Quantenkryptographie. Referent: Thomas Boschütz Referent: Thomas Boschütz. Datum:

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1 Quantenkryptographie Referent: Thomas Boschütz Referent: Thomas Boschütz Datum:

2 Inhaltsverzeichnis 1. Das One-Time-Pad 2. Klassische Kryptographie: Das RSA-Verschlüsselungssystem I. Besonderheiten II. Erzeugung III. Kryptoanalyse 3. Quantenkryptographie: Das BB84-Protokoll I. Zweizustandssystem und Polarisationsmessung von Photonen II. Messapparatur und Informationseinheiten III. Durchführung der Messung zur Schlüsselübertragung IV. Sicherheit des BB84-Protokolls: Das No-Cloning-Theorem V. Zusammenfassung und Ausblick

3 1. Das One-Time-Pad (OTP) Sicheres Verschlüsselungsverfahren Weisen Alphabet numerischen Code zu: A B. P Q R S T U V W X Y Z Praxis: ASCII Binärcode (7 Zeichen) Zufälliger Schlüssel: PLMOE ZQKJZ LRTEA VCRCB Zu verschlüsselndes Wort: RUECKZUG Verschlüsseln: P L M O E Z Q K R U E C K Z U G G F Q Q O Y K Q 1. Buchstabe: P-15, R =32> =6 G (Modulus 26)

4 1. Das One-Time-Pad (OTP) Entschlüsseln: G F Q Q O Y K Q P L M O E Z Q K R U E C K Z U G 1. Buchstabe: G-6, P =-9<0-9+26=17 R usw. Möglichkeit der sicheren Übertragung von Informationen, wenn: Schlüssellänge der Länge des Klartextes entspricht Schlüssel aus absolut zufälliger Zeichenfolge besteht Schlüssel nur einmal verwendet wird Sender u. Empfänger nutzen identische Schlüssel: symmetrische Verschlüsselung: Im weiteren Verlauf interessiert sicherer Schlüsselaustauch!

5 2. Klassische Kryptographie: RSA I. Besonderheiten: 1977 von den Mathematikern Rivest, Shamir, Adleman umgesetzt Asymm. Kryptosystem: Verschlüsselung und digitale Signatur durch: privaten Schlüssel (Private Key): Entschlüsseln und digitale Signatur öffentlichen Schlüssel (Public Key): Verschlüsseln und digitale Signatur prüfen Kein Schlüsselaustausch notwendig Grundlage: Faktorisierung einer großen Zahl sehr aufwendig, Erzeugung durch Multiplikation zweier Primzahlen sehr einfach

6 II. Erzeugung: Public Key (e, N): e Verschlüsselungsexponent, N RSA-Modul Private Key(d, N): d Entschlüsselungsexponent, N RSA-Modul 1. Stochastisch unabhängige Primzahlen p q festlegen: p=11 und q=13 2. RSA-Modul berechnen: N=p. q= Berechnen Eulersche φ-funktion von N: φ(n)= φ(143)=(p-1)(q-1)= Wählen zu φ(n) teilerfremde Zahl e mit Bed.: 1<e< φ(n) mit e=23 lautet Public Key e=23 und N= Berechnung von d als Multiplikativ Inverses von bezüglich Modulus φ(n) mit Bedingung: e. d 1 (mod φ(n) mit erweiterten euklidischen Algorithmus: d=47 private Key lautet d=47 und N=143

7 III. Kryptoanalyse: Nicht bewiesen, ob Primfaktorzerlegung prinzipiell schwierig Mai 2005: 200-stellige Dezimalzahl durch Wissenschaftler der Universität Bonn mittels der Methode Zahlkörpersieb faktorisiert (80 handelsübliche PC s) Frage: Bietet die Quantenkryptographie sicherere Methoden für einen Schlüsselaustausch?

8 3. Quantenkryptographie: BB84-Protokoll Idee in den 1980-er Jahren: Quantensignale verwenden heute zwei wichtige Methoden Ekert-Protokoll: 1991von Artur Ekert vorgeschlagen, beruht auf der Verschränkung von Photonen BB84-Protokoll: 1984 von Charles Bennet und Gilles Brassard

9 I. Zweizustandssystem und Polarisationsmessung von Photonen Betrachten eine Basis ( ) mit orthogonalen Basisvektoren und V im zweidimensionalen Hilbertraum: H V Ψ α α Beliebiger linearer Polarisationszustand in Basis ( ): ψ = cosα H + sinα V (Superposition) α H

10 Polarisationsmessung durch Detektoren hinter Polarisationsfiltern: ψ α Bsp.: Zustand eines linear polarisierten Photons horizontal orientierter Polarisationsfilter PF H vertikal orientierter Polarisationsfilter PF V Detektionswahrscheinlichkeiten: P = V ψ α = V P = H ψ α = cos H α 2 sin α (horizontal) (vertikal) Ergebnis: α α α = 90 Photon sicher hinter PF V detektiert = 0 Photon sicher hinter PF H detektiert =45 P = P = 0,5 Ergebnis max. unbestimmt V H

11 + Zusätzlich: 2. Basis ( ) mit orthogonalen Basisvektoren und mit δ = 45 V ψ α + Detektionswahrscheinlichkeit hinter Polarisationsfiltern mit Orientierungen ± 45 : α = δ = 45 : P + = 1 α δ δ H α = δ = 45 : P = 1 α = 0,90 : P = P = 0,5 + α Für, für die in ( ) Detektionswahrscheinlichkeit max. unbestimmt ist, ist sie in ( ) max. bestimmt und umgekehrt!

12 II. Messapparatur und Informationseinheiten Fordern eine Messapparatur, die Polarisationszustände für α α α α =0 oder =90 in der Basis ( ) bzw. =45 oder =-45 in der Basis ( ) detektiert! Technische Realisierung: ψ α BS: Beam Splitter Strahlteiler 2 x PBS: Polarisation Beam Splitter Polarisationsstrahlteiler λ/2-blättchen 4 Detektoren

13 Quelle:

14 Informationseinheiten: Klassisch: Bit 0/1 realisiert durch niedrige/hohe Spannung Quantenkryptographie: Qubit 0/1 bestimmt durch Registrierung an den entsprechenden Detektoren: polarisierte Photonen V ψ α + Qubit 1 H, + Qubit 0 V, α δ δ H

15 III. Durchführung der Messung zur Schlüsselübertragung Alice (Sender) sendet Bob (Empfänger) polarisierte Photonen, zufällige Orientierungen 0, 90, 45 oder -45 Messprotokoll

16 Alice und Bob kommunizieren über öffentlichen Kanal: Bob teilt Alice mit, wo er kein Signal detektiert hat streichen Alice teilt Bob mit, in welchen Basen sie Photonen präpariert hat; bei Nichtübereinstimmung streichen Fehlerkorrektur und Rohschlüssel auf Lauschangriff prüfen: Vergleich von Schlüsselteilen, oder Paritätsvergleich

17 IV. Sicherheit des BB84-Protokolls: Das No-Cloning-Theorem Angreifer kann von Alice übermittelte Photonen messen und an Bob weiterleiten; aber: Messung eines Photons mit unbekannten Polarisationszustand ändert nach Messung dessen Orientierung mit einer Wahrscheinlichkeit P=1/4, Rechenbeispiel: P(Bit nicht fehlerhaft) = 3/4, für N stochastisch unabhängige Bits gilt: P(Bits nicht fehlerhaft)=(3/4) N P(25 Bits nicht fehlerhaft)<0,1% No-Cloning-Theorem besagt, dass es nicht möglich ist einen unbekannten Quantenzustand perfekt zu kopieren!

18 Mathematischer Beweis: Ausgangspunkt: Operator der Zeitentwicklung: U (unitär) Basiszustände H, V allg. Zustand: ψ = ah + bv beliebiger Zustand, auf den kopiert wird: k Quantenkopierer müsste beide Basiszustände und jeden allgemeinen Zustand kopieren! Linearität der Quantenmechanik wird genutzt!

19 U H k = H H UV k = V V U ψ k = U ( a H + b V ) k = au H k + bu V k = a H H + b V V rechte Seite müsste die Form ψ ψ haben: ( )( ) 2 2 ah + bv ah + bv = a H H + b V V + abh V + abv H steht im Widerspruch!

20 V. Zusammenfassung und Ausblick Sicherheit der Quantenkryptographie: physikalische Grundlagen 1989 am IBM-Forschungslabor New York: Schlüsselaustausch mittels polarisierten Photonen über Distanz von 30 cm LMU München: Freiraumkryptographie in den Alpen über 23 km mit Bitraten im khz-bereich und Fehlerrate von 5% (bei Bewölkung unmöglich) Herausforderung: Realisierung von 1-Photonenquellen mit Vision des Schlüsselaustauschs über Satellit Kommerzielle Anwendungen in naher Zukunft möglich

21 Literatur BRUß, Dagmar, Quanteninformation, Frankfurt am Main: Fischer Taschenbuch Verlag, 2003 BOUWMEESTER, Dirk / EKERT, Artur / ZEILINGER, Anton (Eds.), The Physics of Quantum Information, Berlin, Heidelberg, New York, Barcelona, Hong Kong, London, Milan, Paris, Singapore, Tokyo: Springer, 2000 JOYNER, David (Ed.), Coding Theory and Cryptography, Berlin, Heidelberg, New York, Barcelona, Hong Kong, London, Milan, Paris, Singapore, Tokyo: Springer, 2000 SINGH, Simon, CODES, Die Kunst der Verschlüsselung, Die Geschichte-Die Geheimnisse- Die Tricks, München, Wien: Carl Hanser Verlag, 2002 WÄETJEN, Dietmar, Kryptographie: Grundlagen, Algorithmen, Protokolle, Heidelberg, Berlin: 2004 Einführung in die Grundlagen der Quantenphysik, besucht am unter: