Quantencomputer in Theorie und Praxis. Enrico Thomae Dagstuhl,

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1 Quantencomputer in Theorie und Praxis Enrico Thomae Dagstuhl,

2 1 Warum die Aufregung? RSA Verschlüsselung 2 Die wunderliche Welt der Quantenmechanik 3 Quantencomputer in der Praxis 4 Quantencomputer in der Theorie Deutsch-Josza Problem Grover-Algorithmus 5 Was es sonst noch gibt Quantenzufallsgenerator Teleportation Quantenkryptographie Post-Quantum Kryptographie Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

3 Neulich in Stockholm... Nobelpreis Physik 2012 David J. Wineland Serge Haroche Ihre bahnbrechenden Methoden ermöglichten die ersten Schritte auf dem Weg zu extrem schnellen Quantencomputern c NIST c Collège de France Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

4 Warum die Aufregung? Peter Shor erschüttert klassische Kryptographie Quantenalgorithmus zum effizienten Faktorisieren ganzer Zahlen Polynomial-time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer. SIAM Journal on Computing, erfolgreich faktorisiert IBM, Kernspin, 7 Qubit Peter Shor c thescientificcartoonist.com c MIT Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

5 Warum die Aufregung? Peter Shor erschüttert klassische Kryptographie Quantenalgorithmus zum effizienten Faktorisieren ganzer Zahlen Polynomial-time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer. SIAM Journal on Computing, erfolgreich faktorisiert Photonen, 2 Qubit (recycled 6 Qubit) Peter Shor c thescientificcartoonist.com c MIT Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

6 Warum die Aufregung? Peter Shor erschüttert klassische Kryptographie Quantenalgorithmus zum effizienten Faktorisieren ganzer Zahlen Polynomial-time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer. SIAM Journal on Computing, nochmals faktorisiert Supraleitung, 5 Qubit Peter Shor c thescientificcartoonist.com c MIT Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

7 RSA Verschlüsselung Definition (Eulersche ϕ-funktion) Sei N N >0, dann gilt ϕ(n) := {1 a N ggt(a, N) = 1} Beispiel ϕ(15) = Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

8 RSA Verschlüsselung Definition (Eulersche ϕ-funktion) Sei N N >0, dann gilt ϕ(n) := {1 a N ggt(a, N) = 1} Beispiel ϕ(15) = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14} = 8 Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

9 RSA Verschlüsselung Definition (Eulersche ϕ-funktion) Sei N N >0, dann gilt ϕ(n) := {1 a N ggt(a, N) = 1} Satz von Euler Seien a, N N >0 und ggt(a, N) = 1, dann gilt a ϕ(n) 1 mod N. Beispiel ϕ(15) = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14} = = mod 15 Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

10 RSA Verschlüsselung 1978 RSA - Ronald Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman (MIT) A Method for Obtaining Digital Signatures and Public-Key Cryptosystems. Commun. ACM, 1978 Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

11 RSA Verschlüsselung 1978 RSA - Ronald Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman (MIT) A Method for Obtaining Digital Signatures and Public-Key Cryptosystems. Commun. ACM, 1978 Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

12 RSA Verschlüsselung 1978 RSA - Ronald Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman (MIT) A Method for Obtaining Digital Signatures and Public-Key Cryptosystems. Commun. ACM, 1978 geheimer Schlüssel: p, q prim und N = p q, d mit e d 1 mod ϕ(n) und ϕ(n) = (p 1)(q 1) öffentlicher Schlüssel: N, e Verschlüsselung: m e c mod N Entschlüsselung: c d = m ed m ed mod ϕ(n) m mod N N, e Alice m öffentlicher Kanal c Eve p, q, d Bob Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

13 Warum ist das so wichtig? 1976: Diffie-Hellman Schlüsselaustausch 1985: ElGamal Verschlüsselung beide Systeme basieren auf Problem des diskreten Logarithmus RSA, ElGamal & Diffie-Hellman heute hauptsächlich benutzt! Geldkarten Online Banking/Shopping... Mobilfunk Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

14 Gesetze der Quantenphysik Makrokosmos: c picture alliance/zb/dpa-zentralbild Ort x und Geschwindigkeit v beliebig genau messbar 2. Newtonsches Gesetz liefert Bewegungsgleichung: x(t) = v t + x 0 Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

15 Gesetze der Quantenphysik Makrokosmos: c picture alliance/zb/dpa-zentralbild Ort x und Geschwindigkeit v beliebig genau messbar 2. Newtonsches Gesetz liefert Bewegungsgleichung: x(t) = v t + x 0 Gilt das auch für Elektronen? Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

16 Gesetze der Quantenphysik Makrokosmos: c picture alliance/zb/dpa-zentralbild Ort x und Geschwindigkeit v beliebig genau messbar 2. Newtonsches Gesetz liefert Bewegungsgleichung: x(t) = v t + x 0 Gilt das auch für Elektronen? Nein, denn... Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

17 Gesetze der Quantenphysik Mikrokosmos: Heisenbergsche Unschärferelation: Ort x und Geschwindigkeit v (bzw. Impuls p = m v) nicht gleichzeitig beliebig genau messbar: Werner K. Heisenberg x p 1 2 = h 4π mit h evs Plancksches Wirkungsquantum Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl c Bundesarchiv, Bild183-R57262 / CC-BY-SA 9

18 Gesetze der Quantenphysik Mikrokosmos: Schrödingergleichung liefert Wellengleichung: i ψ( x, t) = Ĥψ( x, t) mit t ψ( x) 2 Wahrscheinlichkeit Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

19 Welle-Teilchen Dualismus Quantenobjekte haben sowohl Wellen- als auch Teilcheneigenschaft 1802: Doppelspaltexperiment (Young) Interferenz des Lichts Welleneigenschaft 1905: photoelektrischer Effekt (Einstein) Licht besteht aus Photonen Teilcheneigenschaft Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

20 Welle-Teilchen Dualismus Quantenobjekte haben sowohl Wellen- als auch Teilcheneigenschaft 1897: Nachweis von Elektronen als Elementarteilchen (Thompson) 1959: Interferenz von Elektronen am Doppelspalt (Jönssen) außerdem Tunneleffekt Welleneigenschaft c Spektrum der Wissenschaft c Charles Addams Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

21 Mathematische Formulierung klassiches Bit entweder im Zustand 0 oder 1 Qubit im Zustand 0 und 1 gleichzeitig ψ = α 0 + β 1 mit α, β C und α 2 + β 2 = 1

22 Mathematische Formulierung klassiches Bit entweder im Zustand 0 oder 1 Qubit im Zustand 0 und 1 gleichzeitig ψ = α 0 + β 1 mit α, β C und α 2 + β 2 = 1 2 Qubit im Zustand ψ 1 ψ 2 = α 00 + β 01 + γ 10 + δ 11 mit α, β, γ, δ C und α 2 + β 2 + γ 2 + δ 2 = 1

23 Mathematische Formulierung klassiches Bit entweder im Zustand 0 oder 1 Qubit im Zustand 0 und 1 gleichzeitig ψ = α 0 + β 1 mit α, β C und α 2 + β 2 = 1 2 Qubit im Zustand ψ 1 ψ 2 = α 00 + β 01 + γ 10 + δ 11 mit α, β, γ, δ C und α 2 + β 2 + γ 2 + δ 2 = 1 n Qubit Überlagerung von 2 n Basiszuständen Aufgabe 1 Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

24 Die Messung Kopenhagener Deutung 1927 von Niels Bohr und Werner Heisenberg postuliert Wellenfunktion bricht bei Messung auf Basiszustand zusammen setzt Zufall voraus und untergräbt damit Determinismus der Physik Albert Einstein: Gott würfelt nicht (1926) bis heute populärste Theorie (v.a. aus Mangel an Alternativen) Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

25 Schrödingers Katze Schrödingers Gedankenexperiment stellt Kopenhagener Deutung in Frage Kann Katze tot und lebendig zu gleich sein? was genau bei Messung geschieht, ist bis heute umstritten Erwin Schrödinger c Martin Bahmann, Boffy b, Anarkman Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

26 Die Messung Viele-Welten Theorie 1957 von Hugh Everett III postuliert deterministische Entwicklung von Zuständen in unbeobachteten Systemen Verzweigung der Wellenfunktion in Abschnitte, die nicht mehr miteinander interagieren wachsende Popularität (David Deutsch, Stephen Hawking) Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

27 Die Messung De-Broglie-Bohm-Theorie (bohmsche Mechanik) 1927 von Louis de Broglie postuliert 1952 von David Bohm unabhängig entwickelt deterministische Theorie die Wellenfunktion um verborgene Variablen (Teilchenorte) ergänzt wenig populär Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

28 Gesetze der Quantenphysik Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

29 Physikalische Grundkonzepte Ionenfalle Kernspin Photonen Supraleitung Anyonen (Adiabatische Quantencomputer) c The Economist Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

30 Ionenfalle 1953: Wolfgang Paul entwickelt Theorie der Ionenfalle (Paul-Falle) 1989: Nobelpreis Physik Wolfgang Paul & Hans G. Dehmelt 2005: Ionenfalle mit 8 Qubit (Prof. Reiner Blatt et al.) 2011: Ionenfalle mit 14 Qubit (Prof. Reiner Blatt et al.) c C. Lackner - Innsbruck, Österreich c Mnolf - Innsbruck, Österreich Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

31 Ionenfalle Ionen unter Vakuum und tiefen Temperaturen in elektro-magnetischem Feld zu Kette aufgereiht verschiedene Energieniveaus: Grundzustand 0, angeregter Zustand 1 Berechnungen mittels Laserstrahlen ausgeführt c NIST c F. Schmidt-Kaler,R. Blatt, Universität Innsbruck Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

32 Ionenfalle Nachteil: Problem der Skalierbarkeit mit zunehmender Masse erhöht sich Trägheit der Kette Berechnungen werden langsamer und verbrauchen mehr Energie Kopplung vieler Ionenfallen und Ionenfallenchips c Mark Leffingwell - Reuters c NIST Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

33 Grundprobleme beim Bau großer QC Dekohärenz Wechselwirkung eines Quantensystems mit der Umwelt. Wirkt wie zeitabhängige allmähliche Messung, die Superposition zerstört. Größtes Problem beim Bau von Quantencomputern. Macht Quantenfehlerkorrekturalgorithmen nötig ( mehr Qubits). Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

34 Grundprobleme beim Bau großer QC Dekohärenz Wechselwirkung eines Quantensystems mit der Umwelt. Wirkt wie zeitabhängige allmähliche Messung, die Superposition zerstört. Größtes Problem beim Bau von Quantencomputern. Macht Quantenfehlerkorrekturalgorithmen nötig ( mehr Qubits). Skalierbarkeit Bisherige Techniken, die für wenige Qubits funktionieren, lassen sich nicht einfach auf große Anzahl Qubits erweitern. Probleme: Dekohärenz, Kontrolle über Qubits Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

35 Kernspin Atome eines Moleküls mit Grundzuständen 0 und 1 beschrieben durch den Spin des Atoms 1998: 2 Qubit Chloroform-Molekül (IBM) 2000: 5 Qubit (TU München) 2001: 7 Qubit Fluorkohlenstoff-Molekül (IBM) - Faktorisierung von : 12 Qubit (IQC und Perimeter Institute) c Neil Gershenfeld c Benjah-bmm27 Wikipedia Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

36 Kernspin Atome eines Moleküls mit Grundzuständen 0 und 1 beschrieben durch den Spin des Atoms 1998: 2 Qubit Chloroform-Molekül (IBM) 2000: 5 Qubit (TU München) 2001: 7 Qubit Fluorkohlenstoff-Molekül (IBM) - Faktorisierung von : 12 Qubit (IQC und Perimeter Institute) Nachteil: sehr schlecht skalierbar mit wachsender Molekülgröße wird es exponentiell schwieriger den Spin von Rauschen zu unterscheiden c Benjah-bmm27 Wikipedia Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

37 Photonen Einweg-Quantencomputer mit Grundzuständen 0 und 1 durch verschiedene Polarisierungsrichtungen 2003: Grover Algorithmus auf 2 Qubit (Prof. Briegel et al.) 2004: 4 Qubit (Prof. Zeilinger et al.) 2005: Grover Algorithmus auf 4 Qubit (Prof. Zeilinger et al.) 2007: 6 Qubit (Universität Hefei, China) Vorteile: Geringe Dekohärenz und theoretisch gute Skalierbarkeit 4 Qubit Photonen Quantencomputer c Robert Prevedel Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

38 Photonen Einweg-Quantencomputer mit Grundzuständen 0 und 1 durch verschiedene Polarisierungsrichtungen 2003: Grover Algorithmus auf 2 Qubit (Prof. Briegel et al.) 2004: 4 Qubit (Prof. Zeilinger et al.) 2005: Grover Algorithmus auf 4 Qubit (Prof. Zeilinger et al.) 2007: 6 Qubit (Universität Hefei, China) Nachteile: Verschränkung und Kontrolle der Qubits schwierig 4 Qubit Photonen Quantencomputer c Robert Prevedel Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

39 Supraleitung Elektronen bei tiefen Temperaturen auf supraleitenden Ring Ring unterbrochen von Josephson-Kontakten, welche getunnelt werden Bewegungsrichtung im Uhrzeigersinn 0 oder dagegen : Grover und Deutsch-Josza Algorithmus auf 2 Qubit (TU Wien) 2 Qubit Chip c TU Wien Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

40 Anyonen 1997: Alexei Kitaev schlägt topologische Quantencomputer vor Anyonen - Quasiteilchen im 2-dimensionalen Raum Vorteil: geringere Dekohärenz als z.b. Ionenfalle 2005: Vladimir Goldman et al. behaupten topologischen QC mit 1 Qubit gebaut zu haben Experten bezweifeln dies, da Anyonen bis heute noch nicht experimentell nachgewiesen Forschung: Microsoft Station Q Michael H. Freedman 1986 Fields Medaille Michael Freedman c Universität Toronto c Søren Fuglede Jørgensen Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

41 Adiabatische Quantencomputer adiabatische Zustandsänderungen (sehr langsam bei konstanter Temperatur) Grundzustand des Systems beschreibt Lösung, Startzustand strebt langsam zu Grundzustand (ähnlich zu Analogcomputern) 2007: D-Wave 16 Qubit 128 Qubit Chip c D-Wave Systems, Inc. c D-Wave Systems, Inc. - Ndickson Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

42 Adiabatische Quantencomputer adiabatische Zustandsänderungen (sehr langsam bei konstanter Temperatur) Grundzustand des Systems beschreibt Lösung, Startzustand strebt langsam zu Grundzustand (ähnlich zu Analogcomputern) 2011: D-Wave verkauft ersten kommerziellen 128 Qubit Rechner an Lockheed Martin Corp. (10 Mio. $) 128 Qubit Chip c D-Wave Systems, Inc. c D-Wave Systems, Inc. - Ndickson Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

43 Adiabatische Quantencomputer adiabatische Zustandsänderungen (sehr langsam bei konstanter Temperatur) Grundzustand des Systems beschreibt Lösung, Startzustand strebt langsam zu Grundzustand (ähnlich zu Analogcomputern) 2011: D-Wave verkauft ersten kommerziellen 128 Qubit Rechner an Lockheed Martin Corp. (10 Mio. $) Experten bezweifeln, dass dieser Rechner schneller als klassische Computer faktorisieren kann 128 Qubit Chip c D-Wave Systems, Inc. c D-Wave Systems, Inc. - Ndickson Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

44 Leistungsentwicklung Qubits Spin Spin Spin Ion D-Wave (?) Spin Ion Photon Supraleitung Photon Supraleitung Jahr Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

45 Wird es jemals große Quantencomputer geben? 2012 macht Hoffnung: IBM feiert mehrere Erfolge We are on the cusp of building systems that will take computing to a whole new level. australische Forscher bauen Quantenspeicher The world s first quantum computer is just 5 to 10 years away. Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

46 Mathematischer Hintergrund ψ = α 0 + β 1 mit α, β C und α 2 + β 2 = 1 Bloch Kugel c Smite-Meister Wikipedia Bloch-Kugel ψ = cos θ eiϕ sin θ 2 1 cos θ e iϕ sin θ 2 2 = cos 2 θ 2 + sin2 θ 2 = 1 Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl Aufgaben 2,3 29

47 Mathematischer Hintergrund ψ = α 0 + β 1 mit α, β C und α 2 + β 2 = 1 0 := ( ) 1, 1 := 0 01 = 0 1 := ( ) 0 C 1 2 Hilbertraum ( ) 1 0 ( ) 0 = Bloch Kugel c Smite-Meister Wikipedia Tensorprodukt ( ) ( ) a 1 b 1 a1 b1 := a 1 b 2 a 2 b 2 a 2 b 1 a 2 b 2 Bloch-Kugel ψ = cos θ eiϕ sin θ 2 1 cos θ e iϕ sin θ 2 2 = cos 2 θ 2 + sin2 θ 2 = 1 Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl Aufgaben 2,3 29

48 Mathematischer Hintergrund Jede Transformationen M auf Qubits muss längenerhaltend sein! Unitäre Transformationen Eine n n Matrix M mit Elementen in C heißt unitär, falls gilt M = M 1. Aufgabe 4 Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

49 Mathematischer Hintergrund Jede Transformationen M auf Qubits muss längenerhaltend sein! Unitäre Transformationen Eine n n Matrix M mit Elementen in C heißt unitär, falls gilt Aufgabe 4 Reversible Berechnungen M = M 1. Jede unitäre Transformation ist bijektiv und damit müssen alle Berechnungen auf Qubits reversibel sein! klassische Operationen kommen daher nicht in Frage: XOR Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

50 Rechnen mit Qubits Jacques Hadamard ( ) liefert wichtigste Operation H: Hadamard-Matrix H = 1 ( ) Es gilt H 0 = und H 1 = Aufgabe 5 Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

51 Rechnen mit Qubits Jacques Hadamard ( ) liefert wichtigste Operation H: Hadamard-Matrix H = 1 ( ) Es gilt H 0 = und H 1 = Aufgabe 5 Tensorprodukt H 2 := H H Aufgabe 6 bzw. H n := n i=1 H i mit Tensorprodukt für Matrizen wie rechts definiert. a 11 B a 1n B a 21 B a 2n B A B :=..... a m1 B a mn B Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

52 Quantenzufallsgenerator Theorie: H 0 = ( ) ( ) = 1 ( ) Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

53 Quantenzufallsgenerator Theorie: H 1 = ( ) ( ) = 1 ( ) Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

54 Quantenzufallsgenerator Theorie: H 1 = ( ) ( ) = 1 ( ) Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

55 Quantenzufallsgenerator Theorie: H 1 = ( ) ( ) = 1 ( ) Praxis: 990 Quantis-USB-4M module Ein-Photonen-Detektor halbdurchlässiger Spiegel Ein-Photonen- Detektor c ID Quantique Schweiz Ein-Photonen-Emitter Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

56 Quantenschaltkreise Controlled Not a a b b a Reversible Einbettung von Funktionen a a b U b U(a) Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

57 Deutsch-Josza Problem Gegeben: Gatter f : F 2 F 2 Gesucht: Anwort auf die Frage: f (0) = f (1)? Klassische Algorithmen müssen f zweimal auswerten Deutsch-Josza Schaltkreis 0 H 2 H a 1 f b Messung von a im Deutsch-Josza Schaltkreis löst das Problem mit nur einem Aufruf von f Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

58 Grover-Suchalgorithmus Klassische Algorithmen benötigen O(N) Schritte für Suche in N Elementen Groveralgorithmus benötigt lediglich O( N) Schritte Grover-Algorithmus für N = ( ) Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

59 Grover-Suchalgorithmus Klassische Algorithmen benötigen O(N) Schritte für Suche in N Elementen Groveralgorithmus benötigt lediglich O( N) Schritte Grover-Algorithmus für N = (MW) Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

60 Grover-Suchalgorithmus Klassische Algorithmen benötigen O(N) Schritte für Suche in N Elementen Groveralgorithmus benötigt lediglich O( N) Schritte Grover-Algorithmus für N = (MW) Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

61 Grover-Suchalgorithmus Klassische Algorithmen benötigen O(N) Schritte für Suche in N Elementen Groveralgorithmus benötigt lediglich O( N) Schritte Grover-Algorithmus für N = (MW) Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

62 Grover-Suchalgorithmus Klassische Algorithmen benötigen O(N) Schritte für Suche in N Elementen Groveralgorithmus benötigt lediglich O( N) Schritte Grover-Algorithmus für N = (MW) Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

63 Grover-Suchalgorithmus Klassische Algorithmen benötigen O(N) Schritte für Suche in N Elementen Groveralgorithmus benötigt lediglich O( N) Schritte Grover-Algorithmus für N = (MW) Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

64 Grover-Suchalgorithmus Klassische Algorithmen benötigen O(N) Schritte für Suche in N Elementen Groveralgorithmus benötigt lediglich O( N) Schritte Grover-Algorithmus für N = (MW) Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

65 Quantenschaltkreise Toffoli-Gatter Das Toffoli-Gatter ist universell, d.h. jede boolesche Funktion lässt sich durch Toffoli-Gatter beschreiben. Damit kann jeder klassische Algorithmus auch auf einem Quantencomputer ausgeführt werden. a a b b c c (a b) Aufgaben 7,8 Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

66 Teleportation Verschränkung Ein Zustand ψ C 4 eines 2-Qubit Systems heißt separabel, falls x, y C 2 existieren, so dass ψ = x y. Andernfalls heißt ψ verschränkt. Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

67 Teleportation Verschränkung Ein Zustand ψ C 4 eines 2-Qubit Systems heißt separabel, falls x, y C 2 existieren, so dass ψ = x y. Andernfalls heißt ψ verschränkt. Beispiel: 1 2 ( ) = 1 2 ( ) 0 (separabel) 1 2 ( ) (verschränkt - EPR Paar) Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

68 Teleportation Verschränkung Ein Zustand ψ C 4 eines 2-Qubit Systems heißt separabel, falls x, y C 2 existieren, so dass ψ = x y. Andernfalls heißt ψ verschränkt. Beispiel: 1 2 ( ) = 1 2 ( ) 0 (separabel) 1 2 ( ) (verschränkt - EPR Paar) 0 H 00 0 H 1 ( ) 0 CNOT 1 ( ) 2 2 Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

69 No-Cloning Theorem Messung liefert Basiszustand und zerstört Überlagerung. No-Cloning Theorem Quantenzustände, die sich nicht in einem Basiszustand befinden, können nicht kopiert werden. Beweis: Angenommen es gibt einen Quantenkopierer U, dann gilt U(H 0 1 ) = H 0 ( H 0 (separabel). ) 1 Aber U(H 0 1 ) = U 2 ( ) = 1 2 (U( 01 ) + U( 11 )) = 1 2 ( ) (verschränkt) Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

70 Teleportation um beliebigen Quantenzustand ψ zu übertragen, benötigt man klassischen Kanal, d.h. Informationen werden nicht schneller als Lichtgeschwindigkeit übertragen und auch nicht kopiert! 2004: Teleportation eines Zustands mittels Ionen (Innsbruck, NIST) 2004: Teleportation eines Zustands mittels Photonen (Wien) 2012: Teleportation über Entfernung von 143km (Zeilinger) Aufgabe 9 Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

71 Quantenkryptographie Quantenschlüsselaustausch BB84-Protokoll (Charles Bennett, Gilles Brassard 1984) = 0 = 1 = 0 = 1 Alice Blende Polarisierung Bob Blende Polarisierung Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

72 Quantenkryptographie Quantenschlüsselaustausch BB84-Protokoll (Charles Bennett, Gilles Brassard 1984) = 0 = 1 = 0 = 1 Alice Blende Polarisierung Bob Blende Polarisierung Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

73 Quantenkryptographie Quantenschlüsselaustausch BB84-Protokoll (Charles Bennett, Gilles Brassard 1984) = 0 = 1 = 0 = 1 Alice Blende Polarisierung Bob Blende Polarisierung Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

74 Quantenkryptographie 2007: BB84-Protokoll auf Distanz von 148.7km ausgeführt (NIST) (Glasfaserkabel verwendet) 2007: BB84-Protokoll auf Distanz von 144km ausgeführt (Zeilinger) (Übertragung durch Luft) Systeme kommerziell erhältlich: id Quantique, MagiQ Netzwerke betrieben von: Toshiba, HP, IBM, Mitsubishi, NEC 2009: Meet-in-the-Middle Angriff, der Schwächen von Photonendetektoren ausnutzte Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

75 Post-Quantum Kryptographie Klassische Kryptosysteme sicher gegen Quantencomputer? Symmetrische Kryptographie Blockchiffren (AES, PRESENT) und Stromchiffren (Trivium) bleiben sicher, falls man die Schlüssellängen verdoppelt (Grover Algorithmus) Asymmetrische Kryptographie Post-Quantum Systeme die nicht auf Faktorisierung oder Dlog beruhen Hashbäume (Merkle-Trees) Codierungstheorie (McEliece, Niederreiter) Multivariate Quadratische Gleichungen (UOV) Gittertheorie (NTRU, LWE) Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

76 Literatur Einsteins Erben Broschüre Bundesministerium für Bildung und Forschung Buch Quantum Computing verstehen von Matthias Homeister Vorlesung Quantenalgorithmen (Prof. A. May) Wikipedia Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl

77 Mind Map Dekohärenz Hadamard Matrix Qubit No-Cloning Theorem Algorithmus von Shor Grover Algorithmus Skalierbarkeit unitäre Transformation Ionenfalle Quantencomputer in Theorie und Praxis Dagstuhl