Multivariate Modelle in der Praxis
|
|
|
- Hertha Huber
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 DRESDNER FORUM ZUR VERSICHERUNGSMATHEMATIK Multivariate Modelle in der Praxis 23. Juni 2006 Technische Universität Dresden Anja Schnaus A Berkshire Hathaway Company
2 Inhalt Multivariates Chain-Ladder für 2 und 3 K-Quoten Multivariates Chain-Ladder in einem NP Portefeuille Beobachtungen Multivariates additives Verfahren 2
3 Geeignete Portefeuilles Quoten für Kraftfahrthaftpflichtgeschäft Einzel- vs. Segmentanalyse Technische Voraussetzungen (Excel-Vorlage) mindestens 14 Jahre noch im Bestand Paare von Quoten 3
4 Paarweise Analyse Excel-Vorlage für multivariates Chain-Ladder für 2 Portefeuilles Suche geeignete Paare von K-Quoten erste Auswahl = Volltreffer Erfolg: 3. Dezimalstelle des ersten Faktors ändert sich meist nur geringer Effekt auf die Abwicklungsfaktoren, d.h. 4. Dezimalstelle des ersten Abwicklungsfaktors 4
5 2 Versicherungsvereine (1) Erster Abwicklungsfaktor B multi B uni (A+B) uni A multi A uni 1,2500 1,2600 1,2700 1,2800 1,2900 1,3000 1,3100 1,3200 5
6 2 Versicherungsvereine (2) Abwicklungsquoten 105% 100% 95% 90% 85% 80% A uni A multi (A+B) uni B uni B multi 75% 70% 65% Abwicklungsjahr 6
7 2 Versicherungsvereine (3) Reserven in % der Prämie 30,0% 25,0% 20,0% 15,0% 10,0% A uni A multi B uni B multi 5,0% 0,0% Anfalljahr 7
8 2 Versicherungsvereine (4) Gesamtreserve in % der Prämie 4,70% 4,60% 4,50% 4,40% 4,30% 4,20% A uni A multi B uni B multi 4,10% 4,00% A uni A multi B uni B multi 8
9 Gute Paare 2 regionale Versicherer 2 Versicherer aus derselben Stadt 2x 2 mittelgroße VU 9
10 Analyse von 3 Portefeuilles Erweiterung der Excel-Vorlage Δ = i, k diag( Si, k ) F i,k CL F k Σ i,k 10
11 2 Versicherungsvereine und ein regionales VU (1) Erster Abwicklungsfaktor C multi C uni B multi B uni A multi A uni 1,2500 1,2600 1,2700 1,2800 1,2900 1,3000 1,3100 1,3200 Corr A B 63,4% Corr A C 60,6% Corr B C 21,3% 11
12 2 Versicherungsvereine und ein regionales VU (2) Abwicklungsquoten 105% 100% 95% 90% 85% 80% A uni A multi B uni B multi C uni C multi 75% 70% 65%
13 2 Versicherungsvereine und ein regionales VU (3) Reserven in % der Prämie 30,0% 25,0% 20,0% 15,0% 10,0% A uni A multi B uni B multi C uni C multi 5,0% 0,0% Anfalljahr 13
14 2 Versicherungsvereine und ein regionales VU (4) Gesamtreserve in % der Prämie 5,00% 4,50% 4,00% 3,50% 3,00% 2,50% 2,00% 1,50% 1,00% A uni A multi B uni B multi C uni C multi 0,50% 0,00% A uni A multi B uni B multi C uni C multi 14
15 Inhalt Multivariates Chain-Ladder für 2 und 3 K-Quoten Multivariates Chain-Ladder in einem NP Portefeuille Beobachtungen Multivariates additives Verfahren 15
16 NP Portefeuille (1) Arzt- und Krankenhaushaftpflicht separat Datenbereinigung eine negative Reserve auf 0 gesetzt (Wurzel) mehrere individuelle Abwicklungsfaktoren des Schadenaufwandes in der ersten und zweiten Spalte des Arzthaftpflichtdreieckes von 0/0 bzw. von A/0 auf 1 gesetzt 16
17 NP Portefeuille (2) Erster Abwicklungsfaktor B multi B uni A+B uni A multi? A uni 0,0000 0,5000 1,0000 1,5000 2,0000 2,5000 Corr -0,42 17
18 NP Portefeuille (3) Zweiter Abwicklungsfaktor B multi B uni A+B uni A multi A uni 0,0000 0,5000 1,0000 1,5000 2,0000 2,5000 3,0000 3,5000 Corr. 0,13 18
19 NP Portefeuille (4) Abwicklungsquoten 120% 100% 80% 60% 40% A uni A multi A+B uni B uni B multi 20% 0% Abwicklungsjahr 19
20 NP Portefeuille (5) Gesamtreserve in % der Prämie 300,00% 250,00% 200,00% 150,00% 100,00% A uni A multi B uni B multi 50,00% 0,00% A uni A multi B uni B multi 20
21 NP Portefeuille (6) Gesamtreserve B A uni multi (A+B) uni 21
22 Inhalt Multivariates Chain-Ladder für 2 und 3 K-Quoten Multivariates Chain-Ladder in einem NP Portefeuille Beobachtungen Multivariates additives Verfahren 22
23 Technische Schwierigkeiten K-Portefeuille 30jährige Historie mit ca. 80 Einzelverträgen unterschiedliche Laufzeiten unterschiedlicher Anteil pro Vertrag, pro AJ (Gewichtung) lösbar durch Hochrechnung auf 100% Voraussetzungen für multivariates Chain-Ladder Gleiche Anzahl von AJ Abwicklungsdreiecke, keine Trapeze 23
24 Das K-Portefeuille 24
25 Numerische Beobachtungen (1) Daten in den Abwicklungsdreiecken müssen nichtnegativ sein (Braun Korrelation) Daten müssen positiv sein (Division durch Null bei Berechnung der individuellen Abwicklungsfaktoren) Algorithmus ist numerisch sensibel Herausforderung der Excel-Genauigkeit Multiplikation sehr großer mit sehr kleinen Zahlen Komma gleitet hin und her 25
26 Numerische Beobachtungen (2) CL F 12 Im trivariaten Fall ist sehr verschieden von den univariaten Chain-Ladder Faktoren (Hess/Schmidt/Zocher) ist singulär n Größe des Dreiecks p Anzahl der Dreiecke Σ singulär für k n p + 2 k Σ 12 Einheitsmatrix (univariate Chain-Ladder Faktoren) 26
27 Beobachtungen Effekt ist natürlich im ersten (und größten) Abwicklungsfaktor am größten In trivariaten Beispielen weichen die multivariaten Abwicklungsfaktoren stärker von den univariaten ab in bivariaten Beispielen. Ansporn, größere Excel Vorlage zu erzeugen (Programm) Hilfe bei Segmentierung (NP Portefeuille) Anwendung auf Abwicklungfaktoren 1-5 reicht aus 27
28 Inhalt Multivariates Chain-Ladder für 2 und 3 K-Quoten Multivariates Chain-Ladder in einem NP Portefeuille Beobachtungen Multivariates additives Verfahren 28
29 29 Multivariates additives Verfahren Gleiche Struktur Prämienvolumen statt Schadenstände als Gewicht Individuelle Schadenquoten statt individueller Abwicklungsfaktoren Modifikation der Excel-Vorlage für trivariates Chain-Ladder = = = k n j k j k j k k j k n j k j k k j CL k 0, 2 1/ 1, 1 2 1/ 1, / 1, 1 2 1/ 1, F Δ Σ Δ Δ Σ Δ F = = = k n j k j j k j k n j j k j AD k 0, 2 1/ 1 2 1/ / 1 2 1/ ζ V Σ V V Σ V ζ
30 Testportefeuille Quoten für Kraftfahrthaftpflichtgeschäft 30
31 2 Versicherungsvereine und 1 öffentliches VU (1) Average Paid Claims Ratio - First Development Year (P1,P2,P3) uni P3 multi P3 uni P2 multi P2 uni P1 multi P1 uni 46% 48% 50% 52% 54% 56% 58% 60% 62% 1 Corr P1-P2 97,2% Corr P1-P3 24,6% Corr P2-P3 22,4% 31
32 2 Versicherungsvereine und 1 öffentliches VU (2) Average Paid Claims ratio - Second Development Year (P1,P2,P3) uni P3 multi P3 uni P2 multi P2 uni P1 multi P1 uni 2 Corr P1-P2 32,8% 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 16% 18% 20% Corr P1-P3 67,1% Corr P2-P3 44,0% 32
33 2 Versicherungsvereine und 1 öffentliches VU (3) 29% Paid Claims Ratio Increase after the First Development Year 27% 25% 23% 21% 19% 17% 15% P1 uni P1 multi P2 uni P2 multi P3 uni P3 multi (P1,P2,P3) uni Corr P1-P2 97,2% 32,8% 26,1% 26,4% 75,5% 30,0% Corr P1-P3 24,6% 67,1% 10,5% -38,1% 14,3% -11,9% Corr P2-P3 22,4% 44,0% -23,4% -9,2% -16,1% -64,1% 33
34 2 Versicherungsvereine und 1 öffentliches VU (4) 30% 25% 20% 15% Reserves in % of Ultimate Earned Premium P1 uni P1 multi P2 uni P2 multi P3 uni 10% P3 multi 5% 0% (P1,P2,P3) uni 34
35 2 Versicherungsvereine und 1 öffentliches VU (5) Total Reserve in % of Ultimate Earned Premium 5,0% 4,5% 4,0% 3,5% 3,0% 2,5% 2,0% 1,5% 1,0% 0,5% 0,0% P1 uni P1 multi P2 uni P2 multi P3 uni P3 multi (P1,P2,P3) uni 35
36 Beobachtungen Effekt ist natürlich in den ersten Abwicklungsjahren am größten Negative Korrelationen der Schadenquotenzuwächsen sind häufig zu beobachten, während bei den Abwicklungsfaktoren meist nur positive Korrelationen beobachtet wurden. Höhere Korrelationen Höhere Effekte in der gemeinsamen Prognose 36
37 Ausblick Nützlich für Segmentierungsanalysen Sind die entstehenden neuen Teilsegmente korreliert? Sind zwei bestehende Segmente korreliert? Erklärung von Segmentierungseffekten Gemeinsame Prognose korrelierter Portefeuilles Beschränkung auf die ersten Abwicklungsjahre (1-5) 37
38 Literatur (1) Ajne, B. [1994]: Additivity of Chain-Ladder Projections. ASTIN Bulletin 24 (1994), Braun, C. [2004]: The Prediction Error of the Chain Ladder Method Applied to Correlated Run-off Triangles. ASTIN Bulletin 34 (2004), Kremer, E. [2005]: The correlated chain-ladder method for reserving in case of correlated claims developments. Blätter DGVFM XXVII (2), Mack, T. [1993]: Distribution-free Calculation of the Standard Error of Chain Ladder Reserve Estimates. ASTIN Bulletin 23 (1993), Mack, T. [1994]: Measuring the Variability of Chain-Ladder Reserves. Casualty Actuarial Society Forum Spring 1994, vol. 1, Mack, T. [1997]: Schadenversicherungsmathematik. Karlsruhe: Verlag Versicherungswirtschaft. 38
39 Literatur (2) Mack, T. [1999]: The standard Error of Chain Ladder reserve Estimates: Recursive Calculation and Inclusion of a Tail Factor. ASTIN Bulletin 29 (1999), Mack, T., Quarg, G. [2004]: Munich Chain Ladder. Blätter DGVFM XXVI (4), Radtke, M., Schmidt, K.D. (eds.) [2004]: Handbuch zur Schadenreservierung. Karlsruhe: Verlag Versicherungswirtschaft. Pröhl, C., Schmidt, K.D. [2005]: Multivariate Chain-Ladder. Dresdner Schriften zur Versicherungsmathematik 3/2005. Hess, K.T., Schmidt, K.D., Zocher, M. [2006]: Multivariate loss prediction in the multivariate additive model. Insurance Math. Econom. (im Druck). 39
Das Bornhuetter Ferguson Prinzip. Über Gemeinsamkeiten bekannter Reservierungsverfahren
AbD 2V AbM BFV BFP Bsp Über Gemeinsamkeiten bekannter Reservierungsverfahren Klaus D. Schmidt Lehrstuhl für Versicherungsmathematik TU Dresden Mathias Zocher Aktuariat Nichtleben Allianz Suisse Dresden,
Tag der Dresdner Aktuare
Tag der Dresdner Aktuare Lineare Modelle in der Schadenreservierung Alexander Ludwig Christiane Schmeiÿer Katrin Thänert 30.10.2009 1 / 58 Christiane Schmeiÿer Consultant, Mercer Deutschland GmbH LoB:
Klausur zum Grundwissen Schadenversicherungsmathematik. Aufgaben mit Musterlösungen
Klausur zum Grundwissen Schadenversicherungsmathematik Ch. Hipp, M. Morlock, H. Schmidli, K.D. Schmidt Mai 2015 in Köln Aufgaben mit Musterlösungen Aufgabe 1 (Risikomodelle) Eine Versicherung modelliert
Prüfungskolloquium Aktuar SAV Biel, 20. November 2008 Dr. Stephan Clerc-Dändliker
Welche Genauigkeit kann bei der Bestimmung von Rückstellungen unter Berücksichtigung sowohl von Prozess- Risiko als auch von Parameter- und Messfehlern erwartet werden? Prüfungskolloquium Aktuar SAV Biel,
Klausur zum Grundwissen Schadenversicherungsmathematik
Klausur zum Grundwissen Schadenversicherungsmathematik Ch. Hipp, M. Morlock, H. Schmidli und K.D. Schmidt Mai 2012 in Köln Die Klausur besteht aus 8 Aufgaben und zwei Zusatzaufgaben. Eine oder zwei Zusatzaufgaben
Schadenversicherungsmathematik Statische Risikomodelle Exposure Pricing in der nicht-proportionalen Rückversicherung
Schadenversicherungsmathematik Statische Risikomodelle Exposure Pricing in der nicht-proportionalen Rückversicherung Prof. Dr. Michael Fröhlich, DAV Aktuar Gliederung 1. Einleitung 2. Exposurekurven in
E[X] = = 113. Nach den Gleichungen von Wald gilt für den Gesamtschaden S E[S] = E[N] E[X] = = 226
![E[X] = = 113. Nach den Gleichungen von Wald gilt für den Gesamtschaden S E[S] = E[N] E[X] = = 226](/thumbs/56/37949441.jpg "E[X] = = 113. Nach den Gleichungen von Wald gilt für den Gesamtschaden S E[S] = E[N] E[X] = = 226")
Aufgabe 1 (Risikomodelle) Ein Versicherungsvertrag erzeugt pro Jahr N Schäden mit Schadenhöhen {X k } k N, wobei alle Zufallsvariablen stochastisch unabhängig sind. Die Schadenhöhen haben die Verteilung
Stochastische Reservierung in der Nichtlebenversicherung Methodik und Anwendung Prüfungskolloquium Aktuar SAV 2010
Stochastische Reservierung in der Nichtlebenversicherung Methodik und Anwendung Prüfungskolloquium Aktuar SAV 2010 Bern, 19. November 2010 Marc Sarbach Übersicht 1. Einführung Schadenprozess im Nichtleben
Vorlesung 4: Spezifikation der unabhängigen Variablen
Vorlesung 4: Spezifikation der unabhängigen Variablen. Fehlspezifikation der unabhängigen Variablen. Auswirkungen einer Fehlspezifikation a. auf die Erwartungstreue der Schätzung b. auf die Effizienz der
n IIP[N = n] x IIP[X = x] (a) Berechnen Sie die Nettoprämie und die Varianz für das Risiko S = N
![n IIP[N = n] x IIP[X = x] (a) Berechnen Sie die Nettoprämie und die Varianz für das Risiko S = N](/thumbs/63/48882048.jpg "n IIP[N = n] x IIP[X = x] (a) Berechnen Sie die Nettoprämie und die Varianz für das Risiko S = N")
Aufgabe (Risikomodelle) Ein kollektiver Versicherungsvertrag erzeugt in einem Jahr N Schäden mit Schadenhöhen {X k }, wobei alle Zufallsvariablen unabhängig sind. Die Verteilung von N ist gegeben durch
Mathematik der Lebensversicherung II
Mathematik der Lebensversicherung II Themen Version vom 11. Dezember 2015 1 Anwendungen der Kredibilitätstheorie 1.1 Grundzüge der Kredibilitätstheorie Thema 1: Kredibilitätsmodell von Bühlmann-Straub
Zwanzig Jahre Versicherungsmathematik in Dresden Zur Rolle der Aktuare an Universitäten. Hartmut Milbrodt, Universität Rostock
Zwanzig Jahre Versicherungsmathematik in Dresden Zur Rolle der Aktuare an Universitäten Hartmut Milbrodt, Universität Rostock 1 Aus Anlaß eines Doppeljubiläums 2 Mathematik in der Assekuranz war das immer
Research Collection. Stochastic claims reserving and solvency. Doctoral Thesis. ETH Library. Author(s): Salzmann, Robert. Publication Date: 2012
Research Collection Doctoral Thesis Stochastic claims reserving and solvency Author(s): Salzmann, Robert Publication Date: 2012 Permanent Link: https://doi.org/10.3929/ethz-a-007566137 Rights / License:
Nächste-Nachbarn-Verfahren zur Reservierung für Einzelschäden
Nächste-Nachbarn-Verfahren zur Reservierung für Einzelschäden Universität Hamburg, Department Mathematik Hamburg, 16. November 2006 ASTIN-Herbsttagung Motivation Vorgehen Problemstellung Situation: Ziel:
Prüfungskolloquium SAV 20. November 2008 Timofei Makarov
Thema: "Welche Genauigkeit kann bei der Bestimmung von Rückstellungen unter Berücksichtigung von Prozess-Risiko als auch von Parameter- und Messfehlern erwartet werden?" Prüfungskolloquium SAV 20. November
Chr.Nelius : Lineare Algebra II (SS 2005) 1. Wir wollen hier eine Beschreibung des Gauß-Algorithmus mit Hilfe der sog. Elementarmatrizen vornehmen.
ChrNelius : Lineare Algebra II (SS 2005) 1 Einschub A) Elementarmatrizen Wir wollen hier eine Beschreibung des Gauß-Algorithmus mit Hilfe der sog Elementarmatrizen vornehmen (A1) DEF: Seien r, s IN mit
3 Matrizenrechnung. 3. November
3. November 008 4 3 Matrizenrechnung 3.1 Transponierter Vektor: Die Notation x R n bezieht sich per Definition 1 immer auf einen stehenden Vektor, x 1 x x =.. x n Der transponierte Vektor x T ist das zugehörige
Analyse von Querschnittsdaten. Spezifikation der unabhängigen Variablen
Analyse von Querschnittsdaten Spezifikation der unabhängigen Variablen Warum geht es in den folgenden Sitzungen? Kontinuierliche Variablen Annahmen gegeben? kategoriale Variablen Datum 3.0.004 0.0.004
Bericht über das Kölner Versicherungsmathematische Kolloquium im Wintersemester 2003/04
Bericht über das Kölner Versicherungsmathematische Kolloquium im Wintersemester 2003/04 Alexander Aue (Universität zu Köln) Im Rahmen des Versicherungsmathematischen Kolloquiums der Universität zu Köln
Bericht zur Prüfung im Mai 2006 über Schadenversicherungsmathematik (Grundwissen)
Bericht zur Prüfung im Mai 2006 über Schadenversicherungsmathematik (Grundwissen) Christian Hipp (Karlsruhe) und Martin Morlock (Giessen) Am 6. Mai 2006 fand in Köln die DAV-Prüfung zur Schadenversicherungsmathematik
Unterschiedliche Ansätze zur Risikomessung in Internen Modellen: Ultimatesicht versus Kalendersicht
Unterschiedliche Ansätze zur Risikomessung in Internen Modellen: Ultimatesicht versus Kalendersicht Dorothea Diers Preprint Series: 2007-18 Fakultät für Mathematik und Wirtschaftswissenschaften UNIVERSITÄT
Stochastische Schadenreservierungsmethoden. Skript
Stochastische Schadenreservierungsmethoden Skript Universität Basel 25. Oktober 2013 Prof. Dr. Michael Merz 1. Grundlagen der Schadenreservierung 1.1 Motivation 1.1.1 Weshalb Schadenreservierung? 1.1.2
Bachelorarbeit. Stochastische Modelle in der Schadenreservierung
http://wwwadultpdfcom Created by Image To PDF trial version, to remove this mark, please register Studiengang Fach-Bachelor Mathematik mit Schwerpunkt Versicherungs- und Finanzmathematik Bachelorarbeit
Wie könnte ein IFRS für Versicherungsverträge aussehen?
Insurance Wie könnte ein IFRS für Versicherungsverträge aussehen? Ulm, 17.1.2011, Dr. Thorsten Wagner Agenda I. Einführung II. III. IV. Inhalte des Exposure Drafts für IFRS 4 Phase II Schadenrückstellung
The ROC curve in screening with multiple markers: An application to the triple test in prenatal diagnostics
Statistische Methoden in Evidenz-basierter Medizin und Health Technology Assessment 20. bis 21. November 2003 Freiburg The ROC curve in screening with multiple markers: An application to the triple test
MLAN1 1 MATRIZEN 1 0 = A T =
MLAN1 1 MATRIZEN 1 1 Matrizen Eine m n Matrix ein rechteckiges Zahlenschema a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a m1 a m2 a m3 amn mit m Zeilen und n Spalten bestehend aus m n Zahlen Die Matrixelemente
Multivariate Verfahren
Multivariate Verfahren Oliver Muthmann 31. Mai 2007 Gliederung 1 Einführung 2 Varianzanalyse (MANOVA) 3 Regressionsanalyse 4 Faktorenanalyse Hauptkomponentenanalyse 5 Clusteranalyse 6 Zusammenfassung Komplexe
Heapsort / 1 A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8]
![Heapsort / 1 A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8]](/thumbs/69/61689021.jpg "Heapsort / 1 A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8]")
Heapsort / 1 Heap: Ein Array heißt Heap, falls A [i] A [2i] und A[i] A [2i + 1] (für 2i n bzw. 2i + 1 n) gilt. Beispiel: A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] Heapsort / 2 Darstellung eines Heaps als
Zeilenstufenform. Wir beweisen nun den schon früher angekündigten Satz.
Zeilenstufenform Wir beweisen nun den schon früher angekündigten Satz. Satz. Jede m n-matrix A lässt sich durch elementare Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform und analog durch elementare Spaltenumformungen
Kernel, Perceptron, Regression. Erich Schubert, Arthur Zimek. 2014-07-20 KDD Übung
Kernel, Perceptron, Regression Erich Schubert, Arthur Zimek Ludwig-Maximilians-Universität München 2014-07-20 KDD Übung Kernel-Fukctionen Kernel kann mehrdeutig sein! Unterscheidet zwischen: Kernel function
Matrizen, Gaußscher Algorithmus 1 Bestimmung der inversen Matrix
Inhaltsverzeichnis Matrizen, Gaußscher Algorithmus 1 Bestimmung der inversen Matrix Auf dieser Seite werden Matrizen und Vektoren fett gedruckt, um sie von Zahlen zu unterscheiden. Betrachtet wird das
Lineare Gleichungssysteme und Matrizen
Kapitel 11 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Ein lineares Gleichungssystem (lgs) mit m linearen Gleichungen in den n Unbekannten x 1, x 2,..., x n hat die Gestalt: Mit a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x
Prof. Dr. Fred Böker
Statistik III WS 2004/2005; 8. Übungsblatt: Lösungen 1 Prof. Dr. Fred Böker 07.12.2004 Lösungen zum 8. Übungsblatt Aufgabe 1 Die Zufallsvariablen X 1 X 2 besitzen eine gemeinsame bivariate Normalverteilung
Assoziation & Korrelation
Statistik 1 für SoziologInnen Assoziation & Korrelation Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Einleitung Bei Beobachtung von 2 Merkmalen stellt sich die Frage, ob es systematische Zusammenhänge oder Abhängigkeiten
Inhaltsübersicht. Geleitwort 5. Abkürzungsverzeichnis 13. Tabellenverzeichnis 17. Abbildungsverzeichnis 19. 1. Problemstellung 21
Inhaltsübersicht Geleitwort 5 Abkürzungsverzeichnis 13 Tabellenverzeichnis 17 Abbildungsverzeichnis 19 1. Problemstellung 21 2. Zahlenwerk und Grundlage 25 2.1 Einzelabschluss versus Konzernabschluss 25
Datenanalyse. eine Einführung. Klaus Diepold. Lehrstuhl für Datenverarbeitung Technische Universität München
Datenanalyse eine Einführung Klaus Diepold Lehrstuhl für Datenverarbeitung Technische Universität München Datenanalyse: Für wen?! für die Wissenschaftlerin Auffinden von Zusammenhängen und Strukturen in
Strukturerhaltende Integrationsverfahren für stochastische Differentialgleichungen in der Modellierung von Zinsderivaten
Strukturerhaltende Integrationsverfahren für stochastische Differentialgleichungen in der Modellierung von Zinsderivaten Michael Günther, Christian Kahl und Thilo Roßberg Bergische Universität Wuppertal
Lineare Algebra - Übungen 1 WS 2017/18
Prof. Dr. A. Maas Institut für Physik N A W I G R A Z Lineare Algebra - Übungen 1 WS 017/18 Aufgabe P1: Vektoren Präsenzaufgaben 19. Oktober 017 a) Zeichnen Sie die folgenden Vektoren: (0,0) T, (1,0) T,
Streuungsmaße. Die angegebenen Maßzahlen sind empirisch, d.h. sie sind Schätzungen für die wahre Varianz (empirische) Varianz (Streuung) s 2 = 1 n
Streuungsmaße Diskrete Stetige Die angegebenen Maßzahlen sind empirisch, d.h. sie sind Schätzungen für die wahre (empirische) (Streuung) s 2 = 1 n (X i X) 2 n 1 i=1 s 2 n var(x) Warum Division durch (n
Singulärwertzerlegung
LMU München Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung WS 10-11: 13.12.2010 HS Matrixmethoden im Textmining Dozent: Prof.Dr. Klaus U. Schulz Referat von: Erzsébet Galgóczy Singulärwertzerlegung 1
Prüfungskolloquium SAV
Modellierung der Inflation in der Berechnung des Abwicklungsrisikos im SST in der Nichtlebenversicherung Prüfungskolloquium SAV Irina Sikharulidze, SST, FINMA 19. November 2010 Modellierung der Inflation
Agenda. 1 Introduction. 2 Experience Pricing - BC methods and examples. 3 Exposure Pricing (Casualty and Property)
Reinsurance-Pricing DAA-Workshop für junge Mathematiker Tagungsstätte Loccum 27. und 28. September 2013 Prof. Dr. Michael Fröhlich 26. September 2013 DAA-Workshop für junge Mathematiker Tagungsstätte Loccum
Machine Translation with Inferred Stochastic Finite-State Transducers
Machine Translation with Inferred Stochastic Finite-State Transducers von Klaus Suttner HS: Endliche Automaten Dozentin: Karin Haenelt Seminar für Computerlinguistik Universität Heidelberg 29.06.09 Finite-state
Das Parameterrisiko - Ein häufig vernachlässigtes Risiko in Internen Modellen von Schaden- und Unfallversicherern
Das Parameterrisiko - Ein häufig vernachlässigtes Risiko in Internen Modellen von Schaden- und Unfallversicherern Dorothea Diers Preprint Series: 2007-19 Fakultät für Mathematik und Wirtschaftswissenschaften
Masterarbeit. Credibility Chain Ladder
Eidgenössische Technische Hochschule Zürich Departement Mathematik Masterarbeit Credibility Chain Ladder Eingereicht von: Patrick Helbling Eingereicht am: 12.02.2014 Betreuer: Prof. Dr. Alois Gisler Vorwort
Universität Stuttgart Physik und ihre Didaktik PD Dr. Holger Cartarius. Matrizen. a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A = a m,1 a m,2 a m,n
Universität Stuttgart Physik und ihre Didaktik PD Dr Holger Cartarius Matrizen Matrizen: Ein rechteckiges Zahlenschema der Form a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A a m,1 a m,2 a m,n (a) nennt man eine
"From Capital to Cash" Alles nur Theorie? Die Sicht einer Versicherung. 4. Mai 2017 Michael Christen Zurich Insurance Company Ltd CUREMhorizonte
"From Capital to Cash" Alles nur Theorie? Die Sicht einer Versicherung 4. Mai 2017 Michael Christen Zurich Insurance Company Ltd CUREMhorizonte "From Capital to Cash" Alles nur Theorie? Die Sicht einer
1 x 1 y 1 2 x 2 y 2 3 x 3 y 3... n x n y n
3.2. Bivariate Verteilungen zwei Variablen X, Y werden gemeinsam betrachtet (an jedem Objekt werden gleichzeitig zwei Merkmale beobachtet) Beobachtungswerte sind Paare von Merkmalsausprägungen (x, y) Beispiele:
Mathematik in Versicherungen am Beispiel von Portefeuille-Management und Risikotheorie von Dominic Lauterbach
Mathematik in Versicherungen am Beispiel von Portefeuille-Management und Risikotheorie von Dominic Lauterbach Inhaltsverzeichnis. Einleitung...2 2. Mathematische Modelle zur Berechnung des Gesamtschadens...3
8.2 Invertierbare Matrizen
38 8.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen
Schadenversicherungsmathematik
Schadenversicherungsmathematik Prof. Dr. Michael Kohler Sommersemester 2009 Vorlesung orientiert sich an: Thomas Mack: Schadenversicherungsmathematik. Gesellschaft für Versicherungsmathematik, Verlag Versicherungswirtschaft,
Reinsurance-Pricing. Prof.Dr. Michael Fröhlich. DAA-Workshop für junge Mathematiker im Bachelorstudium Reisenburg,
Reinsurance-Pricing Prof.Dr. Michael Fröhlich DAA-Workshop für junge Mathematiker im Bachelorstudium Reisenburg, 03.09.2014 Prof.Dr. Michael Fröhlich Reinsurance-Pricing 03.09.2014 1 / 22 Agenda 1 Introduction
Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme
Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme 1 Matrizen Definition 1. Eine Matrix A vom Typ m n (oder eine m n Matrix, A R m n oder A C m n ) ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n
Reinsurance-Pricing. Prof.Dr. Michael Fröhlich. Bachelor-Orientierungstage Tagungsstätte Loccum 21. bis 22. Oktober 2015
Reinsurance-Pricing Prof.Dr. Michael Fröhlich Bachelor-Orientierungstage Tagungsstätte Loccum 21. bis 22. Oktober 2015 Prof.Dr. Michael Fröhlich (OTH Regensburg) Reinsurance-Pricing 22.10. 2015 1 / 23
Algebraische Statistik ein junges Forschungsgebiet. Dipl.-Math. Marcus Weber
Algebraische Statistik ein junges Forschungsgebiet Dipl.-Math. Marcus Weber Disputationsvortrag 15. Februar 2006 Gliederung 1. Statistische Modelle 2. Algebraische Interpretation statistischer Probleme
Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme
Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme Lineares Gleichungssystem: Ax b, A R m n, x R n, b R m L R m R n Lx Ax Bemerkung b 0 R m Das Gleichungssystem heißt homogen a A0 0 Das LGS ist stets lösbar b Wenn
Algorithmen und Datenstrukturen SS09. Foliensatz 15. Michael Brinkmeier. Technische Universität Ilmenau Institut für Theoretische Informatik
Foliensatz 15 Michael Brinkmeier Technische Universität Ilmenau Institut für Theoretische Informatik Sommersemester 2009 TU Ilmenau Seite 1 / 16 Untere Schranken für das Vergleichsbasierte Sortieren TU
Trigonometrische Funktionen
Trigonometrische Funktionen Jens Wirth, Freiberg wirth@mathtu-freibergde 1 Bezeichnungen, komplexe Zahlen Im folgenden bezeichnet die Menge der komplexen Zahlen z = x+ i y mit x, y, i = 1 Die Zahl x =
Stochastische Prozesse
INSTITUT FÜR STOCHASTIK SS 2009 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Blatt 9 Priv.-Doz. Dr. D. Kadelka Dipl.-Math. W. Lao Übungen zur Vorlesung Stochastische Prozesse Musterlösungen Aufgabe 40: Es sei (X t ) t 0 ein
Gedanken zur Ausgestaltung der Versicherungsmathematischen Funktion unter Solvency II
Gedanken zur Ausgestaltung der Versicherungsmathematischen Funktion unter Solvency II Solvara-Anwendertreffen ISS, Köln, 25. April 2016 Dietmar Pfeifer Schwerpunkt Versicherungs- und Finanzmathematik Agenda
6 Der Stil wissenschaftlicher Arbeiten; Damit Ihr Gugelhupf gelingt, brauchen Sie das richtige Händchen 151
Inhalt 1 Vorwort: ein Backrezept? 15 2 Das Drama mit dem Gugelhupf 21 3 Der Inhalt einer wissenschaftlichen Arbeit (Teil I): SIE bestimmen, welchen Gugelhupf Sie servieren 31 4 Der Inhalt einer wissenschaftlichen
Ein universelles Bayes-Design für einarmige Phase II-Studien mit binärem zeitlich erfasstem Endpunkt
Ein universelles Bayes-Design für einarmige Phase II-Studien mit binärem zeitlich erfasstem Endpunkt Joachim Gerß joachim.gerss@ukmuenster.de Institute of Biostatistics and Clinical Research Overview 1.
8.2 Invertierbare Matrizen
38 8.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen
Risikoteilung und Rückversicherung
Wissenschaftliche Zeitschrift der Technischen Universität Dresden 55 (2006) Heft 3 4 Risiko Manuskripteingang: 1.6.2005 Angenommen am: 9.3.2006 Klaus Th. Hess und Klaus D. Schmidt Risikoteilung und Rückversicherung
Matrizen. a12 a1. a11. a1n a 21. a 2 j. a 22. a 2n. A = (a i j ) (m, n) = i te Zeile. a i 1. a i 2. a i n. a i j. a m1 a m 2 a m j a m n] j te Spalte
![Matrizen. a12 a1. a11. a1n a 21. a 2 j. a 22. a 2n. A = (a i j ) (m, n) = i te Zeile. a i 1. a i 2. a i n. a i j. a m1 a m 2 a m j a m n] j te Spalte](/thumbs/71/64996309.jpg "Matrizen. a12 a1. a11. a1n a 21. a 2 j. a 22. a 2n. A = (a i j ) (m, n) = i te Zeile. a i 1. a i 2. a i n. a i j. a m1 a m 2 a m j a m n] j te Spalte")
Mathematik I Matrizen In diesem Kapitel werden wir lernen was Matrizen sind und wie man mit Matrizen rechnet. Matrizen ermöglichen eine kompakte Darstellungsform vieler mathematischer Strukturen. Zum Darstellung
Lean Body Mass [kg] Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) ??? lbm <2e-16 ***
![Lean Body Mass [kg] Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) ??? lbm <2e-16 ***](/thumbs/76/73817896.jpg "Lean Body Mass [kg] Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) ??? lbm <2e-16 ***")
Körperkraft [Nm] 0 50 100 150 200 250 0 20 40 60 80 Lean Body Mass [kg] Dieses Quiz soll Ihnen helfen, den R Output einer einfachen linearen Regression besser zu verstehen (s. Kapitel 5.4.1) Es wurden
Sterbetafeln. DAV-Sterbetafel 1994 T für Männer
Sterbetafeln Die folgenden Sterbetafeln enthalten die von der Deutschen Aktuarvereinigung (DAV) bereitgestellten Sterbewahrscheinlichkeiten für eine Versicherung auf den Todesfall und die zugehörigen Kommutationszahlen
Grundverständnis für Bruchzahlen aufbauen mit EXI
Grundverständnis für Bruchzahlen aufbauen mit EXI Ein Anschauungsmittel auf der Basis eines regelmäßigen Sechsecks Das Anschauungsmittel besteht aus 32 Teilen (Exis). Mit den kleineren Teilen kann das
Kapitel 2: Sortier- und Selektionsverfahren Gliederung
Gliederung 1. Laufzeit von Algorithmen 2. Sortier- und Selektionsverfahren 3. Paradigmen des Algorithmenentwurfs 4. Ausgewählte Datenstrukturen 5. Algorithmische Geometrie 6. Randomisierte Algorithmen
BERECHNUNG VON SCHWANKUNGSZUSCHLÄGEN IM PRICING VON RV-VERTRÄGEN
BERECHNUNG VON SCHWANKUNGSZUSCHLÄGEN IM PRICING VON RV-VERTRÄGEN SAV-Prüfungskolloquium am 19.11.2009 Dr. Katja Lord Aktuar Corporate Underwriting / Corporate Pricing Agenda 1. Schwankungszuschlag als
Beispiele 1. Gegeben ist das lineare System. x+4y +3z = 1 2x+5y +9z = 14 x 3y 2z = 5. Die erweiterte Matrix ist
127 Die Schritte des Gauß-Algorithmus sind nun die Folgenden: 1. Wir bestimmen die am weitesten links stehende Spalte, die Einträge 0 enthält. 2. Ist die oberste Zahl der in Schritt 1 gefundenen Spalte
Theoretische Grundlagen der Informatik
Theoretische Grundlagen der Informatik Vorlesung am 15.01.2015 INSTITUT FÜR THEORETISCHE 0 KIT 15.01.2015 Universität des Dorothea Landes Baden-Württemberg Wagner - Theoretische und Grundlagen der Informatik
Jahresabschlussanalyse und Bilanzpolitik von Schaden-/Unfallversicherem
Benjamin Asche Jahresabschlussanalyse und Bilanzpolitik von Schaden-/Unfallversicherem Änderungen aufgrund von IFRS 4 Phase II Insurance Contracts: ED/2010/8 PETER LANG Internationaler Verlag der Wissenschaften
Inhaltsverzeichnis. 1 Über dieses Buch Zum Inhalt dieses Buches Danksagung Zur Relevanz der Statistik...
Inhaltsverzeichnis 1 Über dieses Buch... 11 1.1 Zum Inhalt dieses Buches... 13 1.2 Danksagung... 15 2 Zur Relevanz der Statistik... 17 2.1 Beispiel 1: Die Wahrscheinlichkeit, krank zu sein, bei einer positiven
CHEMISCHES RECHNEN II ANALYT. CHEM. FÜR FORTGS
Arbeitsunterlagen zu den VU CHEMISCHES RECHNEN II - 771.119 Einheit 1 ANALYT. CHEM. FÜR FORTGS. - 771.314 Einheit 3a ao. Prof. Dr. Thomas Prohaska (Auflage März 006) Beurteilung von Analysenergebnissen
7 Ganzzahlige lineare Gleichungen und Moduln über euklidischen Ringen
7 Ganzzahlige lineare Gleichungen und Moduln über euklidischen Ringen 7.1 Der Elementarteileralgorithmus 7.1.1 Matrizen über euklidischen Ringen Sei (R, gr) ein Euklidischer Ring. Definition (i) GL n (R)
5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten
5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten 51 Lineare Gleichungssysteme Definition 51 Bei einem linearen Gleichungssystem (LGS) sind n Unbekannte x 1, x 2,, x n so zu bestimmen, dass ein System von
9.2 Invertierbare Matrizen
34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen
Auswertung und Lösung
Körperkraft [Nm] 0 50 100 150 200 250 0 20 40 60 80 Lean Body Mass [kg] Dieses Quiz soll Ihnen helfen, den R Output einer einfachen linearen Regression besser zu verstehen (s. Kapitel 5.4.1) Es wurden
Was ist ein Aktuar und was macht er in einem Versicherungsunternehmen? 0
Was ist ein Aktuar und was macht er in einem Versicherungsunternehmen? Dietmar Pfeifer Institut für Mathematik Was ist ein Aktuar und was macht er in einem Versicherungsunternehmen? 0 Aktuare sind wissenschaftlich
1 (2π) m/2 det (Σ) exp 1 ]
![1 (2π) m/2 det (Σ) exp 1 ]](/thumbs/63/49354712.jpg "1 (2π) m/2 det (Σ) exp 1 ]")
Multivariate Normalverteilung: m=1: Y N(µ; σ 2 ) Erwartungswert: µ Varianz: σ 2 f Y (y) = f Y1 Y 2...Y m (y 1,y 2,...,y m ) = [ 1 exp 1 ] 2πσ 2 2 (y µ)2 /σ 2 Σ: m m-matrix, symmetrisch, positiv definit.
Entscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen?
Entscheidungsbäume Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Definition Entscheidungsbaum Sei T ein Binärbaum und A = {a 1,..., a n } eine zu sortierenden Menge. T ist ein Entscheidungsbaum
Seminar Algorithmentechnik
Seminar Algorithmentechnik Institut für Theoretische Informatik Lehrstuhl für Algorithmik I Prof. Dorothea Wagner Karlsruhe Seminar Institut Algorithmentechnik für Technologie (KIT) Fakultät für Informatik
Vereinfachte Messunsicherheit im Labor
esz AG - Praxis Vereinfachte im Labor Inhalt praxisgerecht und vereinfacht im Labor Mathematik vom Schreibtisch ins Labor Ursachen für Berechnung theoretisch praktisch Angabe der in Kalibrierscheinen und
Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis
Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis Rasa Steuding Hochschule RheinMain Wiesbaden Wintersemester 2011/12 R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 1 / 19 Fehlerbetrachtung R. Steuding
Kapitel 16. Invertierbare Matrizen
Kapitel 16. Invertierbare Matrizen Die drei Schritte des Gauß-Algorithmus Bringe erweiterte Matrix [A b] des Gleichungssystems A x auf Zeilenstufenform [A b ]. Das System A x = b ist genau dann lösbar,
4 Lineare Algebra (Teil 2): Quadratische Matrizen
4 Lineare Algebra (Teil : Quadratische Matrizen Def.: Eine (n n-matrix, die also ebensoviele Zeilen wie Spalten hat, heißt quadratisch. Hat sie außerdem den Rang n, sind also ihre n Spalten linear unabhängig,
Multivariate Verfahren
Selbstkontrollarbeit 1 Multivariate Verfahren Musterlösung Aufgabe 1 (40 Punkte) Auf der dem Kurs beigelegten CD finden Sie im Unterverzeichnis Daten/Excel/ die Datei zahlen.xlsx. Alternativ können Sie
1. Datei Informationen
1. Datei Informationen Datei vorbereiten (Daten, Variablen, Bezeichnungen und Skalentypen) > Datei Dateiinformation anzeigen Arbeitsdatei 2. Häufigkeiten Analysieren Deskriptive Statistik Häufigkeiten
Totale Ableitung und Jacobi-Matrix
Totale Ableitung und Jacobi-Matrix Eine reelle Funktion f : R n R m ist in einem Punkt x differenzierbar, wenn f (x + h) = f (x) + f (x)h + o( h ) für h 0. Totale Ableitung 1-1 Totale Ableitung und Jacobi-Matrix
Abbildung 1: Reduktion: CLIQUE zu VERTEX-COVER. links: Clique V = {u, v, x, y}. rechts:der Graph Ḡ mit VC V \ V = {w, z}
u v u v z w z w y x y x Abbildung 1: Reduktion: CLIQUE zu VERTEX-COVER. links: Clique V = {u, v, x, y}. rechts:der Graph Ḡ mit VC V \ V = {w, z} Definition 0.0.1 (Vertex Cover (VC)). Gegeben: Ein ungerichteter
GEODÄTISCHES INSTITUT HANNOVER
Alexander Dorndorf, M.Sc. GEODÄTISCHES INSTITUT HANNOVER Entwicklung eines robusten Bayesschen Ansatzes für klein-redundante Ausgleichungsmodelle Motivation Funktionaler Zusammenhang: h = β 0 + β 1 x +
Netzwerkanalyse von Klimadaten: Anwendung und Interpretation
Netzwerkanalyse von Klimadaten: Anwendung und Interpretation DACH0, Vorhersagbarkeit und Verifikation,.9.0 Netzwerkanalyse von Klimadaten.... Was ist das?? Definition und Mathematik. Wie macht man das??
Bayesianische Netzwerke - Lernen und Inferenz
Bayesianische Netzwerke - Lernen und Inferenz Manuela Hummel 9. Mai 2003 Gliederung 1. Allgemeines 2. Bayesianische Netzwerke zur Auswertung von Genexpressionsdaten 3. Automatische Modellselektion 4. Beispiel
Konfirmatorische Faktorenanalyse
Konfirmatorische Faktorenanalyse Regressionsmodelle für Politikwissenschaftler Was ist ein Faktor? Faktor oder latente Variable nicht direkt beobachtbare Größe die beobachtbare Variablen ( Indikatoren
Punktlokalisation 1. Trapez-Zerlegungen. 2. Eine Suchstruktur. 3. Randomisierter, inkrementeller Algorithmus zur Konstruktion der Trapez-Zerlegung
Punktlokalisation 1. Trapez-Zerlegungen 2. Eine Suchstruktur 3. Randomisierter, inkrementeller Algorithmus zur Konstruktion der Trapez-Zerlegung 4. Analyse Punktlokalisation Einteilung in Streifen Anfragezeit:
Online-Algorithmen. Proseminar von Prof. Dr. Rolf Klein, Dr. Elmar Langetepe, Dipl. Inform. Thomas Kamphans im Wintersemester 00/01
Online-Algorithmen Proseminar von Prof. Dr. Rolf Klein, Dr. Elmar Langetepe, Dipl. Inform. Thomas Kamphans im Wintersemester 00/01 Vortrag Bin Packing von Thilo Geertzen 25. Oktober 2000 Online Algorithmen
Theoretische Informatik 1
Theoretische Informatik 1 Nichtdeterminismus David Kappel Institut für Grundlagen der Informationsverarbeitung TU Graz SS 2012 Übersicht Nichtdeterminismus NTM Nichtdeterministische Turingmaschine Die
Angewandte Multivariate Statistik Prof. Dr. Ostap Okhrin
Angewandte Multivariate Statistik Angewandte Multivariate Statistik Prof. Dr. Ostap Okhrin Ostap Okhrin 1 of 60 Angewandte Multivariate Statistik Principal Components Analysis Standardisierte Linearkombination
Matrix: Eine rechteckige Anordnung reeller Zahlen a ij (i = 1,..., n i ; j = 1,..., m) in Zeilen und Spalten. Die a ij heiÿen Elemente von A.
Matrizenrechnung Matrix: Eine rechteckige Anordnung reeller Zahlen a ij i = 1,..., n i ; j = 1,..., m in Zeilen und Spalten. Die a ij heiÿen Elemente von A. a 11 a 12... a ij... a 1m a 21 a 22.........