Diskrete Mathematik mit Grundlagen

Transkript

1 Diskrete Mathematik mit Grundlagen

2 Sebastian Iwanowski Rainer Lang Diskrete Mathematik mit Grundlagen Lehrbuch für Studierende von MINT-Fächern

3 Sebastian Iwanowski Rainer Lang Fachhochschule Wedel Wedel, Deutschland ISBN DOI / ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Vieweg Springer Fachmedien Wiesbaden 2014 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Vieweg ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media.

4 Vorwort Dieses Lehrbuch gibt eine Einführung in die Mathematik im Allgemeinen und die Diskrete Mathematik im Besonderen und richtet sich in erster Linie an Studierende eines Fachs an einer Fachhochschule oder Universität, für das die Beherrschung einer analytischen Denkweise eine wichtige Voraussetzung ist. Der wesentliche Inhalt dieses Buchs wird an der FH Wedel seit Jahren in einer Erstsemesterveranstaltung für alle Studiengänge mit Informatikanteilen eingesetzt. Für derartige Studiengänge ist die Kenntnis der meisten Inhalte dieses Buchs an jeder Hochschule obligatorisch. In den anderen Studiengängen und in der Schule werden die hier vorgestellten Inhalte dagegen kaum gelehrt, und es ist eine Intention der Autoren, dafür eine größere Aufgeschlossenheit zu erreichen. Das Buch enthält neben den Disziplinen der Diskreten Mathematik auch eine ausführliche Einführung in die allgemeine Mathematik mit den Kapiteln Logik, Mengenlehre und Beweisführung. Es setzt nicht die Lektüre eines anderen Lehrbuchs voraus. Daher eignet sich dieses Buch als erster Einstieg in die Mathematik der Hochschule für jedes Studienfach mit dem Ziel, systematisches und abstraktes Denken zu erlernen. Als Vorkenntnis wird die Mathematik bis zur 9. Schulklasse des Gymnasiums vorausgesetzt, vor allem der Umgang mit Zahlen und ihren elementaren Beziehungen. Mathematik der gymnasialen Oberstufe wird hier nicht benötigt. Daher eignet sich dieses Buch auch für Schüler an Gymnasien, die ihren Horizont erweitern wollen und einen umfassenderen Einblick in die Welt der Mathematik gewinnen wollen, als ihn die Lehrpläne an den Schulen zulassen. Wir haben durch die Zulassung von Schülern an unseren Klausuren nachgewiesen, dass der Schulstoff der 9. Klasse vollkommen ausreicht, um den Inhalt dieses Buches zu verstehen. Unsere jüngste Klausurteilnehmerin ging in die 8. Klasse und löste alle bearbeiteten Aufgaben vollkommen richtig. Im Folgenden gehen wir auf diese beiden Leserkreise näher ein und schließen mit didaktischen Erläuterungen für Dozenten und Lehrer. Anmerkungen für Studierende Dieses Buch hat den Anspruch, den gesamten auch von Hauptfach-Informatikern benötigten Bedarf an Diskreter Mathematik abzudecken. Für das Bachelorstudium gilt das ohne Einschränkung. Lediglich im Masterstudium könnte punktuell eine weitergehende Vertiefung erforderlich sein, wenn Sie eine sehr mathematikorientierte Veranstaltung belegen. Aber auch für das Masterstudium wird der hier

5 VI behandelte Inhalt größtenteils ausreichen. Insbesondere eignet es sich als Wiederholung fürs Selbststudium. An manchen Hochschulen wird die Mathematik nicht nach Gebieten getrennt, sondern gemischt in den Vorlesungen Höhere Mathematik I, II,... gelehrt. Wenn Sie also einen Inhalt Ihrer Vorlesung in diesem Buch vermissen, dann gehört er vermutlich zu einem der anderen Gebiete der Mathematik. Die inhaltliche Abgrenzung der Diskreten Mathematik zu den anderen mathematischen Disziplinen wird am Anfang von Kapitel 1 vorgenommen. Mathematik kommt überall im Leben vor. Die wörtliche Übersetzung des Wortes Mathematik aus dem Griechischen heißt auch schlicht Wissenschaft. Um diesen Anspruch zu bedienen und gleichzeitig einen Bezug zu den vielfältigen Anwendungen aufzuzeigen, legen wir großen Wert auf Beispiele. Diese Beispiele sollen aber keine Spezialkenntnisse aus der Praxis voraussetzen. Daher halten wir sie elementar und beziehen uns in vielen Fällen auf die Mathematikkenntnisse von Schülern der Mittelstufe. Unsere beispielorientierte Ausrichtung soll nicht dazu verleiten anzunehmen, der vermittelte Stoff sei um besonders schwierige Anteile reduziert worden oder sonstwie vereinfacht worden. Wir setzen zwar wenig Vorkenntnisse voraus, haben aber den Anspruch, den Leser auf ein mathematisches Niveau zu bringen, das dem akademischen Niveau der Informatik an jeder Hochschule in Deutschland gerecht wird, sowohl an Fachhochschulen als auch an Universitäten. Da die Informatik der Mathematik am nächsten steht, bedienen wir damit auch die Anforderungen aller anderen Studiengänge natürlich nur bezogen auf das Verständnis der Mathematik im Allgemeinen sowie ausschließlich der Diskreten Mathematik im Besonderen, nicht aber der anderen Spezialgebiete wie z.b. der Analysis. Dieses Buch richtet sich aber nicht an Studierende der Mathematik selbst. Denn gerade die schwierigen Beweise werden hier weggelassen, und die einfachen Beweise werden für deren Niveau zu ausführlich beschrieben. Außerdem fehlen einige Inhalte in speziellen Disziplinen der Diskreten Mathematik, die wir für den IT- Anwendungsbezug für entbehrlich halten. Als Orientierungshilfe und Appetitmacher vor Beginn eines Mathematikstudiums mag aber auch dieses Buch hilfreich sein, insbesondere für Lehramtsstudenten. In erster Linie soll dieses Buch ein hilfreicher Studienbegleiter sein. Wir wollen Sie nicht im Ungefähren verweilen lassen. Daher legen wir Wert auf Genauigkeit und Gründlichkeit in der Argumentation, ohne Sie mit Formalismus unnötig überfrachten zu wollen. Wir halten uns hier an Albert Einstein: Beschreibe die Welt so einfach wie möglich, aber nicht einfacher. Für ein passives Verständnis aller Lehrinhalte ist das Buch selbsterklärend. Für ein aktives Verständnis dienen zahlreiche Übungsaufgaben, welche den Stoff sys-

6 VII tematisch wiederholen und die Anwendungsbezüge verdeutlichen. Letztendlich kann ein vollständiges Verständnis aber nur durch das selbständige Lösen dieser Übungsaufgaben mit anschließender Korrektur und Diskussion durch einen Lehrer (Professor, Assistent oder studentischer Tutor) erzielt werden. Das ist in der Mathematik genauso wie in der Musik oder im Sport: Nur durch Durcharbeiten eines Buchs werden Sie niemals ein Meister dieses Fachs werden. Dazu gehört auch kontinuierliche Übung und eine professionelle Anleitung zur Verbesserung. Anmerkungen für Schüler Sie gehen noch zur Schule und interessieren sich für Mathematik? Oder Sie haben zumindest festgestellt, dass Sie zwar in Mathematik nicht unbegabt sind, aber vom Fach bisher zu wenig fasziniert wurden? Dann könnte dieses Buch Ihnen helfen, mehr Begeisterung zu entwickeln und sich in Richtung eines interessanten und zukunftssicheren Berufs zu orientieren. Wir setzen lediglich die Schulmathematik bis zur 9. Klasse voraus. Sie werden durch das Studium dieses Buchs merken, dass die Schulmathematik nur einen sehr kleinen Ausschnitt aus der Welt der Mathematik und ihren Anwendungen abdeckt. Sie werden ferner merken, dass das Gebiet der Diskreten Mathematik nicht schwieriger zu verstehen ist als andere in der Schule gelehrte Inhalte. Noch dazu ist es sehr praxisrelevant, vor allem, wenn Sie sich für IT-Anwendungen interessieren. Vielleicht gewinnen Sie ja genügend Interesse an diesem Gebiet und entscheiden sich für ein Studium der Mathematik selbst oder der Informatik oder eines anderen Fachs, in dem die Diskrete Mathematik nützlich ist. Es ist unsere Hoffnung, auf diese Weise langfristig den immer größer werdenden Bedarf der Wirtschaft an kompetenten Mitarbeitern durch eine ausreichende Absolventenzahl zu befriedigen. Bereits seit Jahren steht in den Berufen der angewandten Mathematik, im Besonderen in der Informationstechnologie, ein viel zu großes Angebot an Arbeitsplätzen einer viel zu kleinen Zahl von Bewerbern gegenüber, und das unabhängig von der aktuellen Konjunktur. Anmerkungen für Lehrende An der FH Wedel wird die Vorlesung Diskrete Mathematik mit 4 SWS Vorlesung und 2 SWS angeleiteter Übung durchgeführt. Für den Arbeitsaufwand, insbesondere in wöchentlich aufgegebenen Übungsaufgaben, vergeben wir 5 ECTS-Punkte. Die Vorlesung umfasst bis auf wenige vertiefende Abschnitte den gesamten Inhalt dieses Buches. Die Kapitel 1 und 2 richten sich an alle Studierenden der Hochschu-

7 VIII le, auch der Ingenieurwissenschaften und Betriebswirtschaft. Aus diesem Grund ist die Logik hier nur so knapp behandelt, wie das für ein Verständnis der weiteren mathematischen Inhalte erforderlich ist. Für IT-Studiengänge gibt es Vertiefungen der Logik in der Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik. Viele Themen, die hier behandelt werden, berühren zumindest Themen, die auch im Schulunterricht behandelt werden. Daher nutzen wir die Möglichkeit, etwas mehr vom Wesen der Mathematik auch für die Inhalte der Schulmathematik zu vermitteln. Einzelne Themen, z.b. die Konstruktion endlicher Körper, können in der Schule auch in separaten Neigungsgruppen erarbeitet werden, sei es in einem größeren Schulprojekt oder auch in einem Vertiefungsfach, wie das in manchen Bundesländern in der Mittelstufe angeboten wird. In den Kapiteln 1 bis 3 werden allgemeine mathematische Grundlagen behandelt, da wir darin keine Vorkenntnisse voraussetzen. Wir streuen aber auch hier schon viele Themen der Diskreten Mathematik ein. Die folgenden Kapitel behandeln dann ausschließlich Inhalte der Diskreten Mathematik. Die ersten beiden Kapitel müssten eigentlich gleichzeitig eingeführt werden, da Logik und Mengenlehre gegenseitig aufeinander Bezug nehmen. Wir lösen dieses Dilemma, in dem wir im Kapitel 1 (Logik) auf informelle Weise Konzepte der Mengenlehre benutzen, wie sie teilweise schon in der Grundschule verwendet werden. Im Kapitel 2 (Mengenlehre) wird das dann formalisiert. Ferner werden in diesem Kapitel auch Relationen und Funktionen systematisch eingeführt. Zumindest Funktionen sind bereits aus dem Schulunterricht bekannt sowie einer möglicherweise parallel laufenden Analysisveranstaltung, sodass wir hier auf einen Wiedererkennungseffekt setzen. Das wesentliche Ziel ist es, hier ein Verständnis für funktionale Zusammenhänge in vielen Anwendungen zu wecken, das nicht auf die technischen Fertigkeiten einer Kurvendiskussion reduziert wird. Kapitel 2 schließt mit Booleschen Algebren ab, welche von der Systematik her eher in das spätere Kapitel 5 der Algebraischen Strukturen gehören. Da Booleschen Algebren aber gerade durch die Logik und Mengenlehre motiviert werden, erscheint uns der Zeitpunkt ihrer Einführung an dieser Stelle angebracht. Außerdem erhalten wir damit ein anspruchsvolles Beispiel für Definitionen, Axiome und Sätze, welche im dritten Kapitel behandelt werden. Das dritte Kapitel vermittelt die Technik für das Beweisen mathematischer Aussagen und Sätze. Von der Systematik her müsste dieses Thema eigentlich im ersten Kapitel mitbehandelt werden. Wir hielten die Vermittlung der elementaren Mengenlehre jedoch für dringlicher und anschaulicher und können im dritten Kapitel bereits mehr Basiswissen für die Beispiele voraussetzen, z.b. die oben zitierten Booleschen Algebren.

8 IX Im vierten Kapitel werden die natürlichen und die ganzen Zahlen behandelt und ihre wichtigsten Eigenschaften diskutiert. Außerdem wird eine Einführung in die modulare Arithmetik gegeben, einer für die Informatik besonders wichtigen Disziplin der Zahlentheorie. Im fünften Kapitel werden die Beispiele der modularen Arithmetik abstrahiert zu der Definition von Gruppe und Körper. Dieses Kapitel arbeitet hauptsächlich mit Beispielen anstatt mit formal exakten Beweisen, um es auch für Erstsemester verständlich zu machen. Den Abschluss des fünften Kapitels bildet eine Konstruktionsanleitung zur Bildung aller endlichen Körper. Diese Konstruktionsanleitung gehört sicherlich nicht zum Standard einer Erstsemestervorlesung und kann in jedem Studiengang bei Bedarf weggelassen werden, ohne eine wesentliche Lücke zu hinterlassen. Wir haben aber die Erfahrung gemacht, dass die Studierenden gerade hieran viel Spaß haben. Sie werden von dem verblüffenden Vollständigkeitsanspruch des Galoisschen Satzes über endliche Körper fasziniert und können anhand eigenhändig konstruierter Körper besser begreifen, wie hier die Rechengesetze der ihnen bekannten reellen Zahlen auf endliche Mengen verallgemeinert werden. Einige unserer Studierenden schrieben in höheren Semestern sogar aus eigenem Antrieb Software für das Rechnen in endlichen Körpern. Hinzu kommt die Relevanz für kryptographische Verfahren, was die Motivation der Studierenden ebenfalls steigert. Im sechsten Kapitel geht es um Kombinatorik als Grundlage der in vielen Fächern benötigten Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie. Die letztgenannten Gebiete werden hier aber nicht mehr thematisiert, weil sie nur zu Teilen zur Diskreten Mathematik gehören. Dafür gibt es an der FH Wedel Spezialvorlesungen, die auf die jeweiligen Studiengänge ausgerichtet sind. Den Schwerpunkt legen wir in der Kombinatorik auf die Behandlung von Permutationen. Auch hier stellen wir wieder einen Bezug zur Gruppentheorie her. Bis auf diesen letzten Absatz setzt das Kapitel der Kombinatorik aber keine Inhalte der Kapitel 4 und 5 voraus. Im siebten Kapitel werden die Grundlagen der Graphentheorie behandelt. Ein besonderes Augenmerk wird auf die Diskussion algorithmischer Verfahren gelegt, die in vielen Anwendungsgebieten eine Rolle spielen. Aber auch hier sollen keine besonderen IT-Kenntnisse vorausgesetzt werden. Daher wird der Algorithmusbegriff sehr informell behandelt und kein Pseudocode gegeben. Manche der hier aufgeführten Aussagen und Sätze werden exakt bewiesen. Wenn Beweise geführt werden, wird das Ende eines Beweises mit gekennzeichnet. Wenn ein formaler Beweis nicht geführt wird, dann erläutern wir das meistens durch informelle Argumente oder am Beispiel. Zuweilen verweisen wir auf vertiefende Literatur, wo die ausgelassenen Beweise nachgelesen werden können.

9 X Wir wünschen nun allen Lesern viel Spaß und viel Erkenntnisgewinn beim Lesen dieses Buches. Verbesserungsvorschläge sind uns immer willkommen. Wedel, im August 2014, Sebastian Iwanowski und Rainer Lang Danksagung Wir sprechen unseren besonderen Dank an Helga Karafiat aus, die als Assistentin für Diskrete Mathematik an der FH Wedel wertvolle didaktische Beiträge geliefert hat. Sie hat unsere Vorlage sehr sorgfältig Korrektur gelesen. Vor allem hat sie in ungezählten Stunden ihre profunden L A TEX-Kenntnisse eingesetzt, um unser Buch in diese ansprechende Form zu bringen. Wir danken ferner Maya Brandl, einer Mitstudentin von Sebastian Iwanowski aus dem Mathematikstudium an der FU Berlin, die das finale Manuskript sehr sorgfältig redigiert hat. An dieser Stelle soll auch Beate und Peter Iwanowski gedankt werden, den Eltern des einen Autors, die als Mathematiker mit Leidenschaft an Schule und Hochschule gelehrt haben. Sie legten dem Autor das Interesse an der Mathematik in die Wiege.

10 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen der Mathematik Einführung Aussagenlogik Aussagen und Wahrheitswerte Aussagenverknüpfungen Logische Äquivalenzregeln Logische Schlussregeln Prädikatenlogik Aussageformen, Variable und Prädikate Quantoren Übungsaufgaben Mengenlehre Grundlagen Definition Elementare Eigenschaften von Mengen Darstellung von Mengen Verknüpfungen von Mengen Relationen Besondere Eigenschaften von Relationen Äquivalenzrelationen Ordnungsrelationen Graphische Darstellung von Relationen auf endlichen Mengen M Verallgemeinerung des Relationsbegriffs für verschiedene Mengen Funktionen Komposition von Relationen und Funktionen Inverse Relationen und Funktionen Mächtigkeit von Mengen Boolesche Algebren Motivation aus Aussagenlogik und Mengenlehre Formale Definition von Booleschen Algebren Beispiele für Boolesche Algebren: Schaltfunktionen und Teiler- Algebra

11 XII Inhaltsverzeichnis 2.5 Übungsaufgaben Beweisverfahren Grundbegriffe der Mathematik Definition Aussagen: Satz, Lemma, Korollar Beweis Axiom Das Axiomensystem von Peano für die natürlichen Zahlen Vollständige Induktion Grundprinzip Verallgemeinertes Grundprinzip Anwendung auf induktive Definitionen Anwendung auf allgemeine rekursive Definitionen Allgemeine Beweisstrategien Direkter Beweis Beweis durch Kontraposition Indirekter Beweis Beweise von Äquivalenzaussagen Beweise durch Fallunterscheidung Abzählbeweise Übungsaufgaben Zahlentheorie Teilbarkeit Definition und elementare Eigenschaften Größenbeschränkungen für Teiler und Vielfache Zahlendarstellungen mit Hilfe von Zahlenbasen und davon abhängige Teilbarkeitsregeln Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches Division mit Rest Definition und Beispiele Euklidischer Algorithmus Primzahlen Bedeutung und Bestimmung von Primzahlen Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie und Anwendungen Modulare Arithmetik Modulare Kongruenz Rechnen mit Restklassen Übungsaufgaben

12 Inhaltsverzeichnis XIII 5 Algebraische Strukturen Gruppen Beispiele für unendliche Gruppen Beispiele für endliche Gruppen Gruppenisomorphie und ihre Invarianten Körper Beispiele für unendliche Körper und Ringe Endliche Körper Polynome über endlichen Körpern Anleitung für die Konstruktion aller endlichen Körper Anwendung endlicher Körper in Codierung und Kryptographie Übungsaufgaben Kombinatorik Zählformeln für endliche Mengen Disjunkte Vereinigungen und Mengenprodukte Permutationen Inklusion und Exklusion bei beliebigen Vereinigungen Anzahl von Teilmengen Rechnen mit Binomialkoeffizienten Eigenschaften von Permutationen Die verschiedenen Darstellungsarten von Permutationen Komposition von Permutationen Transpositionen Zusammenhang zwischen Kombinatorik, Geometrie und Gruppentheorie Übungsaufgaben Graphentheorie Terminologie und Repräsentation von Graphen Isomorphie von Graphen Weitere elementare Begriffe der Graphentheorie Darstellung von Graphen im Computer Wege in Graphen Eulerwege und Hamiltonwege Kürzeste Wege in bewerteten Graphen Bäume und Wälder Aufspannende Bäume oder Gerüste Wurzelbäume Planare Graphen Ebene Darstellungen eines planaren Graphen und ihre Gebiete Kombinatorische Charakterisierung von planaren Graphen Färbungen von Graphen

13 XIV Inhaltsverzeichnis Das 4-Farben-Problem als Motivation Eckenfärbungen Andere Färbungen Übungsaufgaben Literaturverzeichnis 295 Symbolverzeichnis 297 Index 301