Japanische Tempelgeometrie 2

Transkript

1 Japanische Tempelgeometrie Workshop über das Lösen geometrischer Probleme im Zeitalter von PC und Internet vorgestellt von Ingmar Rubin, MNU Tagung an der FU Berlin, 1. Oktober 017 Gegeben ist der Inkreisradius vom Quadrat PQRS, bestimme den Inkreisradius vom Dreieck ABC.

2 Agenda Zielstellung, Motivation Definition: Berührungsproblem Dynamische Geometrie zur Wiederholung: Sätze aus der Kreisgeometrie Aufgabenbeispiele, Lösungswege Formulierung von Lösungsschritten Quellen im Internet

3 Motivation, Zielstellung 1 Wie schaffe ich eine Motivation für das Fach Mathematik im Zeitalter von YouTube, Smartphone und Internet? Geometrische Problem bieten einen visuellen Zugang zur Mathematik Dynamische Geometriesoftware schafft einen fast spielerischen Zugang zu geometrischen Konstruktionen

4 Motivation, Zielstellung Sangaku Probleme: Verbindung von Geometrie und Algebra aktive Anwendung elementargeometrischer Sätze (Pythagoras, Strahlensatz, Sehnensatz usw.) Schüler mögen die Herausforderung, z. B.: eine Unterrichteinheit(en) Geometrie Workshop in der Mathematik AG Aufgabenblätter für einen Schulwettbewerb

5 Motivation, Zielstellung 3 Einsatz von GeoGebra erarbeiten einer systematischen Lösungsstrategie Einführung neuer Sätze aus der Geometrie Was bedeutet die Zirkel und Lineal Konstruktion? Gleichungssysteme mit CAS lösen

6 Das Wesen der Berührungsprobleme Aufgabenstellung in der wenigstens zwei geometrische Objekte sich in einem gemeinsamen Punkt berühren. Sangaku: Berührungsprobleme zwischen Kreisen, Kreisbögen, Ellipsen, Dreiecken, Vierecken und Geraden in der Ebene. Hiroshi Okumura, Saitama prefectural library 1969 Bestimme den Radius vom grünen Kreis wenn der Radius vom gelben Kreis bekannt ist.

7 Handwerkszeug Die Lösung von Berührungsproblemen erfordert eine geschickte Kombination der bekannten Sätze aus der Dreiecks- und Kreisgeometrie. Im Einzelnen werden benötigt: Satz des Pythagoras Höhensatz im rechtwinkligen Dreieck Ähnlichkeitssatz, Strahlensätze Satz vom gemeinsamen Tangentenabschnitt am Kreis Sehnensatz Sekanten-Tangentensatz Peripheriewinkelsatz Satz des Thales Satz des Apollonius Lösung algebraischer Gleichungen

8 Buchtipp zur Kreisgeometrie

9 Dynamische Geometrie die klassische Konstruktion mit Zirkel und Lineal wird mit Hilfe eines Computerprogramms ausgeführt, geometrische Objekte können beliebig gedehnt, gestaucht werden (Vorteil gegenüber der statischen Konstruktion auf dem Papier) Punkte können entlang von Linien, Kreisen geführt werden, Schnittpunkte von Objekten können verfolgt werden (Ortskurven) GeoGebra: Markus Hohmeier EUKLID: Roland Mechling Zirkel und Lineal: Rene Grothmann Cinderella, Cabri-Geometrie

10 Geo Gebra so kann Mathe richtig Spaß machen siehe WEB -Seiten von Frau Professor Dörte Haftendorn

11 Satz vom gemeinsamen Tangentenabschnitt Sei k ein Kreis mit Mittelpunkt in M und Radius r. Sei P ein Punkt außerhalb von k, d.h. MP > r. Von P werden die Tangenten an k gelegt. Die Berührungspunkte auf k seien Q1 und Q. Es gilt nun stets: PQ1 = PQ, d.h. die Länge der Tangentenabschnitte von einem äußeren Punkt an einen Kreis sind stets gleich lang.

12 Beweis zum Satz vom gemeinsamen Tangentenabschnitt Der Beweis folgt unmittelbar, wenn man sich die Verbindungslinie MP einzeichnet und die Dreiecke MQ1P und MQP betrachtet. Die Dreiecke MPQ1 und MPQ besitzen beide einen rechten Winkel und stimmen in zwei Seiten überein, d.h. sind kongruent und es ist Q1P=QP SSW-Satz (vierter Kongruenzsatz) Zwei Dreiecke, die in zwei Seitenlängen und in jenem Winkel übereinstimmen, der der längeren Seite gegenüberliegt, sind kongruent.

13 Satz vom Berührpunkt zwischen zwei Kreisen Der innere oder äußere Berührungspunkt zwischen zwei Kreisen liegt immer auf der Verbindungsgeraden ihrer Mittelpunkte

14 Sehnensatz im Kreis Gegeben sei der Kreis k mit Mittelpunkt in M und Radius r. Im inneren des Kreises befinde sich der Punkt P. Durch P laufen zwei Sehnen. Ihre Schnittpunkte auf k seien A, B, C, D. Es gilt nun stets: a * b = c * d

15 Satz des Apollonius In einem Dreieck teilt die Winkelhalbierende die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der anliegenden Seiten b m a n

16 Aufgabe 1 Einem Quadrat ABCD mit der Seitenlänge a ist ein Kreis einbeschrieben, der zwei Seiten des Quadrates und dessen Diagonale AC in je einem Punkt berührt. D C Bestimme den Radius vom Kreis. A B

17 Lösung zur Aufgabe 1 a r a r a 1 D C 0.5*sqrt()*a G M A E B

18 Aufgabe Gegeben sei das Quadrat ABCD mit der Seitenlänge a. Über der Seite CD liegt ein Halbkreis k1 innerhalb vom Quadrat. Weiterhin ist dem Quadrat ein Kreis k einbeschrieben, der die Seiten AB und BC sowie den Halbkreis über CD in je einem Punkt berührt. D k1 k M C Bestimme den Radius vom Kreis k. A B

19 Lösung zur Aufgabe k1 k a/ F a/-r a/ a r a r a r r a r a r a

20 Aufgabe 3 Gegeben sei das D C Quadrat ABCD mit der Seitenlänge a. Dem Quadrat sind die Kreisbögen AC und BD einbeschrieben. Über der Seite AB ist das Quadrat EFGH errichtet, das die Kreisbögen in den Punkten G, H berührt. Berechne den Radius der beiden eingezeichneten H G Kreise k1 und k A B F

21 Lösungsweg zur Aufgabe 3, Teil I Wie beginnen mit dem Radius u für Kreis k. Im Dreieck BKM erhalten wir mit dem Satz des Pythagoras: a a u a u a u 16 D H G C Für die Bestimmung von r im Kreis k1 benötigen wir die Seitenlänge b vom Quadrat EFGH. a a a b b b b 3 5 A F B

22 Lösungsweg zu Aufgabe 3, Teil II A B C D F G H Den Radius r im Kreis k1 können wir aus dem rechtwinkligen Dreieck BKL bestimmen: a r r a a a r a r a a r b r a

23 Drei Kreise im Rechteck und eine gemeinsame Tangente Gegeben sind a und b. Bestimme die Länge der Strecke PQ.

24 Konstruktionsskizze zur Aufgabe Drei Kreise im Rechteck

25 Lösungsskizze Drei Kreise im Rechteck R = b, r = b 4 k1: v + x = y + u AB: a = b + x + v + y + b 4 Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras: PTQ: b +v = (x + u + y) PKS und PFK: (v + y) + 9b 16 = b + (u + x) 16 Auflösung von allen Gleichungen im CAS ergibt: PQ = 1 8 1a 9b 16 a 4 a b + b

26 Lösung mit CAS GeoGebra 1 v + x = u + y a = (3 / 4 * b) + v + x + y 3 b^() + v^() = (u + x + y)^() 4 (9 / 16 * b^()) + (v + y)^() = (1 / 16 * b^()) + (u + x)^() 5 Löse({$1, $, $3, $4},{x, y, u, v}) 6 Element($5,) 7 x1:=rechteseite(element($6,1)) 8 y1:=rechteseite(element($6,)) 9 u1:=rechteseite(element($6,3)) 10 pq:=x1+y1+u1 11 (1 / 8 * ((1 * a) - (9 * b) - sqrt((16 * a^()) + b^() - ((4 * a) * b))))

27 Ein Sangaku für die Schule Sato Naosue, Schüler 13 Jahre alt, Akahagi Tempel in Ichinoseki, 1847 Zwei Kreise mit Radius r und zwei Kreise mit Radius t sind einem Quadrat einbeschrieben. Das Quadrat selbst ist einem großen Dreieck einbeschrieben. Ein Kreis mit Radius r und ein größerer Kreis mit Radius R ist den kleineren Dreiecken zwischen Quadrat und Dreieck eingeschrieben. Zeige dass R = t ist.

28 Lösungsvorschlag r + ( r t) = (r + t) r = 3 t a x = a a b x = x b a + b Der Inkreisradius ist die halbe Summe der anliegenden Seiten r = x 4 = x + a x x + (a x) x = 4 a 7 a b x = = 4 a 4 a b = a+b 7 3 R = b x + x + (b x) +x 7 R = 8 b r = a x + x a x + x 7 r = 6 b R = 4 3 t r = R = t r 3

29 Lösungsgedanken I Skizze anlegen (Zirkel und Lineal oder GeoGebra), es muss keine Konstruktion sein! Berührungspunkte markieren und bezeichnen Hilfstrecken einzeichnen und bezeichnen Wo sind die Mittelpunkte der Kreise bzw. Kreisbögen? Mittelpunkte (soweit sinnvoll) miteinander verbinden Wo finden sich rechtwinklige Dreiecke?

30 Lösungsgedanken II Wo liegen ähnliche Dreiecke und es lassen sich Verhältnisgleichungen aufstellen? Satz vom gemeinsamen Tagentenabschnitt anwenden Lassen sich Strecken als Differenz oder Summe von Kreisradien darstellen? Können der Sehnensatz oder Sekanten- Tangentensatz zur Anwendung kommen? es lohnt sich fast immer ein CAS zum Auflösen der Gleichungssysteme zu nutzen (Maxima, Mathematica, Maple V)

31 Ein schwieriges Sangaku Ein Theorem über sich berührende Kreise (kissing circles), Atsuta Shrein, Nagoya 1844 a (dunkelgrün,) b (hellgrün), c (dunkelblau), d (orange) 1 a + 1 c = 1 b + 1 d

32 Bestimme die Radien aller eingezeichneten Kreise!

33 Sangakuseite von Géry Huvent

34 Auswahl Sangaku Probleme 1 Bestimme d = GH und den Radius r von k, k3 wenn a = 4 und R = 5 gegeben sind. Gegeben sind a und b. Beweise: dass s = t ist.

35 Auswahl Sangku Probleme Bestimme die Radien aller Kreise in Abhängigkeit vom Kreissektorradius r. Bestimme die Seitenlänge a vom gleichseitigen Dreieck ABC wenn die gemeinsame Tangente t von k1 und k durch den Punkt C läuft

36 Auswahl Sangaku Probleme 3 Berechne die Seitenlängen a, b vom Rechteck, wenn die Radien wie folgt gegeben sind: r1 = 1 cm, r = cm, r3 = 3 cm Bestimme die Radien der Kreise A,B,C für u = 6 und v = 3. Zeige dass eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal grundsätzlich möglich ist.

37 Auswahl Sangaku Probleme 4 Berechne den Radius r von k1 in Abhängigkeit von u, v und h. Gegeben sind Halbmesser a, b der beiden Ellipsen e1 und e. Zeige dass die Seitenlänge d der grünen Quadrate dem kleinen Halbmesser b entsprechen.

38 Literatur

39 Japanischen Tempelgeometrie im WEB Wer an den Sangaku Problemen Gefallen gefunden hat, findet im Internet zahlreiche Aufgaben und Artikel. Bei einer Suche unter Google nach sangaku problems, japanese temple geometry oder wasan fand ich die folgenden Seiten: Wasan Aufgabensammlung Sangku Tafeln und WEB Seite von Gery Huvent Sangaku Skript von Rosali Hosking Hirotaka's Ebisui Files Ramon Nolla Script Examensarbeit zur Tempelgeometrie Jean Constand, Matt Schulze Rund um den Arbelos / Floors wiskunde pagina Imaginary Projekt des math. Institutes Oberwolfach Filme des Imaginary Projekts