemester

13 Funktionen Funktionsanwendungen können geschachtelt sein. Ein Argument kann eine Funktionsapplikation sein: PPL 1> (- 7 (+ 2 3)) Funktionen werden mit lambda definiert: (lambda (var1 varn) expr) Formaler Parameter Funktionsrumpf Beispiel: PPL 1>((lambda (x y) (* x y)) 3 4) 12 Bisher keine Rekursion möglich Beweisbar korrekte Software Sommersemester

14 Definition von Werten def bindet beliebige PPL Objekte an Variablen (def (var1 expr1) def darf nicht (def (var2 expr2) innerhalb anderer PPL Ausdrücke auftreten (def(varn exprn) ) Beispiel: PPL 1> (def (x 3) PPL 1> x 3 PPL 1> y [T, F] (y (list t f))) Beweisbar korrekte Software Sommersemester

15 Definition von Werten Die Ausdrücke in def werden parallel ausgewertet: PPL 1> (def (x 0)) 0 PPL 1> (def (x 3) (y (+ 1 x))) PPL 1> y 1 PPL 1> x Beweisbar korrekte Software Sommersemester

16 Funktionsdefinitionen Auch Funktionsrümpfe werden mit def an Namen gebunden: PPL 1> (def (fun (lambda (x) (+ x x)))) PPL 1> (fun 3) 6 Wasfehlt noch: Rekursion! Dafürbenützt mandefrec: PPL 1> (defrec (fac (lambda (x) (if (= 0 x) 1 (* x (fac (- x 1))) )))) PPL 1> (fac 4) 24 PPL 1> def kann hier nicht anstelle von defrec verwendet werden, da sonst eine ggf. schon bestehende alte Definition von fac verwendet würde Beweisbar korrekte Software Sommersemester

17 Funktionsdefinitionen PPL ist higher order: Funktionen als Parameter und als Rückgabewerte sind zulässig: PPL 1> (defrec (filter (lambda (test alist)) (cond ((emptyp alist) (list)) ((test (car alist)) (cons (car alist) (filter test (cdr alist)))) (t (filter test (cdr alist))) ))) PPL 1> (filter (lambda (x) (< x 10)) (list )) [1, 2, 3] Beweisbar korrekte Software Sommersemester

18 Funktionsdefinitionen PPL ist higher order: Funktionen als Parameter und als Rückgabewerte sind zulässig: PPL 1> (defrec (filter (lambda (test alist)) (cond ((emptyp alist) (list)) ((test (car alist)) (cons (car alist) (filter test (cdr alist)))) (t (filter test (cdr alist))) ))) PPL 1> (filter (lambda (x) (< x 10)) (list )) [1, 2, 3] PPL 1> (def (mkplusx (lambda (x) (lambda (y) (+ x y))))) PPL 1> (mkplusx 2) << A FUNCTION OF TYPE (INT -> INT) >> PPL 1> ((mkplusx 2) 6) Beweisbar korrekte Software Sommersemester

19 Typausdrücke PPL ist stark typisiert. Jeder PPL Ausdruck hat einen Typ. Typfehler in Funktionsdefinitionen sind unmöglich. Typausdrücke sind: <typevar> := *t*, *t2*, *t3*, <typeexpr> := <typevar> (<typeconstructor> <typeexpr1> <typeexprn>) Typkonstruktoren sind: bool, string, int, tree, (0 stellig) list (1 stellig) Alle Listenelemente haben denselben Typ! mkpair (2 stellig) fun (n stellig) Beweisbar korrekte Software Sommersemester

20 Typausdrücke Einige Beispiele: Ausdruck Typ 3 (int) ab (mkpair 3 t) (lambda (x y) (+ x y)) (list 3) nil (lambda (x) x) (lambda (x) (cons x nil)) (string) (pair (int) (bool)) (fun (int)(int)(int)) (list (int)) (list *t*) (fun *t* *t*) (fun *t* (list *t*)) Beweisbar korrekte Software Sommersemester

21 Typausdrücke Einige Beispiele: Ausdruck Typ 3 (int) ab (mkpair 3 t) (lambda (x y) (+ x y)) (list 3) nil (lambda (x) x) (lambda (x) (cons x nil)) (string) (pair (int) (bool)) (fun (int)(int)(int)) (list (int)) (list *t*) (fun *t* *t*) (fun *t* (list *t*)) Pretty printing von Typen in KIV anders: (int) int (list (int)) int* (fun (int) (int)) int -> int (pair (int) (int)) [ int int ] Beweisbar korrekte Software Sommersemester

22 Vordefinierte Funktionen Es gibt in PPL eine Reihe von vordefinierten Funktionen, z.b.: +,,*, div <, >, = (list arg1,,argn), car, cdr, emptyp, member, append (mkpair arg1 arg2), fst, snd (and arg1 argn), or, not Details siehe Praktikumsdoku Beweisbar korrekte Software Sommersemester

23 Listenfunktionen Listen sind in PPL vordefiniert. Wichtige Funktionen: nil oder (list): Erzeugt leere Liste (cons expr1 expr2): Fügt expr1 vorne an Liste expr2 and (append expr1 expr2): Hängtexpr2 hinten an expr1 an (car expr): Liefert das erste Element von expr (cdr expr): Liefert die Restliste (ohne das erste Element) von expr Beweisbar korrekte Software Sommersemester

24 Beispiele zu Listen PPL 1> (car (cons 1 (list 2 3))) 1 PPL 1> (cdr (append (list 1 2) (list 3 4))) [2, 3, 4] PPL 1> (cons 2 nil) [2] PPL 1> (emptyp (cons t nil)) F PPL 1> Beweisbar korrekte Software Sommersemester

25 Kontrollstrukturen PPL kennt nur wenige Kontrollstrukturen: Fallunterscheidungen Definition lokaler Variablen backtracking Beweisbar korrekte Software Sommersemester

26 Fallunterscheidung Fallunterscheidungen werden mit cond oder if durchgeführt: (if condexpr thenexpr elseexpr) (cond (test1 expr1) (test2 expr2) (t exprn)) Bi Beispiele: il PPL 1> (if t (+ 2 3) 0) 5 PPL 1> (cond ((emptyp (list)) 0) 0 (t 1)) Beweisbar korrekte Software Sommersemester

27 Lokale Variablen Lokale Variablen werden mit let* deklariert: (let* ((var1 expr1) (var2 expr2) (varn exprn)) expr) Zuerst wird expr1 ausgewertet und das Ergebnis an var1 gebunden, dann expr2, in der var1 benutzt werden kann, usw. Das Ergebnis des let* ist expr Bei let (statt let*) werden expr1,,exprn parallel l ausgewertet Beweisbar korrekte Software Sommersemester

28 Lokale Variablen Beispiel: PPL 1> (let* ((x (+ 2 5)) (y (+ x x )) ) (+ y y )) 28 PPL 1> Beweisbar korrekte Software Sommersemester

29 backtracking KIV hat ein generisches System für Exceptions und Exception Handler Hier nur ein wichtiger Spezialfall für backtracking backtracking ist in PPL sehr leicht zu realisieren backtracking wird mit dem Kommando (fail) ausgelöst oder durch andere vordefinierte Funktionen wie makettree, refine, infer, match Die Fortsetzungsstelle für die Programmausführung wird mit orl dkl deklariert: (orl expr1 expr2) Wird zuerst ausgewertet Falls fail in expr1 wird expr2 ausgewertet Beweisbar korrekte Software Sommersemester

30 Backtracking Beispiele PPL 1> (orl 3 4) 3 PPL 1> (orl (fail) (+ 3 (fail)) 4) 4 PPL 1> (equal (fail) (fail)) Error: operation FAIL failed Beweisbar korrekte Software Sommersemester

31 Schnittstelle zum Dateisystem Laden von PPL Source Dateien: load und require PPL 1> (load ~/ppl/proplogic ) ;;; loading proplogic ;;; loaded proplogic exit in einer Datei beendet das Laden an dieser Stelle Schnittstelle zum Dateisystem: cd, pwd PPL 1> (cd ~ ) T PPL 1> (pwd) /home/dominik Beweisbar korrekte Software Sommersemester

32 Ein /Ausgabe Textausgabe: before PPL 1> (def (x (before x wird initialisiert 3))) x wird initialisiert PPL 1> (def (y (before (+ x 7) (+ x 1)))) 10 PPL 1> y Beweisbar korrekte Software Sommersemester

33 Ein /Ausgabe Mit read kann man Eingaben vom Benutzer verlangen (read x (<typ> expr)) Datentyp der Eingabe Ausdruck für das Ergebnis des read Beweisbar korrekte Software Sommersemester

34 Ein /Ausgabe Beispiel für read: PPL 1> (read x ((INT) x)) PPL 2> c c PPL 2> exit Error: no positive type case for read found in function <-PPL PPL 1> (def (y (read x ((INT) (* x x))))) PPL 2> 4 4 PPL 2> exit PPL 1> y Beweisbar korrekte Software Sommersemester

35 Formeln und Sequenzen inkiv Datentypen für Formeln (fl) und Sequenzen (seq) sind in KIV fest eingebaut Werden am PPL Prompt wie folgt eingegeben: gg 1. Durch direkte Konstruktion der PPL Datenstruktur PPL 1> (mkall (mkvl1 (list (mkxov (mksym s )) (mkxov (mksym s0 )))) (mkeq (mkxov (mksym s )) (mkxov (mksym s0 )))) all s, s0. s = s0 PPL1> 2. Über den Parser PPL 1> % all s, s0. s = s0 all s, s0. s = s0 PPL 1> Beweisbar korrekte Software Sommersemester

36 Formeln und Sequenzen inkiv Man benötigt allerdings zuerst eine geeignete Signatur Variante 1: Aus Projekt laden PPl 1> (resetsig) PPL 1> (def (dvg (load-devgraph-dir-til-ok (mkdirectory?/lib/basic )))) PPL 1> (add-specsig-dvg nat dvg) T PPL 1> % 0 +1 = = PPL 1> Top level Spezifikation, deren Signatur man nutzen will Beweisbar korrekte Software Sommersemester

37 Formeln und Sequenzen inkiv Variante 2: Eingabe am PPL Prompt PPL 1> % sorts s ; [s] PPL 1> % variables s, s0, s1 : s ; [s, s0, s1] Aus Formeln kann man Sequenzen bauen: PPL 1> (def (formel1 % not n = 0 +1 )) PPL 1> (def (formel2 % ex n. not (n = 0 +1) )) PPL 1> (def (seq (mkseq (mkfl1 (list formel1 % true )) (mkfl1 (list formel2))))) PPL 1> seq not n = 0 +1, true - ex n. not n = Beweisbar korrekte Software Sommersemester

38 Beweisbäume in KIV (Beweis )Bäume sind ebenfalls ein fest in KIV eingebauter Datentyp Ein Beweisbaum ist entweder Eine Sequenz PPL 1> (ppltype seq) The type of SEQ is (TREE) The computed substitution is NIL Beweisbar korrekte Software Sommersemester

39 Beweisbäume in KIV Ein zusammengesetzer Baum PPL 1> (ppltype dis_r) The type of DIS_R is (TREE) The computed substitution is NIL Beweisbar korrekte Software Sommersemester

40 Beweisregeln als Bäume Sequenzenkalkülregeln werden als Bäume repräsentiert Konklusion und Prämissen Pä enthalten hl Metavariablen, die durch pattern matching instanziiert werden Formeln: $phi, $psi Formellisten: $Gamma, $Delta Programme:$alpha, $ l h $beta Boolesche Werte: $epsilon Beweisbar korrekte Software Sommersemester

41 Matching von Formelpatterns PPL 1> (def (seq (mkseq (mkfl1 (list)) (mkfl1 (list % n = n or n < n ) )))) - n = n or n < n PPL 1> (concl dis_r) $Γ - $ϕ or $ψ, $Δ PPL 1> (matchp seq (concl dis_r)) T Beweisbar korrekte Software Sommersemester

42 Beweisbäume konstruieren Beweisbäume werden durch Regelanwendungen konstruiert In PPL heißt das, daß ein Beweisbaum an einer offenen Prämisse um einen Regelbaum erweitert wird. Dazu: 1. Matchen der Konklusion des Regelbaums und der Prämisse des Beweisbaums 2. Instanziieren der Prämisse des Regelbaums 3. Kombination der beiden Teilbäume zu einem neuen Baum Dies erledigt die Funktion refine e Beweisbar korrekte Software Sommersemester

43 refine PPL 1> seq - n = n or n < n PPL 1> (refine seq 1 dis_r) ** A TREE ** Beweisbar korrekte Software Sommersemester

44 refine PPL 1> (def (id (lambda (x) x))) PPL 1> (orl (refine (id seq) 1 neg_r) (before Pech gehabt seq)) Pech gehabt - n = n or n < n PPL 1> Beweisbar korrekte Software Sommersemester

45 refine und backtracking PPL 1> (orl (refine(id seq) 1 neg_r) (refine(id seq) 1 con_r) (refine(id seq) 1 imp_r) (refine(id seq) 1 dis_r)) ** A TREE ** PPL 1> Beweisbar korrekte Software Sommersemester

46 Fehlersuche PPL hat einen Debugger: Siehe Praktikumsdoku Funktionsaufrufe werden mit dem Tracer überwacht. Er gibt bei jedem Funktionsaufruf die Parameterwerte und beim Verlassen der Funktion den Ergebniswert aus. Aufruf erfolgt mit (trace fun) Will man nur manche Argumente sehen: (trace (fun 0 2 3)) Ergebnis ausgeben Das Tracen wird beendet mit (untrace fun) Aufrufparameter 2 und 3 ausgeben Beweisbar korrekte Software Sommersemester

47 Der Tracer PPL 1> (trace reverse-h) (reverse-h) PPL 1> (reverse (list 1)) +++ REVERSE-H first argument: [1] second argument: [] REVERSE-H first argument: [] second argument: [1] REVERSE-H [1] --- REVERSE-H [1] Beweisbar korrekte Software Sommersemester