Klausur ÖKONOMETRIE für Bachelor

Transkript

1 Klausur ÖKONOMETRIE für Bachelor Name, Vorname: Matrikel-Nr. Die Klausur enthält zwei Typen von Aufgaben: Teil A besteht aus Fragen mit mehreren vorgegebenen Antwortvorschlägen, von denen mindestens eine Antwort richtig ist und von denen mehrere Antworten richtig sein können. Kreuzen Sie alle richtigen Antworten in den Kästchen unterhalb der Aufgabe an. Sie erhalten 1 Pluspunkt für jeden korrekt ausgewählten Antwortvorschlag (richtiger Antwortvorschlag wird ausgewählt bzw. nicht zutreffender Antwortvorschlag wird nicht ausgewählt). Sie erhalten 1 Minuspunkt für jeden falsch ausgewählten Antwortvorschlag (richtiger Antwortvorschlag wird nicht ausgewählt bzw. nicht zutreffender Antwortvorschlag wird ausgewählt). Es werden keine negativen Punktzahlen vergeben, Sie erhalten also für jede Aufgabe mindestens 0 Punkte. Diese Rohpunkte werden noch gewichtet, um die Klausurpunkte zu berechnen, die in die Berechnung der Prüfungsleistung eingehen. Das Gewicht ist 3/4 bei 4 Antwortmöglichkeiten. Sie können also für jede einzelne Aufgabe maximal 3 Punkte erreichen. Wenn Sie keine Antwort ankreuzen, gilt die Aufgabe als nicht bearbeitet und Sie erhalten 0 Punkte. Teil B enthält ausführlich zu lösende Aufgaben. Nur mit der Darstellung der einzelnen Rechenschritte oder der Begründung Ihrer Vorgehensweise kann die volle Punktzahl erreicht werden. Zulässige Hilfsmittel: Nicht programmierbarer Taschenrechner, Lehrbuch von Schira, gebundene Ausgabe des Skriptes Ökonometrie und eine handschriftlich von Ihnen selbst beschriebene Seite im DIN A4 Format ( Spickzettel, kann auf beiden Seiten beschrieben sein). Teil A umfasst 7 Aufgaben und Teil B umfasst 2 Aufgaben. Die Klausur umfasst insgesamt 15 Seiten. Bitte überprüfen Sie die Vollständigkeit Ihres Exemplars. Die maximal zu erreichende Punktzahl ist 60, davon können maximal 21 Punkte in Teil A und maximal 39 Punkte in Teil B erreicht werden. Studierende im B.Sc. VWL oder B.Sc. BWL bestehen die Prüfung mit mindestens 24 erreichten Punkten. Die Bearbeitungszeit dieser Klausur beträgt 120 Minuten. 1

2 Auswertung - Teil A Aufgabe Erreichte Punktzahl Auswertung - Teil B Aufgabe 1 2 Erreichte Punktzahl Erreichte Gesamtpunktzahl 2

3 Teil A (21 Punkte) A.1 Welche der folgenden Aussagen ist bzw. sind wahr? A) Jede Vollerhebung (d.h. es werden alle Elemente der Grundgesamtheit erfasst) ist eine repräsentative Stichprobe. B) Bei einer Reihe von Würfen mit einer fairen Münze sind bisher 1 mal Zahl und 19 mal Wappen aufgetreten. Nach dem Gesetz großer Zahlen müsste bei den nun folgenden Würfen mehrfach Zahl auftreten. C) Die Stichprobenvarianz ist eine Zufallsvariable und besitzt eine Verteilung. D) Die Kennzahlen, die bei einer Vollerhebung gewonnen werden (z.b. arithmetisches Mittel, Varianz), sind Zufallsvariablen. Hinweis: Unterstellen Sie, dass die Vollerhebung die tatsächliche Grundgesamtheit erfasst. A B C D 3

4 A.2 In letzter Zeit sind vermehrt Beschwerden bei einem großen Hersteller von Gummibärchen eingegangen. Die Kunden erwarten gleich viele Bärchen von jeder Farbe. Angeblich sind zu wenige rote und zu viele grüne Bärchen in den 200g Tüten mit 120 kleinen Bärchen. In einer zufällig ausgewählten Tüte aus der laufenden Produktion befindet sich die folgende Aufteilung: Farbe Rot Orange Gelb Grün Weiß Dunkelblau Anzahl Es seien p 1...p 6 die Wahrscheinlichkeiten für die sechs Gummibärchensorten (1=Rot, 2=Orange, 3=Gelb, 4=Grün, 5=Weiß, 6=Dunkelblau). A) Der Wert der χ 2 -Teststatistik für den Anpassungstest beträgt 12,9 (auf eine Nachkommastelle gerundet). B) Nehmen Sie an, dass der Wert der Teststatistik für den Anpassungstest 12,9 beträgt. Die Nullhypothese ist dann bei einem Signifikanzniveau von 2,5% beizubehalten. C) Die Teststatistik für den einseitigen Anteilstest der roten Bärchen mit der Nullhypothese p beträgt -1,2 (auf eine Nachkommastelle gerundet). Die Hypothese ist damit bei einem Signifikanzniveau von 10% beizubehalten. D) Die Antworten A) - C) sind falsch. A B C D A.3 Aus den Unterlagen der Einkaufsabteilung eines Supermarkts geht hervor, dass p = 1% der gelieferten Schokoladenhasen beschädigt sind. Bei Wareneingang prüfen Sie eine Kiste mit n = 20 Hasen aus der aktuellen Lieferung. Es sei H 20 der Anteil der beschädigten Hasen in der Stichprobe. Unterstellen Sie, dass die Qualität der einzelnen Hasen unabhängig und identisch verteilt ist. A) Wenn Sie exakt mit der Binomialverteilung rechnen, erhalten Sie P(H 20 5%) = 18,2% (auf eine Nachkommastelle gerundet). Hinweis: Betrachten Sie das Gegenereignis. B) Wenn Sie die Normalverteilung als Näherungsverteilung ohne Stetigkeitskorrektur verwenden, erhalten Sie P(H 20 5%) = 67% (gerundet). C) Wenn Sie die Normalverteilung als Näherungsverteilung mit Stetigkeitskorrektur verwenden, erhalten Sie P(H 20 5%) = 25% (gerundet). D) Wenn Sie die Stichprobe verkleinern, wird auch P(H 20 5%) kleiner. A B C D 4

5 A.4 Ein Produzent von mit Nougat gefüllten Schokoladeneiern verwendet bisher eine Schokoladeneierfüllanlage des Typs Schoki 1. Das (verbesserte) Nachfolgemodell Schoki 2 soll laut Angaben des Herstellers die Abfüllung der 5g Nougat bei gleicher Geschwindigkeit mit geringerer Streuung vornehmen. Der Chocolatier überlegt, seine Maschine auszutauschen. Um eine fundierte Entscheidung treffen zu können, lässt er jeweils 21 Eier mit Schoki 1 und Schoki 2 befüllen und anschließend die Füllmengen abwiegen. Bei Schoki 1 ergibt sich eine Stichprobenvarianz von s 2 1 = g 2 und bei Schoki 2 ergibt sich eine Stichprobenvarianz von s 2 2 = 0,0012g 2. Es seien σ 2 1 und σ 2 2 die wahren Varianzen von Schoki 1 und Schoki 2. Unterstellen Sie weiter, dass die Abfüllmengen bei beiden Maschinen unabhängig und identisch verteilt sind. A) Um die Behauptung des Herstellers zu überprüfen, müssen Sie folgende Hypothese testen: H 0 : σ 2 1 σ 2 2 gegen H 1 : σ 2 1 > σ 2 2. B) Um die Behauptung des Herstellers zu überprüfen, müssen Sie folgende Hypothese testen: H 0 : σ 2 1 σ 2 2 gegen H 1 : σ 2 1 < σ 2 2. C) Die Nullhypothese kann bei einem α-niveau von 1% nicht abgelehnt werden, da die Prüfgröße den Wert 2,67 hat und somit den kritischen Wert der F-Verteilung F20[0,99] = 2,94 unterschreitet (Werte auf zwei Nachkommastellen gerundet). D) Die Nullhypothese ist bei einem α-niveau von 5% abzulehnen, da die Prüfgröße den Wert 2,67 hat und somit den kritischen Wert der F-Verteilung F20[0,975] = 2,46 übersteigt (Werte auf zwei Nachkommastellen gerundet). A B C D 5

6 A.5 Auf Basis einer Stichprobe mit n Beobachtungen, wobei n eine ungerade Zahl mit n 9 ist, soll die Varianz σ 2 einer unabhängig und identisch verteilten Zufallsvariablen mit Erwartungswert µ = 0 geschätzt werden. Es stehen folgende Schätzer zur Auswahl: (1) ˆσ 2 1 = 1 n n i=1 2 i (2) ˆσ 2 2 = n (n 1)/2 Beachten Sie, dass in die Berechnung von ˆσ 2 2 nur die ungeraden Beobachtungen eingehen und dass der Erwartungswert als bekannt vorausgesetzt werden kann. A) ˆσ 2 1 ist erwartungstreu. B) ˆσ 2 2 ist erwartungstreu. C) ˆσ 2 2 ist asymptotisch erwartungstreu und konsistent. D) ˆσ 2 2 ist effizienter als ˆσ 2 1. Hinweis: Es gilt in diesem Fall E( 2 i ) = σ2. A B C D 6

7 A.6 Der Verband der Süßwarenhersteller möchte die Höhe der Liefermengen für Kakao bedarfsgerecht festlegen. Dazu wurde der jährliche pro-kopf-kakaoverbrauch der Bundesbürger für die letzten 20 Jahre ermittelt: b = 10,115kg, b2 = 200kg 2 Der Kakaokonsum kann als exakt normalverteilt angesehen werden. A) Die geschätzte Standardabweichung des Kakaokonsums beträgt 9, 88kg (auf zwei Nachkommastellen gerundet). Hinweis: Für die folgenden Aufgabenteile rechnen Sie bitte mit einer geschätzten Stichproben- Standardabweichung von ŝ = 9kg. B) Das 95%-Konfidenzintervall für den durchschnittlichen Kakaoverbrauch ist KI(µ;0,95) = [6kg, 14kg] (gerundet). C) Das 95%-Konfidenzintervall für die Standardabweichung des Kakaokonsums ist KI(σ; 0, 95) = [7, 9kg, 12, 1kg] (auf eine Nachkommastelle gerundet). D) Bei einem zweiseitigen Hypothesentest kann die Hypothese H 0 : µ = 12,5kg bei einem Signifikanzniveau von α = 5% nicht verworfen werden. A B C D 7

8 A.7 Seien 1 bis n stochastisch unabhängige Zufallsvariablen mit Erwartungswert µ und Varianz σ 2. Hinweis: 1 bis n sind nicht notwendigerweise normalverteilt. A) ( n ) n 2 µ ist asymptotisch standardnormalverteilt. σ Hinweis zu A): Es gehen nur die geraden Beobachtungen ein. B) C) D) n i=1 i nµ n i=1 2 i (nµ)2 ist asymptotisch standardnormalverteilt. n i=1 i nµ ist t-verteilt. (nµ)2 n i=1 2 i n ( ) 2 i µ ist χ 2 -verteilt. i=1 σ A B C D 8

9 Teil B (39 Punkte) B.1 Seien x 1 bis x n die Ergebnisse von n unabhängigen Münzwürfen mit derselben (nicht notwendigerweise fairen) Münze. p beschreibe die Wahrscheinlichkeit, Zahl zu werfen. (a) Die Zufallsvariable beschreibe das Ergebnis eines einzelnen Münzwurfs ( = 1 bedeutet Zahl ). Wie lautet die Verteilung von? Wie viele und welche Parameter hat sie? Was beschreiben diese? [3 Punkte] (b) Zeigen Sie, dass x = 1 n n i=1 x i der Maximum-Likelihood Schätzer für p ist. Hinweis: Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei n Versuchen k-mal Zahl geworfen wird. Bestimmen Sie dann das Maximum der logarithmierten Wahrscheinlichkeit. [3 Punkte] (c) Zeigen Sie, dass der Schätzer ˆp ML = x die Varianz Var( x) = p(1 p) n aufweist. [3 Punkte] [9 Punkte] 9

10 B.2 Aus einer Umfrage in den USA liegen die Daten von 198 Männern mit neun Jahren Berufserfahrung vor. Es wurden u.a. folgende Merkmale erhoben: Name wage educ iq nearc4 smsa Beschreibung Monatslohn in US Dollar Ausbildungsdauer in Jahren IQ-Wert Dummy, 1 wenn in der Nähe einer Universität aufgewachsen Dummy, 1 wenn in einer Metropolregion wohnhaft (a) Was ist das arithmetische Mittel des Monatslohns? Was ist das geometrische Mittel des Monatslohns? Wie viel Prozent der Personen sind in der Nähe einer Universität aufgewachsen? Was ist die kürzeste Ausbildungsdauer? Geben Sie auch die Einheiten an. [2 Punkte] (b) Betrachten Sie den TSP-Output zu Equation 1. Welches Modell wurde geschätzt? Was ist die ökonomische Interpretation der geschätzten Koeffizienten? Interpretieren Sie alle Koeffizienten, unabhängig davon, ob sie signifikant sind oder nicht. Bitte geben Sie präzise die Einheiten an. [3 Punkte] (c) Betrachten Sie den TSP-Output zu Equation 2. Überprüfen Sie mit einem Hypothesentest, ob der Koeffizient von educ sich signifikant von 0,07 unterscheidet. Geben Sie alle Schritte von der Nullhypothese bis zur Testentscheidung an. Berechnen Sie auch die Überschreitungswahrscheinlichkeit (p-value). [8 Punkte] (d) Was ist Heteroskedastie? Warum ist Heteroskedastie problematisch? Ist Heteroskedastie in Equation 2 ein Problem? Sie müssen die einzelnen Schritte für einen Hypothesentest nicht angeben, sondern Ihre Schlussfolgerungen aus den Informationen im TSP-Output erläutern. [5 Punkte] (e) Geben Sie die zwei Schätzgleichungen an, die dem Befehl 2sls in Equation 3 zugrunde liegen. Erläutern Sie kurz, warum hier der Befehl 2sls verwendet wird. Welches Problem soll dadurch gelöst werden? [4 Punkte] (f) Welche Eigenschaften muss ein Instrument erfüllen? Diskutieren Sie, ob diese Eigenschaften für das Instrument nearc4 erfüllt sind. Gehen Sie dabei auf die Argumente aus der ökonomischen Theorie und die Schätzergebnisse in Equation 4 ein. [8 Punkte] [30 Punkte] 10

11 Anhang zu Aufgabe B.2 PROGRAM COMMAND *************************************************************** 1 options crt,limwarn=0; 2 2 freq n; 3 3 read (FILE= card2.raw ) nearc4 educ smsa wage IQ ; 4 4 genr lwage=log(wage) ; 5 5 title Deskriptive Statistiken ; 6 msd(terse,byvar) nearc4 educ smsa wage iq lwage ; 7 7?title Equation 1 ; 7 ols lwage c educ iq smsa ; 8 8?title Equation 2 ; 8 ols(robustse) lwage c educ smsa ; 9 9?title Equation 3 ; 9 2sls(inst=(c nearc4 smsa)) lwage c educ smsa ; 10 10?title Equation 4 ; 10 ols educ c nearc4 smsa ; END ; EECUTION ******************************************************************************* 11

12 Current sample: 1 to 198 Number of Observations: 198 Deskriptive Statistiken ======================= Univariate statistics ===================== Num.Obs Mean Std Dev Minimum Maximum NEARC EDUC SMSA WAGE IQ LWAGE Dependent variable: LWAGE Current sample: 1 to 198 Number of observations: 198 Equation 1 ============ Method of estimation = Ordinary Least Squares Mean of dep. var. = LM het. test = [.236] Std. dev. of dep. var. = Durbin-Watson = [<.995] Sum of squared residuals = Jarque-Bera test = [.024] Variance of residuals = Ramsey s RESET2 = [.281] Std. error of regression = F (zero slopes) = [.000] R-squared = Schwarz B.I.C. = Adjusted R-squared = Log likelihood = Estimated Standard Variable Coefficient Error t-statistic P-value C [.000] EDUC [.001] IQ E E [.000] SMSA [.250] 12

13 Dependent variable: LWAGE Current sample: 1 to 198 Number of observations: 198 Equation 2 ============ Method of estimation = Ordinary Least Squares Mean of dep. var. = LM het. test = [.817] Std. dev. of dep. var. = Durbin-Watson = [<.978] Sum of squared residuals = Jarque-Bera test = [.552] Variance of residuals = Ramsey s RESET2 = [.572] Std. error of regression = F (zero slopes) = [.000] R-squared = Schwarz B.I.C. = Adjusted R-squared = Log likelihood = Estimated Standard Variable Coefficient Error t-statistic P-value C [.000] EDUC [.000] SMSA [.199] Standard Errors are heteroskedastic-consistent (HCTYPE=2). 13

14 Dependent variable: LWAGE Endogenous variables: EDUC Included exogenous variables: C SMSA Excluded exogenous variables: NEARC4 Current sample: 1 to 198 Number of observations: 198 Equation 3 ============ Method of estimation = Instrumental Variable Mean of dep. var. = R-squared = Std. dev. of dep. var. = Adjusted R-squared = Sum of squared residuals = Durbin-Watson = [<.983] Variance of residuals = F (zero slopes) = [.044] Std. error of regression = E PZ*E = 0. Estimated Standard Variable Coefficient Error t-statistic P-value C [.006] EDUC [.330] SMSA [.711] 14

15 Dependent variable: EDUC Current sample: 1 to 198 Number of observations: 198 Equation 4 ============ Method of estimation = Ordinary Least Squares Mean of dep. var. = LM het. test = [.396] Std. dev. of dep. var. = Durbin-Watson = [<.797] Sum of squared residuals = Jarque-Bera test = [.000] Variance of residuals = Ramsey s RESET2 = [.107] Std. error of regression = F (zero slopes) = [.029] R-squared = Schwarz B.I.C. = Adjusted R-squared = Log likelihood = Estimated Standard Variable Coefficient Error t-statistic P-value C [.000] NEARC [.166] SMSA [.131] ******************************************************************************* END OF OUTPUT. ENDE DER KLAUSUR 15