Übungen zur Algorithmischen Mathematik Blatt 5

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1 Dr. Kai-Friederike Oelbermann Wintersemester 015/16 Dipl.-Math. Alina Bondarava OVGU Magdeburg Übungen zur Algorithmischen Mathematik Blatt 5 1. (F5 PunkteF) Rationale Zahlen könnte man natürlich als Gleitkommazahlen implementieren, handelt sich aber damit die bereits ausführlich thematisierte Rundungsfehlerproblematik ein. Wir beschränken uns auf positive rationale Zahlen a b, a, b N: Solange wir nicht mit der Überlaufproblematik konfrontiert werden, können wir diese als Zahlenpaar (a, b) mit Integervariablen a und b exakt abspeichern. Sie sollen nun einige C-Programme zur Bruchrechnung entwickeln. (a) Kürzen: Schreiben Sie ein Programm, das den Bruch a b, a, b N, in gekürzter Darstellung ausgibt. Hinweis: Sie können das ggt-programm von Blatt 4 verwenden. (b) Addieren: Schreiben Sie ein Programm, das die Brüche a b und c d, a, b, c, d N, addiert. Dabei soll immer erst gekürzt werden; die Addition soll mit Hilfe des Hauptnenners erfolgen, und auch das Ergebnis soll in gekürzter Darstellung ausgegeben werden. Das Programm soll alle Rechenschritte ausgeben. Hinweis: Zur Hauptnennerbestimmung benötigen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache kgv(a, b) zweier natürlicher Zahlen a und b. Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass kgv(a, b) = ab ggt(a,b). (c) Modifizieren Sie das vorhergehende Programm dahingehend, dass nur diejenigen Rechenschritte ausgegeben werden, die sich vom jeweils vorhergehenden unterscheiden.. Studieren Sie die Programmierung des Zeitmessung von bestimmten Programmteilen anhand des vorgegebenen Programms Zeitmessung.c und experimentieren Sie etwas mit der Häufigkeit, wie oft ein Programmstück wiederholt durchlaufen werden sollte, um zu einer stabilen Zeitangabe für das einzelne Stück zu kommen. 3. Die Fibonaccizahlen sind definiert durch die beiden Anfangswerte a 0 := 1 und a 1 := 1, sowie die Rekursionsvorschrift a k := a k 1 + a k 8k. Schreiben Sie ein Programm, dass einen Index k N 0 einliest und zwei Funktionen aufruft, die jeweils die Fibonacci-Zahl a k berechnen über die Funktionsaufrufe fm=fibonacci_mit_rekursion (k ) ; fo=fibonacci_ohne_rekursion (k ) ; Dabei soll die Funktion fibonacci_mit_rekursion mit Hilfe von Rekursion programmiert werden (d.h. sie soll sich selbst wieder aufrufen), während bei der Funktion fibonacci_ohne_- Rekursion die Rekursion vermieden werden soll. 4. (F5 PunkteF) Beweisen Sie Folgerung.8 (Nummerierung Vorlesung) bzw..1.8 (Nummerierung Skript). 1

2 Musterlösungen 1. (a) 1 #i n c l u d e <stdio.h> 3 4 long ggt( long ZahlA, long ZahlB) / gibt ggt zurueck / 5 { 6 long A=0,AV,AVV; 7 8 AV=ZahlB ; 9 AVV=ZahlA ; do 1 { 13 A= AVV % AV; 14 AVV=AV; AV=A ; A=0; 15 } 16 while(av! = 0 ) ; return(avv) ; 1 } 3 4 int main(void) 5 { 6 7 long zaehler=1,nenner=1,zaehlerkuerz=1,nennerkuerz=1,gegete=1; 8 9 printf("bruchrechnung fuer positive rationale Zahlen.\nTeil1: Gekuerzte \ 30 Bruchdarstellung.\n Geben Sie bitte den Zaehler Ihres Bruches ein : "); 31 3 scanf("%li ",&zaehler ); if(zaehler<=0) 35 { 36 printf("unzulaessige Eingabe. Abbruch!\n"); 37 return (1); 38 } printf("geben Sie bitte den Nenner Ihres Bruches ein : "); 41 4 scanf("%li ",&nenner ); if(nenner<=0) 45 { 46 printf("unzulaessige Eingabe. Abbruch!\n"); 47 return (1); 48 } gegete=ggt(zaehler, nenner ); 51 zaehlerkuerz=zaehler/gegete ; 5 nennerkuerz=nenner/gegete ; printf("die reduzierte Bruchdarstellung von %li / % li lautet : %li / % li.\n\n", 55 zaehler,nenner, zaehlerkuerz, nennerkuerz ); return (0); 59 }

3 (b) 1 #i n c l u d e <stdio.h> 3 long ggt( long ZahlA, long ZahlB) / gibt ggt zurueck / 4 { 5 long A=0,AV,AVV; 6 7 AV=ZahlB ; 8 AVV=ZahlA ; 9 10 do 11 { 1 A= AVV % AV; 13 AVV=AV; AV=A ; A=0; 14 } 15 while(av! = 0 ) ; / ggt von ZahlA, ZahlB : AVV / 18 / Darstellung : ggt= RVV ZahlA + SVV ZahlB / 19 0 return(avv) ; 1 } 3 int main(void) 4 { 5 6 long zaehler1=1,nenner1=1,zaehler1kuerz=1,nenner1kuerz=1,zaehler=1,nenner=1,zaehle 7 nennerkuerz=1,gegete=1,nennersumme=1,zaehlersumme=1; 8 9 printf("bruchrechnung fuer positive rationale Zahlen.\nTeil : Addition.\n\ 30 Geben Sie bitte den Zaehler Ihres ersten Bruches ein : " ) ; 31 3 scanf("%li ",&zaehler1 ); if(zaehler1<=0) 35 { 36 printf("unzulaessige Eingabe. Abbruch!\n"); 37 return (1); 38 } printf("geben Sie bitte den Nenner Ihres ersten Bruches ein : "); 41 4 scanf("%li ",&nenner1 ); if(nenner1<=0) 45 { 46 printf("unzulaessige Eingabe. Abbruch!\n"); 47 return (1); 48 } printf("geben Sie bitte den Zaehler Ihres zweiten Bruches ein : "); 51 5 scanf("%li ",&zaehler ); if(zaehler<=0) 55 { 56 printf("unzulaessige Eingabe. Abbruch!\n"); 57 return (1); 58 } printf("geben Sie bitte den Nenner Ihres zweiten Bruches ein : "); 61 6 scanf("%li ",&nenner ); if(nenner<=0) 65 { 3

4 66 printf("unzulaessige Eingabe. Abbruch!\n"); 67 return (1); 68 } / Reduziere ersten Bruch / 71 7 gegete=ggt(zaehler1, nenner1 ); 73 zaehler1kuerz=zaehler1/gegete ; 74 nenner1kuerz=nenner1/gegete ; / Reduziere zweiten Bruch / gegete=ggt(zaehler, nenner ); 79 zaehlerkuerz=zaehler/gegete ; 80 nennerkuerz=nenner/gegete ; 81 8 / Hauptnenner / nennersumme=nenner1kuerz nennerkuerz/ggt(nenner1kuerz, nennerkuerz ); zaehlersumme=(zaehler1kuerz nennersumme/nenner1kuerz)+( zaehlerkuerz \ 87 nennersumme/nennerkuerz ) ; / Zum Kuerzen d e s E r g e b n i s b r u c h e s / gegete=ggt(zaehlersumme,nennersumme); 9 93 printf("ergebnis:\n %li / %li + %li / %li = %li / %li + %li / %li = % li / \ 94 %li = %li / %li.\n\n", zaehler1, nenner1, zaehler, nenner, zaehler1kuerz, nenner1kuerz,\ 95 zaehlerkuerz, nennerkuerz,zaehlersumme,nennersumme,( zaehlersumme/gegete ),\ 96 (nennersumme/gegete )); return (0); 99 } (c) 1 #i n c l u d e <stdio.h> 3 long ggt( long ZahlA, long ZahlB) / gibt ggt zurueck / 4 { 5 long A=0,AV,AVV; AV=ZahlB ; 10 AVV=ZahlA ; 11 1 do 13 { 14 A= AVV % AV; 15 AVV=AV; AV=A ; A=0; 16 } 17 while(av! = 0 ) ; / ggt von ZahlA, ZahlB : AVV / 0 1 return(avv) ; 3 } 4 5 int main(void) 6 { 7 8 long zaehler1=1,nenner1=1,zaehler1kuerz=1,nenner1kuerz=1,zaehler=1,\ 9 nenner=1,zaehlerkuerz=1,nennerkuerz=1,gegete=1,nennersumme=1,zaehlersumme=1; short ausgeber1=0, ausgeber=0; 4

5 3 33 printf("bruchrechnung fuer positive rationale Zahlen.\nTeil : Addition.\n\ 34 Geben Sie bitte den Zaehler Ihres ersten Bruches ein : " ) ; scanf("%li ",&zaehler1 ); if(zaehler1<=0) 39 { 40 printf("unzulaessige Eingabe. Abbruch!\n"); 41 return (1); 4 } printf("geben Sie bitte den Nenner Ihres ersten Bruches ein : "); scanf("%li ",&nenner1 ); if(nenner1<=0) 49 { 50 printf("unzulaessige Eingabe. Abbruch!\n"); 51 return (1); 5 } printf("geben Sie bitte den Zaehler Ihres zweiten Bruches ein : "); scanf("%li ",&zaehler ); if(zaehler<=0) 60 { 61 printf("unzulaessige Eingabe. Abbruch!\n"); 6 return (1); 63 } printf("geben Sie bitte den Nenner Ihres zweiten Bruches ein : "); scanf("%li ",&nenner ); if(nenner<=0) 70 { 71 printf("unzulaessige Eingabe. Abbruch!\n"); 7 return (1); 73 } / Reduziere ersten Bruch / gegete=ggt(zaehler1, nenner1 ); 78 if(gegete!=1) ausgeber1=1; 79 zaehler1kuerz=zaehler1/gegete ; 80 nenner1kuerz=nenner1/gegete ; 81 8 / Reduziere zweiten Bruch / gegete=ggt(zaehler, nenner ); 85 if(gegete!=1) ausgeber1=1; 86 zaehlerkuerz=zaehler/gegete ; 87 nennerkuerz=nenner/gegete ; / Hauptnenner / nennersumme=nenner1kuerz nennerkuerz/ggt(nenner1kuerz, nennerkuerz ); 9 93 zaehlersumme=(zaehler1kuerz nennersumme/nenner1kuerz)+( zaehlerkuerz \ 94 nennersumme/nennerkuerz ) ; / Zum Kuerzen d e s E r g e b n i s b r u c h e s / 5

6 97 98 gegete=ggt(zaehlersumme,nennersumme); 99 if(gegete!=1) ausgeber=1; 100 printf("ergebnis:\n %li / %li + %li / %li = ", 101 zaehler1,nenner1, zaehler, nenner ); if(ausgeber1==1) 104 printf(" %li / %li + %li / %li = ", 105 zaehler1kuerz, nenner1kuerz, zaehlerkuerz, nennerkuerz ); printf(" %li / %li",zaehlersumme,nennersumme); if(ausgeber==1) 110 printf(" = %li / %li",(zaehlersumme/gegete),(nennersumme/gegete )); printf(".\n\n"); return (0); 115 } 3. (a) 1 #i n c l u d e <stdio.h> 3 unsigned long fibonacci(short zahl) 4 { 5 if(zahl==0) return (1); 6 if(zahl==1) return (1); 7 return(fibonacci(zahl 1)+ f i b o n a c c i ( zahl )); 8 } 9 10 int main(void) 11 { 1 13 short laufindex=0, schranke=; printf("bis zu welchem Index wollen Sie die Fibonaccizahlen ausgeben lassen? "); scanf("%hi",&schranke ); printf("die ersten %i Fibonaccizahlen lauten : \n",(schranke+1)); 0 1 while(laufindex<schranke) { 3 printf("%lu, ",fibonacci(laufindex )); 4 5 if(laufindex%10==0 &&laufindex>0 ) printf("\n"); 6 7 laufindex++; 8 } 9 30 if(schranke>=0) 31 { 3 printf("%lu.\n\n",fibonacci(laufindex )); 33 } return (0); 36 } (b) 1 #i n c l u d e <stdio.h> 3 int main(void) 4 { 5 long unsigned fibo=1, fibovor=1,zwischenspeicher=1; 6 short laufindex=0, schranke=; 7 8 printf("bis zu welchem Index wollen Sie die Fibonaccizahlen ausgeben lassen? "); 6

7 9 10 scanf("%hi",&schranke ); 11 1 / 13 if(schranke>=93) 14 { 15 printf("das kann der Computer nicht! Abbruch!\n"); 16 return (1); 17 } 18 / 19 0 printf("die ersten %i Fibonaccizahlen lauten : \n",(schranke+1)); 1 while(laufindex<=schranke) 3 { 4 if(laufindex==0) printf("1"); 5 if(laufindex==1 ) printf(", "); 6 if(laufindex>=) 7 { 8 printf("%lu, ",fibo ); 9 zwischenspeicher=fibo+fibovor ; 30 fibovor=fibo ; 31 fibo=zwischenspeicher ; 3 33 if(laufindex%10==0) printf("\n"); } 36 laufindex++; 37 } if(schranke>0)printf("%lu",fibo ); 40 printf(".\n\n "); 41 return (0); 4 } 4. Wir beweisen Folgerung.1.8 aus der Vorlesung: Seien a, b Z\{0}. Dann gelten (a) ggt(a, b) = ggt( a, b ) (b) Wenn ggt(a, b) =1, so gilt i. aus a bc folgt a c, ii. aus a c und b c folgt ab c. zu (a): Da x = ±x sind alle Teiler von x auch Teiler von x. Da der größte gemeinsame Teiler nach Defintion positiv ist, folgt die Behauptung. zu (b): Aus ggt(a, b) =1und Satz.1.6 folgt die Existenz zweier Zahlen r, s Z mit Nun zu i: Wir multiplizieren zunächst ( ) mit einer Zahl c Z 1 = ggt(a, b) =ra + sb. (*) 1 = ggt(a, b) =ra + sb. c c = cra + csb. Da a a gilt auch a cra, unddaa bc gilt auch a csb. Zusammen gilt a cra + csb = c Zu ii. Wegen a c und b c exitieren n, m Z mit n = c/a und m = c/b. Anagog zu oben schreiben wir für c Z c = cra + csb. 7

8 Damit gilt c = cra + csb = a cr + csb cr = ab a b + cs = ab(mr + ns). a Folglich gilt ab c. 8