Einige Algorithmen für stabile monomiale Ideale

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1 Computeralgebra Tagung Kassel Einige Algorithmen für stabile monomiale Ideale Kai Gehrs MuPAD-Gruppe Universität Paderborn

2 Übersicht 1. Die Klasse der stabilen monomialen Ideale 2. Einige Eigenschaften stabiler Ideale Berechnung der Saturierung Berechnung der Hilbert-Reihe Berechnung des Hilbert-Polynoms 3. Einige spezielle lexikographische Ideale 4. Berechnung von Hilbert-Reihen & Hilbert-Funktionen zu einem Hilbert-Polynom 5. Berechnung aller stabilen Ideale zu einem gegebenen Hilbert-Polynom

3 1. Die Klasse der stabilen monomialen Ideale Allgemeine Voraussetzungen: K ein Körper der Charakteristik 0, R := K[x 0,..., x n ]. Ein monomiales Ideal I R heißt stabil, wenn für jedes Monom m von I gilt: Ist x j ein Teiler von m, so folgt m x j x i I für alle i < j. Beispiel. I := (x 3 0, x2 0 x 1, x 2 0 x 2) ist stabil, denn x2 0 x 1 x 1 x 0 = x 3 0 I, x 2 0 x 2 x x 2 1 = x 2 0 x 1 I I. Dagegen ist J := (x 2 0, x2 1 x 2 0 x 2 x 2 ) nicht stabil. x 0 = x 3 0

4 1. Die Klasse der stabilen monomialen Ideale Stabile Ideale treten als generische Initialideale homogener Ideale auf: gleiche Hilbert-Funktion, Hilbert-Reihe und gleiches Hilbert-Polynom wie das Ausgangsideal interessant sowohl im Kontext kommutativer Algebra als auch im Bereich der algebraischen Geometrie

5 2. Eigenschaften stabiler Ideale: Saturierung Ein homogenes Ideal I heißt saturiert, wenn m := (x 0, x 1,..., x n ) kein Primteiler von I ist. Die Saturierung des Ideals I ist gegeben durch sat xn (I) := j 1 I : mj. Satz. Ist I R stabil, so ist I saturiert genau dann, wenn kein Erzeugendes die Variable x n enthält. Man erhält sat xn (I), indem man x n := 1 in allen Erzeugenden setzt. Die Doppelsaturierung des stabilen Ideals I ist die Saturierung von sat xn (I) in K[x 0,..., x n 1 ].

6 2. Eigenschaften stabiler Ideale: Hilbert-Reihen Für ein homogenes Ideal I R definiert man: h R/I : Z Z, h R/I (j) := dim K [R/I] j die Hilbert-Funktion von R/I und H R/I (t) := h R/I (j) t j j=0 die Hilbert-Reihe von R/I.

7 2. Eigenschaften stabiler Ideale: Hilbert-Reihen Satz. Sei I = (m 1,..., m r ) R stabil und m i = x a i x a il i l i mit 1 i r, a ili > 0. Dann gilt: H R/I (t) = 1 r i=1 (1 t) l i t deg m i (1 t) n+1. Beispiel. Für I := (x 2 0, x 0x 1, x 2 1 ) erhalten wir H R/I (t) = 1 mit R = K[x 0, x 1, x 2 ]. [(1 t) 0 t2 +(1 t) 1 t2 +(1 t) 1 t2] (1 t) 3 = 1 3t2 +2t 3 (1 t) 3

8 2. Eigenschaften stabiler Ideale: Hilbert-Polynome Das Hilbert-Polynom p R/I Q[z] ist dasjenige Polynom mit p R/I (j) = h R/I (j) für alle j 0. Das Hilbert-Polynom kann leicht aus der Hilbert- Reihe berechnet werden. Es gibt in der Regel mehrere verschiedene Hilbert- Funktionen, die in hohen Graden mit ein- und demselben Hilbert-Polynom übereinstimmen.

9 2. Einige spezielle lexikographische Ideale Ein monomiales Ideal L R heißt ein lexikographisches Ideal, wenn für jede ganze Zahl d Z der K-Vektorraum [L] d von den r größten Monomen von R vom Grad d erzeugt wird für ein r N. Satz. Zu jeder Hilbert-Reihe H R/I (t) gibt es ein eindeutig bestimmtes lexikographisches Ideal L H mit H R/I (t) = H R/LH (t). L H ist stabil.

10 3. Einige spezielle lexikographische Ideale Satz. Zu jedem Hilbert-Polynom p R/I (z) gibt es ein eindeutig bestimmtes lexikographisches Ideal L p mit p R/I (z) = p R/Lp (z). L p ist ein stabiles Ideal mit: h R/Lp ist minimal unter allen Hilbert-Funktionen mit gleichem Hilbert-Polynom Das Erzeugendensystem von L p lässt sich unmittelbar aus einer geeigneten Darstellung von p R/I ablesen

11 3. Einige spezielle lexikographische Ideale Ist p R/I (z) = [ r (z+i ) ( i=0 i+1 z+i mi ) ] i+1, so wird L p erzeugt von {x 0, x 1,..., x n r 2, x a r+1 n r 1, x a r n r 1 xa r 1+1 n r, x a r n r 1 xa r 1 n r xa r 2+1 n r+1,..., x a r n r 1 xa r 1 n r xa r 2 n r+1... xa 2 n 3 xa 1+1 n 2, x a r n r 1 xa r 1 n r xa r 2 n r+1... xa 1 n 2 xa 0 n 1 }, a r := m r, a r 1 := m r 1 m r,..., a 0 := m 0 m 1.

12 4. Berechnung aller Hilbert-Reihen Sei I R ein stabiles Ideal mit minimalem Erzeugendensystem I g und x A = x a xa r r I g sowie x B = x b xb s s / I g : Erweiterung von x A entfernt x A aus I g und fügt x A x r, x A x r+1,..., x A x n 1 ein Kontraktion von x B fügt x B zu I g hinzu und entfernt x B x s, x B x s+1,..., x B x n 1 aus I g.

13 4. Berechnung aller Hilbert-Reihen Satz. Alle stabilen Ideale mit der gleichen Doppelsaturierung und gleichem Hilbert-Polynom lassen sich durch paarweise Erweiterungen und Kontraktionen ineinander überführen. Satz. Gilt für die lexikographischen Ideale L H und L p p R/LH = p R/L p, so haben sie die gleiche Doppelsaturierung.

14 4. Berechnung aller Hilbert-Reihen Algorithmus 1: Eingabe: Ein Hilbert-Polynom p R/I 1. Berechne aus einer geeigneten Darstellung von p R/I ein Erzeugendensystem des Ideals L p. 2. Berechne mit paarweisen Kontraktionen und Erweiterungen alle Ideale L H aus dem Ideal L p. 3. Berechne für jedes gefundene Ideal L H die Hilbert- Reihe H R/LH. Ausgabe: Alle Hilbert-Reihen assoziiert zu p R/I

15 4. Berechnung von Hilbert-Funktionen Algorithmus 2: Eingabe: Ein Hilbert-Polynom p R/I 1. Berechne L p und alle Hilbert-Reihen H R/LH. 2. Sei d der Grad des lex. größten Erzeugenden von L p. Wiederhole für jede Hilbert-Reihe L H : Berechne h R/I (j) für j < d aus H R/I durch Koeffizientenvergleich Gebe [h R/I (1),..., h R/I (d 1), p R/I (j)] aus. Ausgabe: Die Hilbert-Funktionen assoziiert zu p R/I

16 5. Berechnung aller stabilen Ideale Lemma. Ist p R/I = c konstant, so sind alle stabilen Ideale über paarweise Kontraktionen und Erweiterungen aus L p berechenbar. Satz. Alle stabilen monomialen Ideale mit gleichem Hilbert-Polynom sind über Kontraktionen und Erweiterungen ineinander überführbar. Definiere p R/I (z) := p R/I (z) p R/I (z 1) und i p R/I (z) := i 1 p R/I (z) i 1 p R/I (z 1) sowie R (i) := K[x 0,..., x n i ].

17 5. Berechnung aller stabilen Ideale Grobe Idee des Algorithmus: Eingabe: Ein Hilbert-Polynom p R/I. 1. Berechne i p R/I (z), i = 1,..., d, d p R/I (z) = c, c N. 2. Berechne mit Alg. 1 über L d p alle stabilen Ideale J in R(d) mit Hilbert-Polynom d p R/I (z). Setze i := d Falls i > 0: Lifte alle bisher berechneten Ideale J in R (i). Ist p R (i) /J (z) = i p R/I (z) c J mit c J N, so ersetze J durch ein stabiles Ideal J mit p R (i) / J (z) = i p R/I (z). 4. Berechne mit paarweisen Kontraktionen und Erweiterungen alle stabilen Ideale mit gleichem Hilbert-Polynom und gleicher Doppelsaturierung wie J in R (i). Setze i := i 1. Ausgabe: Alle stabilen Ideale zu p R/I.

18 Literatur K. Gehrs, On stable monomial ideals, Diploma thesis, Department of Mathematics, University of Paderborn, 2003 A. Reeves, On the combinatorial structure of the Hilbert Scheme, Ph.D. thesis, Faculty of the Graduate School of Cornell University, 1992