Schadenversicherungsmathematik
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- Hertha Geisler
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1 Schadenversicherungsmathematik Teil 3: Schadenreservierung Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Mathematisches Institut LudwigMaximiliansUniversität München Wintersemester 2015/16 Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 1
2 Teil 3: Schadenreservierung 3.1 Problemstellung Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 2
3 3.1 Problemstellung Jeder Schaden hat eine Geschichte Verursachung des Schadens Eintritt des Schadens Manifestierung des Schadens Meldung des Schadens Prüfung Quantizierung Regulierung = Entschädigung des Geschädigten In vielen Fällen wird die komplette Prozesskette recht schnell durchlaufen (z.b. Sturmschaden, Bagatellschaden in KH). Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 3
4 3.1 Problemstellung Jeder Schaden hat eine Geschichte Bei groÿen (Kraftfahrt-)Haftpichtschäden können manche Schritte aber sehr lange dauern: Zeit bis Manifestierung, z.b. I Fehler vom Statiker (Bauwerk) I Notar (Testament) I Hersteller (Produkthaftpicht) I Umweltschäden Prüfung/Quantizierung wegen Gerichtsprozess, z.b. I D&O-Versicherung I Fälle wie das Stadtarchiv Köln Regulierung I bei schweren Personenschäden in KH/AH oft lebenslange Zahlungen für Verdienstausfall und Pegekosten Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 4
5 3.1 Problemstellung Arten von Reserven Bemerkung: Am Ende jedes Geschäftsjahres gibt es folgende Arten von Schadenreserven Individuelle Einzelfallreserven (case reserves) für Schäden, die dem Versicherungunternehmen bekannt sind Reserven für die potentielle Schlechterabwicklung von bekannten Schäden (IBNER: incurred but not enough reserved) Reserven für Schäden, die dem VU noch nicht bekannt sind (IBNYR: incurred but not yet reported) Die Summe aus IBNER- und IBNYR-Reserve wird als IBNR-Reserve bezeichnet. Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 5
6 3.1 Problemstellung Bedeutung der Reserven Bemerkung: Reserven spielen für Versicherungsunternehmen eine wichtige Rolle: Reserven sind nötig, damit ein Versicherungsunternehmen seine zukünftigen Verpichtungen erfüllen kann. Reserven werden für die Bilanz und die Solvenzberechnung benötigt. Reserven werden für die interne Berichterstattung, Erfolgsmessung und die Prämienkalkulation gebraucht. Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 6
7 3.1 Problemstellung Abwicklungsquadrat Wir betrachten n Anfalljahre i = 1; : : : ; n und gehen davon aus, dass alle Schäden nach n Abwicklungsjahren vollständig abgewickelt sind. Dann lässt sich die Schadenabwicklung durch ein Abwicklungsquadrat darstellen: Abwicklungsjahr 1 k n Anfalljahr 1 S 11 S 1k S 1n : : : : i S i1 S ik S in : : : : n S n1 S nk S nn Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 7
8 3.1 Problemstellung Abwicklungsquadrat Hierbei ist S ik der Gesamtbetrag der in Abwicklungsjahr k geleisteten Zahlungen für in Anfalljahr i eingetretene Schäden. Die Summe i + k 1 beschreibt das Kalenderjahr, in dem die Zahlung S ik erfolgt. Informationsstand nach dem Kalenderjahr n: S ik bekannt für i + k 1 n, d.h. für das obere Dreieck S ik unbekannt für i + k 1 > n, d.h. diese Zahlungen müssen prognostiziert werden Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 8
9 3.1 Problemstellung Abwicklungsdreieck Die bekannte Schadenabwicklung wird daher üblicherweise in einem Abwicklungsdreieck dargestellt: Abwicklungsjahr 1 n i + 1 n Anfalljahr 1 S 11 S 1;n i+1 S 1n : : i S i1 S i ;n i+1 : : : : : : : : : n S n1 Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 9
10 3.1 Problemstellung Problemstellung Ziel: Prognose der S ik mit i + k Quadrat. 1 > n, d.h. Vervollständigen des Dreiecks zu einem Notation: Wir verwenden folgende Bezeichnungen C ik := S i1 + + S ik kumulierte Zahlungen, Stand nach k Abwicklungsjahren C in := S i1 + + S in kumulierte Zahlungen, ausreguliert (Ultimate) R i := C in C i ;n i+1 Reserve des Anfalljahres i = S i ;n i S i ;n Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 10
11 3.1 Problemstellung Datenarten Bemerkung: Neben den inkrementellen Zahlungen S ik werden auch Abwicklungsdreiecke mit folgenden Daten betrachtet Kumulierte Zahlungen C ik Angefallene Schäden (auch: Schadenaufwand), d.h. kumulierte Zahlungen + Einzelfallreserven, ebenfalls mit C ik bezeichnet. S i ;k = C i ;k C i ;k 1 ist dann die Veränderung des Schadenaufwandes im k-ten Abwicklungsjahr. Die Dierenz R i = C in C i ;n i+1 ist dann die IBNR-Reserve des Anfalljahres i. Schadenzahl (gemeldete, oene, regulierte) und Schadendurchschnitt (Schadenhöhe, Regulierungshöhe, Einzelfallreserve). Ebenfalls mit S ik im inkrementellen und mit C ik im kumulierten Fall bezeichnet. Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 11
12 3.1 Problemstellung Aufbereitung der Daten Bemerkung: Wichtig ist die Bildung möglichst homogener Kollektive = Dreiecke (wie bei Tarifkalkulation), die vorherige Elimination der monetären Ination, die Verwendung eines guten Volumenmaÿes v i : (Soll-)Prämie, Policenzahl, Jahreseinheiten, Anzahl Schäden im 1. Abwicklungsjahr, die vorherige Elimination/Kappung von Groÿschäden. Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 12
13 Teil 3: Schadenreservierung 3.2 Abwicklungsmuster und Loss Development- Verfahren Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 13
14 3.2 Abwicklungsmuster und Loss Development-Verfahren Loss Development-Verfahren Beispiel Loss Development-Verfahren für ein konkretes Schadendreieck. Das verwendete Abwicklungsmuster = (45%; 65%; 80%; 90%; 95%; 100%) wird als gegeben vorausgesetzt (aus externen Daten geschätzt). i Ĉ i1 Ĉ i2 Ĉ i3 Ĉ i4 Ĉ i5 Ĉ i k 45% 65% 80% 90% 95% 100% Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 14
15 3.2 Abwicklungsmuster und Loss Development-Verfahren Loss Development-Verfahren Beispiel i Ĉ i1 Ĉ i2 Ĉ i3 Ĉ i4 Ĉ i5 Ĉ i =45 k 45% 65% 80% 90% 95% 100% Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 15
16 3.2 Abwicklungsmuster und Loss Development-Verfahren Loss Development-Verfahren Beispiel i Ĉ i1 Ĉ i2 Ĉ i3 Ĉ i4 Ĉ i5 Ĉ i =65 k 45% 65% 80% 90% 95% 100% Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 16
17 3.2 Abwicklungsmuster und Loss Development-Verfahren Loss Development-Verfahren Beispiel i Ĉ i1 Ĉ i2 Ĉ i3 Ĉ i4 Ĉ i5 Ĉ i =95 k 45% 65% 80% 90% 95% 100% Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 17
18 Teil 3: Schadenreservierung 3.5 Zuwachsquoten-Verfahren (Additives Verfahren) Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 18
19 3.5 Zuwachsquoten-Verfahren (Additives Verfahren) Additives Verfahren Beispiel Wir wenden das additive Verfahren auf die Daten von Folie 14 an. Hierbei muss man die inkrementellen Gröÿen S ik verwenden. Das extern geschätzte Abwicklungsmuster wird nicht benötigt, dafür brauchen wir Volumenmaÿe v i. i v i Ŝ i1 Ŝ i2 Ŝ i3 Ŝ i4 Ŝ i5 Ŝ i6 Ĉ i Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 19
20 3.5 Zuwachsquoten-Verfahren (Additives Verfahren) Additives Verfahren Beispiel i v i Ŝ i1 Ŝ i2 Ŝ i3 Ŝ i4 Ŝ i5 Ŝ i6 Ĉ i m k 29,7% Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 20
21 3.5 Zuwachsquoten-Verfahren (Additives Verfahren) Additives Verfahren Beispiel i v i Ŝ i1 Ŝ i2 Ŝ i3 Ŝ i4 Ŝ i5 Ŝ i6 Ĉ i m k 29,7% 17,8% Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 21
22 3.5 Zuwachsquoten-Verfahren (Additives Verfahren) Additives Verfahren Beispiel i v i Ŝ i1 Ŝ i2 Ŝ i3 Ŝ i4 Ŝ i5 Ŝ i6 Ĉ i m k 29,7% 17,8% 20,1% 11,5% 5,8% 4,9% Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 22
23 3.5 Zuwachsquoten-Verfahren (Additives Verfahren) Additives Verfahren Beispiel i v i Ŝ i1 Ŝ i2 Ŝ i3 Ŝ i4 Ŝ i5 Ŝ i6 Ĉ i m k 29,7% 17,8% 20,1% 11,5% 5,8% 4,9% Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 23
24 3.5 Zuwachsquoten-Verfahren (Additives Verfahren) Additives Verfahren Beispiel i v i Ŝ i1 Ŝ i2 Ŝ i3 Ŝ i4 Ŝ i5 Ŝ i6 Ĉ i m k 29,7% 17,8% 20,1% 11,5% 5,8% 4,9% Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 24
25 3.5 Zuwachsquoten-Verfahren (Additives Verfahren) Additives Verfahren Beispiel i v i Ĉ i1 Ĉ i2 Ĉ i3 Ĉ i4 Ĉ i5 Ĉ i6 ŝ: e:( R i ) m k 29,7% 17,8% 20,1% 11,5% 5,8% 4,9% ŝ 2 k 165,9 27,4 76,7 36,6 28,1 21,6 Standardfehler der Gesamtreserve R = 6 i=2 R i : ŝ: e:( R) = 4:512. Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 25
26 Teil 3: Schadenreservierung 3.6 Chain Ladder-Verfahren Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 26
27 3.6 Chain Ladder-Verfahren Chain Ladder-Verfahren Beispiel Wir wenden nun das Chain Ladder-Verfahren auf die Daten von Folie 14 an. Hier werden weder das extern geschätzte Abwicklungsmuster noch Volumenmaÿe benötigt. i Ĉ i1 Ĉ i2 Ĉ i3 Ĉ i4 Ĉ i5 Ĉ i Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 27
28 3.6 Chain Ladder-Verfahren Chain Ladder-Verfahren Beispiel i Ĉ i1 Ĉ i2 Ĉ i3 Ĉ i4 Ĉ i5 Ĉ i fk 1,588 Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 28
29 3.6 Chain Ladder-Verfahren Chain Ladder-Verfahren Beispiel i Ĉ i1 Ĉ i2 Ĉ i3 Ĉ i4 Ĉ i5 Ĉ i fk 1,588 1,488 Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 29
30 3.6 Chain Ladder-Verfahren Chain Ladder-Verfahren Beispiel i Ĉ i1 Ĉ i2 Ĉ i3 Ĉ i4 Ĉ i5 Ĉ i fk 1,588 1,488 1,182 1,074 1,047 Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 30
31 3.6 Chain Ladder-Verfahren Chain Ladder-Verfahren Beispiel i Ĉ i1 Ĉ i2 Ĉ i3 Ĉ i4 Ĉ i5 Ĉ i ,588 fk 1,588 1,488 1,182 1,074 1,047 Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 31
32 3.6 Chain Ladder-Verfahren Chain Ladder-Verfahren Beispiel i Ĉ i1 Ĉ i2 Ĉ i3 Ĉ i4 Ĉ i5 Ĉ i ,488 fk 1,588 1,488 1,182 1,074 1,047 Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 32
33 3.6 Chain Ladder-Verfahren Chain Ladder-Verfahren Beispiel i Ĉ i1 Ĉ i2 Ĉ i3 Ĉ i4 Ĉ i5 Ĉ i fk 1,588 1,488 1,182 1,074 1,047 1,047 Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 33
34 3.6 Chain Ladder-Verfahren Chain Ladder-Verfahren Beispiel i Ĉ i1 Ĉ i2 Ĉ i3 Ĉ i4 Ĉ i5 Ĉ i6 ŝ: e:(c in ) fk 1,588 1,488 1,182 1,074 1,047 2 k 167,7 82,3 49,4 14,3 4,1 Standardfehler der Gesamtreserve R = 6 i=2 R i : ŝ: e:( R) = 4:639. Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 34
35 Teil 3: Schadenreservierung 3.7 Bornhuetter-Ferguson-Verfahren Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 35
36 3.7 Bornhuetter-Ferguson-Verfahren Bornhuetter-Ferguson-Verfahren Beispiel Wir wenden nun das Bornhuetter-Ferguson-Verfahren auf die Daten von Folie 14 an. Hierbei verwenden wir das gleiche Abwicklungsmuster. Zusätzlich werden noch a-priori Endschadenstände i benötigt. i Ĉ i1 Ĉ i2 Ĉ i3 Ĉ i4 Ĉ i5 Ĉ i6 i k 45% 65% 80% 90% 95% 100% Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 36
37 3.7 Bornhuetter-Ferguson-Verfahren Bornhuetter-Ferguson-Verfahren Beispiel i Ŝ i1 Ŝ i2 Ŝ i3 Ŝ i4 Ŝ i5 Ŝ i6 i % 20% 15% 10% 5% 5% k k 1 Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 37
38 3.7 Bornhuetter-Ferguson-Verfahren Bornhuetter-Ferguson-Verfahren Beispiel i Ŝ i1 Ŝ i2 Ŝ i3 Ŝ i4 Ŝ i5 Ŝ i6 i % 20% 15% 10% 5% 5% k k 1 Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 38
39 3.7 Bornhuetter-Ferguson-Verfahren Bornhuetter-Ferguson-Verfahren Beispiel i Ĉ i1 Ĉ i2 Ĉ i3 Ĉ i4 Ĉ i5 Ĉ i6 i k 45% 65% 80% 90% 95% 100% Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 39
40 Teil 3: Schadenreservierung 3.8 Cape Cod-Verfahren Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 40
41 3.8 Cape Cod-Verfahren Cape Cod-Verfahren Beispiel Für die Daten von Folie 14 betrachten wir das Cape Cod-Verfahren unter Verwendung des Chain Ladder-Abwicklungsmusters. i v i Ĉ i1 Ĉ i2 Ĉ i3 Ĉ i4 Ĉ i5 Ĉ i CL k 32% 51% 75% 89% 95% 100% Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 41
42 3.8 Cape Cod-Verfahren Cape Cod-Verfahren Beispiel i v i Ĉ i1 Ĉ i2 Ĉ i3 Ĉ i4 Ĉ i5 Ĉ i6 7 CL i v i = 90,3% CL k 32% 51% 75% 89% 95% 100% Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 42
43 3.8 Cape Cod-Verfahren Cape Cod-Verfahren Beispiel i v i Ŝ i1 Ŝ i2 Ŝ i3 Ŝ i4 Ŝ i5 Ŝ i6 v i CL k CL k 1 32% 19% 25% 14% 7% 5% Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 43
44 3.8 Cape Cod-Verfahren Cape Cod-Verfahren Beispiel i v i Ŝ i1 Ŝ i2 Ŝ i3 Ŝ i4 Ŝ i5 Ŝ i6 v i CL k CL k 1 32% 19% 25% 14% 7% 5% Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 44
45 3.8 Cape Cod-Verfahren Cape Cod-Verfahren Beispiel i v i Ĉ i1 Ĉ i2 Ĉ i3 Ĉ i4 Ĉ i5 Ĉ i6 v i CL k 32% 51% 75% 89% 95% 100% Dr. Ulrich Riegel, Swiss Re Europe S.A. Schadenversicherungsmathematik 45
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