1. Filterung im Ortsbereich 1.1 Grundbegriffe 1.2 Lineare Filter 1.3 Nicht-Lineare Filter 1.4 Separabele Filter 1.

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Lisa Glöckner
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1 . Filterung im Ortsbereich. Grundbegriffe. Lineare Filter.3 Nicht-Lineare Filter.4 Separabele Filter.5 Implementierung. Filterung im Frequenzbereich. Fouriertransformation. Hoch-, Tief- und Bandpassfilter.3 Faltungssatz

2 f(x, y). Filterung im Ortsbereich.. Grundbegriffe Ortsbereich: Gesamtheit der Pixel, die ein Bild zusammensetzten. Bildoperationen: Bild g x, y =T [ f x, y ] Die Werte der Pixel werden direkt verändert, indem der Vorgang T nacheinander auf jeden Pixel f(x, y) angewendet wird.

3 Beispiel zum Ortsbereich Kontrastveränderung g x, y =a f x, y a ℝ a = a=.5 a = a=.5 Helligkeitsveränderung g x, y = f x, y b b ℝ b=0 b=50 b=00 b=50 3

4 Nachbarschaften Eine Bildoperation T im Ortsbereich kann den Pixel f(x, y) und auch umliegende Pixel benutzten. Die Nachbarschaft eines Pixels bilden die Pixel, die in einer bestimmten Umgebung um den Pixel liegen. Im Normalfall nimmt man Square, da schnell zu implementieren. Verschiedene Nachbarschaften x Star 3x3 Square Diamond Circle 4

5 Filtermasken Man verwendet Filtermasken um die Nachbarschaft in die Berechnung eines neuen Pixelwertes bei der Bildoperation einzubeziehen. Filtermasken haben daher die gleiche Größe wie die Nachbarschaft. Eine Filtermaske enthält Koeffizienten h, welche die Pixel in der Nachbarschaft verschieden stark gewichten. h(-,-) h(0,-) h(,-) h(-,0) h(0,0) h(,0) h(-,) h(0,) h(,) 3x3 Square 5

6 Konzept der Filterung Die Filtermaske wird nacheinander über jedem Pixel f(x, y) zentriert. Der neue Wert des Pixel ergibt sich je nach Art des Filters aus einem bestimmten Schema zur Verrechnung der Pixel mit den Maskenkoeffizienten darüber. Maske mit Koeffizienten wird bei h(0,0) über f(x,y) zentriert h(-,-) h(0,-) h(,-) h(-,0) h(0,0) h(,0) h(-,) h(0,) h(,) f(x-,y-) f(x,y-) f(x+,y-) f(x-,y) f(x,y) f(x+,y) f(f-,f+) f(x,y+) f(x+,y+) Pixel im Bild unter der Maske 6

7 . Lineare Filter Lineare Bildoperationen T f f' Die Bildoperation T ist genau dann linear, wenn gilt: T a f b g =a T f b T g wobei f und g Bilder und a, b Skalare sind. T muss also additiv und homogen sein. 7

8 Berechnung der Filterantwort bei linearen Filtern Die Filterantwort g(x, y) ist der neue Wert des Pixels der durch den Filter berechnet wird. Für n x m Filtermasken: a g x, y = b h s,t f x s, y t s= a t = b wobei a=(n-)/ und b=(m-)/. Die Filterantwort ergibt sich aus der Summe der Produkte der Filterkoeffizienten und der darunter liegenden Pixel. Verfahren auch als Faltung bezeichnet: g x, y = f h x, y 8

9 Beispiel zur Berechnung bei 3x3 Masken a g x, y = h(-,-) h(0,-) h(,-) b h s,t f x s, y t h(-,0) h(0,0) h(,0) h(-,) h(0,) h(,) s= a t = b f(x-,y-) f(x,y-) f(x+,y-) f(x-,y) f(x,y) f(x+,y) f(f-,f+) f(x,y+) f(x+,y+) Maske mit Koeffizienten wird bei h(0,0) über f(x,y) zentriert Pixel im Bild unter der Maske g(x,y) = h(-,-) f(x-,y-) + h(-,0) f(x-,y) h(0,0) f(x,y) h(,0) f(x+,y) + h(,) f(x+,y+) 9

10 Lineare Glättungsfilter Glättungsfilter werden hauptsächlich zur Rauschreduktion und zum Weichzeichnen verwendet. Lineare Glättungsfilter berechnen einfach einen Mittelwert der Pixeln innerhalb einer Nachbarschaft. Vorteil: Rauschen besteht meist aus scharfen Übergängen der Pixelwerte. Das Bilden eines Mittelwertes reduziert diese Übergänge. Nachteil: Kanten von Objekten im Bild haben auch scharfe Übergänge. Diese Kanten werden ungewollt weichgezeichnet. 0

11 Box Filter Alle Pixel unter der Maske werden aufaddiert und dann durch ihre Anzahl dividiert. Beispiel: 3x3 Box Filter 9 Originalbild Box Filter Es ist effizienter nicht jeden Pixel mit /9 zu multiplizieren, sondern erst am Ende durch 9 zu dividieren.

12 Weighted Average Filter Die Pixel werden mit unterschiedlichen Koeffizienten multipliziert, so dass einige Pixel stärker gewichtet werden als andere. Beispiel: 3x3 Filter 6 4 Originalbild Weighted Average Filter Das Gewichten der Pixel invers zu ihrer Entfernung zum Mittelpunkt der Maske mindert die Weichzeichnung.

13 Lineare Ableitungsfilter Glättung eines entspricht der Integration und Differenzierung entspricht dem Schärfen eines Bildes. Ableitungen in Bilder werden Anhand von Differenzen gebildet. f = f x, y f x, y x f = f x, y f x, y f x, y x 3

14 Gradient Erste Ableitung Der Gradientenvektor f gibt die Richtung im Bild an, in die sich das Bild am größten verändert. f= f x f y Der Gradientenbetrag gibt den Betrag dieser Veränderung für jeden Pixel an. f f f = x y Gradientenbetrag wird benutzt um Kanten in Bildern zu finden. 4

15 Sobel Filter Mit dem Sobel Filter kann man den Gradientenbertag schätzen. Sx:= Sy:= Die Filtermasken Sx und Sy nennt man Sobeloperatoren und es gilt: f S x f S y f 5

16 Beispiel zum Sobel Filter Originalbild Sx auf Originalbild angewendet Schätzung des Gradientenbetrags mit dem Sobel Filter Sy auf Originalbild angewendet 6

17 Laplacian Ableitung zweiter Ordnung Der Laplacian ist definiert durch: f f f= x y Mit f = f x, y f x, y f x, y x kann man eine einfach Filtermaske zur Berechnung des Laplacian konstruieren. Der Laplacian wird benutzt um Bilder zu schärfen, indem man das gefilterte Bild vom ursprünglichen subtrahiert. 7

18 Beispiel zum Laplacian Die Filtermaske wird durch anwenden der Ableitung in verschiedene Richtungen konstruiert. -8 Originalbild Laplacian angewendet Original - Laplacian 8

Beispiel Median Filter: Es wird der Median von allen Pixeln unter der

19 .3 Nicht-Lineare Filter Nicht-Lineare Filter sind nicht additive und nicht homogene Bildoperationen. Beispiel Median Filter: Es wird der Median von allen Pixeln unter der Filtermaske berechnet. Gute Rauschunterdrückung mit wenig Weichzeichnung, vor allem bei Salz und Pfeffer Rauschen 9

20 .4 Separabele Filter Ein Filter ist heißt separabel,wenn für ihn gilt: h k, l =h k h l Separabel bedeutet, dass ein D-Filter in zwei D-Filter h und h zerlegt werden kann. Wendet man nun zuerst h und danach h auf das Bild an erhält man das gleiche Resultat wie beim Filtern mit h. Separabele Filter bieten eine schnellere Implementierung durch weniger Multiplikationen (zuerst Zeilen, dann Spalten filtern). 0

21 .4 Implementierung Problem: Filtermaske überragt das Bild an den Randpixeln. Es können nicht alle Pixel mit der kompletten Filtermaske gefiltert werden. Lösungen: Bild vor dem Filtern erweitern/auffüllen oder nicht das gesamte Bild filtern und danach zuschneiden.

22 . Filterung im Frequenzbereich Frequenzbereich: Bild nicht durch Pixel sondern durch Frequenzkoeffizienten dargestellt. Ein Frequenzkoeffizient gibt an wie stark eine Frequenz im Bild vorkommt. Bildoperationen: F {g x, y } Filter F { g, } Ein Bild g(x, y) wir mit der Fouriertransformation F in den Frequenzbereich transformiert, bestimmte Frequenzen werden dort heraus gefiltert und mit der inversen Fouriertransformation F- wird die gefilterte Fouriertransformierte g(ω, ω) wieder in den Ortsbereich überführt.

23 .3 Faltungssatz Durch Faltung * des Bildes f mit der Filtermaske h im Ortsbereich erhält man das Bild g: g x, y = f h x, y Dann gilt:, g, = f, h Jede Faltung im Ortsbereich entspricht einer Multiplikation im Frequenzbereich. 3

24 Beispiel zur Fouriertransformation und Tiefpass FFT IFFT 4

25 3. Zusammenfassung Filterung Ortsbereich Frequenzbereich lineare nicht-lineare Glättung Kanten Schärfung Median min max FFT und IFFT Hochpass Tiefpass 5

26 4. Literatur [] R.C. Gonzalez und R.E. Woods Digital Image Processing, Addison-Wesley 000 [] C. Schnörr Skript Bildverarbeitung, WS 04/05 6

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