n IIP[N = n] x IIP[X = x] (a) Berechnen Sie die Nettoprämie und die Varianz für das Risiko S = N

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1 Aufgabe (Risikomodelle) Ein kollektiver Versicherungsvertrag erzeugt in einem Jahr N Schäden mit Schadenhöhen {X k }, wobei alle Zufallsvariablen unabhängig sind. Die Verteilung von N ist gegeben durch n 0 3 IIP[N = n] Die Schäden haben die Verteilung (in Einheiten von 000 e) x IIP[X = x] (a) Berechnen Sie die Nettoprämie und die Varianz für das Risiko S = N k= X k. (b) Berechnen Sie die Nettoprämie für einen Vertrag, bei dem das Versicherungsunternehmen nur einen Schaden erstattet, unter der Annahme, dass der Versicherungsnehmer am Ende des Jahres den grössten eingetretenen Schaden meldet. Hinweis: Betrachten Sie die Fälle N =,, 3 jeweils getrennt. Lösung: (a) Nettoprämie und Varianz berechnen sich mit der Waldschen Formel. Wir haben IIE[N] = = 0.9, Var[N] = ( 0.9) (0.) 0. + (.) 0. + (.) 0. =.09, und IIE[X] = = 9 Var[X] = ( 4) ( 9) = 759. Daraus ergibt sich aus den Waldschen Formeln IIE[S] = IIE[N]IIE[X] = = 7. Var[S] = IIE[N] Var[X] + Var[N]IIE[X] = =

2 (b) Sei M der maximale Schaden. Treten drei Schäden auf, so kann der grösste Schaden ein, zwei oder dreimal auftreten, also IIP[M = 00 N = 3] = = 0.7, IIP[M = 0 N = 3] = = 0.386, IIP[M = 0 N = 3] = = 0.79, IIP[M = 5 N = 3] = = Somit erhalten wir IIE[M N = 3] = = Treten Schäden auf, erhalten wir analog IIP[M = 00 N = ] = = 0.9, IIP[M = 0 N = ] = = 0.3, IIP[M = 0 N = ] = = 0.33, IIP[M = 5 N = ] = 0.4 = 0.6. IIE[M N = ] = = 9.5. Es ist klar, dass IIE[M N = ] = IIE[X] = 9. Damit ergibt sich IIE[M] = IIE[M N = ]IIP[N = ] + IIE[M N = ]IIP[N = ] + IIE[M N = 3]IIP[N = 3] = =

3 Aufgabe (Risikomodelle) Eine Beratungsfirma modelliert eine Versicherungssparte als kollektives Modell S = N k= X k mit N Schäden und Schadenhöhen X k, wobei alle Zufallsvariablen unabhängig sind. Die Schadenzahl N hat die Poisson-Verteilung mit Erwartungswert λ = 3, und die Schadenhöhen sind lognormal LN(0.5,9) verteilt mit Dichte f(x) = { 3x π exp (ln x } 0.5) I (0, ) (x). 8 Um das Risikokapital für diese Versicherungssparte zu bestimmen, braucht man den VaR zum Niveau 99.5%, das heisst, den Wert K für den IIP[S K] = Als Vereinfachung approximiert die Beratungsfirma die Verteilung des Gesamtschadens S als Lognormalverteilung mit dem gleichen Erwartungswert und der gleichen Varianz wie S. Berechnen Sie das Risikokapital auf Basis der Lognormalapproximation. Lösung: Aus der Formelsammlung finden wir den Erwartungswert der Lognormalverteilung IIE[X] = exp{µ + σ } = 48.4 und die Varianz exp{µ + σ }(exp{σ } ) = Dies gibt das zweite Moment IIE[X ] = exp{µ + σ } = Für die zusammengesetzte Poissonverteilung S erhalten wir somit Mittelwert IIE[S] = λiie[x] = λ exp{µ+ σ } = und die Varianz Var[S] = λiie[x ] = λ exp{µ+ σ } = Bezeichnen wir die Parameter der Approximation mit m und s. Dann erhalten wir exp{s } = Var[S] IIE[S] = λ exp{µ + σ } λ exp{µ + σ } = exp{σ } λ = 70. Das ist s = ln( + λ exp{σ }) = Der zweite Parameter erhalten wir aus exp{m + s } = λ exp{µ + σ }, also e m = λ exp{µ + σ }/ λ + λ exp{σ } = 3 exp{µ} + λ exp{ σ } = 8.565, das heisst, m = [3 ln λ + µ ln( + λ exp{ σ })] =.48. Für den VaR benötigen wir das 99.5%-Quantil der Normalverteilung. In der Formelsammlung finden wir.58. Der gesuchte Wert wird also ln K = m +.58s, also λ K = 3 exp{µ} + λ exp{ σ } exp{.58 + λ exp{σ } = 090.

4 3 Aufgabe (Tarifierung) Ein Versicherungsunternehmen will ein Risiko X mit dem Erwartungswert 500 und der Standardabweichung 88,68 tarifieren. a) Berechnen Sie für den Fall, dass die Verteilung von X nicht bekannt ist, die Deckungssumme v a mit Hilfe der Ungleichung von Cantelli so, dass Schäden mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,96 voll gedeckt sind, d.h., mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens in 0,04 wird nur die Deckungssumme geleistet. b) Berechnen Sie für den Fall, dass X (0,.000)-gleichverteilt ist, die Deckungssumme v b so, dass Schäden mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,96 voll gedeckt sind. c) Vergleichen Sie die Ergebnisse von a) und b). d) Berechnen Sie im Fall b) die Nettorisikoprämie. e) Berechnen Sie im Fall b) die Bruttorisikoprämie, nach dem Standardabweichungsprinzip mit dem Parameter = 0,. Lösung a) Mit dem Erwartungswert undder Standardabweichung von X gilt nach der Ungleichung von Cantelli für k + = 5 und damit für k = 4,899 PX 500 4,899 88,68 0,04 5 und folglich die Deckungssumme v a =500+4,889 88,68 =.94,4. b) Falls bekannt ist, dass X (0,.000)-gleichverteilt ist (Erwartungswert 500), ergibt sich die Deckungssumme v b aus der Gleichung X v 0, P b = 0, 00 dx 0,00 (.000 vb ), vb und damit v b = = 960. c) Die Standardabweichung bei b) ist und damit gleich groß wie bei a). Die Abschätzung nach Cantelli liefert im Vergleich zum Fall b) mit einer bekannten Verteilung ein schlechteres hier sogar irrelevantes Ergebnis. d) Für die Entschädigung X b gilt: E b X EX 0,00( x v ) dx 500 0,00 xdx 500 0, b 499,.000 vb b.000v e) Die Varianz beträgt bei der Begrenzung der Entschädigung auf die Deckungssumme v b : Var X b vb 0 0,00x 8.575,36 dx v.000 b vb 0,00dx E( X b 0 ) 0,00 (Var(X b ) ist damit etwas kleiner als Var(X)=.000 / = ,33) , ,

5 Die Bruttorisikoprämie H(X b ) nach dem Standardabweichungsprinzip mit dem Parameter =0, beträgt folglich H(X b ) = 499, + 0, 8.575,34 0,5 = 57,94. 4 Aufgabe (Tarifierung) Das Bonus-Malus-System eines Versicherungsunternehmens hat die 3 Klassen 0, und. Einstiegsklasse ist die Klasse 0 mit der Basisprämie BP (nach dem Nettorisikoprinzip). Bei einem schadenfreien Verlauf wird ein Versicherungsnehmer im Folgejahr eine Klasse höher eingestuft oder er bleibt in der höchsten Klasse. Im Schadenfall wird er im Folgejahr in die Klasse 0 eingestuft. In den (Schadenfreiheits-)Klassen und erhalten die Versicherungsnehmer einen Rabatt von 0% bzw. 0% auf die Basisprämie BP. Dem Versicherungsunternehmen ist bekannt, dass sein Kollektiv zu 40% aus Versicherungsnehmern des Typs A und zu 60% aus Versicherungsnehmern des Typs B besteht. Ein Versicherungsnehmer des Typs A bleibt im Lauf eines Jahres mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,8 schadenfrei; ein Versicherungsnehmer des Typs B mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5. Die Schadenereignisse treten unabhängig voneinander auf. Im Schadenfall beträgt der Erwartungswert des Jahresgesamtschadens.000. a) Berechnen Sie den Erwartungswert des Schadenbedarfs. b) Berechnen Sie die Verteilung der Versicherungsnehmer des Typs A und B auf die Klassen 0, und drei Jahre nach ihrem Einstieg in die Klasse 0. c) Zeigen Sie, dass sich diese Verteilung nach drei Jahren nicht mehr ändert. d) Berechnen Sie die Basisprämie BP für den stationären Fall. Hinweis: BP ist so zu bestimmen, dass der Erwartungswert der Prämieneinnahme ab dem 4. Jahr gleich dem Erwartungswert der Schadenzahlungen ist. Lösung a) Der Erwartungswert des Schadenbedarfs ist der gemäß der Zusammensetzung des Kollektivs gewichtete Erwartungswert des Jahresgesamtschadens eines beliebig herausgegriffenen Versicherungsnehmers, von dem nicht bekannt ist, ob er zum Typ A oder B gehört: 0,4 (0,.000) + 0,6 (0,5.000) = 380 Dies ist die gewichtete Summe der Gesamtschadenerwartungswerte der Versicherungsnehmer des Typs A und B. b) Mit Hilfe des Markovgraphen der Zugehörigkeit der Versicherungsnehmer in den ersten vier Jahren, d.h. nach Ablauf der ersten 3 Jahre, erhält man für die verschiedenen Typen:

6 Typ A Klasse 0,64 0,64 Klasse 0,8 0,6 0,6 Klasse 0 0, 0, 0, Typ B Jahr Jahr Jahr 3 Klasse 0,5 0,5 Klasse 0,5 0,5 0,5 Klasse 0 0,5 0,5 0,5 Jahr Jahr Jahr 3 Anmerkung: Einfacher und eleganter kann die Aufgabe mit Hilfe von Übergangsmatrizen und Zustandsvektoren gelöst werden c) Nach dem. Jahr ändert sich die Verteilung nicht mehr. Bereits nach Jahren ist also die stationäre Verteilung erreicht. d) Bei der Berechnung der BP ist zu beachten, wie sich die Versicherungsnehmer der Typen A und B auf die drei Klassen verteilen, in denen unterschiedliche Rabatte gewährt werden. Es gilt die Äquivalenz des Erwartungswerts von Beitrags- und Schadenzahlungen, summiert über die drei Klassen: 380 = 0,4 0,64 0,8 BP + 0,6 0,5 0,8 BP + 0,4 0,6 0,9 BP + 0,6 0,5 0,9 BP + 0,4 0, BP + 0,6 0,5 BP = 0,8974 BP Damit ist BP = 43,45 die gesuchte Basisprämie.

7 Aufgabe 5 (Schadenreservierung) Das folgende Abwicklungsdreieck für Zuwächse enthält für die Anfalljahre 007 bis 00 die Prämien und die Schadenzahlungen in den Abwicklungsjahren 0 bis 3: Anfall Abwicklungsjahr k Prämie jahr i 0 3 π i Es wird angenommen, dass ein Abwicklungsmuster für Schadenquotenzuwächse vorliegt und dass alle Schäden bis zum Ende des Abwicklungsjahres 3 vollständig abgewickelt werden. Hinweis: Nehmen Sie keine Rundungen vor. (a) Berechnen Sie die additiven Schadenquotenzuwächse und schätzen Sie die (für alle Anfalljahre identische) erwartete Endschadenquote. (b) Schätzen Sie unter Verwendung der Prämien die Abwicklungsmuster für Anteile und für (Abwicklungs )Quoten. (c) Schätzen Sie mit dem additiven Verfahren die Reserve für 00. (d) Schätzen Sie mit dem additiven Verfahren den Endschadenstand S 00,3 für 00. (e) Man könnte daran denken, zur Schätzung der erwarteten Endschadenquote den Schätzer κ := 00 i=007 ŜAD i,3 00 i=007 π i (mit ŜAD 007,3 := S 007,3 ) zu verwenden. Beurteilen Sie diesen Schätzer im Hinblick auf (a).

8 Lösung: (a) Es gilt und damit κ AD = ζ 3 AD = 8 = 0, ζ AD = = 0, ζ AD = ζ AD 0 = 3 k= = 0, 70 = 0, 450 ζ AD k = 0, , , , 045 = 0, 900 (b) Es gilt ϑ AD k = AD ζ k / κ AD und damit Mit γ AD k ϑ AD 0 = 0, 450/0, 900 = 0, 50 ϑ AD = 0, 70/0, 900 = 0, 30 ϑ AD = 0, 35/0, 900 = 0, 5 ϑ AD 3 = 0, 045/0, 900 = 0, 05 = k AD l=0 ϑ l ergibt sich daraus γ 0 AD = 0, 50 γ AD = 0, , 30 = 0, 80 γ AD = 0, , , 5 = 0, 95 γ 3 AD = (c) Es gilt R AD 00 = = 3 k= Ẑ AD 00,k = 3 k= ζ AD k π 00 ( ) 0, , , = 98 (d) Es gilt Ŝ AD 00,3 = S 00,0 + R AD 00 = = 376

9 (e) Es gilt (in allgemeiner Notation mit n := 3 und j := i 007) und damit j=0 Ŝ AD j,n = = = = ( n j j=0 k=0 ( n k k=0 ( k=0 k=0 Z j,k + Z j,k + j=0 ζ AD k ζ AD k n k π j + j=0 j=0 π j k=n j+ j=n k+ Ẑ AD j,k Ẑ AD j,k j=n k+ ) ) ) ζ k AD π j κ = n j=0 ŜAD j,n n j=0 π j = k=0 = κ AD Der Schätzer κ stimmt daher mit dem unter (a) verwendeten Schätzer κ AD überein. ζ AD k

10 Aufgabe 6 (Schadenreservierung) Das folgende Abwicklungsdreieck für Zuwächse enthält die Prämien für die Anfalljahre 007 bis 00, die Schadenzahlungen für die Anfalljahre 007 bis 00 in den Abwicklungsjahren 0 bis 3 sowie externe Schätzer für das Abwicklungsmuster für Anteile: Anfall Abwicklungsjahr k Prämie jahr i 0 3 π i ϑ extern k 0,60 0,5 0,0 0,05 (a) Schätzen Sie die Reserve für 0 mit dem Loss Development Verfahren. (b) Schätzen Sie die Reserve für 0 mit dem Cape Cod Verfahren. (c) Schätzen Sie die Reserve für 0 mit dem Bornhuetter Ferguson Verfahren unter der Annahme, dass die erwartete Endschadenquote κ für alle Anfalljahre gleich ist, und unter Verwendung des externen Schätzwertes κ extern = 0, 8. (d) Vergleichen Sie die Ergebnisse.

11 Lösung: (a) Für das Loss Development Verfahren werden die aktuellen Schadenstände sowie die externen Schätzer des Abwicklungsmusters für Quoten benötigt: Anfall Abwicklungsjahr k Prämie jahr i 0 3 π i γ extern k 0,60 0,85 0,95,00 Für die Schätzung der Reserve für 0 werden die Loss Development Schätzer der Endschadenstände für 009 und 00 benötigt. Man erhält und damit α LD 009 = ŜLD 009,3 = S 009, / γ extern = /0, 85 = 60 α LD 00 = ŜLD 00,3 = S 00,0 / γ extern 0 = 50/0, 60 = 50 R 0 LD = ẐLD 00, + ẐLD extern 009,3 = ϑ α LD = 0, , = ϑ extern 3 α LD 009 (b) Für das Cape Cod Verfahren wird die Cape Cod Schadenquote κ CC benötigt. Dazu bestimmt man zunächst die verbrauchten Prämien γ extern k π 00 k : Daraus ergibt sich Anfall Abwicklungsjahr k Prämie jahr i 0 3 π i , , γ extern k 0,60 0,85 0,95,00 κ CC = 3 k=0 S 00 k,k 3 = k=0 γextern k π 00 k , , = 0, 9 und für die a priori Schätzer α i CC erhält man = κ CC π i der erwarteten Endschadenstände α CC 009 = ŜCC 009,3 = κ CC π 009 = 0, 9 30 = 79 α CC 00 = ŜCC 00,3 = κ CC π 00 = 0, = 35

12 Für die Reserve für 0 ergibt sich daraus extern 009,3 = ϑ α 00 CC + = 0, , = 45, 45 R CC 0 = ẐCC 00, + ẐCC ϑ extern 3 α CC 009 (c) Beim Bornhuetter Ferguson Verfahren sind als a priori Schätzer der erwarteten Endschadenstände die Schätzer α i extern = κ extern π i zu verwenden. Wegen κ extern κ CC = 0, 8 0, 9 = 0, 9 ergibt sich sofort R 0 BF CC = 0, 9 R 0 = 0, 9 45, 45 = 40, 905 (d) Die Reserve für 0 ist beim Loss Development Verfahren am niedrigsten und beim Cape Cod Verfahren am höchsten. Der Ausreißer S 008, wirkt sich beim Loss Development Verfahren auf die Reserve für 0 nicht aus, da das Anfalljahr 008 bereits Ende 0 abgewickelt ist und externe Schätzer für das Abwicklungsmuster verwendet werden. Der Ausreißer S 008, wirkt sich dagegen beim Cape Cod Verfahren über die Cape Cod Schadenquote aus. Außerdem gehen die niedrigen Prämien für 007 und 008 mit einem hohen Gewicht in die Cape Cod Schadenquote ein.

13 7 Aufgabe (Rückversicherung und Risikoteilung) Ein Rückversicherer bietet seinem Zedenten in der Hagelversicherung eine Stop-Loss Rückversicherung mit Priorität a und Haftung h an. Für die Hagel-Jahresschadenquote X wird angenommen, dass X eine um x0 a nach rechts verschobene Exponentialverteilung besitzt. (a) Geben Sie eine allgemeine Formel für die Schadenerwartung des Stop-Loss Rückversicherers in Prozent der Jahresprämieneinnahme des gedeckten Portfolios an. (b) Bestimmen Sie die Stop-Loss-Schadenerwartung gemäß (a) für den speziellen Fall Lösung a 95%, h 45%, E( X ) 90% und Var( X ) 40%. Alle diese Werte sind Prozentangaben der Jahresprämieneinnahme des gedeckten Portfolios. (a) X besitzt die Verteilungsfunktion ( ) ( ( ) ) [ ) ( ) ( ) Damit gilt für die Schadenerwartung des Stop-Loss-Vertrags ah E min max X a, 0, h F( x) dx e dx e e a ah a x xo a xo h (b) Aus E( X ) x0 0.9 und Var( X ) 0.4 folgt 0.4 und x Damit gilt für die Schadenerwartung des Stop-Loss-Vertrags E min max X 0.95, 0, e e 8.77% 8 Aufgabe (Rückversicherung und Risikoteilung) Für die Exzess-Schadenlast ( ) einer unlimitierten Schadenexzedentenrückversicherung erwartet ein Rückversicherer einen Betrag von 4 (burning cost). Hierfür möchte er mit dem Zedenten ein variables Entgelt, eine sogenannte Gleitprämie P P = m + min(s, M) min(s, m) mit einem Mindestentgelt von m = 3 und einem Höchstentgelt M (M > m) vereinbaren. Sicherheitszuschläge sollen unberücksichtigt bleiben. Ferner soll der Zedent im Mittel natürlich nicht mehr bezahlen, als wenn ein Festpreis vereinbart wäre. (a) Beschreiben Sie die Wirkung der Gleitprämie. (b) Berechnen Sie die Höhe des Höchstentgelts unter der Annahme, dass gilt: S ~ 0, 0,8Par 5, b mit einem geeigneten b, 0 0 d.h. PS ( 0) 0, und 5 P( S x) 0,8 ( x 0). 5 x b

14 Lösung (a) { Anstelle einer Festprämie von ES ( ) zahlt der EVer dem RVer einen von der Schadenquote des Ereignisjahres abhängigen Betrag. Hierzu wird eine Vorausprämie festgelegt, die sich aus der Minimalprämie von m ergibt und im Laufe der Abwicklung adjustiert wird, maximal bis zum Betrag von M. b 5 5 (b) Es gilt E( S) 0,8 dx 0,8 5x b 0 Wegen ES ( ) 4 folgt b. Folglich gilt m 5 E min S, m P( S x) dx 0 x 5 dx 4,5 5 m Aus E( P) E( S) 4 folgt m E min S, M E min S, m M also 9 Aufgabe (Zusatzaufgabe I) m Der Gesamtschaden S eines Portfolios eines Erstversicherers wird im kollektiven Modell durch S = X X N beschrieben, wobei N, X, X,... stochastisch unabhängig sind mit P(N = 0) = 0,5; P(N = ) = 0,; P(N = ) = P(N = 3) = P(N = 4) = P(N = 5) = P(N = 6) = P(N = 6) = 0,05; P(X i = 00) = P(X i = 00) = 0,4; P(X i = 400) = P(X i = 600) = 0,. a) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von S. b) Berechnen Sie die Nettorisikoprämie für den Einzelschadenexzedenten-Rückversicherungsvertrag mit Priorität 00. Lösung Wir schreiben X für X i. a) E[N] = 0, + ( ) 0,05 =, Var(N) = E[N ] - E[N] = 0, + ( ) 0,05 4 = 7,5 4 = 3,5. E[X] = 0,4 ( ) + 0. ( ) = 0, Var(X) = E[S] = E[X] E[N] = 440, Var(S) = E[N] Var(X) + E[X] Var(N) = b) Z = max(x - 00; 0): E[Z] = ( ) 0, = 60, Nettorisikoprämie = E[N] E[Z] = 0.

15 0 Aufgabe (Zusatzaufgabe II) Ein Rückversicherer modelliert die Schäden (in Mio Euro) von Sturmkatastrophen durch die Paretoverteilung mit der Dichte f(x) = b a ( a x ) b+i(a, ) (x). Es wird angenommen, dass die Schäden unabhängig sind. Für die Logarithmen der Schäden gilt n ln X k = 7.7 k= und n (ln X k ) = k= Der maximale Schaden ist X M = Der Rückversicherer möchte die erwartete Höhe eines neuen Rekordes schätzen, das heisst, den Erwartungswert eines Schadens, der höher als X M ist. (a) Schätzen Sie die Parameter a und b (mit der Momentenmethode für ln X k ). Hinweis: Substituieren Sie z = ln x in der Berechnung der Momente. (b) Nehmen Sie an, dass die Sturmschäden Paretoverteilt mit den geschätzten Parameters â und ˆb sind. Wie hoch wird ein neuer Rekord im Mittel? Lösung: (a) Der Erwartungswert von ln X wird a a b b ln x x b+ dx = a b ln a Für das zweite Moment von ln x finden wir a a b b(ln x) x b+ dx = a b ln a Daraus erhalten wir den Schätzer zbe (b+)z e z dz = ln a + b. z be (b+)z e z dz = (ln a) + b = b + ( ln a + b ). ˆb = N (ln X k ) ( N N k= =.74 N ) ln X k k= ( ) ln a + b

16 und â = exp { N N ln X k ˆb } = k= (b) Wir haben IIP[X > x] = a b x b für x > a. Also ist für x > m = X M > a IIP[X > x X > m] = ab x b a b m b = mb x b. Das heisst, bedingt auf X > m ist X Paretoverteilt mit Parameter m und b. Damit ergibt sich für den bedingten Erwartungswert IIE[X X > m] = mb/(b ). Setzen wir b = ˆb, ergibt sich der Erwartungswert für einen neuen Rekord