Relationen und Abbildungen

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1 Kapit 4 Rationn un Aiunn Vrstännisran Saran. Was ist in Ration?. Bsrin Si i Koposition von Rationn! 3. Was ist in invrs Ration? 4. Was vrstt an untr inr intisn Ration? 5. Was ist in Äquivanzration? 6. Eräutrn Si i Einsatn rxiv, sytris, antisytris, asytris un transitiv inr Ration! Nnnn Si Bispi! 7. Was ist in Partition? 8. Eräutrn Si n Zusanan zwisn Partitionn un Äquivanzrationn! 9. Was ist in tiornt Mn? 0. Was ist in strit Tiornun?. Eräutrn Si n Bri r orn zw. untrn Sran un s Suprus un Inius!. Was ist in inias un was ist in axias Ent inr tiorntn Mn? 3. Was vrstt an untr inr vrträin Ornun in inr tiorntn Mn? 4. Was ist in topoois Sortirun? 5. Was ist in Aiun? 6. Was ist in Funtion? 7. Eräutrn Si i Einsat rtsinuti ür in Ration! 8. Was ist r Grap inr Funtion? 9. Was ist in Dinitions- un in Wrtri?

2 4 Rationn un Aiunn 3 0. Was ist as Bi inr Aiun?. Eräutrn Si i Einsatn intiv, surtiv un itiv von Aiunn!. Was ist in invrs Aiun? Wann xistirt si? 3. Eräutrn Si n Zusanan zwisn Rationn, Aiunn un Datnann! 4. Wann sin zwi Mnn iäti? 5. Was ist in azäar Mn? 6. Was srit as Syo ℵ 0? 7. Wi ann nawisn, ass Z azäar ist? 8. Wi ann nawisn, ass Q azäar ist? 9. Wi ann nawisn, ass R ürazäar ist? 30. Eräutrn Si as Cauy s Diaonaisirunssa! 3. Eräutrn Si as Cantor s Diaonaisirunssa! 3. Eräutrn Si n Zusanan zwisn Mnn un Aiunn! 33. Wi ann nawisn wrn, ass i Mn ar Aoritn azäar ist? 34. Wi ann nawisn wrn, ass i Mn ar totan Aiunn : M M ürazäar ist? 35. Git s nit-rnar Funtionn? Mtonran. Di vrsinn Darstunsöiitn ür Rationn anwnn önnn.. Di Koposition von Rationn in önnn. 3. Für in n Ration ntsin önnn, w Einsatn si at. 4. Für in n Äquivanzration i Äquivanzassn in önnn. 5. Entsin önnn, o in Äquivanz- or Ornunsration vorit. 6. Ein artsiss Prout xiorapis anornn önnn. 7. Ent aus M ür in ns Apat xiorapis anornn önnn. 8. Supru, Iniu, inia un axia Ent inr tiorntn Mn stin önnn. 9. Das Hass-Diara inr tiorntn Mn onstruirn önnn. 0. Für in tiornt Mn in topoois Sortirun stin önnn.. Dinitions- un Wrtri inr Aiun stin önnn.. Wrt inr nn Aiun un inssonr inr Funtion stin önnn. 3. Aiunn un inssonr Funtionn vrttn önnn. 4. Dn Grapn inr Aiun un inssonr inr Funtion arstn önnn.

3 4 Rationn un Aiunn Fststn önnn, o in n Aiun zw. Funtion intiv un/or surtiv ist. 6. Für in itiv Aiun i invrs Aiun ann önnn. 7. Di invrs Funtion inr itivn Vrttun von Funtionn in önnn. 8. Protion, Rstrition un Vrun ür n Rationn in önnn. 9. Für in unni Tin von N nawisn önnn, ass si azäar ist. 0. Funtionswrt r Funtion φ : M N ür in ns Apat rnn önnn. Üunsauan. Stn Si i Ration R = {(, ), (, 5), (, 6), (, ), (, 4), (3, 4), (3, 6), (4, 6), (5, 5)} au M = {,, 3, 4, 5, 6} as Piiara, as Ta, as rittr Grap un as inär Matrix ar! Di Darstun as inär Matrix ist n ur In Ta 4. sn Si i Tanarstun; in n Aiunn 4. un 4. i Piarstun un r ritt Grap. x y Ta 4.: Di Tanarstun zur Aua. Bin Si ür R = {(a, ), (a, )} un R = {(, ), (, a)} i Kopositionn R R un R R! R R = {(, a), (a, a)}, R R = {(, ), (, )}. 3. Ist ür rxiv Rationn R, R M i Koposition R R M rxiv? Bwisn Si, ass ür rxiv Rationn R R R it!

4 4 Rationn un Aiunn Aiun 4.: Das Piiara zur Aua Aiun 4.: Dr ritt Grap zur Aua Wnn i Rationn rxiv sin, ann ist (x, x) R un (x, x) R ür a x M. Zu zin ist, ass au x M (x, x) R R it. Das ot ar aus r Dinition r Koposition. Für (x, y) R üssn Si (x, y) R R nawisn. R ist rxiv, aso ist (x, x) R. Mit (x, y) R ot ann (x, y) R R. 4. Ist i Aussa R R R äquivant zur Dinition inr transitivn Ration? Wnn Si ausrin, was R R R utt, stt a i Dinition r Transitivität! 5. Gn Si säti Partitionn r Mn M = {9,, } an. Wisn Si na, ass R = {(x, y) M x at i i Qursu wi y} in Äquivanzration ist, un stin Si i Äquivanzassn! Di öin Partitionn sin K =, K = M; K = {9}, K = {}, K 3 = {}; K = {9}, K = {, }; K = {}, K = {9, }; K = {}, K = {9, }. Dass i ann Ration rxiv, sytris un transitiv ist, önnn Si it narnn. Di Äquivanzassn sin [9] ={9}, [] ={, }. 6. W r onn Rationn sin Äquivanzrationn, wnn M i Mn ar Mnsn un W i Mn ar Wassrtür in Dutsan arstt? R = {(x, y) M x ist a in Ta wi y orn}, R 0 = {(n, ) N n + = 0}, R w = {(x, y) W x ist ör as y}. R ist in Äquivanzration. R 0 ist in Äquivanzration, nn si ist nit rxiv, (4, 4) R 0. R w ist in Äquivanzration, si ntät üraupt in Paar (x, x). 7. Di Ration R N N so n sin ur ((a, ), (, )) R a =. Ist R in Äquivanzration? Rxivität: ist (a, ) N in Paar von natürin Zan, ann ist ((a, ), (a, )) R, nn s ist a = a.

5 4 Rationn un Aiunn 35 Sytri: as ((a, ), (, )) R, ann ist a =. Dann ist au = a, un ((, ), (a, )) R. Transitivität: as ((a, ), (, )) R un ((, ), (, )), ann uss nawisn wrn, ann au ((a, ), (, )) R. Es ist a = un = ; ait it au = a, =. Dann it a = a Dait ist R in Äquivanzration. = a =. 8. W r onn Mnn von Tinn von M = {,, 3, 4, 5, 6} ist in Partition: T = {{, }, {, 3, 4}, {4, 5, 6}}, T = {{}, {, 3, 6}, {4}, {5}}, T 3 = {{, 4, 6}, {, 3, 5}}, T 4 = {{, 4, 5}, {, 6}}? T ist in Partition, nn {, } {, 3, 4} = {} =. T un T 3 sin Partitionn, i Tinn sin isunt, as Vriniun ratn Si M. T 4 ist in Partition; i Tinn sin zwar isunt, ar in r Vriniun t as Ent 3 M. 9. W r onn ur inär Matrizn nn Rationn sin Tiornunn? ). R = ( 0 ) 0, R = 00 ( 0 ) 00, R 3 = ( A ri Rationn sin rxiv, nn au r Diaonan stt. R ist nit antisytris, nn sowo as Ent 3 un 3 r Matrix ist Nu. Aso ann R in Tiornun sin. Au R 3 ist nit antisytris, a sowo as Ent as au as Ent r Matrix 0 ist. R ist antisytris; nn ür in Ent a i r inärn Matrix it i = it a i = 0 ist a i = zw. ür a i = ist a i = 0. R ist au transitiv; s it R R = R. Dait ist R in Tiorun. 0. Bwisn Si, ass ür i tiornt Mn (M, R) au (M, R ) in tiornt Mn ist. Wnn R rxiv ist, ann ist au R rxiv. Au i Antisytri ür R ist ar, wnn R antisytris ist; un it in Arunt ist R transitiv, wnn R is Einsat at.. Es si S = {,, 3, 4}. As Ornun si i xiorapis Ornun it au S n. Finn Si a Paar in S, i inr as (, 3) or rößr as (3, ) sin! Kinr as (,3) sin a Paar, i as rst Koponnt in an, un i in Paar (, ) un (, ). Größr as (3, ) sin a Paar, rn rst Koponnt rößr as 3 sin, un i Paar (3, ), (3, 3), (3, 4).

6 4 Rationn un Aiunn 36. Ornn Si i Bitstrins 0, 0,, 00, 00, 0, 000 un 00 xiorapis an, it r Tiornun 0 < ür in Bit! Es ist 0 < 000 < 00 < 0 < 00 < 00 < 0 <. 3. Zinn Si as Hass-Diara ür i Tiarit on Rst au n Mnn M = {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, M = {,, 3, 5, 7,, 3}, M 3 = {,, 3, 6,, 4, 36, 48} un M 4 = {,, 4, 8, 6, 3, 64}! Di Diara inn Si in Aiun M M M 4 M Aiun 4.3: Di Hass-Diara ür Aua 3 4. Gn ist i tiornt Mn ({3, 5, 9, 5, 4, 45}, ). Gn Si i axian un inian Ent an! Gn Si a orn Srann ür i Tin {3, 5} un as Supru an, as s xistirt. Bstin Si i untrn Srann r Tin {5,45} un as Iniu, as s xistirt. 4 un 45 sin axia Ent, 3 un 5 inia Ent. 5 un 45 sin or Srann ür {3, 5}. Das Supru ist 5. 5, 5 un 3 sin untr Srann ür {5, 45}, as Iniu ist Für in Mn M un ir Potnzn P(M) son i Tinn A, B M tratn wrn. Brünn Si, ass A B as Iniu un A B as Supru von {A, B} P(M) ist!

7 4 Rationn un Aiunn 37 A B ist sir in untr Sran ür {A, B}, nn s ist A B A, A B B. Annon, s it in untr Sran, aso in Tin U P(M) it A B U un U A, U B. Es so aso in x U n, as nit in A B it, ar in in Mnn A un B. Dann uss s i Snitt in, in Wirspru. Aso ist r Dursnitt A B as Iniu. Anao wir ür A B aruntirt. Di Vriniun ist sir in or Sran ür {A, B}. Un s ann in inr or Sran n; in Anna ann zu Wirspru ürt wrn. 6. Bstin Si in topoois Sortirun ür i tiornt Mnn in 4.7 un 4.4! a i a Aiun 4.4: Hass-Diara ür Aua 6 Für i Tiornun aus Aiun 4.7 it s in inuti topoois Sortirun; in Möiit ist a,,,,,,,,. Dn Vrau ür is Lösun sn Si in Aiun 4.5. Für i in Tiornun in Aiun 4.4 ist in topoois Sortirun n ur a,,,,,,,. Dn Vrau ür is Lösun sn Si in Aiun 4.6. Für i rt Tiornun in Aiun 4.4 ist in topoois Sortirun n ur,,, a,,,, i,,,,,. Dn Vrau ür is Lösun sn Si in Aiun 4.7. a Aiun 4.5: Lösun ür i Tiornun aus Aiun 4.7 i Bu 7. M si i Mn ar Biton. W r onn Rationn aus M N ist in Aiun: (x) ist i Position inr 0 in x; (x) ist i Anza r in x, 3 (x) ist i inst natüri Za i, soass as i-t Bit in ist; ai wir ür as r Wort 3 (ɛ) =0 stzt.

8 4 Rationn un Aiunn 38 a Aiun 4.6: Lösun ür i Tiornun aus Aiun 4.4 ins i i i a a i i i Aiun 4.7: Lösun ür i Tiornun aus Aiun 4.4 rts ist in Aiun; ür i Bito 00 it s n Wrt un n Wrt 4. ist in Aiun; si ist in rtsinuti Ration. 3 ist in Aiun, nn si ist in rtsinuti Ration. Arins it s Biton, ür i s in Wrt it wi ispiswis Gn Si i onn Wrt an:,, 3 4, + un 5. Wisn Si i onn Einsatn na: x + = x +, x + = x + ür Z. Di sutn Wrt sin, = = 3 4, + = + =, 5 = = 0.

9 4 Rationn un Aiunn 39 x + = x + : Annon, s ist x = n Z. Dann ist i Uniun n x < n + rüt. Wnn Si zu isr Uniunstt airn, ratn Si n + x + < n + +. Dann ist ar onsiti x + = n + = x +. x + = x + : Annon, s ist x = n Z. Dann ist i Uniun n < x n rüt. Wnn Si zu isr Uniunstt airn, ratn Si n + < x + n +. Dann ist ar onsiti x + = n + = x Untrsun Si i onn Aiunn : Z Z au Intivität, Surtivität un Bitivität: (n) =n, (n) =n +, 3 (n) =n 3, 4 (n) = n. ist itiv. Si ist intiv, aus (n) = () ot n = un ait n =. Si ist surtiv, nn ür Z ist as Uri n ur + : ( + ) =. ist wr intiv no surtiv. Sowo n as au n Z an as i Bi (n) = ( n) =n +. A anz Zan inr as an in Uri, nn s ist n +. 3 ist intiv, nn aus 3 (n) = 3 () ot n 3 = 3 un au n =. Si ist nit surtiv, ür it s in anz Za it n 3 =. 4 ist nit intiv, nn s it 4 () = = = = 4(). 4 ist surtiv. Für Z ist as Uri n ur. 0. Bstin Si ür i rn Funtionn (x) =x +, (x) =x un (x) =x i Vrttunn,,,, un! Es it ( )(x) =x +, ( )(x) =x +, ( )(x) =(x + ), ( )(x) =x, ( )(x) =(x + ), ( )(x) =4x.. Zinn Si i Grapn r onn Funtionn i : R R: (x) = x, (x) = x, 3 (x) = x + x, 4(x) = x x. Di Grapn inn si in Aiun Finn Si ür (x) = x i onn Bir r invrsn Funtion: (0), ({ ; 0, }), ({x 0 < x < }). (0) =[0; ); ({ ; 0, }) =[ ; ); ({x 0 < x < }) =.

10 4 Rationn un Aiunn Aiun 4.8: Di Grapn ür Aiun. On ins, on rts, untn ins 3, untr rts 4 3. Gn Si an, w r onn Mnn azäar ist, un n Si i Zuornun zwisn N un n azäarn Mnn an: i nativn anzn Zan, i unran natürin Zan, i rn Zan zwisn 0 un un a anzn Zan, i in Vias von 7 sin. Di nativn anzn Zan sin azäar; i Zuornun ist ina n ur n ür n N. Au i unran Zan sin azäar; si sin in Tin inr azäarn Mn. Di Zuornun ist n ur n + ür n N. Di rn Zan zwisn 0 un sin ürazäar; i Diaonaisirun ann nauso wi i Fa [0; ] urürt wrn. A Vian von 7 sin azäar. Z ist azäar, un it 7z ür z Z ist in Zornun n. 4. Bstin Si i Funtionswrt r Aiun φ : M N ür as Apat M 0 = {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ür i onn Wort: w = 55, w = 0, w 3 = 999. Bstin Si ür as Apat M = {0, } i Funtionswrt ür i onn Wort: w 4 = 00, w 5 = 000, w 6 = 000. φ(w )=6 + 6 = 79. φ(w )= = 805. φ(w 3 )= = φ(w 4 )= = 0. φ(w 5 )= = 687. φ(w 6 )= = 3.