Einführung in die Methoden der Künstlichen Intelligenz. Suche bei Spielen
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- Insa Kurzmann
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1 Einführung in die Methoden der Künstlichen Intelligenz Suche bei Spielen Prof. Dr. Manfred Schmidt-Schauß SoSe 2016 Stand der Folien: 12. Mai 2016
2 Zwei-Spieler-Spiele Ziel dieses Abschnitts Intelligenter Agent für Zweipersonenspiele Beispiele: Schach, Dame, Mühle,... M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 2/40
3 Zwei-Spieler-Spiele Ziel dieses Abschnitts Intelligenter Agent für Zweipersonenspiele Beispiele: Schach, Dame, Mühle,... Annahme zunächst: Spiele mit genau zwei Gegnern Kein Zufall im Spiel (keine Würfel, Kartenmischen) etc. M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 2/40
4 Schach Zwei-Spieler-Spiele Gute Strategien zum Schachspielen wurden schon entwickelt bevor es Computer gab. Untersuchungen zu Gewinnstrategien (Eröffnungen, Endspiel... ) Bewerten von Spielsituationen M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 3/40
5 Schach Zwei-Spieler-Spiele Gute Strategien zum Schachspielen wurden schon entwickelt bevor es Computer gab. Untersuchungen zu Gewinnstrategien (Eröffnungen, Endspiel... ) Bewerten von Spielsituationen Im wesentlichen 2 Ansätze für Programme zum Schachspielen 1 Verwende bekannte Schachtheorien (Verteidigung, Angriff, Bedrohung, Decken, Mittelfeld,... ). Versuche die menschliche Methode zu Programmieren 2 Absuchen aller Möglichkeiten, um den nächsten guten Zug zu finden. M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 3/40
6 Schach (2) Zwei-Spieler-Spiele Moderne erfolgreiche Schachprogramme: verwenden im wesentlichen das Absuchen verwenden statische Bewertung der Spielsituationen zusätzlich Bibliotheken für Eröffnung und Endspiel M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 4/40
7 Spielbäume Zwei-Spieler-Spiele Zwei Spieler: genannt imierer und imierer Zustand (Knoten): Darstellung der Spielsituation und welcher Spieler am Zug ist Wurzel: Aktuelle Spielsituation Kinder von Knoten K: mögliche Spielsituationen nach einem Zug Spieler wechselt Blätter mit Gewinnwert bewertet. Schach: 1 = imierer hat gewonnen 1 = imierer hat gewonnen 0 = Remis M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 5/40
8 Beispiel: TicTacToe Spielfeld: imierer: X imierer: O schreiben abwechselnd ihr Symbol in ein freies Feld Gewinner: Spieler hat sein Symbol in einer Reihe (horizontal, vertikal, diagonal) M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 6/40
9 Beispiel: TicTacToe Spielfeld: X imierer: X imierer: O schreiben abwechselnd ihr Symbol in ein freies Feld Gewinner: Spieler hat sein Symbol in einer Reihe (horizontal, vertikal, diagonal) M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 6/40
10 Beispiel: TicTacToe Spielfeld: X O imierer: X imierer: O schreiben abwechselnd ihr Symbol in ein freies Feld Gewinner: Spieler hat sein Symbol in einer Reihe (horizontal, vertikal, diagonal) M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 6/40
11 Beispiel: TicTacToe Spielfeld: X O X imierer: X imierer: O schreiben abwechselnd ihr Symbol in ein freies Feld Gewinner: Spieler hat sein Symbol in einer Reihe (horizontal, vertikal, diagonal) M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 6/40
12 Beispiel: TicTacToe Spielfeld: X O X O imierer: X imierer: O schreiben abwechselnd ihr Symbol in ein freies Feld Gewinner: Spieler hat sein Symbol in einer Reihe (horizontal, vertikal, diagonal) M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 6/40
13 Beispiel: TicTacToe Spielfeld: X X O X O imierer: X imierer: O schreiben abwechselnd ihr Symbol in ein freies Feld Gewinner: Spieler hat sein Symbol in einer Reihe (horizontal, vertikal, diagonal) M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 6/40
14 Beispiel: TicTacToe Spielfeld: X X O O X O imierer: X imierer: O schreiben abwechselnd ihr Symbol in ein freies Feld Gewinner: Spieler hat sein Symbol in einer Reihe (horizontal, vertikal, diagonal) M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 6/40
15 Beispiel: TicTacToe Spielfeld: imierer: X imierer: O X O X X X O O schreiben abwechselnd ihr Symbol in ein freies Feld Gewinner: Spieler hat sein Symbol in einer Reihe (horizontal, vertikal, diagonal) M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 6/40
16 Beispiel:TicTacToe, Spielbaum O M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 7/40
17 Beispiel:TicTacToe, Spielbaum O X O M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 7/40
18 Beispiel:TicTacToe, Spielbaum O X O M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 7/40
19 Beispiel:TicTacToe, Spielbaum O X O O X M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 7/40
20 Beispiel:TicTacToe, Spielbaum O X O O X X O O X O O O O O O X O O X M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 7/40
21 Beispiel:TicTacToe, Spielbaum O X O O X X O O X O O O O O O X O O X X O O X 0 O 0 O X 1 O 0 O X 1 X O O X 0 M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 7/40
22 Beispiel:TicTacToe, Spielbaum O X O O X X O O X O O O O O O X O O X X O O X 0 O 0 O X 1 O 0 O X 1 X O O X 0 Welchen Zug soll machen? M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 7/40
23 -Suche (1) Eingabe: Spielsituation, Nachfolgerfunktion, Bewertung Ausgabe: Nächster optimaler Zug M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 8/40
24 -Suche (1) Eingabe: Spielsituation, Nachfolgerfunktion, Bewertung Ausgabe: Nächster optimaler Zug Informelle Beschreibung der -Suche: Bewerte alle Blätter Berechne den Wert der anderen Knoten: Stufenweise von unten nach oben über die Werte der Kinder wird maximiert bzw. minimiert je nachdem welcher Spieler am Zug ist Dabei: Züge merken, damit der optimale Zug bekannt ist M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 8/40
25 -Suche (2) Algorithmus -Suche Datenstrukturen: Nachfolgerfunktion, Wert(Zustand) für Endsituationen, Datenstruktur für Spielzustand, Spieler Funktion max(zustand,spieler): NF := alle Nachfolgezustände zu (Zustand,Spieler); if NF = then return Wert(Zustand) else if Spieler == imierer then return max{max(z, Spieler) Z NF } else // Spieler ist imierer return min{max(z, Spieler) Z NF } endif endif wobei Spieler = der jeweils anderen Spieler Implementierung: sollte zus. den Weg speichern, damit der nächste optimale Zug als Ausgabe zur Verfügung steht. M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 9/40
26 Beispiel, TicTacToe O X O O X X O O X O O O O O O X O O X X O O X 0 O 0 O X 1 O 0 O X 1 X O O X 0 M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 10/40
27 Beispiel, TicTacToe O X O O X X O O 0 X O O 0 O 1 O 0 O O X 1 O O X 0 X O O X 0 O 0 O X 1 O 0 O X 1 X O O X 0 M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 10/40
28 Beispiel, TicTacToe O X O 0 0 O X 0 X O O 0 X O O 0 O 1 O 0 O O X 1 O O X 0 X O O X 0 O 0 O X 1 O 0 O X 1 X O O X 0 M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 10/40
29 Beispiel, TicTacToe O 0 X O 0 0 O X 0 X O O 0 X O O 0 O 1 O 0 O O X 1 O O X 0 X O O X 0 O 0 O X 1 O 0 O X 1 X O O X 0 M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 10/40
30 in Haskell minmax endzustand wert nachfolger spieler zustand = go (zustand,[]) spieler where go (zustand,p) spieler endzustand zustand = (wert zustand,reverse $ zustand:p) otherwise = let l = nachfolger spieler zustand in case spieler of imierer -> imierer -> maximumby (\(a,_) (b,_) -> compare a b) [go (z,zustand:p) imierer z <- l] minimumby (\(a,_) (b,_) -> compare a b) [go (z,zustand:p) imierer z <- l] M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 11/40
31 -Eigenschaften kann als Tiefensuche durchgeführt werden Laufzeit O(c d ) bei mittlerer Verzweigungrate c und Blättern in Tiefe d M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 12/40
32 -Eigenschaften kann als Tiefensuche durchgeführt werden Laufzeit O(c d ) bei mittlerer Verzweigungrate c und Blättern in Tiefe d Praktisches Problem: Bei mittelschweren Spielen: unmöglich in annehmbarer Zeit berechenbar TicTacToe: Vom leeren Spielfeld aus: 9! = Zugfolgen, geht gerade noch M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 12/40
33 -Eigenschaften kann als Tiefensuche durchgeführt werden Laufzeit O(c d ) bei mittlerer Verzweigungrate c und Blättern in Tiefe d Praktisches Problem: Bei mittelschweren Spielen: unmöglich in annehmbarer Zeit berechenbar TicTacToe: Vom leeren Spielfeld aus: 9! = Zugfolgen, geht gerade noch Daher: Abwandlung des Verfahrens! M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 12/40
34 mit Tiefenschranke Suche nur bis zur einer bestimmten Tiefe k Bewerte die Knoten in Tiefe k mit einer Heuristik Beispiele für die Bewertungsfunktion: Schach: Materialvorteil, evtl. Stellungsvorteil, Gewinnsituation,... Mühle: Material, #Mühlen, Bewegungsfreiheit,... M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 13/40
35 Beispiel: Heuristische Bewertung für TicTacToe (#einfach X-besetzte Zeilen/Spalten/Diag) * 1 + (# doppelt X-besetzte Zeilen/Spalten/Diag) * 5 + (20, falls Gewinnsituation) - (#einfach O-besetzte Zeilen/Spalten/Diag) * 1 - (# doppelt O-besetzte Zeilen/Spalten/Diag) * 5 - (20, falls Verlustsituation) M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 14/40
36 Bewertungsfunktionen Güte der Bewertungsfunktion bestimmt Güte des Verfahrens; muss algorithmisch (möglichst schnell) berechenbar sein sollte Endzustände entsprechend minimal und maximal bewerten Es gilt (in Spielen ohne Zufall): Berechnung des besten Zuges ist unabhängig von den exakten Werten der Bewertungsfunktion; Die Ordnung zwischen den Spielsituationen bestimmt. M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 15/40
37 Beispiel: TicTacToe Sieg Niederlage Unentschieden Bewertung Bewertung Bewertung Bewertung 1 und Bewertung 2 führen zum gleichen optimalen Zug, da Sieg > Unentschieden > Niederlage Bewertung 3 hat eine andere Ordnung: Sieg > Unentschieden = Niederlage und kann daher zu anderem optimalen Zug führen M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 16/40
38 Einwand Zwei-Spieler-Spiele Wenn man ein sehr gute Bewertungsfunktion hat: Warum ausführen und nicht gleich nur die Bewertungen der Kinder anschauen? M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 17/40
39 Einwand Zwei-Spieler-Spiele Wenn man ein sehr gute Bewertungsfunktion hat: Warum ausführen und nicht gleich nur die Bewertungen der Kinder anschauen? Im allgemeinen: Je tiefer man geht, umso besser wird die Bewertungsfunktion! M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 17/40
40 Einwand Zwei-Spieler-Spiele Eine schnelle und exakte Bewertungsfunktion kann es i.a. nicht geben: Die Frage, ob man gewinnen kann, kann in einem Spiel PSPACE-hart sein. (Spielserie mit Parameter) z.b. Erfüllbarkeit von QBFs x 1 x 2 x 3 x 4... F (x 1,..., x n ) Eine in polynomieller Zeit berechenbare Bewertungsfunktion die exakt ist, würde einen Polynomial-Zeit Algorithmus für ein PSPACE-hartes Problem ergeben. Fazit: Bewertungsfunktionen sind i.a. Schätzungen. M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 18/40
41 Tiefenbeschränkte -Suche Mittlere Verzweigungrate c Tiefenschranke m Laufzeit O(c m ), wenn die Heuristik in konstanter Zeit berechenbar ist M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 19/40
42 Optimierung der -Suche: Beispiele A B E C D F G H (A, M ax) = max{(b, M in), (E, M in)} = max{min{(c, M ax), (D, M ax)}, min{(f, M ax), (G, M ax), (H, M ax)}} M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 20/40
43 Optimierung der -Suche: Beispiele A B k E C D F k G H (A, M ax) = max{(b, M in), (E, M in)} = max{k, min{k, (G, ), (H, )}} M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 21/40
44 Optimierung der -Suche: Beispiele A k B k E C D F k G H (A, M ax) = max{(b, M in), (E, M in)} = max{k, min{k, (G, ), (H, )}} Wenn k k : = k M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 21/40
45 Optimierung der -Suche: Beispiele A k B k E C D F k G H (A, M ax) = max{(b, M in), (E, M in)} = max{k, min{k, (G, ), (H, )}} Wenn k k : = k = Knoten (bzw. Teilbäume) G und H braucht man nicht betrachten! M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 21/40
46 Beispiel mit konkreten Werten A E M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 22/40
47 Symmetrischer Fall A B l E C D F l G H (A, M in) = min{(b, M ax), (E, M ax)} = min{l, max{l, (G, ), (H, )}} Wenn l l : = l M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 23/40
48 Alpha-Beta-Suche Zwei-Spieler-Spiele Kürzt genau diese Fälle weg Durch Verwendung eines Suchfensters [α, β] Tiefensuche mit Tiefenschranke notwendig Anpassung der Tiefenschranke im folgenden Algorithmus implizit M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 24/40
49 Algorithmus α β-suche Aufruf: AlphaBeta(Zustand,Spieler,,+ ) Funktion: AlphaBeta(Zustand,Spieler,α,β) 1 Wenn Tiefenschranke erreicht, bewerte die Situation, return Wert 2 Sei NF die Folge der Nachfolger von (Zustand,Spieler) 3 Wenn Spieler = imierer: β l := ; for-each L NF β l := min{β l, AlphaBeta(L,imierer,α,β)} if β l α then return β l endif// verlasse Schleife β := min{β, β l } end-for return β l 4 Wenn Spieler = imierer α l := ; for-each L NF α l := max{α l, AlphaBeta(L,imierer,α,β)} if α l β then return α l endif// verlasse Schleife α := max{α, α l } end-for return α l M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 25/40
50 In Haskell Zwei-Spieler-Spiele alphabeta wert nachfolger maxtiefe neginfty infty spieler zustand = ab 0 neginfty infty spieler zustand where ab tiefe alpha beta spieler zustand null (nachfolger spieler zustand) maxtiefe <= tiefe = wert zustand otherwise = let l = nachfolger spieler zustand in case spieler of imierer -> maximize tiefe alpha beta l imierer -> minimize tiefe alpha beta l maximize tiefe alpha beta xs = it_maximize alpha neginfty xs where it_maximize alpha alpha_l [] = alpha_l it_maximize alpha alpha_l (x:xs) = let alpha_l = max alpha_l (ab (tiefe+1) alpha beta imierer x) in if alpha_l >= beta then alpha_l else it_maximize (max alpha alpha_l ) alpha_l xs minimize tiefe alpha beta xs = it_minimize beta infty xs where it_minimize beta beta_l [] = beta_l it_minimize beta beta_l (x:xs) = let beta_l = min beta_l (ab (tiefe+1) alpha beta imierer x) in if beta_l <= alpha then beta_l else it_minimize (min beta beta_l ) beta_l xs M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 26/40
51 Alpha-Beta-Suche: Beispiel a b c M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 27/40
52 Alpha-Beta-Suche: Beispiel a α = β = α l = b c M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 27/40
53 Alpha-Beta-Suche: Beispiel a α = β = α l = b α = β = β l = c M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 27/40
54 Alpha-Beta-Suche: Beispiel a α = β = α l = b α = β = β l = 2 c M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 27/40
55 Alpha-Beta-Suche: Beispiel a α = β = α l = b α = β = 2 β l = 2 c M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 27/40
56 Alpha-Beta-Suche: Beispiel a α = β = α l = b α = β = 2 β l = 2 c M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 27/40
57 Alpha-Beta-Suche: Beispiel a α = β = α l = b α = β = 2 β l = 1 c M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 27/40
58 Alpha-Beta-Suche: Beispiel a α = β = α l = 1 b α = β = 1 β l = 1 c M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 27/40
59 Alpha-Beta-Suche: Beispiel a α = 1 β = α l = 1 b α = β = 1 β l = 1 c M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 27/40
60 Alpha-Beta-Suche: Beispiel a α = 1 β = α l = 1 b α = β = 1 β l = 1 c α = 1 β = β l = M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 27/40
61 Alpha-Beta-Suche: Beispiel a α = 1 β = α l = 1 b α = β = 1 β l = 1 c α = 1 β = β l = M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 27/40
62 Alpha-Beta-Suche: Beispiel a α = 1 β = α l = 1 b α = β = 1 β l = 1 c α = 1 β = 6 β l = M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 27/40
63 Alpha-Beta-Suche: Beispiel a α = 1 β = α l = 1 b α = β = 1 β l = 1 c α = 1 β = 6 β l = M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 27/40
64 Alpha-Beta-Suche: Beispiel a α = 1 β = α l = max{ 1, 2} = 1 b α = β = 1 β l = 1 c α = 1 β = 6 β l = M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 27/40
65 Alpha-Beta-Suche: Beispiel a α = 1 β = α l = 1 b α = β = 1 β l = 1 c α = 1 β = 6 β l = M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 27/40
66 Reihenfolge der Nachfolger a a b c c b Beide Bäume sind gleich Außer: Nachfolger in umgekehrter Reihenfolge M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 28/40
67 Reihenfolge der Nachfolger a a b 1 c c b Beide Bäume sind gleich Außer: Nachfolger in umgekehrter Reihenfolge M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 28/40
68 Reihenfolge der Nachfolger a a b 1 c c b Beide Bäume sind gleich Außer: Nachfolger in umgekehrter Reihenfolge M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 28/40
69 Reihenfolge der Nachfolger a a b 1 c 5 c b Beide Bäume sind gleich Außer: Nachfolger in umgekehrter Reihenfolge M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 28/40
70 Reihenfolge der Nachfolger a a b 1 c 5 c b Beide Bäume sind gleich Außer: Nachfolger in umgekehrter Reihenfolge M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 28/40
71 Reihenfolge der Nachfolger a a b 1 c 5 c b Beide Bäume sind gleich Außer: Nachfolger in umgekehrter Reihenfolge M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 28/40
72 Reihenfolge der Nachfolger a a b 1 c 5 c b Beide Bäume sind gleich Außer: Nachfolger in umgekehrter Reihenfolge M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 28/40
73 Reihenfolge der Nachfolger a a b 1 c 5 c b Beide Bäume sind gleich Außer: Nachfolger in umgekehrter Reihenfolge M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 28/40
74 Reihenfolge der Nachfolger a 5 a b 1 c 5 c b Beide Bäume sind gleich Außer: Nachfolger in umgekehrter Reihenfolge M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 28/40
75 Reihenfolge der Nachfolger a 5 a b 1 c 5 c 5 b Beide Bäume sind gleich Außer: Nachfolger in umgekehrter Reihenfolge M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 28/40
76 Reihenfolge der Nachfolger a 5 a b 1 c 5 c 5 b Beide Bäume sind gleich Außer: Nachfolger in umgekehrter Reihenfolge M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 28/40
77 Reihenfolge der Nachfolger a 5 a b 1 c 5 c 5 b Beide Bäume sind gleich Außer: Nachfolger in umgekehrter Reihenfolge M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 28/40
78 Reihenfolge der Nachfolger a 5 a 5 b 1 c 5 c 5 b Beide Bäume sind gleich Außer: Nachfolger in umgekehrter Reihenfolge M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 28/40
79 Reihenfolge der Nachfolger a 5 a 5 b 1 c 5 c 5 b Beide Bäume sind gleich Außer: Nachfolger in umgekehrter Reihenfolge Reihenfolge bestimmt Güte von Alpha-Beta Abhilfe: Nachfolger vorsortieren Heuristik zum Sortieren verwenden M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 28/40
80 Eigenschaften Alpha-Beta Zur Erinnerung: : Laufzeit O(c d ) bei Tiefenschranke d und Verzweigungrate c Alpha-Beta-Suche: Worst-Case: Wie Best-Case O(c d 2 ) Bei guter Vorsortierung O(c d 2 ) (Daumenregel) Bei zufälliger Vorsortierung O(c 3d 4 ) Bei guter Vorsortierung: Bei gleichen Ressourcen kann man mit Alpha-Beta-Suche doppelt so tief vorausschauen als bei -Suche! M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 29/40
81 Optimierungen von Alpha-Beta Optimierungen Speicherung von bewerteten Stellungen Nutzung von Symmetrien Probleme: Manchmal: Tiefere Suche schlechter als nicht so tiefe Suche Horizonteffekt: Durch Tiefenschranke wird genau der gute Zug übersehen M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 30/40
82 Strategie zur Vermeidung des Horizonteffekts Falls bei Suche in Tiefe d ein Zug am Knoten K besonders gut (imierer) ist: besonders gut: alle Brüder von K haben schlechtere Bewertung Dann Suche K mit größerer Tiefe ab Tiefere Suche ist auch ratsam bei Zugzwang, denn Erhöht den Suchhorizont ohne Vergrößerung des Suchraums M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 31/40
83 Spiele mit Zufall Zwei-Spieler-Spiele Wir betrachten nur 2-Spieler-Spiele Mit Zufall: Z.B. Würfeln, Kartenmischen, etc. Naiver Ansatz: Verwende (bzw. α β) über alle Möglichkeiten Besser: Benutze die Wahrscheinlichkeit und den Erwartungswert (der Bewertungsfunktion) M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 32/40
84 Spielbaum mit Zufallsknoten (würfelt) p (Zug) A (würfelt) (Zug) B C D E F G M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 33/40
85 Spielbaum mit Zufallsknoten (würfelt) p (Zug) A (würfelt) (Zug) B C E F G M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 33/40
86 Spielbaum mit Zufallsknoten (würfelt) p (Zug) A (würfelt) (Zug) B C F G M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 33/40
87 Spielbaum mit Zufallsknoten (würfelt) p (Zug) A (würfelt) (Zug) 3.2 (= 0.6* *2) C F G M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 33/40
88 Spielbaum mit Zufallsknoten (würfelt) p (Zug) A (würfelt) (Zug) 3.2 (= 0.6* *2) C G M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 33/40
89 Spielbaum mit Zufallsknoten (würfelt) p (Zug) A (würfelt) (Zug) 3.2 (= 0.6* *2) C M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 33/40
90 Spielbaum mit Zufallsknoten (würfelt) p (Zug) A (würfelt) (Zug) 3.2 (= 0.6* *2) 2.3 (=0.3*3+0.7*2) M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 33/40
91 Spielbaum mit Zufallsknoten (würfelt) p (Zug) 3.2 (würfelt) (Zug) 3.2 (= 0.6* *2) 2.3 (=0.3*3+0.7*2) M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 33/40
92 Eigenschaften Zwei-Spieler-Spiele Satz Es gilt: Wenn Wahrscheinlichkeit eine Rolle spielt, dann ist die Berechnung des Zuges mit dem besten Erwartungswert abhängig von den exakten Werten der Bewertungsfunktion; nicht nur von der relativen Ordnung auf den Situationen. M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 34/40
93 Beweis durch Gegenbeispiel (Zug) 7.4 (würfelt) (Zug) 6.7 (= *20) 7.4 (=0.1*2+0.9*8) M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 35/40
94 Beweis durch Gegenbeispiel (Zug) 6.7 (würfelt) (Zug) 6.7 (= *20) 5.7 (=0.1*3+0.9*6) vorher: 2 8 M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 35/40
95 Beweis durch Gegenbeispiel (Zug) 6.7 (würfelt) (Zug) 6.7 (= *20) 5.7 (=0.1*3+0.9*6) vorher: 2 8 = Die Bewertungsfunktion muss vorsichtig gewählt werden! M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 35/40
96 Mehr als 2 Spieler (ohne Zufall) Wir erläutern nur die Probleme (keine Lösung) Erkenntnis: Probleme sind wesentlich schwieriger Vereinfachung: Genau 3 Spieler Blattbewertung: Statt Wert, nun Drei-Tupel (A, B, C): Ergebnis des jeweiligen Spielers M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 36/40
97 3-Spieler-Baum Zwei-Spieler-Spiele Spieler S 1 Spieler S 2 Spieler S 3 (1,2,0) (0,1,3) (1,0,4) (0,1,2) (3,0,2) (4,0,1) (1,3,2) (0,2,0) M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 37/40
98 3-Spieler-Baum: Bewertung (1) Strategie: Jeder maximiert sein eigenes Ergebnis Spieler S 1 (1,3,2) Spieler S 2 (0,1,3) (1,3,2) Spieler S 3 (0,1,3) (1,0,4) (3,0,2) (1,3,2) (1,2,0) (0,1,3) (1,0,4) (0,1,2) (3,0,2) (4,0,1) (1,3,2) (0,2,0) M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 38/40
99 3-Spieler-Baum: Bewertung (1) Strategie: Spieler 1 und Spieler 3 verbünden sich Ziel: imiere Ergebnis von Spieler 2 Spieler S 1 (0,1,3) Spieler S 2 (0,1,3) (0,2,0) Spieler S 3 (0,1,3) (1,0,4) (3,0,2) (0,2,0) (1,2,0) (0,1,3) (1,0,4) (0,1,2) (3,0,2) (4,0,1) (1,3,2) (0,2,0) M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 39/40
100 Nicht-eindeutige Strategie Strategie: Jeder maximiert sein eigenes Ergebnis Spieler S 1? Spieler S 2 (0,0,0)? Spieler S 3 (0,0,0) (0,0,0) (1,-1,-1) (-1,-1,1) (0,0,0) (1,-1,-1) (-1,1,-1) (0,0,0) (1,-1,-1) (1,-1,-1) (-1,-1,1) (0,0,0) M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 40/40
101 Nicht-eindeutige Strategie Strategie: Jeder maximiert sein eigenes Ergebnis Spieler S 1? Spieler S 2 (0,0,0) (1,-1,-1) Spieler S 3 (0,0,0) (0,0,0) (1,-1,-1) (-1,-1,1) (0,0,0) (1,-1,-1) (-1,1,-1) (0,0,0) (1,-1,-1) (1,-1,-1) (-1,-1,1) (0,0,0) M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 40/40
102 Nicht-eindeutige Strategie Strategie: Jeder maximiert sein eigenes Ergebnis Spieler S 1 (1,-1,-1) Spieler S 2 (0,0,0) (1,-1,-1) Spieler S 3 (0,0,0) (0,0,0) (1,-1,-1) (-1,-1,1) (0,0,0) (1,-1,-1) (-1,1,-1) (0,0,0) (1,-1,-1) (1,-1,-1) (-1,-1,1) (0,0,0) M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 40/40
103 Nicht-eindeutige Strategie Strategie: Jeder maximiert sein eigenes Ergebnis Spieler S 1? Spieler S 2 (0,0,0)? Spieler S 3 (0,0,0) (0,0,0) (1,-1,-1) (-1,-1,1) (0,0,0) (1,-1,-1) (-1,1,-1) (0,0,0) (1,-1,-1) (1,-1,-1) (-1,-1,1) (0,0,0) M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 40/40
104 Nicht-eindeutige Strategie Strategie: Jeder maximiert sein eigenes Ergebnis Spieler S 1 (0,0,0) Spieler S 2 (0,0,0) (-1,-1,1) Spieler S 3 (0,0,0) (0,0,0) (1,-1,-1) (-1,-1,1) (0,0,0) (1,-1,-1) (-1,1,-1) (0,0,0) (1,-1,-1) (1,-1,-1) (-1,-1,1) (0,0,0) M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2016 Suche bei Spielen 40/40
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