3.6 Prognosen mit ARMA-Modellen

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1 3.6 Prognosen mi ARMA-Modellen Opimale Prognosen mi ARMA-Modellen im Sinne eines minimalen Mean Squared Error (MSE sind durc die bedingen Erwarungswere von +, =,,..., uner Verwendung der zur Zei vorandenen Inormaionen gegeben. Als empirisce Äquivalene der bedingen Mielwere ergeben sic Prognoseunkionen, die ier ür olgende ARMA-Modelle augezeig werden: - AR(-Modell, - MA(-Modell, - ARMA(,-Modell. Als Prognoseelermaße werden der - Mean Absolue Error (MAE, - Mean Absolue Percenage Error (MAPE, - Mean Squared Error (MSE und Roo Mean Squared Error (RMSE, - Teilsce ngleiceiskoeizien ( vorgesell.

2 Prognosen mi einem AR(-Prozess AR(-Prozess:, < -Scri-Prognose Bedinger Erwarungswer von + uner Verwendung der Inormaionen zur Zei : E ( E ( E ( Ersez man die bedingen Erwarungswere E ( + und E ( +- durc ire empiriscen Äquivalene, d.. die Prognoseunkionen ˆ ( und ˆ ( -: ˆ ( ˆ Prognoseeler: ( - ˆ ( - ( Varianz des Prognoseelers: 95%-Konidenzinervall der -Scri-Prognose: ( Var( ˆ ( ˆ (,96 (

3 Ein-Scri-Prognose ˆ ( ˆ (0 Prognoseeler: ( - ˆ ( Varianz des Prognoseelers: ( Var( σ 95%-Konidenzinervall der Ein-Scri-Prognose: ˆ (,96 (, 96 3

4 4 Zwei-Scri-Prognose ( ( ( ˆ ˆ Prognoseeler: + in Abängigkei von : ( ( - ( ˆ Varianz des Prognoseelers: ( σ Var( ( 95%-Konidenzinervall der Zwei-Scri-Prognose:,96 (,96 ( ˆ

5 Beispiel: Kursprognose der DBC-Akie mi AR(-Modell Tageskurse: Kursverlau der DBC DBC-Akie

6 Kleins-Quadrae-Scäzung im Süzzeiraum Dependen Variable: DBC Meod: Leas Squares Sample (adjused: 5/0/988 30//994 Included observaions: 84 aer adjusmens Convergence acieved aer 3 ieraions Variable Coeicien Sd. Error -Saisic Prob. C AR( R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. o regression Akaike ino crierion Sum squared resid Scwarz crierion Log likeliood Hannan-Quinn crier F-saisic Durbin-Wason sa Prob(F-saisic Invered AR Roos.99 OLS-Scäzgleicung: ˆ 94, 99 0, 994-6

7 Ein-Scri-Prognose (saisce Vorersage ür den Zeiraum : M0 995M0 995M03 995M04 995M05 DBC DBCF_LOW DBCF DBCF_PPER 7

8 -Scri-Prognose (dynamisce Vorersage: =,,3, ür den Zeiraum : M0 995M0 995M03 995M04 995M05 DBC DBCF_LOW DBCF DBCF_PPER 8

9 Prognosen mi einem MA(-Prozess MA(-Prozess:, < -Scri-Prognose Bedinger Erwarungswer von + uner Verwendung der Inormaionen zur Zei : E ( E ( E E ( ( Das empirisce Äquivalen des bedingen Erwarungswers E ( + läss sic mi der Prognoseunkion ˆ ( berecnen: ür = ( is bekann, + is unbekann und wird gleic dem Erwarungswer 0 gesez: ˆ ( μ ür ( +, +, usw. sind unbekann und werden gleic dem Erwarungswer 0 gesez: ˆ ( 9

10 0 95%-Konidenzinervall der -Scri-Prognose: (,96 ( ˆ Prognoseeler: ( - ( ˆ Varianz des Prognoseelers: ( - Var( ( ˆ ür =: ( - ( ˆ σ Var( ( σ,96 μ (,96 ( ˆ ür : ( - ( ˆ ( σ - Var( ( - σ,96 μ (,96 ( ˆ

11 Prognosen mi einem ARMA(,-Prozess ARMA(,-Prozess:, <, < -Scri-Prognose Bedinger Erwarungswer von + uner Verwendung der Inormaionen zur Zei : E ( E E ( ( E ( E ( Das empirisce Äquivalen des bedingen Erwarungswers E ( + läss sic mi der Prognoseunkionen ˆ ( berecnen: Prognoseeler: ( - ˆ ( Varianz des Prognoseelers: ( Var( - ˆ ( 95%-Konidenzinervall der -Scri-Prognose: ˆ (,96 (

12 Ein-Scri-Prognose Für = is bekann, wärend + unbekann is und gleic 0 gesez wird: ˆ ( ˆ (0 = Prognoseeler: ( - ˆ ( Varianz des Prognoseelers: ( Var( σ 95%-Konidenzinervall der Ein-Scri-Prognose: ˆ (,96 (, 96

13 3 Zwei-Scri-Prognose Prognoseeler: + in Abängigkei von : Varianz des Prognoseelers: 95%-Konidenzinervall der Zwei-Scri-Prognose: Für = sind + und + unbekann und werden gleic 0 gesez: ( ( ( - ( ( ˆ ] ( [ ( ( σ ] Var[ ( (,96 (,96 ( ˆ ( ( ˆ ( ˆ

14 Evaluaion von Prognosen Scäzung eines ARIMA-Modells: Süzzeiraum =,,...,n Ex-pos-Prognosen (Prognosen ür einen Zeiraum, ür den Zeireienwere verügbar sind: Zeiraum =n+, n+,..., n+ Ex-ane-Prognosen erolgen ür einen Zeiraum, ür den keine Zeireiendaen verügbar sind. Eine Evaluaion der ARIMA-Prognosen kann daer nur bei Ex-pos-Prognosen vorgenommen werden. Im Folgenden werden Felermaße ür Ein-Scri-Prognosen deinier. Milerer absoluer Feler (mean absolue error, MAE MAE j xn j xˆ n j( n j-( j Milerer absoluer prozenualer Feler (mean absolue percenage error, MAPE MAPE j x j xˆ j( x j 00% n j-( j x j 00% 4

15 Milerer quadraiscer Feler (mean squared error, MSE MSE j x xˆ ( j Roo Mean Squared Error (RMSE n j- n j n j ( RMSE MSE Teilscer ngleiceiskoezien j j x n j n j x ( n j Vergleic der Prognose mi der naiver Vorersage Nenner: Prognoseeler bei naiver Vorersage xˆ n j( xn j (Ein-Scri-Prognosewer enspric Vorperiodenwer =: Prognose is so gu wie die naive Prognose <: Prognose is besser als die naive Prognose 5

16 Beispiel: Kursprognose der DBC-Akie mi AR(-Modell - bei saiscer Prognose (Ein-Scri-Prognose: Forecas: DBCF Acual: DBC Forecas sample: /0/995 9/03/999 Adjused sample: /0/995 3/05/995 Included observaions: 07 Roo Mean Squared Error.3847 Mean Absolue Error.0053 Mean Abs. Percen Error.5577 Teil Inequaliy Coeicien Bias Proporion Variance Proporion Covariance Proporion M0 995M0 995M03 995M04 995M05 DBCF ± S.E. 6

17 - bei dynamiscer Prognose (-Scri-Prognose, =,,3,...: Forecas: DBCF Acual: DBC Forecas sample: /0/995 30/05/995 Included observaions: 07 Roo Mean Squared Error Mean Absolue Error Mean Abs. Percen Error Teil Inequaliy Coeicien Bias Proporion Variance Proporion Covariance Proporion M0 995M0 995M03 995M04 995M05 DBCF ± S.E. 7