Automatentheorie und Formale Sprachen
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- Stephanie Liese Linden
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1 Automatentheorie und Formale Sprachen Mengen, Alphabete, Wörter, formale Sprachen Dozentin: Wiebke Petersen Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09
2 Mengen Definition 1. Eine Menge ist eine Zusammenfassung beliebiger Objekte, genannt Elemente, zu einer Gesamtheit, wobei keines der Objekte die Menge selbst sein darf. Zwei Mengen sind gleich, g.d.w. sie die gleichen Elemente enthalten. Es gibt genau eine Menge, die keine Elemente enthält, die leere Menge. Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 1
3 Mengen Definition 1. Eine Menge ist eine Zusammenfassung beliebiger Objekte, genannt Elemente, zu einer Gesamtheit, wobei keines der Objekte die Menge selbst sein darf. Zwei Mengen sind gleich, g.d.w. sie die gleichen Elemente enthalten. Es gibt genau eine Menge, die keine Elemente enthält, die leere Menge. explizite Mengendarstellung {a 1, a 2,..., a n } ist die Menge, die genau die Elemente a 1, a 2,..., a n enthält. Beispiel: {2, 3, 4, 5, 6, 7} Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 1
4 Mengen Definition 1. Eine Menge ist eine Zusammenfassung beliebiger Objekte, genannt Elemente, zu einer Gesamtheit, wobei keines der Objekte die Menge selbst sein darf. Zwei Mengen sind gleich, g.d.w. sie die gleichen Elemente enthalten. Es gibt genau eine Menge, die keine Elemente enthält, die leere Menge. explizite Mengendarstellung {a 1, a 2,..., a n } ist die Menge, die genau die Elemente a 1, a 2,..., a n enthält. Beispiel: {2, 3, 4, 5, 6, 7} implizite Mengendarstellung {x A} ist die Menge, die genau die Objekte x enthält, auf die die Aussage A zutrifft. Beispiel: {x x N und x < 8 und 1 < x } Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 1
5 wichtige Mengennotationen Z = {x x ist gerade }, D = {x x ist glatt durch 3 teilbar}, S = {x x ist glatt durch 6 teilbar} x M: x ist ein Element der Menge M (2 Z, 2 D) N M: die Menge N ist eine Teilmenge der Menge M (D S) N M: die Schnittmenge der Mengen M und N (D Z = S) N M: die Vereinigungsmenge der Mengen M und N (S D = D, Z D = {x x Z oder x D}) POT (M): die Potenzmenge der Menge M ist die Menge aller Teilmengen von M, also POT (M) = {N N M}. Für endliche Mengen gilt: ist M eine n-elementige Menge, so ist POT (M) eine 2 n -elementige Menge. Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 2
6 Logische Operatoren und Quantoren Z = {x x ist gerade}, D = {x x ist glatt durch 3 teilbar}, S = {x x ist glatt durch 6 teilbar} (und): Wenn x Z x D dann x S. (oder): Wenn x Z x D dann x 5. (impliziert): x S x Z. Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 3
7 Logische Operatoren und Quantoren Z = {x x ist gerade}, D = {x x ist glatt durch 3 teilbar}, S = {x x ist glatt durch 6 teilbar} (und): Wenn x Z x D dann x S. (oder): Wenn x Z x D dann x 5. (impliziert): x S x Z. (Allquantor): x D : die Quersumme von x ist durch 3 teilbar. (Existenzquantor): x D: die Quersumme von x ist 9. Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 3
8 Alphabete Ein Alphabet ist eine nicht-leere endliche Menge von Zeichen (Symbolen, Buchstaben). Für Alphabete verwenden wir in der Regel Σ, Γ,..., während a, b, c,... i.d.r. für die Zeichen stehen. Beispiele: Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 4
9 Alphabete Ein Alphabet ist eine nicht-leere endliche Menge von Zeichen (Symbolen, Buchstaben). Für Alphabete verwenden wir in der Regel Σ, Γ,..., während a, b, c,... i.d.r. für die Zeichen stehen. Beispiele: lateinisches Alphabet Σ lat = {A, B, C,..., Z} das Morsealphabet Σ M = {,, } das Ziffernalphabet Σ Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 4
10 Wörter Ein Wort ist eine endliche Folge/Kette x 1... x n von Zeichen eines Alphabets (n 0). Wörter bezeichnen wir in der Regel mit u, v, w,.... Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 5
11 Wörter Ein Wort ist eine endliche Folge/Kette x 1... x n von Zeichen eines Alphabets (n 0). Wörter bezeichnen wir in der Regel mit u, v, w,.... Die Menge aller Wörter über einem Alphabet Σ bezeichnen wir mit Σ. Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 5
12 Wörter Ein Wort ist eine endliche Folge/Kette x 1... x n von Zeichen eines Alphabets (n 0). Wörter bezeichnen wir in der Regel mit u, v, w,.... Die Menge aller Wörter über einem Alphabet Σ bezeichnen wir mit Σ. ɛ bezeichnet das leere Wort, welches aus null Zeichen besteht. Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 5
13 Wörter Ein Wort ist eine endliche Folge/Kette x 1... x n von Zeichen eines Alphabets (n 0). Wörter bezeichnen wir in der Regel mit u, v, w,.... Die Menge aller Wörter über einem Alphabet Σ bezeichnen wir mit Σ. ɛ bezeichnet das leere Wort, welches aus null Zeichen besteht. Σ + = Σ \ {ɛ} ist die Menge der nichtleeren Wörter. Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 5
14 Länge von Wörtern w ist die Länge von w, also die Zahl der Zeichen in dem Wort w, wobei mehrfach vorkommende Zeichen mehrfach gezählt werden. w a ist die Zahl des Vorkommens des Zeichens a in dem Wort w. Die Länge eines Wortes kann induktiv definiert werden: (1) ɛ = 0 und (2) wa = 1 + w für a Σ und w Σ. Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 6
15 Länge von Wörtern w ist die Länge von w, also die Zahl der Zeichen in dem Wort w, wobei mehrfach vorkommende Zeichen mehrfach gezählt werden. w a ist die Zahl des Vorkommens des Zeichens a in dem Wort w. Die Länge eines Wortes kann induktiv definiert werden: (1) ɛ = 0 und (2) wa = 1 + w für a Σ und w Σ. Beispiele: ababbb = Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 6
16 Länge von Wörtern w ist die Länge von w, also die Zahl der Zeichen in dem Wort w, wobei mehrfach vorkommende Zeichen mehrfach gezählt werden. w a ist die Zahl des Vorkommens des Zeichens a in dem Wort w. Die Länge eines Wortes kann induktiv definiert werden: (1) ɛ = 0 und (2) wa = 1 + w für a Σ und w Σ. Beispiele: ababbb = 6 Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 6
17 Länge von Wörtern w ist die Länge von w, also die Zahl der Zeichen in dem Wort w, wobei mehrfach vorkommende Zeichen mehrfach gezählt werden. w a ist die Zahl des Vorkommens des Zeichens a in dem Wort w. Die Länge eines Wortes kann induktiv definiert werden: (1) ɛ = 0 und (2) wa = 1 + w für a Σ und w Σ. Beispiele: ababbb = 6 ababbb a = Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 6
18 Länge von Wörtern w ist die Länge von w, also die Zahl der Zeichen in dem Wort w, wobei mehrfach vorkommende Zeichen mehrfach gezählt werden. w a ist die Zahl des Vorkommens des Zeichens a in dem Wort w. Die Länge eines Wortes kann induktiv definiert werden: (1) ɛ = 0 und (2) wa = 1 + w für a Σ und w Σ. Beispiele: ababbb = 6 ababbb a = 2 Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 6
19 Länge von Wörtern w ist die Länge von w, also die Zahl der Zeichen in dem Wort w, wobei mehrfach vorkommende Zeichen mehrfach gezählt werden. w a ist die Zahl des Vorkommens des Zeichens a in dem Wort w. Die Länge eines Wortes kann induktiv definiert werden: (1) ɛ = 0 und (2) wa = 1 + w für a Σ und w Σ. Beispiele: ababbb = 6 ababbb a = 2 ababbb b = Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 6
20 Länge von Wörtern w ist die Länge von w, also die Zahl der Zeichen in dem Wort w, wobei mehrfach vorkommende Zeichen mehrfach gezählt werden. w a ist die Zahl des Vorkommens des Zeichens a in dem Wort w. Die Länge eines Wortes kann induktiv definiert werden: (1) ɛ = 0 und (2) wa = 1 + w für a Σ und w Σ. Beispiele: ababbb = 6 ababbb a = 2 ababbb b = 4 Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 6
21 Länge von Wörtern w ist die Länge von w, also die Zahl der Zeichen in dem Wort w, wobei mehrfach vorkommende Zeichen mehrfach gezählt werden. w a ist die Zahl des Vorkommens des Zeichens a in dem Wort w. Die Länge eines Wortes kann induktiv definiert werden: (1) ɛ = 0 und (2) wa = 1 + w für a Σ und w Σ. Beispiele: ababbb = 6 ababbb a = 2 ababbb b = 4 ababbb c = Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 6
22 Länge von Wörtern w ist die Länge von w, also die Zahl der Zeichen in dem Wort w, wobei mehrfach vorkommende Zeichen mehrfach gezählt werden. w a ist die Zahl des Vorkommens des Zeichens a in dem Wort w. Die Länge eines Wortes kann induktiv definiert werden: (1) ɛ = 0 und (2) wa = 1 + w für a Σ und w Σ. Beispiele: ababbb = 6 ababbb a = 2 ababbb b = 4 ababbb c = 0 Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 6
23 Länge von Wörtern w ist die Länge von w, also die Zahl der Zeichen in dem Wort w, wobei mehrfach vorkommende Zeichen mehrfach gezählt werden. w a ist die Zahl des Vorkommens des Zeichens a in dem Wort w. Die Länge eines Wortes kann induktiv definiert werden: (1) ɛ = 0 und (2) wa = 1 + w für a Σ und w Σ. Beispiele: ababbb = 6 ababbb a = 2 ababbb b = 4 ababbb c = 0 ɛ = Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 6
24 Länge von Wörtern w ist die Länge von w, also die Zahl der Zeichen in dem Wort w, wobei mehrfach vorkommende Zeichen mehrfach gezählt werden. w a ist die Zahl des Vorkommens des Zeichens a in dem Wort w. Die Länge eines Wortes kann induktiv definiert werden: (1) ɛ = 0 und (2) wa = 1 + w für a Σ und w Σ. Beispiele: ababbb = 6 ababbb a = 2 ababbb b = 4 ababbb c = 0 ɛ = 0 Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 6
25 Leersymbol, leeres Wort und leere Menge Vorsicht Verwechslungsgefahr! Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 7
26 Leersymbol, leeres Wort und leere Menge Vorsicht Verwechslungsgefahr! Das Leersymbol ist ein Zeichen des Alphabets, also auch ein Wort der Länge 1. Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 7
27 Leersymbol, leeres Wort und leere Menge Vorsicht Verwechslungsgefahr! Das Leersymbol ist ein Zeichen des Alphabets, also auch ein Wort der Länge 1. Das leere Wort ɛ ist ein Wort der Länge 0. Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 7
28 Leersymbol, leeres Wort und leere Menge Vorsicht Verwechslungsgefahr! Das Leersymbol ist ein Zeichen des Alphabets, also auch ein Wort der Länge 1. Das leere Wort ɛ ist ein Wort der Länge 0. Die leere Menge ist eine Menge. Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 7
29 Verkettung / Konkatenation Die Verkettung zweier Wörter w = a 1 a 2... a n und v = b 1 b 2... b m mit n, m 0 ist w v = a 1... a n b 1... b m Die Verkettung ist also eine Funktion : Σ Σ Σ, die Paaren von Wörtern neue Wörter zuordnet. Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 8
30 Verkettung / Konkatenation Die Verkettung zweier Wörter w = a 1 a 2... a n und v = b 1 b 2... b m mit n, m 0 ist w v = a 1... a n b 1... b m Die Verkettung ist also eine Funktion : Σ Σ Σ, die Paaren von Wörtern neue Wörter zuordnet. Beachte, daß folgende Rechenregeln gelten: w ɛ = ɛ w = w neutrales Element u (v w) = (u v) w Assoziativität Die Struktur (Σ, ) bildet eine Halbgruppe mit neutralem Element (Monoid). Vereinfachend schreibt man statt u v auch uv. Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 8
31 Potenzen von Wörtern Die n-te Potenz eines Wortes w ist die n-fache Verkettung von w mit sich selbst. Induktive Definition: w 0 = ɛ, w n+1 = w n w Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 9
32 Potenzen von Wörtern Die n-te Potenz eines Wortes w ist die n-fache Verkettung von w mit sich selbst. Induktive Definition: w 0 = ɛ, w n+1 = w n w Beispiel: w 3 = w w w Die Iteration (Kleene-Stern) von w ist w := n 0{w n } Für jedes beliebige Wort w gilt: ɛ w Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 9
33 formale Sprachen Eine formale Sprache L ist eine Menge von Wörtern über einem Alphabet Σ, also L Σ. Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 10
34 formale Sprachen Eine formale Sprache L ist eine Menge von Wörtern über einem Alphabet Σ, also L Σ. Beispiele: Sprache L rom der gültigen römischen Zahldarstellungen über dem Alphabet Σ rom = {I, V, X, L, C, D, M}. Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 10
35 formale Sprachen Eine formale Sprache L ist eine Menge von Wörtern über einem Alphabet Σ, also L Σ. Beispiele: Sprache L rom der gültigen römischen Zahldarstellungen über dem Alphabet Σ rom = {I, V, X, L, C, D, M}. Sprache L Mors der Buchstaben des lateinischen Alphabets dargestellt im Morsecode. L Mors = {,,..., } Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 10
36 formale Sprachen Eine formale Sprache L ist eine Menge von Wörtern über einem Alphabet Σ, also L Σ. Beispiele: Sprache L rom der gültigen römischen Zahldarstellungen über dem Alphabet Σ rom = {I, V, X, L, C, D, M}. Sprache L Mors der Buchstaben des lateinischen Alphabets dargestellt im Morsecode. L Mors = {,,..., } Sprache L arith der vollständig geklammerten arithmetischen Ausdrücke über dem Alphabet Σ Z {(, ), +,,, :}. Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 10
37 Operationen auf Sprachen Seien L Σ und K Σ zwei Sprachen über dem Alphabet Σ, dann entstehen durch die Verknüpfung mit Mengenoperatoren neue Sprachen über Σ: K L, K L, K \ L Die Verkettung von Wörtern kann ausgedehnt werden auf die Verkettung von Sprachen: K L := {v w Σ v K, w L} Beispiel: Sei K = {abb, a} und L = {bbb, ab} K L = L K = K = K {ɛ} = Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 11
38 Operationen auf Sprachen Seien L Σ und K Σ zwei Sprachen über dem Alphabet Σ, dann entstehen durch die Verknüpfung mit Mengenoperatoren neue Sprachen über Σ: K L, K L, K \ L Die Verkettung von Wörtern kann ausgedehnt werden auf die Verkettung von Sprachen: K L := {v w Σ v K, w L} Beispiel: Sei K = {abb, a} und L = {bbb, ab} K L = {abbbbb, abbab, abbb, aab} und L K = K = K {ɛ} = Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 11
39 Operationen auf Sprachen Seien L Σ und K Σ zwei Sprachen über dem Alphabet Σ, dann entstehen durch die Verknüpfung mit Mengenoperatoren neue Sprachen über Σ: K L, K L, K \ L Die Verkettung von Wörtern kann ausgedehnt werden auf die Verkettung von Sprachen: K L := {v w Σ v K, w L} Beispiel: Sei K = {abb, a} und L = {bbb, ab} K L = {abbbbb, abbab, abbb, aab} und L K = {bbbabb, bbba, ababb, aba} K = K {ɛ} = Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 11
40 Operationen auf Sprachen Seien L Σ und K Σ zwei Sprachen über dem Alphabet Σ, dann entstehen durch die Verknüpfung mit Mengenoperatoren neue Sprachen über Σ: K L, K L, K \ L Die Verkettung von Wörtern kann ausgedehnt werden auf die Verkettung von Sprachen: K L := {v w Σ v K, w L} Beispiel: Sei K = {abb, a} und L = {bbb, ab} K L = {abbbbb, abbab, abbb, aab} und L K = {bbbabb, bbba, ababb, aba} K = K {ɛ} = Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 11
41 Operationen auf Sprachen Seien L Σ und K Σ zwei Sprachen über dem Alphabet Σ, dann entstehen durch die Verknüpfung mit Mengenoperatoren neue Sprachen über Σ: K L, K L, K \ L Die Verkettung von Wörtern kann ausgedehnt werden auf die Verkettung von Sprachen: K L := {v w Σ v K, w L} Beispiel: Sei K = {abb, a} und L = {bbb, ab} K L = {abbbbb, abbab, abbb, aab} und L K = {bbbabb, bbba, ababb, aba} K = K {ɛ} = K Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 11
42 Potenzen von Sprachen, Iteration, Kleene-Stern Die n-te Potenz einer Sprache L ist die n-fache Verkettung von L mit sich selbst: L n = L} L {{ L... L} n-mal Induktive Definition: L 0 = {ɛ}, L n+1 = L n L Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 12
43 Potenzen von Sprachen, Iteration, Kleene-Stern Die n-te Potenz einer Sprache L ist die n-fache Verkettung von L mit sich selbst: L n = L} L {{ L... L} n-mal Induktive Definition: L 0 = {ɛ}, L n+1 = L n L Die Iteration (Kleene-Stern) von L ist L := n 0 L n Für jede beliebige Sprache L gilt: {ɛ} L Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 12
44 Aufgaben Sei K = {aa, aaaa, ab}, L = {bb, aa} 1. Geben sie die Sprachen K L, L K, {ɛ} L, {ɛ} und K an. 2. Geben sie die Sprache K 3 an. 3. Geben sie die Sprache K \ L an. 4. Geben sie eine implizite Mengendarstellung der Sprache K L an. 5. Wie unterscheiden sich die Sprachen L und L +? Wiebke Petersen Automatentheorie und formale Sprachen SoSe 09 13
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